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  • 研究连续时间衍生品的定价,建立Black-Scholes定价模型,给出了Black-Scholes微分方程的推导过程以及基于鞅方法的Black-Scholes公式。结合欧式期权的定价公式给出了避险参数的表达式及意义。
  • 论文研究-具有随机寿命的多维Black-Scholes定价模型.pdf, 利用随机微分方程和鞅方法,给出了具有随机寿命的多维Black-Scholes定价模型,并获得随机寿命情形下欧式期权及...
  • Black Scholes期权定价模型

    千次阅读 2012-08-17 11:30:44
    data BS; input S X r v T; d1 = (log(S/X) + (r+v**2/2)*T)/v/sqrt(T); d2 = d1 - v*sqrt(T);... *编辑公式计算买权call和卖put的定价; C = S*cdf('Normal',d1) - X*exp(-r*T)*cdf('Normal',d2);
    data BS;
       input S X r v T;
          d1 = (log(S/X) + (r+v**2/2)*T)/v/sqrt(T);
          d2 = d1 - v*sqrt(T);
       *编辑公式计算买权call和卖put的定价;
          C = S*cdf('Normal',d1) - X*exp(-r*T)*cdf('Normal',d2);
          P = X*exp(-r*T)*cdf('Normal',-d2) - S*cdf('Normal',-d1);
          *利用sas自带函数计算期权定价;
          CALL=blkshclprc(X,T,S,R,V);
          PUT =BLKSHPTPRC(X,T,S,R,V);
    label 
       S = 'Spot Price'
       X = 'Strike Price' 
       r = 'Risk Free Rate'
       v = 'Volatility'
       T = 'Time Periods'
       C = 'BS Call Price'
       P = 'BS Put Price' ;
    
    * Input as many input values as needed;
    
    cards;
    120 95 0.08 0.2 3
    120 100 0.08 0.2 3
    120 110 0.08 0.2 3
    120 120 0.08 0.2 3
    ;
    run;
    
     
    


    参考:

    http://wiki.mbalib.com/wiki/Black-Scholes%E6%9C%9F%E6%9D%83%E5%AE%9A%E4%BB%B7%E6%A8%A1%E5%9E%8B

    http://support.sas.com/documentation/cdl/en/lrdict/64316/HTML/default/viewer.htm#a000245860.htm

    http://www.espenhaug.com/black_scholes.html
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  • Black-Scholes期权定价模型

    千次阅读 2018-12-28 18:21:44
    Black-Scholes期权定价模型 用手机看条目 Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes Option Pricing Model),布莱克-肖尔斯期权定价模型 目录 [隐藏] 1Black-Scholes 期权定价模型概述 2B-S期权...

    Black-Scholes期权定价模型

    用手机看条目

    Black-Scholes期权定价模型(Black-Scholes Option Pricing Model),布莱克-肖尔斯期权定价模型

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    Black-Scholes 期权定价模型概述

      1997年10月10日,第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者,哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票债券货币商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。

      斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。与此同时,默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。结果,两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。所以,布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型。默顿扩展了原模型的内涵,使之同样运用于许多其它形式的金融交易。瑞典皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。

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    B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件

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    (一)B-S模型有7个重要的假设 

      1、股票价格行为服从对数正态分布模式;

      2、在期权有效期内,无风险利率和金融资产收益变量是恒定的;

      3、市场无摩擦,即不存在税收交易成本,所有证券完全可分割;

      4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃);

      5、该期权是欧式期权,即在期权到期前不可实施。

      6、不存在无风险套利机会;

      7、证券交易是持续的;

      8、投资者能够以无风险利率借贷。

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    (二)荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式[1]

      \mathbf{C=S\bullet N(d_1)-Le^{-rT}N(d_2)} 

      其中:

      d_1= \frac {\ln \frac{S}{L} + \left( r+0.5\bullet \sigma^2 \right)T}{\sigma\bullet \sqrt{T}}

      d_2= \frac { \ln \frac{S}{L} + \left( r-0.5\bullet \sigma^2 \right)T}{\sigma\bullet \sqrt{T}}=d_1-\sigma\sqrt{T}

    • C—期权初始合理价格 
    • L—期权交割价格
    • S—所交易金融资产现价
    • T—期权有效期
    • r—连续复利计无风险利率
    • σ2—年度化方差
    • N()—正态分布变量的累积概率分布函数 \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{d_n} e^{-\frac{x^2}{2}}\, dx\right),在此应当说明两点:

      第一,该模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单的或不连续的无风险利率(设为\mathbf{r_0})一般是一年复利一次,而r要求利率连续复利。\mathbf{r_0}必须转化为r方能代入上式计算。两者换算关系为:\mathbf{r=ln(1+r_0)}\mathbf{r_0=E_r-1}。例如\mathbf{r_0=0.06},则r=ln(1+0.06)=0.0583,即100以5.83%的连续复利投资第二年将获106,该结果与直接用\mathbf{r_0=0.06}计算的答案一致。 

      第二,期权有效期T的相对数表示,即期权有效天数与一年365天的比值。如果期权有效期为100天,则T=\frac{100}{365}=0.274。 

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    B-S定价模型的推导与运用[1]

      (一)B-S模型的推导B-S模型的推导是由看涨期权入手的,对于一项看涨期权,其到期的期值是:

      \mathbf{E[G]=E[max(S_t-L,0)]}

      其中,

    • E[G]—看涨期权到期期望值
    • \mathbf{S_t}—到期所交易金融资产的市场价值
    • L—期权交割(实施)价

      到期有两种可能情况:

      1、如果St > L,则期权实施以进帐(In-the-money)生效,且max(St − L,O) = St − L

      2、如果St < L,则期权所有人放弃购买权力,期权以出帐(Out-of-the-money)失效,且有:

      max(St − L,O) = 0

      从而:

      E[C_t]=P\times E[S_t|S_t>L]+(1-P)\times O=P\times E[S_t|S_t>L]-L)

      其中:P:(St > L)的概率E[St | St > L]:既定(St > L)下St的期望值将E[G]按有效期无风险连续复利rT贴现,得期权初始合理价格:

      C = Pe − rT(E[St | St > L] − L)这样期权定价转化为确定P和E[St | St > L]。

      首先,对收益进行定义。与利率一致,收益为金融资产期权交割日市场价格(St)与现价(S)比值的对数值,即收益 = lnSt / S = ln(St / L)。由假设1收益服从对数正态分布,即ln(St / L)~N(\mu_t,\sigma_t^2),所以E[lN(St / S] = μtSt / Se^{N(\mu_t,\sigma_t^2)}可以证明,相对价格期望值大于eμt,为:E[St / S] = eμt + σ2T2 = erT从而,μt = T(r − σ2),且有σt = σT

      其次,求(St > L)的概率P,也即求收益大于(LS)的概率。已知正态分布有性质:Pr06[ξ > x] = 1 − N(x − μσ)其中:

      ζ:正态分布随机变量

      x:关键值

      μ-ζ的期望值

      σ-ζ的标准差

      所以:P = Pr06[St > 1] = Pr06[lnSt / s] > lnLS = :LN − lnLS − (r − σ2)TσTnc4 由对称性:1 − N(d) = N( − d)P = NlnSL + (r − σ2)TσTarS

      第三,求既定St > LSt的期望值。因为E[St | St > L]处于正态分布的L到∞范围,所以,

      E[St | St] > = SerTN(d1)N(d2)

      其中:d_1=ln(S/L)+(R+\frac{1}{2}\sigma^2)T\sigma Td_2=ln(S/L)+(r-\frac{1}{2}\sigma^2)T\sigma T=d_1-\sigma T

      最后,将P、E[St | St] > L]代入(C = Pe − rT(E[St | St > L] − L))式整理得B-S定价模型:C = SN(d1) − Le − rTN(d2)

      (二)看跌期权定价公式的推导

      B-S模型是看涨期权的定价公式,根据售出—购进平价理论(Put-callparity)可以推导出有效期权的定价模型,由售出—购进平价理论,购买某股票和该股票看跌期权的组合与购买该股票同等条件下的看涨期权和以期权交割价为面值的无风险折扣发行债券具有同等价值,以公式表示为:

      \mathbf{S+P_e(S,T,L)=C_e(S,T,L)+L(1+r)-T}

      移项得:

      \mathbf{P_e(S,T,L)=C_e(S,T,L)+L(1+r)-T-S}

      将B-S模型代入整理得:

      \mathbf{P=Le^{-rT}\left[1-N(d_2)\right]-S\left[1-N(d_1)\right]}

      此即为看跌期权初始价格定价模型。

      (三)B-S模型应用实例

      假设市场上某股票现价S为 164,无风险连续复利利率γ是0.0521,市场方差σ2为0.0841,那么实施价格L是165,有效期T为0.0959的期权初始合理价格计算步骤如下:

      ①求d1:

      d_1= \frac { \ln \frac{164}{165} + \left( 0.0521+0.5\times 0.0841 \right)0.0959}{\sigma\times\sqrt{0.0959}}=0.0328

      ②求d2:

      d_2=0.0328-0.29\times \sqrt{0.0959}=-0.0570

      ③查标准正态分布函数表,得:N(0.03)=0.5120 N(-0.06)=0.4761

      ④求C:

      C=164×0.5120-165×e-0.0521×0.0959×0.4761=5.803

      因此理论上该期权的合理价格是5.803。如果该期权市场实际价格是5.75,那么这意味着该期权有所低估。在没有交易成本的条件下,购买该看涨期权有利可图。

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    B-S模型的发展、股票分红

      B-S模型只解决了不分红股票的期权定价问题,默顿发展了B-S模型,使其亦运用于支付红利的股票期权

      (一)存在已知的不连续红利假设某股票在期权有效期内某时间t(即除息日)支付已知红利Dt,只需将该红利现值从股票现价S中除去,将调整后的股票价值S′代入B-S模型中即可:S' = S − Dte − rT。如果在有效期内存在其它所得,依该法一一减去。从而将B-S模型变型得新公式:

      C=\left(S-D_te^{-rT}\right)N(d_1)-Le^{-rT}N(d_2)

      (二)存在连续红利支付是指某股票以一已知分红率(设为δ)支付不间断连续红利,假如某公司股票年分红率δ为0.04,该股票现值为164,从而该年可望得红利164×004= 6.56。值得注意的是,该红利并非分4季支付每季164;事实上,它是随美元的极小单位连续不断的再投资而自然增长的,一年累积成为6.56。因为股价在全年是不断波动的,实际红利也是变化的,但分红率是固定的。因此,该模型并不要求红利已知或固定,它只要求红利按股票价格的支付比例固定。

      在此红利现值为:S(1-E-δT),所以S′=S•E-δT,以S′代S,得存在连续红利支付的期权定价公式:C=S•E-δT•N(D1)-L•E-γT•N(D2)

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    B-S模型的影响

      自B-S模型1973年首次在政治经济杂志(Journal of Political Economy)发表之后,芝加哥期权交易所的交易商们马上意识到它的重要性,很快将B-S模型程序化输入计算机应用于刚刚营业的芝加哥期权交易所。该公式的应用随着计算机、通讯技术的进步而扩展。到今天,该模型以及它的一些变形已被期权交易商、投资银行、金融管理者、保险人等广泛使用。衍生工具的扩展使国际金融市场更富有效率,但也促使全球市场更加易变。新的技术和新的金融工具的创造加强了市场与市场参与者的相互依赖,不仅限于一国之内还涉及他国甚至多国。结果是一个市场或一个国家的波动或金融危机极有可能迅速的传导到其它国家乃至整个世界经济之中。我国金融体制不健全、资本市场不完善,但是随着改革的深入和向国际化靠拢,资本市场将不断发展,汇兑制度日渐完善,企业也将拥有更多的自主权从而面临更大的风险。因此,对规避风险金融衍生市场的培育是必需的,对衍生市场进行探索也是必要的,我们才刚刚起步。

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    对B-S模型的检验、批评与发展

      B-S模型问世以来,受到普遍的关注与好评,有的学者还对其准确性开展了深入的检验。但同时,不少经济学家对模型中存在的问题亦发表了不同的看法,并从完善与发展B-S模型的角度出发,对之进行了扩展。

      1977年美国学者伽莱(galai)利用芝加哥期权交易所上市的股票权的数据,首次对布-肖模型进行了检验。此后,不少学者在这一领域内作了有益的探索。其中比较有影响的代表人物有特里皮(trippi)、奇拉斯(chiras)、曼纳斯特(manuster)、麦克贝斯(macbeth)及默维勒(merville)等。综合起来,这些检验得到了如下一些具有普遍性的看法:

      1.模型对平值期权的估价令人满意,特别是对剩余有效期限超过两月,且不支付红利者效果尤佳。

      2.对于高度增值或减值的期权,模型的估价有较大偏差,会高估减值期权而低估增值期权。

      3.对临近到期日的期权的估价存在较大误差。

      4.离散度过高或过低的情况下,会低估低离散度的买入期权,高估高离散度的买方期权。但总体而言,布-肖模型仍是相当准确的,是具有较强实用价值的定价模型。

      对布-肖模型的检验着眼于从实际统计数据进行分析,对其表现进行评估。而另外的一些研究则从理论分析入手,提出了布-肖模型存在的问题,这集中体现于对模型假设前提合理性的讨论上。不少学者认为,该模型的假设前提过严,影响了其可靠性,具体表现在以下几方面:

      首先,对股价分布的假设。布-肖模型的一个核心假设就是股票价格波动满足几何维纳过程,从而股价的分布是对数正态分布,这意味着股价是连续的。麦顿(merton)、约翰·考克斯(John Carrington Cox)、斯蒂芬·罗斯(Stephen A. Ross)、马克·鲁宾斯坦Mark Rubinstein)等人指出,股价的变动不仅包括对数正态分布的情况,也包括由于重大事件而引起的跳起情形,忽略后一种情况是不全面的。他们用二项分布取代对数正态分布,构建了相应的期权定价模型。

      其次,关于连续交易的假设。从理论上讲,投资者可以连续地调整期权与股票间的头寸状况,得到一个无风险的资产组合。但实践中这种调整必然受多方面因素的制约:1.投资者往往难以按同一的无风险利率借入或贷出资金;2.股票的可分性受具体情况制约;3.频繁的调整必然会增加交易成本。因此,现实中常出现非连续交易的情况,此时,投资者的风险偏好必然影响到期权的价格,而布-肖模型并未考虑到这一点。

      再次,假定股票价格的离散度不变也与实际情况不符。布莱克本人后来的研究表明,随着股票价格的上升,其方差一般会下降,而并非独立于股价水平。有的学者(包括布莱克本人)曾想扩展布-肖模型以解决变动的离散度的问题,但至今未取得满意的进展。

      此外,不考虑交易成本及保证金等的存在,也与现实不符。而假设期权的基础股票不派发股息更限制了模型的广泛运用。不少学者认为,股息派发的时间与数额均会对期权价格产生实质性的影响,不能不加以考察。他们中有的人对模型进行适当调整,使之能反映股息的影响。具体来说,如果是欧洲买方期权,调整的方法是将股票价格减去股息(d)的现值替代原先的股价,而其他输入变量不变,代入布-肖模型即可。若是美国买方期权,情况稍微复杂。第一步先按上面的办法调整后得到不提早执行情况下的价格。第二步需估计在除息日前立即执行情况下期权的价格,将调整后的股价替代实际股价,距除息日的时间替代有效期限、股息调整后的执行价格(x-d)替代实际执行价格,连同无风险利率与股价离散度等变量代入模型即可。第三步选取上述两种情况下期权的较大值作为期权的均衡价格。需指出的是,当支付股息的情况比较复杂时,这种调整难度很大。

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  • Finite_Difference_Method_BSM:使用显式欧拉有限差分法对Black Scholes模型进行定价
  • Black_Scholes期权定价模型_对B_S模型的检验
  • 近年来,期权交易变得非常流行。您是否阅读过有关如何通过购买自己喜欢的股票获得报酬的文章?在这篇文章中,您将学习一种期权交易策略,可以用来以较低的...在本文的第一篇中,我们将建立两个期权定价模型。第一个...

    原文链接:http://tecdat.cn/?p=11695 

    原文出处:拓端数据部落公众号


    近年来,期权交易变得非常流行。 在这篇文章中,您将学习一种期权交易策略,可以用来以较低的价格购买自己喜欢的股票。期权是一种衍生工具。衍生物被誉为20世纪后期的金融革命。衍生产品类型为远期,期货,掉期和期权。衍生工具是从另一项基础资产中获取价值的工具。对于股票期权,其价格取决于标的股票。 

    在本文的第一篇中,我们将建立两个期权定价模型。第一个是著名的Black Scholes期权定价模型,第二个是Cox-Ross-Rubinstein期权定价模型。之后,我们还将讨论什么是期权,以及如何对隐含波动率进行建模。我们还将讨论为什么在实践中将这两种期权定价公式反向用于计算隐含波动率而不是期权价格。 

     我们将使用R进行分析。您应该已经安装了R和RStudio。我建议您安装Microsoft R Open,执行程序速度更快。Quantmod是提供技术分析的重要R包。 

    如上所述的期权从标的股票中驱动价值。问题是我们不知道期权合约是否会被行使。当我们尝试对股票期权合约定价时,这就带来了一定程度的复杂性。Black Scholes公式假定连续的随机过程,而Cox-Ross-Rubinstein模型假定离散的随机过程。因此,让我们从Black Scholes Options的定价公式开始。 

    Black Scholes股票期权定价公式

    Black Scholes期权定价公式作了一些假设。首先是市场没有套利。这意味着不可能有价格差异。第二个假设是基础资产价格遵循布朗运动。第三个假设表明基础股票不支付任何股息。第四个假设是不涉及交易成本,并且可以以任何分数进行基础股票的买卖。最后一个假设是我们知道短期利率,并且该利率随时间是恒定的。现在,我们不需要详细讨论如何数学公式推导该公式。当我们知道用于计算股票期权价格的不同参数时,将使用R来计算股票期权价格。下面我们使用R来计算3个月到期的Apple AAPL股票看涨期权价格。苹果AAPL股票价格为130美元,股票期权合约行使价为140美元。

    > library(fOptions)
    Loading required package: timeDate
    Loading required package: timeSeries
    Loading required package: fBasics
    
    > GBSOption(TypeFlag = "c", S = 130, X =140, Time = 1/4, r = 0.02, 
    +           sigma = 0.22, b = 0.02)
    
    Title:
     Black Scholes Option Valuation 
    
    Call:
     GBSOption(TypeFlag = "c", S = 130, X = 140, Time = 1/4, r = 0.02, 
         b = 0.02, sigma = 0.22)
    
    Parameters:
              Value:
     TypeFlag c     
     S        130   
     X        140   
     Time     0.25  
     r        0.02  
     b        0.02  
     sigma    0.22  
    
    Option Price:
     2.382111 
    
    Description:
     Sun May 07 18:12:25 2017

    首先我们加载fOptions库,c表示看涨期权.S是股票价格,即每股130美元。X是股票行使价,每股140美元。短期利率为2%。隐含波动率假设为22%。苹果股票的看涨期权价格为2.38美元。这就是它的工作方式。苹果目前的股价为每股130美元。我们购买看涨期权。我们认为苹果股票的价格将会上涨,因此我们购买了看涨期权为140美元的苹果股票3个月到期的看涨期权。如果价格超过140美元,我们可以每股140美元的价格购买AAPL股票。目前,苹果股票的交易价格为每股148美元。因此,您可以看到我们可以便宜地购买Apple股票。我们将以140美元的价格行使苹果股票看涨期权合约,然后以148美元的价格在市场上出售股票,从而实现每股8美元的利润。由于价格是2美元。每100股38股,我们获得了可观的利润。 假设我们的行使价为135美元。

    
    Title:
     Black Scholes Option Valuation 
    
    Call:
     GBSOption(TypeFlag = "c", S = 130, X = 135, Time = 1/4, r = 0.02, 
         b = 0.02, sigma = 0.22)
    
    Parameters:
              Value:
     TypeFlag c     
     S        130   
     X        135   
     Time     0.25  
     r        0.02  
     b        0.02  
     sigma    0.22  
    
    Option Price:
     3.88815 
    
    Description:
     Sun May 07 18:22:29 2017

    在这种情况下,股票期权的价格提高到了$ 3.88。现在,如上所述,我们不需要知道如何得出Black Scholes期权定价公式。我们只需要在公式中插入不同的参数,例如看涨/卖出期权,股票价格,执行价格,短期利率,隐含波动率等。现在的问题是我们没有任何方法可以计算隐含波动率。我们只是假设了隐含波动率公式。

    我们还可以计算看跌期权的价格。使用R时也非常容易。以下是看跌期权价格的计算。我们在公式中将c更改为p。苹果股价为130美元。看跌期权的行使价为135美元。有效期为3个月。短期利率为2%。隐含波动率为22%。

    > GBSOption(TypeFlag = "p", S = 130, X =135, Time = 1/4, r = 0.02, sigma
    +           = 0.22, b = 0.02)@price
    [1] 8.214834

    现在,如上所述,Black Scholes期权定价公式很大​​程度上取决于隐含波动率。隐含波动率是我们所不知道的。因此,实际上我们不能使用此Black Scholes股票期权价格公式。在大多数情况下,我们使用相反的公式。我们在公式中插入股票期权价格并计算隐含波动率。我们可以使用GARCH模型来计算波动率。 

    Cox-Ross-Rubinstein股票期权定价公式

    Cox-Ross-Rubinstein公式也称为CRR公式,与Black Scholes股票期权定价公式不同。CRR公式中的基本假设是标的股票价格遵循离散的二项分布。这意味着股票价格在每个时期要么上升一定量,要么下降一定量。二叉树正在重组。这意味着在两个时期内,价格可以先涨后跌,或者在相同的最终价格下涨跌。以下是使用与Black Scholes公式相同的行使价,隐含波动率和短期利率来计算Apple股票期权价格。

    > 
    [1] 4.033903
    >
    [1] 8.360588

    您可以看到使用Cox-Ross-Rubinstein公式的期权价格与Black Scholes公式相似但不相同,现在无需对CRR公式进行复杂的数学推导。我们还可以绘制上述看涨期权公式以及看跌期权公式二项式树3个周期。以下是看涨期权二项式树的代码。

    通过将ce更改为pe,我们还可以绘制看跌期权二叉树。 以下是看涨期权二叉树图。

    以下是看跌期权二叉树。

    现在您看到了两个公式之间的期权价格差异。价格差异不大。Black Scholes计算的看涨期权价格为3.88美元,而Cox-Ross-Rubinstein公式计算的看涨期权价格为4.03美元。差别不是很大,但确实存在。这是由于两个公式的数学推导不同。在Black Scholes公式中,我们假设一个连续的随机公式,而在Cox-Ross-Rubinstein公式中,我们假设一个离散的二项式公式。W可以通过减少Cox-Ross-Rubinstein公式中的时间步长来减少价格差异。

    如何计算期权?

    希腊人衡量期权合约对不同市场因素的敏感性。例如,delta是对基础股票价格的敏感性。Gamma是对基础股票价格变化的敏感性。您可以将伽玛三角洲称为三角洲。Theta对时间敏感,而rho对无风险利率敏感。最后,vega是对隐含波动率的敏感度。用数学术语来说,所有希腊语都是偏导数,用于衡量某些参数的变化率。下面我们使用R计算 。

    > 
          delta       gamma        vega       theta         rho 
      0.4041424   0.0270888  25.1790377 -12.0517840  12.1625922

    您可以看到R在计算时非常快。跨距交易是重要的期权交易策略。我们通过同时购买看跌期权和看涨期权来构造一个跨步。以下是跨度的增量计算。

    
    > plot(100:200, rowSums(straddles), type='l', 
    +      xlab='Price of the underlying (S)', ylab = 'Delta of straddle')

    计量经济学是许多交易者都不知道的重要主题。 以下是使用苹果股票看跌期权和看涨期权的跨式期权构建的增量图。


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  • Black-Scholes模型

    BS模型假设

    1. 股票价格遵循几何布朗运动
    2. 允许卖空衍生证券
    3. 无摩擦交易环境
    4. 行权期无红利支付
    5. 无套利机会
    6. 证券交易是连续的
    7. 无风险利率是常数

    BS模型推导

    由假设(1)可以知道,股价 S S S满足GBM方程
    d S = μ S d t + σ S d z dS=\mu Sdt+\sigma Sdz dS=μSdt+σSdz
    衍生证券价格 f f f依赖于标的资产价格 S S S和时间 t t t,由伊藤引理得到
    d f = ( ∂ f ∂ S μ S + ∂ f ∂ t + 1 2 ∂ 2 f ∂ S 2 ) d t + ( ∂ f ∂ S ) d z df=(\frac{\partial f}{\partial S}\mu S+\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial S^2})dt+(\frac{\partial f}{\partial S})dz df=(SfμS+tf+21S22f)dt+(Sf)dz
    联立离散形式的股价和衍生品的价格
    { Δ S = μ S Δ t + σ S Δ z Δ f = ( ∂ f ∂ S μ S + ∂ f ∂ t + 1 2 ∂ 2 f ∂ S 2 ) Δ t + ( ∂ f ∂ S ) Δ z \left\{ \begin{aligned} &\Delta S=\mu S\Delta t+\sigma S\Delta z\\ &\Delta f=(\frac{\partial f}{\partial S}\mu S+\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial S^2})\Delta t+(\frac{\partial f}{\partial S})\Delta z \end{aligned} \right. ΔS=μSΔt+σSΔzΔf=(SfμS+tf+21S22f)Δt+(Sf)Δz
    通过构造组合消除方程组中的波动项,构造1单位的衍生证券空头和 ∂ f ∂ S \frac{\partial f}{\partial S} Sf单位的股票多头,令 Π \Pi Π表示组合价值
    Π = − f + ∂ f ∂ S S \Pi=-f+\frac{\partial f}{\partial S}S Π=f+SfS
    Δ t \Delta t Δt时间的变化为
    Δ Π = − Δ f + ∂ f ∂ S Δ S Δ Π = ( − ∂ f ∂ t − 1 2 ∂ 2 f ∂ S 2 σ 2 S 2 ) Δ t \begin{aligned} &\Delta\Pi=-\Delta f+\frac{\partial f}{\partial S}\Delta S\\ &\Delta\Pi=(-\frac{\partial f}{\partial t}-\frac{1}{2}\frac{\partial^2f}{\partial S^2}\sigma^2S^2)\Delta t \end{aligned} ΔΠ=Δf+SfΔSΔΠ=(tf21S22fσ2S2)Δt
    根据价值取决于标的所承担的风险关系, Δ Π / Π = r Δ t \Delta\Pi/\Pi=r\Delta t ΔΠ/Π=rΔt
    ( ∂ f ∂ t + 1 2 ∂ 2 f ∂ S 2 σ 2 S 2 ) Δ t = r ( f − ∂ f ∂ S ) Δ t (\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2f}{\partial S^2}\sigma^2S^2)\Delta t=r(f-\frac{\partial f}{\partial S})\Delta t (tf+21S22fσ2S2)Δt=r(fSf)Δt
    移项得到
    ∂ f ∂ t + 1 2 ∂ 2 f ∂ S 2 σ 2 S 2 + r S ∂ f ∂ S = r f \frac{\partial f}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2f}{\partial S^2}\sigma^2S^2+rS\frac{\partial f}{\partial S}=rf tf+21S22fσ2S2+rSSf=rf

    边界条件

    对于欧式看涨期权,边界条件为
    c ( S , t ) = max ⁡ { S − K , 0 } , t = T c(S, t)=\max\{S-K, 0\}, t=T c(S,t)=max{SK,0},t=T
    S ( t ) = 0 S(t)=0 S(t)=0时,期权没有价值,边界条件为
    c ( 0 , t ) = 0 c(0, t)=0 c(0,t)=0
    S ( t ) → ∞ S(t)\to\infty S(t)时, c ( S , t ) → ∞ c(S, t)\to\infty c(S,t),期权的价值等于股票的价值
    c ( S , t ) ∼ S , S → ∞ c(S, t)\sim S, S\to \infty c(S,t)S,S

    BS期权定价公式

    综合BS模型和约束条件可以得到
    ∂ f ∂ t + r S ∂ f ∂ S + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 f ∂ S 2 = r f s . t . { c ( 0 , t ) = 0 S ( t ) = 0 c ( S , t ) ≈ S , S → ∞ c ( S , T ) = max ⁡ { S − K , 0 } , t = T \frac{\partial f}{\partial t}+rS\frac{\partial f}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2f}{\partial S^2}=rf\\ s.t.\begin{cases} c(0, t)=0\\ S(t)=0\\ c(S, t)\approx S, S\to \infty \\ c(S, T)=\max\{S-K, 0\}, t=T \end{cases} tf+rSSf+21σ2S2S22f=rfs.t.c(0,t)=0S(t)=0c(S,t)S,Sc(S,T)=max{SK,0},t=T
    解出欧式期权定价公式,在到期时刻为 T T T,行权价格为 K K K,标的资产价格 S S S服从几何布朗运动的欧式看涨期权价格为
    c = S N ( d 1 ) − K e − r ( T − t ) N ( d 2 ) d 1 = ln ⁡ ( S / K ) + ( r + σ 2 / 2 ) ( T − t ) σ T − t d 2 = ln ⁡ ( S / K ) + ( r − σ 2 / 2 ) ( T − t ) σ T − t \begin{aligned} &c=SN(d_1)-Ke^{-r(T-t)}N(d_2)\\ &d_1=\frac{\ln(S/K)+(r+\sigma^2/2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\\ &d_2=\frac{\ln(S/K)+(r-\sigma^2/2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} \end{aligned} c=SN(d1)Ker(Tt)N(d2)d1=σTt ln(S/K)+(r+σ2/2)(Tt)d2=σTt ln(S/K)+(rσ2/2)(Tt)
    根据平价关系可以推出欧式看跌期权的价格
    p = K e − r ( T − t ) N ( − d 2 ) − S N ( − d 1 ) p=Ke^{-r(T-t)}N(-d_2)-SN(-d_1) p=Ker(Tt)N(d2)SN(d1)

    案例

    N ( x ) N(x) N(x)是标准正态分布的累积分布函数,可以由以下公式近似计算
    N ( x ) = { 1 − n ( x ) ( a 1 k + a 2 k 2 + a 3 k 3 + a 4 k 4 + a 5 k 5 ) , x ≥ 0 1 − N ( − x ) n ( x ) = 1 2 π e − x 2 / 2 k = 1 1 + γ x γ = 0.2316419 a 1 = 0.319381530 a 2 = − 0.356563782 a 3 = 1.781477937 a 4 = − 1.821255978 a 5 = 1.330274429 N(x)= \begin{cases} 1-n(x)(a_1k+a_2k^2+a_3k^3+a_4k^4+a_5k^5), x\geq 0 \\ 1-N(-x)\\ n(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\\ k=\frac{1}{1+\gamma x}\\ \gamma=0.2316419\\ a_1=0.319381530\\ a_2=-0.356563782\\ a_3=1.781477937\\ a_4=-1.821255978\\ a_5=1.330274429 \end{cases} N(x)=1n(x)(a1k+a2k2+a3k3+a4k4+a5k5),x01N(x)n(x)=2π 1ex2/2k=1+γx1γ=0.2316419a1=0.319381530a2=0.356563782a3=1.781477937a4=1.821255978a5=1.330274429
    例 1:计算符合标准正态分布变量 x x x满足 x < 1 x<1 x<1的概率
    解析
    根据近似公式计算

    #include<iostream>
    #include<vector>
    #include<cmath>
    #include<cstring>
    #include<cassert>
    #include<iomanip>
    #include<random>
    #include<map>
    using namespace std;
    
    const double pi=3.1415926;
    
    double N(const double &x){
        if(x>6.0) return 1.0;
        if(x<-6.0) return 0.0;
        double b1=0.31938153;
        double b2=-0.356563782;
        double b3=1.781477937;
        double b4=-1.821255978;
        double b5=1.330274429;
        double p=0.2316419;
        double c=1.0/sqrt(2*pi);
        double a=fabs(x);
        double k=1.0/(1+a*p);
        double b=c*exp(-pow(x, 2)/2.0);
        double n=((((b5*k+b4)*k+b3)*k+b2)*k+b1)*k;
        n=1.0-b*n;
        if(x<0.0) n=1.0-n;
        return n;
    }
    
    int main(){
        cout<<"N(1)="<<fixed<<setprecision(4)<<N(1)<<endl;
    }
    

    python可使用scipy.stats.norm中的库函数计算

    from scipy.stats import norm
    print(norm.cdf(1)) # 计算累积概率密度
    print(norm.ppf(0.8413)) # 计算指定cdf的分位数
    

    例 2:假设标的资产价格为 50 50 50,行权价格为 50 50 50,无风险年利率是 10 % 10\% 10%,年波动率是 30 % 30\% 30%,权利期为6个月,求对应欧式看涨和欧式看跌期权价格.
    解析
    计算参数
    d 1 = ln ⁡ ( S / K ) + ( r + σ 2 / 2 ) ( T − t ) σ T − t = ( 0.1 + 0. 3 2 / 2 ) ∗ 0.5 0.3 ∗ 0.5 d 2 = ln ⁡ ( S / K ) + ( r − σ 2 / 2 ) ( T − t ) σ T − t = ( 0.1 − 0. 3 2 / 2 ) ∗ 0.5 0.3 ∗ 0.5 c = S N ( d 1 ) − K e r ( T − t ) N ( d 2 ) p = K e − r ( T − t ) N ( − d 2 ) − S N ( − d 1 ) \begin{aligned} &d_1=\frac{\ln(S/K)+(r+\sigma^2/2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}=\frac{(0.1+0.3^2/2)*0.5}{0.3*\sqrt{0.5}}\\ &d_2=\frac{\ln(S/K)+(r-\sigma^2/2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}=\frac{(0.1-0.3^2/2)*0.5}{0.3*\sqrt{0.5}}\\ &c=SN(d_1)-Ke^{r(T-t)}N(d_2) \\ &p=Ke^{-r(T-t)}N(-d_2)-SN(-d_1) \end{aligned} d1=σTt ln(S/K)+(r+σ2/2)(Tt)=0.30.5 (0.1+0.32/2)0.5d2=σTt ln(S/K)+(rσ2/2)(Tt)=0.30.5 (0.10.32/2)0.5c=SN(d1)Ker(Tt)N(d2)p=Ker(Tt)N(d2)SN(d1)

    #include<iostream>
    #include<vector>
    #include<cmath>
    #include<cstring>
    #include<cassert>
    #include<iomanip>
    #include<random>
    #include<map>
    using namespace std;
    
    const double pi=3.1415926;
    
    double N(const double &x){
        if(x>6.0) return 1.0;
        if(x<-6.0) return 0.0;
        double b1=0.31938153;
        double b2=-0.356563782;
        double b3=1.781477937;
        double b4=-1.821255978;
        double b5=1.330274429;
        double p=0.2316419;
        double c=1.0/sqrt(2*pi);
        double a=fabs(x);
        double k=1.0/(1+a*p);
        double b=c*exp(-pow(x, 2)/2.0);
        double n=((((b5*k+b4)*k+b3)*k+b2)*k+b1)*k;
        n=1.0-b*n;
        if(x<0.0) n=1.0-n;
        return n;
    }
    
    void option_price(const double &S, const double &K, const double &r, const double &sigma, const double &tm){
        double d1=(log(S/K)+(r+pow(sigma, 2)/2)*tm)/(sigma*sqrt(tm));
        double d2=d1-sigma*sqrt(tm);
        // call option price
        double c=S*N(d1)-K*exp(-r*tm)*N(d2);
        // put option price
        double p=K*exp(-r*tm)*N(-d2)-S*N(-d1);
        cout<<"call option price: "<<c<<endl;
        cout<<"put option price: "<<p<<endl;
    }
    
    
    int main(){
        option_price(50, 50, 0.1, 0.3, 0.5);
        return 0;
    }
    

    python计算期权价格

    from scipy.stats import norm
    from math import log
    
    def option_price(S, K, r, sigma, tm):
        d1=log(S/K)+(r+sigma**2/2)*tm/(sigma*sqrt(tm))
        d2=d1-sigma*sqrt(tm)
        c=S*norm.cdf(d1)-K*exp(-r*tm)*norm.cdf(d2)
        p=K*exp(-r*tm)*norm.cdf(-d2)-S*norm.cdf(-d1)
        print('call option price is {:.4f}'.format(c))
        print('put option price is {:.4f}'.format(p))
        
    option_price(50, 50, 0.1, 0.3, 0.5)
    

    参考资料

    black-scholes model solution

    展开全文
  • 假定动态风险资产价格... 在相同测度下,考虑到交易费用和红利支付,对经典Black-Scholes方程进行了修正,得到了不同条件下的欧式看涨期权的定价方程,使得期权定价公式更加符合市场实际,拓展了鞅方法的使用范围和意义。
  • 介绍了标准的 Black-Scholes期权定价,推导出欧式期权定价的一般微分方程及其解,给出了欧式看涨和看跌期权的定价公式以及平价关系,并对此加以分析和修改后,使之应用于欧式期权衍生证券的定价、套期保值以及标的资产...
  • 分数次black-scholes模型下美式期权定价的一种二次近似方法
  • 在 Haskell 中为欧洲期权定价的 Black-Scholes-Merton 模型的实施。 用 ghci :l BlackScholes.hs 对于看涨期权 blackScholes Option { optionType="call", stock=31.25, strike=22.75, riskFree=0.01, time=1, vol...
  • 研究了欧式看涨期权定价问题的差分方法,将Black-Scholes方程等价代换为标准抛物型偏微分方程,在时间方向上采用前、后差商,空间方向上采用五点差分格式,再引入参数θ建立一个稳定的混合差分格式.根据Von Neumann条件...
  • 2013年 6月 总第 515期 第 06期 经 济 论 坛 Economic Forum Jun.2013 Gcn.5l5 No.06 欧式期权定价模型的计算研究 文/吕喜明 韩 燕 【摘 要 】本文以Black-Scholes—Merton期权定价公式为研 究对象,利用MATLAB...
  • 讨论了具有任意Hurst参数的多维分数次Black-Scholes模型中欧式未定权益的定价。首先得到了未定权益在到期前任意时刻的分数次风险中性定价,然后求出了欧式未定权益在单资产多噪声、多资产单噪声、多资产多噪声等情形...
  • 基于MATLAB的Black-Scholes-Merton欧式期权定价模型的计算研究.pdf
  • 在期权定价的历史中,Black-Scholes模型是最重要的模型之一。 在本文中,主要关注的是以不同的方式针对欧式看涨期权的Black-Scholes模型(又名Black / Scholes / Merton)的数值解。 描述了模型,并使用了显式差分...
  • 在风险中性鞅测度下,分析了期权定价理论的数理逻辑。结合蒙特卡洛随机模拟的核心思想,运用方差减少技术改进模拟期权定价路径的方法,并与二叉树、有限差分等方法进行仿真比较。结果表明,改进后的蒙特卡洛方法在...
  • Black-Scholes-Merton期权定价模型Black-Scholes-Merton Option Pricing Model),布莱克-斯克尔斯期权定价模型在MATLAB软件中通过编写程序让其实现。
  • 故事版的 Black Scholes

    2021-08-20 00:25:14
    大名鼎鼎的 Black Scholes 期权公式来自 Black Scholes 偏微分方程 (PDE),该 PDE 有很多种推导方法,最常见的两种就是:一. 无风险组合法构建投资组合 Π...
  • 考虑Black-Scholes模型下美式看跌期权的定价问题.采用有限差分法和 Newton法耦合求解Black-Scholes方程,得到了期权价格和最佳实施边界的数值逼近结果.数值实验验证了算法的有效性.
  • 本文简化了Black-Scholes方程的求解过程,获得了欧式看涨期权的定价公式,有助于理解传统的期权定价原则.
  • 来自自述文件:期权希腊语和价格直接根据 Black-Scholes 定价模型实时计算。 尝试不同的输入,以图形和数字方式查看期权理论定价方式的变化!
  • Black-Scholes模型计算看涨期权价格: library(fOptions) GBSOption(TypeFlag = "c",S = 900,X = 950,r = 0.02,Time = 1/4,sigma = 0.22,b = 0.02) GBSOption(TypeFlag = "c",S = 900,X = 950,r...
  • Boost:演示了black-scholes option 定价内核实现功能C++实现代码 实现功能 演示了black-scholes option 定价内核 C++实现代码 #include <cstdlib> #include <iostream> #include <boost/compute/...
  • 显式差分求解Black-Scholes期权定价方程,黄惠娟,李银,本文介绍有限差分方法中的显式差分法,在已有研究基础上对Black-Scholes方程的求解进行了更为系统的分析,给出显式格式的稳定性条件�

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