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  • 对于$n$阶方阵$A$,使用$|A-\lambda E|=0$求矩阵的特征值。因为在复数域内一定有$n$个特征值$\lambda_1,\lambda_2...\lambda_n$,因此作为$\lambda$的$n$次多项式,$|A-\lambda E|$又可表示为: $(\lambda_1-\lambda...

      对于$n$阶方阵$A$,使用$|A-\lambda E|=0$求矩阵的特征值。因为在复数域内一定有$n$个特征值$\lambda_1,\lambda_2...\lambda_n$,因此作为$\lambda$的$n$次多项式,$|A-\lambda E|$又可表示为:

    $(\lambda_1-\lambda)(\lambda_2-\lambda)...(\lambda_n-\lambda)$

    $\displaystyle=\lambda_1...\lambda_n+(-1)^1(\lambda_1+...+\lambda_n)\lambda+...+(-1)^{n-1}(\lambda_1+...+\lambda_n)\lambda^{n-1}+(-1)^n\lambda^n$

      $\lambda=0$时,有$|A| = \lambda_1...\lambda_nl$。所以特征值之积等于矩阵行列式。

      另外,特征值之和等于矩阵的迹的证明:

      由上面的表示可看出$(-1)^{n-1}\lambda^{n-1}$项的系数为$(\lambda_1+...+\lambda_n)$,而对于行列式$|A-\lambda E|$,从行列式定义的角度看,要获得$\lambda$的$n-1$次项,只有全部对角线元素的乘积才行。因为逆序一次,$\lambda$的最大次数就已经等于$n-2$了,而更多逆序只会让次数更小。再看对角线元素的乘积:

    $(A_{11}-\lambda)...(A_{nn}-\lambda)$

      可得$n-1$次项为$(-1)^{n-1}(A_{11}+...+A_{nn})\lambda^{n-1}$。所以特征值之和等于矩阵的迹。

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  • 特征值行列式计算器

    2011-11-28 00:17:36
    求矩阵行列式和特征值的小工具。很有用,线代的基础作业就靠它吧。比那些收费的实用。
  • 对nnn阶矩阵AAA,如果数λ\lambdaλnnn维非零列向量xxx使关系 Ax=λxAx=\lambda xAx=λx 成立,那么,这样的数λ\lambdaλ称为矩阵AAA特征值,非零向量xxx称为AAA的对应于特征值λ\lambdaλ的特征向量。(同济...

    特征值与特征向量

    n n n阶矩阵 A A A,如果数 λ \lambda λ n n n维非零列向量 x x x使关系式
    A x = λ x Ax=\lambda x Ax=λx
    成立,那么,这样的数 λ \lambda λ称为矩阵 A A A特征值,非零向量 x x x称为 A A A的对应于特征值 λ \lambda λ的特征向量。(同济大学线性代数第六版P120)
    于是有
    ( A − λ E ) x = 0 (A-{\lambda}E)x=0 (AλE)x=0
    A 1 = ( A − λ E ) A_1=(A-\lambda E) A1=(AλE),则 A 1 x = 0 A_{1}x=0 A1x=0,于是问题转换为线性齐次方程组的解的问题。

    齐次线性方程组的解

    对于齐次线性方程组
    a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = 0 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = 0 , ⋯ a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = 0. a_{11}x_{1}+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_{n}=0,\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_{n}=0,\\{\cdots}\\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_{n}=0. a11x1+a12x2+...+a1nxn=0,a21x1+a22x2+...+a2nxn=0,an1x1+an2x2+...+annxn=0.
    A 1 A_1 A1满秩时,即矩阵的秩 r r r等于未知数的个数 n n n时,方程组有唯一零解,即
    x ⃗ = [ x 1 x 2 ⋯ x n ] = [ 0 0 ⋯ 0 ] \vec{x}=\begin{bmatrix} x_{1}\\x_{2}\\{\cdots} \\x_{n} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\\{\cdots} \\0 \end{bmatrix} x =x1x2xn=000
    而特征向量 x ⃗ \vec{x} x 是非零列向量,即对应非零解, n n n元齐次线性方程组 A x = 0 Ax=0 Ax=0有非零解的充分必要条件是 R ( A ) < n R(A)<n R(A)<n(同济大学线性代数第六版P76),即 A 1 A_1 A1的秩 r r r小于未知数的个数 n n n,又因为对于非满秩的方阵其行列式为0,所以当解为非零解时,行列式
    ∣ A − λ E ∣ = 0 \begin{vmatrix} A-{\lambda}E \end{vmatrix}=0 AλE=0
    因此特征值 系数行列式(特征方程)等于0时的 ,原理概括就是齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于0,这就是求特征值时需要去解特征方程等于0的原因。

    参考

    齐次线性方程组有非零解的条件
    矩阵特征值和特征向量详细计算过程
    求特征值和特征向量时为什么特征行列式要等于零?
    超定方程的求解、最小二乘解、Ax=0、Ax=b的解,求解齐次方程组,求解非齐次方程组(推导十分详细):https://blog.csdn.net/u011341856/article/details/107758182
    同济大学线性代数第六版–高等教育出版社

    如有错漏,敬请指正
    --------------------------------------------------------------------------------------------诺有缸的高飞鸟202104

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  • 利用猜根法求解三阶行列式特征值.pdf
  • 建议读者先阅读这篇文章:【092】韦达定理在一元n次方程中的推广 搞明白什么是韦达定理。行列式和特征值之间是有着特殊关系的。这种关系就是:行列式等于方阵特征值的乘积。本文给出了证明。

    建议读者先阅读这篇文章:【092】韦达定理在一元n次方程中的推广 搞明白什么是韦达定理。

    设A表示n阶方阵。可有:

    1.png 2.png

    让(j1,j2,···,jn)表示n个数字(1,2,···,n)的不同排列。

    3.png

    4.png

    51.png

    显然

    7.png

    8.png

    求特征值,可以把 λ 看做未知数,行列式可以化作一个一元N次方程。A的特征值 λ1,λ2,···,λn 就是这个一元n次方程的解。并且根据代数基本定理,在复数范围内,这个一元n次方程一定有解。

    那么,|λI-A|=0 中,次数最高的项应该是在 (-1)τ(1,2,···,n)П(λ-aii) 中。次数第二高的项应该也在这一组连乘式子中。

    为什么次数第二高的项也在(-1)τ(1,2,···,n)П(λ-aii) 中?

    行列式定义的连加运算中,每一项可以这么理解:行列式每一行都选出一个数字进行连乘,并且这些选出的数不能是同一列的。次数第二高的式子必须至少有n-1个(λ-aii)。然而|λI-A|的连加运算中不可能有哪一项包含 n-1 个 (λ-aii)。因为如果存在包含n-1个(λ-aii)的项,那么假设没提供 (λ-aii) 的那行是第k行。第k行必须从别的列上取一个数,但是其他的n-1行提供的(λ-aii)把其他的n-1列都占用了并且还在对角线上。这导致第k行只能去第k列取数,而k行k列显然是(λ-akk),存在矛盾。所以次数第二高的项也在(-1)τ(1,2,···,n)П(λ-aii) 中。

    (-1)τ(1,2,···,n)П(λ-aii)=П(λ-aii) ,把-1消掉是因为1,2,···,n 是正序。

    根据 【092】韦达定理在一元n次方程中的推广 中的推论1,可知:
    П(λ-aii) = λn - ( ∑aii ) λn-1 + ··· + (-1)nПaii

    |λI-A| 的最高次数的项是 λn ,系数是1 。

    根据 【092】韦达定理在一元n次方程中的推广 我们要得到方阵特征值的乘积,除了知道最高次数项的系数,还需要知道常数项。在 |λI-A|=0 等号左边的多项式中,可以分成两个类别的项:1.只含有常数的项。2.含有λ的项。

    第一种: 只含有常数的项。形如: (-1)τ(j1,j2,···,jn)(-a1j1)(-a2j2)···(-anjn)

    第二种: 含有λ的项。形如: (-1)τ(j1,j2,···,jn)(-a1j1)···(λ-akjk)···(-anjn)

    k是正整数,并且k小于等于n。含有λ的项,包含有一个或多个类似 (λ-akjk)的项,并且这些因数的位置很可能是分散的。根据乘法的分配律,可得常数项必然是(-1)τ(j1,j2,···,jn)(-a1j1)(-a2j2)···(-anjn)

    综合考虑上面的两种情况,|λI-A|=0 等号左边的多项式中,设其常数项是C,那么:

    9.png

    10.png

    综上所述,可证行列式等于方阵特征值的乘积。

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  • 特征值之和为3,直接可以定出a=3 特征值之积为5,只可能是(5,1,1),(-1,-1,5) (-1,-5,1) 三种。因为基本上命题人给你出的特征值一定是整数。注意:有经验的命题人一定会把行列式的值弄成合数,而不是质数,...

    特征值之和为3,直接可以定出a=3

    特征值之积为5,只可能是(5,1,1),(-1,-1,5)    (-1,-5,1) 三种。因为基本上命题人给你出的特征值一定是整数。注意:有经验的命题人一定会把行列式的值弄成合数,而不是质数,这样就不太容易猜出答案。

    结合trace=3,答案就是(-1,-1,5)

    所以可以直接写答案,在“编”过程

     

     

     

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  • 针对大的带状矩阵进行的特征值行列式、条件数求解;应用到了幂法、反幂法、DOOLITTLE分解、压缩矩阵。
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  • 矩阵特征值行列式、 相似矩阵

    千次阅读 2017-07-19 20:48:53
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  • The Linear Algebra a Beginning Graduate Student Ought to Know (Second Edition) Jonathan S. Golan Chapter12, Page 240
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  • 矩阵特征值和特征向量详细计算过程

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a的行列式等于特征值之和