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  • <p>r语言画二维正态分布概率密度曲线的代码是什么呀</p>
  • 首先,把二维正态分布密度函数的公式贴这里 这只图好大啊~~但是上面的那个是多维正态分布的密度函数的通式,那个n阶是对称正定方阵叫做协方差矩阵,其中的x,pi,u都是向量形式。虽然这个式子很酷,但是用在matlab里...

    首先,把二维正态分布密度函数的公式贴这里

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    这只图好大啊~~

    但是上面的那个是多维正态分布的密度函数的通式,那个n阶是对称正定方阵叫做协方差矩阵,其中的x,pi,u都是向量形式。虽然这个式子很酷,但是用在matlab里画图不太方面,下面换一个

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    这个公式与上面的等价,只不过把向量和矩阵展开,计算出来。我们可以用这个式子画图。

    因为二维函数的形式是:z=f(x,y)

    所以必须先选择一些点,然后计算出f(x,y)。这些点分布在一个平面上,而z则在三维空间。

    如何选择平面上的点阵?

    [x,y]=meshgrid(a,b)

    meshgrid就是这样一个生成点阵的函数,这个meshgrid理解起来有点绕,不过举个例子就马上能力明白了。下面是matlab里面的一段截图:

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    我们可以看到meshgrid生成了两个同样大小的矩阵,第一个矩阵是通过把第一个参数[1:3]顺着行的方向复制了4次,4是第二个参数的长度,同样第二个矩阵是第二个参数顺着列的方向复制了三次,3是第一个参数向量的长度。而这个点阵就是:

    (1,2)   (2,2)   (3,2)

    (1,3)   (2,3)   (3,3)

    ...

    看出什么意思了吧?就这个意思。

    至于这两个参数到底怎么选,这样根据你的正态分布的均值,尽量使点阵的中心与分布的均值靠近。

    好了,有了平面上的点,就来算这些点对应的函数值。往函数里套就行,下面是代码:

    最后一句mesh(x,y,Z) 是画图函数,画出的图行大概是下面这个样子:

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

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  • 文章目录一:一维正态分布二:二维正态分布/多维正态分布:各向同性正态分布 一:一维正态分布 二:二维正态分布/多维正态分布 :各向同性正态分布 各向同性的高斯分布(球形高斯分布)指的是各个方向方差...


    一:一维正态分布

    在这里插入图片描述


    二:二维正态分布/多维正态分布


    三:各向同性正态分布

    各向同性的高斯分布(球形高斯分布)指的是各个方向方差都一样的多维高斯分布,协方差为正实数与identity matrix(单位矩阵)相乘。
    在这里插入图片描述
    注:即方差都是一样的,均值不一样,方差的值可以单独用标量表示。


    参考链接:
    https://www.cnblogs.com/jiangkejie/p/12939776.html
    https://blog.csdn.net/robert_chen1988/article/details/92842869#comments_13760339

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  • matlab:画二维正态分布密度函数图

    万次阅读 2013-07-11 11:20:32
    首先,把二维正态分布密度函数的公式贴这里 这只图好大啊~~ 但是上面的那个是多维正态分布的密度函数的通式,那个n阶是对称正定方阵叫做协方差矩阵,其中的x,pi,u都是向量形式。虽然这个式子很酷,但是用...

    转载地址:http://www.cnblogs.com/nani/archive/2012/03/18/2404646.html

    首先,把二维正态分布密度函数的公式贴这里

    这只图好大啊~~

    但是上面的那个是多维正态分布的密度函数的通式,那个n阶是对称正定方阵叫做协方差矩阵,其中的x,pi,u都是向量形式。虽然这个式子很酷,但是用在matlab里画图不太方面,下面换一个

    这个公式与上面的等价,只不过把向量和矩阵展开,计算出来。我们可以用这个式子画图。

    因为二维函数的形式是:z=f(x,y)

    所以必须先选择一些点,然后计算出f(x,y)。这些点分布在一个平面上,而z则在三维空间。

    如何选择平面上的点阵?

    [x,y]=meshgrid(a,b)

    meshgrid就是这样一个生成点阵的函数,这个meshgrid理解起来有点绕,不过举个例子就马上能力明白了。下面是matlab里面的一段截图:

     

    我们可以看到meshgrid生成了两个同样大小的矩阵,第一个矩阵是通过把第一个参数[1:3]顺着行的方向复制了4次,4是第二个参数的长度,同样第二个矩阵是第二个参数顺着列的方向复制了三次,3是第一个参数向量的长度。而这个点阵就是:

    (1,2)   (2,2)   (3,2)

    (1,3)   (2,3)   (3,3)

    ...

    看出什么意思了吧?就这个意思。

    至于这两个参数到底怎么选,这样根据你的正态分布的均值,尽量使点阵的中心与分布的均值靠近。

    好了,有了平面上的点,就来算这些点对应的函数值。往函数里套就行,下面是代码:

    ?
    function Z = drawGaussian(u,v,x,y)
    %  u,vector,expactation;v,covariance matrix
    % x = 150 : 0.5 : 190 ;  
    % y = 35 : 110 ;      
    [X,Y] = meshgrid(x,y);
    DX = v( 1 , 1 );     % X的方差
    dx = sqrt(DX);
    DY = v( 2 , 2 );     % Y的方差
    dy = sqrt(DY);
    COV = v( 1 , 2 );     % X Y的协方差
    r = COV / (dx * dy);
    part1 = 1 / ( 2 * pi * dx * dy * sqrt( 1 - r^ 2 ));
    p1 = - 1 / ( 2 * ( 1 - r^ 2 ));
    px = (X - u( 1 )).^ 2. / DX;
    py = (Y - u( 2 )).^ 2. / DY;
    pxy = 2 * r. * (X - u( 1 )). * (Y - u( 2 )). / (dx * dy);
    Z = part1 * exp(p1 * (px - pxy + py));
    mesh(x,y,Z);

      最后一句mesh(x,y,Z) 是画图函数,画出的图行大概是下面这个样子:

     

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    efb0bd91594f57ae838c7c96948802c3.png

    最近利用碎片时间在读Allen B.Downey的《贝叶斯思维:统计建模的Python学习法》,顺便用手机上的Pythonista写实例。因为Pythonista没有scipy科学计算包,遇上需求标准正态累积分布函数的时候就只能抓瞎,为此决定自己写一个。累积分布函数(Cumulative Distribution Function,CDF)就是概率密度函数(Probability Density Function,PDF)的积分,利用原函数计算定积分的方法建立在牛顿-莱布尼兹公式之上

    。然而,原函数可以用初等函数表示的函数为数不多,大部分的可积函数的积分无法用初等函数表示,甚至无法有解析表达式,比如在统计学上很重要的正态分布函数
    就是这样一个无法用初等函数直接计算的函数。

    在知乎上查找一遍这个积分的计算方法,没找到理想的答案。所以决定写下来和大家一起学习一下。分别用数值积分法的复化辛普森公式和无穷级数的泰勒级数法求解这个积分,包括部分理论、算法和Python代码。

    定积分

    在几何上可以解释为由
    ,
    ,
    以及
    这四条边所围成的曲边梯形面积。如图1所示。而这个面积之所以难于计算是因为它有一条曲边

    ffa3db7dd34116d096fe4b901373a920.png
    图1:定积分原理

    一、数值积分是利用黎曼积分等数学定义,用数值逼近的方法近似计算给定的定积分值。

    1. 矩形公式:就是常见的黎曼和,矩形的高由函数值来决定,可选择使用左矩形、右矩形或中矩形。

    28a9bf5026113d2c21698aadfd08b850.png
    图2

    如图2所示,用矩形面积来拟合积分,公式为

    。通常将积分区间
    划分为
    个长度相等的子区间,每个子区间的长度称为步长
    ,对所有的子区间求和即得到整个区间
    上的积分公式,这种方法称为复化求积法。

    adab165bed5933a5114bf393cc502070.png
    图3:复化矩形

    复化矩形公式为

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    图4:当n逐渐增大时,此近似值也逐渐逼近真实积分值,但是逼近的速度较慢

    逐渐增大时,此近似值也逐渐逼近真实积分值,但是逼近的速度较慢。

    2. 梯形公式

    为了计算出更加准确的定积分,采用梯形代替矩形计算定积分近似值,其思想是求若干个梯形的面积之和,这些梯形的长短边由函数值来决定。这些梯形左上角和右上角在被积函数上。这样,这些梯形的面积之和就约等于定积分的近似值。

    3b3337a5dc7895368d46473c53ad9d99.png
    图5

    如图5所示,单个梯形的公式为

    eaab57bac405e8bbf2b587e52021014f.png
    图6:复化梯形

    区间

    等分之后,步长
    ,复化梯形公式为:

    ae700e848cc90fe93c8974d9fa6df87d.gif
    梯形公式的逼近速度比矩形公式快

    从图像上可以看出梯形公式的逼近速度比矩形公式快。

    3. 辛普森公式

    矩形法和梯形法都是用直线线段拟合函数曲线的方法,另一种形式是采用曲线段拟合函数,实现近似逼近的数值积分方法。辛普森法(Simpson's rule)是以二次曲线逼近的方式取代矩形或梯形积分公式,以求得定积分的数值近似解。

    f7f03c0fd4a84e2d5fb801445fc1deaf.png
    图8

    在区间

    的两个端点处和中点
    处各取函数的值,得到三个点,我们用过
    这三个点的的二次抛物线来拟合被积函数的曲线。我们可以用两种方法来确定过这三个点的抛物线,一种方法是把三个点的坐标依次代入抛物线
    ,这样就可得到3个关于未知系数
    的线性方程所组成的线性方程组,由线性代数的知识可以知道此方程组有唯一解。再计算抛物线
    的积分以近似替代原被积函数的积分。

    另一种方法是通过拉格朗日插值法,把三个点的坐标代入

    ,得到二次多项式
    ,再计算
    在区间
    的定积分。

    两种方法最终都可得出辛普森公式:

    具体推算过程请自行搜索(公式太难打,我懒)。

    图9:

    9b83dc166dd247af1f9e9a4c7f216822.png
    图9:复化辛普森

    将积分区间

    分做
    等分,步长
    ,半步长half_h=
    ,将
    个小区间的积分求和,得到复化辛普森公式:

    注意:端点

    的函数值的系数是1,下标为偶数的函数值的系数为2(图9中竖线为蓝色实线的点,不包括
    ),下标为奇数的函数值的系数为4(图9中竖线为虚线的点)。

    我们来看看辛普森公式的拟合速度。

    b811a1f4e932c2fcbd45a007c0582dcc.gif
    复化辛普森法的拟合速度比较快

    在实际求解数值积分时,我们总是采用成倍加密节点的方法,就复化辛普森公式而言,若划分为

    等分求得近似积分
    的精度不够,则接着计算划分为
    等分的
    ,又以
    的绝对值是否足够小为判别的标准。假如确定计算的精度为
    ,按需求依次计算
    ,如果
    ,则继续计算
    ,如
    ,则
    就是符合精度的值,否则继续计算
    。我们知道,在计算
    时有许多点的函数值在计算
    中已经算过,因此不必再次计算,只要计算新分点上的函数值就行了,计算工作量几乎节省一半。使用Python时,可以用一个字典(dict)来保存计算过的点和函数值对。下面是用复化辛普森公式计算定积分的Python代码。
    #-*- coding:utf-8 -*-
    

    二、利用泰勒级数求解标准正态概率密度函数的定积分

    把标准正态概率密度函数

    展开为泰勒级数:

    再对各项积分:

    我们知道标准正态分布函数

    是关于
    对称分布的,因此

    由以上两个公式可得出:

    因为上面的公式是一个无穷级数,计算时只能对前面有限项相加。选择越多,结果越准确。但数值精度并不要求无限高,可选取50项就足够,因而这里

    。代码如下:
    #定义泰勒级数求积分法
    

    下面是运行代码,分别用两种方法计算

    个标准差内的概率(-1到1)。
    def 

    计算结果如下:

    辛普森法计算结果

    由此可见两种方法计算结果近似,精确到了小数点后11位。

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三维正态分布概率密度