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    上一篇信号的定义 脉冲函数与阶跃函数 脉冲分解中提到了信号分解,本文继续整理正交函数集与信号在正交函数集上的分解

    正交函数集

    信号分解的物理意义

    • 自然界中存在着一些能够组成各种事物的基本单元,不同
      的事物可以由这些基本单元通过不同的配比构成
    • 线性代数中可类比的现象为“线性表出”
      A=b1B1+b2B2+…+bnBn,
      Bn被称为基元,bn被称为系数
    • 几何学中可类比的现象为“直角坐标系”

    正交集合

    • 正交集合定义:
      – 正交集合是由一系列元素组成的
      – 元素是彼此正交(垂直)的
    • 如何判断两元素彼此正交?
      – 如果元素为向量,且两向量点积为0,则两元素正交
      – 向量的点积/内积
    • 如果元素为函数,如何判断正交?

    函数点积

    • 向量点积:向量点积表现为对应数值相乘累加
      • A ⋅ B = A B T = ∑ i = 1 n a i b i A \cdot B = AB^T=\sum_{i=1}^na_ib_i AB=ABT=i=1naibi
    • 离散函数点积:可以把离散函数理解为向量
      • 离散函数 f 1 ( n ) , f 2 ( n ) , n ∈ [ n 1 , n 2 ] f_1(n),f_2(n),n \in [n_1,n_2] f1(n),f2(n),n[n1,n2],定义 f 1 f_1 f1 f 2 f_2 f2的点积为 f 1 ⋅ f 2 = ∑ n = n 1 n 2 f 1 ( n ) f 2 ( n ) f_1 \cdot f_2 = \sum_{n=n_1}^{n_2}f_1(n)f_2(n) f1f2=n=n1n2f1(n)f2(n)
    • 连续函数点积:离散情况下的累加对应连续情况就是一个时间段的积分
      • 连续实函数 f 1 ( t ) , f 2 ( t ) , t ∈ [ T 1 , T 2 ] f_1(t),f_2(t),t \in [T_1,T_2] f1(t),f2(t),t[T1,T2],定义 f 1 f_1 f1 f 2 f_2 f2的点积为 f 1 ⋅ f 2 = ∫ t = T 1 T 2 f 1 ( t ) f 2 ( t ) d t f_1 \cdot f_2 = \int_{t=T_1}^{T_2}f_1(t)f_2(t)dt f1f2=t=T1T2f1(t)f2(t)dt

    正交函数

    • f 1 ( t ) f_1(t) f1(t) f 2 ( t ) f_2(t) f2(t)为定义在 ( t 1 , t 2 ) (t1, t2) (t1,t2)区间上的两个实函数,若 ∫ t 1 t 2 f 1 ( t ) f 2 ( t ) d t = 0 \int_{t_1}^{t_2}f_1(t)f_2(t)dt=0 t1t2f1(t)f2(t)dt=0,则称函数 f 1 ( t ) f_1(t) f1(t) f 2 ( t ) f_2(t) f2(t)正交

    正交集定义

    • 设集合 S = { s 1 , s 2 , … , s n } , s i ( i = 1 , 2 , … , n ) S =\{s_1, s_2,…, s_n\}, s_i(i=1,2,…, n) S={s1,s2,,sn},si(i=1,2,,n)为集合S中的元素,可以是向量、函数等等
    • 在集合S上定义一种运算,称为“点积”,用符号“•”表示
    • 如果满足 s i ⋅ s j = 0 ( i ≠ j ) s_i \cdot s_j =0 (i\neq j) sisj=0(i=j) s i ⋅ s i ≠ 0 s_i \cdot s_i \neq 0 sisi=0,则称集合S为正交集
    • 如果还满足: s i ⋅ s i = 1 , i = 1 , 2 , … , n s_i \cdot s_i=1, i=1,2,…, n sisi=1,i=1,2,,n, 则称集合S为标准正交集

    正交函数集定义

    • 设函数集合 F = { f 1 ( t ) , f 2 ( t ) , . . . , f n ( t ) } F = \{f_1(t),f_2(t),...,f_n(t)\} F={f1(t),f2(t),...,fn(t)},如果满足
      ∫ T 1 T 2 f i ( t ) f j ( t ) d t = 0 ( i ≠ j ) \int_{T_1}^{T_2}f_i(t)f_j(t)dt=0(i \neq j) T1T2fi(t)fj(t)dt=0(i=j) ∫ T 1 T 2 f i ( t ) f i ( t ) d t = K i i = 1 , 2 , . . . , n \int_{T_1}^{T_2}f_i(t)f_i(t)dt=K_i \quad i=1,2,...,n T1T2fi(t)fi(t)dt=Kii=1,2,...,n
      则称集合 F 为正交函数集
    • • 如果 K i = 1 , i = 1 , 2 , . . . , n K_i = 1, i = 1,2,...,n Ki=1,i=1,2,...,n,则称 F 为标准正交函数集
    • 如果在上述正交函数集之外,找不到另外一个非零函数
      与该函数集中每一个函数都正交,则称该函数集为完备
      正交函数集

    正交函数集示例

    • 在实变函数域,常见的有三角正交函数集
    • 在复变函数域,常见的有复指数正交函数集
    • 后续可能会展开讲

    信号在正交函数集上的分解

    正交集上的分解

    • 一个函数 f f f(函数空间中的一点)可以由正交函数集 F = f 1 , f 2 , … , f n F={f_1 ,f_2 ,…,f_n} F=f1,f2,,fn中的元素线性表出
      f = a 1 ⋅ f 1 + a 2 ⋅ f 2 + … + a n ⋅ f n f = a_1·f_1 + a_2·f_2 +…+ a_n ·f_n f=a1f1+a2f2++anfn
    • 上述过程即为函数 f f f在正交函数集 F F F 上的分解
    • 如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确地线性表出,就称该正交集是完备的,否则称该正交集是不完备的.

    定理 设: { f i ( t ) } \{f_i(t) \} {fi(t)} ( t 1 , t 2 ) (t_1, t_2) (t1,t2) 区间上是关于某一类信号 f ( t ) f(t) f(t)的完备的正交函数集,则这一类信号中的任何一个信号 f ( t ) f(t) f(t) 都可以精确地表示为 { f i ( t ) } \{f_i(t) \} {fi(t)} 的线性组合.
    在这里插入图片描述

    不完备情况下,一般要以一定的准则来完成元素的近似分解;最常用的准则是均方误差准则
    在这里插入图片描述

    正交函数集上的分解

    在这里插入图片描述
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  • 该方法通过三角正交函数对状态变量和控制变量的逼近,进而对目标函数、不等式约束和终端约束进行逼近,最终将原最优控制问题转化为非线性规划问题进行迭代求解。仿真算例结果验证了该算法的有效性。
  • 举两个比较常见的完备正交函数集: 在区间[t0,t0+T]上,设w=2π/Tw=2\pi /Tw=2π/T。 1.下列函数在该区间是完备正交函数集: {1,cos⁡(nwt),sin⁡(nwt),n=1,2,⋯ }\{1,\cos(nwt),\sin(nwt),n=1,2,\cdots\}{1,cos...

    函数项级数

    μ n ( x ) , n = 0 , 1 , ⋯ \mu_n(x),n=0,1,\cdots μn(x),n=0,1, 为定义在某实数集合X上的函数序列,称:
    在这里插入图片描述
    为函数项级数。

    特殊地,我们若取每一项函数都是多项式,则称其为幂级数。例如:在这里插入图片描述

    完备正交函数集

    举两个比较常见的完备正交函数集:

    在区间 [ t 0 , t 0 + T ] [t_0,t_0+T] [t0,t0+T]上,设 w = 2 π / T w=2\pi /T w=2π/T

    1. 下列函数在该区间是完备正交函数集:

      { 1 , cos ⁡ ( n w t ) , sin ⁡ ( n w t ) , n = 1 , 2 , ⋯   } \{1,\cos(nwt),\sin(nwt),n=1,2,\cdots\} {1,cos(nwt),sin(nwt),n=1,2,}

    2. 下列函数在该区间也是完备正交函数集:
      { e j n w t , n = 0 , − 1 , + 1 , ⋯   } \{e^{jnwt},n=0,-1,+1,\cdots \} {ejnwt,n=0,1,+1,}

    一些补充:

    两个函数正交这个概念来源于线性空间中的欧式空间,其空间中的元素就是定义在这个区间上的所有连续函数,且对于其中的两个函数 f ( t ) , g ( t ) f(t),g(t) f(t),g(t),其内积定义为 ( f ( t ) , g ( t ) ) = ∫ t 0 t 0 + T f ( t ) g ( t ) d t (f(t),g(t))=\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)g(t) dt (f(t),g(t))=t0t0+Tf(t)g(t)dt,而两个函数正交即意味着这两个函数内积为0。

    可以验证,无论是1还是2,其任意两个不同元素内积都为0,相同则不为0,因而其是正交的。

    而这种函数线性空间,由于是无限维的,所以完备基中有无数个函数,正交化之后仍然是无数个。

    另外,由于第2个完备正交集的原因,我们可以把这个空间继续称作酉空间。而且,我们利用欧拉公式可以发现:2中的所有元素可以1这个基表示,同样1中的所有元素可以被2这个基表示,也就是说这两个基是等价的。

    所以我们只要证明第一个确实是完备的基,那么两个都是完备的基了。完备是因为现在已经有了无限个两两正交的函数了,已经是无限了,无限当然是能够线性组合并表达你想要的任何函数啦。

    傅里叶级数

    傅里叶级数就是先选取一个完备正交函数集 { ϕ k ( x ) ∣ k = 0 , 1 , ⋯   } \{\phi_k(x)|k=0,1,\cdots\} {ϕk(x)k=0,1,},然后线性组合,此时称为广义傅里叶级数。如下:

    ∑ k = 0 ∞ a k ϕ k ( t ) \sum_{k=0}^{\infty}a_k\phi_k(t) k=0akϕk(t)

    注意:
    1.上面k的取值有的地方是 [ 0 , ∞ ] [0,\infty] [0,],有的是 ( − ∞ , ∞ ) (-\infty,\infty) (,),甚至还有其他的,都无所谓,一般完备正交函数集都是无穷的,所以只要是无穷就行了。
    2.而我们平常所说的正宗傅里叶级数一般指完备正交函数集是上一节中的三角函数。

    所以,问题来了,我们找了一个完备正交函数集(除了第二节中列举的两个,其实还有Legendre多项式等等)之后,对于一个函数 f ( t ) f(t) f(t),如何将其进行上述的傅里叶展开呢?即如何确定下述等式的系数 a k a_k ak呢?

    f ( t ) = ∑ k = 0 ∞ a k ϕ k ( t ) f(t)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k\phi_k(t) f(t)=k=0akϕk(t)

    这里先要声明的是,上述等号不一定成立。因为级数是否收敛我们还不确定呢。

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  • 注:若基函数满足单位正交性且为实数,即(如,三角函数集满足此条件),那么可写作: (2)在(1)的条件下,根据此时均方误差为0,可得: 这就是帕塞瓦尔(Parseval)方程(等式)。它表明,在区间(t1,t2),...

    (1)任何一个信号f(t)都可以在区间(t1,t2)内精确地表示为这个完备正交函数集中各函数的线性组合,即:

    其中Ci为加权系数,Ci为:

    上式称为正交展开式,有时也称为广义傅里叶级数,Ci称为傅里叶系数。

    注:若基函数满足单位正交性且为实数,即(如,三角函数集满足此条件),那么可写作:

    (2)在(1)的条件下,根据此时均方误差为0,可得:

    这就是帕塞瓦尔(Parseval)方程(等式)。它表明,在区间(t1,t2),信号f(t)的能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量之和。
     

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  • 三角函数正交性理解与Matlab分析

    千次阅读 2019-10-26 10:50:45
    2.什么是三角函数正交信号三角函数正交信号:,其中。 当n=1 ,m=1时,信号里的信号称之为基频信号;其他信号称之为n次谐波(m次谐波)。 3.什么是三角函数正交性? 三角函数正交性是指...

    1.什么是正交性?

    “正交性”是从几何中借来的术语。如果两条直线相交成直角,他们就是正交的。在空间向量中,两个向量的标量积为零即两个向量正交。

    如果两个函数f_{1}(t),f_{2}(t)满足\int f_{1}(t)\times f_{2}(t) dt=0,则称这两个函数正交。

    2.什么是三角函数正交信号集?

    三角函数正交信号集:\left \{ cos2\pi nft ,sin2\pi mft\right \},其中n,m\subset N

    当n=1 , m=1时,信号集里的信号称之为基频信号;其他信号称之为n次谐波(m次谐波)。

    3.什么是三角函数正交性?

     三角函数正交性是指三角函数正交信号集里面的任意不同信号或者不同阶次的信号在基频信号周期内乘积的积分值为0;相同信号在基频信号周期内乘积的积分值不为0。这种特性利用在单边带信号调制,OFDM调制等。

    假设基频信号的周期为T,则正交信号集里面的信号正交性计算存在三种情况:

                                                                        1.  \int_{T}^{0}cos2\pi nf_{0}sin2\pi m f_{0}dt

                                                                         2. \int_{T}^{0}cos2\pi nf_{0}cos2\pi m f_{0}dt

                                                                         3. \int_{T}^{0}sin2\pi nf_{0}sin2\pi m f_{0}dt

    由三角函数的积化和差公式可以将上面三个公式推导出如下结果:

                           1. \int_{T}^{0}cos2\pi nf_{0}sin2\pi m f_{0}dt=\int_{T}^{0}\left \{ \frac{1}{2}\left [ sin2\left (n-m \right )\pi f_{0} +sin2\left (n+m \right )\pi f_{0} \right ] \right \}dt,由公式可知不论n,m取何值积分结果都是0;

                           2. \int_{T}^{0}cos2\pi nf_{0}cos2\pi m f_{0}dt=\int_{T}^{0}\left \{ \frac{1}{2}\left [ cos2\left (n-m \right )\pi f_{0} +cos2\left (n+m \right )\pi f_{0} \right ] \right \}dt,由公式可知n=m时,积分结果是T/2;当n≠m是,在T时间内积分结果都是0;

                           3. \int_{T}^{0}sin2\pi nf_{0}sin2\pi m f_{0}dt=\int_{T}^{0}\left \{ \frac{1}{2}\left [ cos2\left (n-m \right )\pi f_{0} - cos2\left (n+m \right )\pi f_{0} \right ] \right \}dt,由公式可知n=m时,积分结果是T/2;当n≠m是,在T时间内积分结果都是0;

    4.Matlab分析三角函数正交性

    针对上面的三种情况分别进行仿真,仿真代码如下:

    clear all
    close all 
    clc
    % Orthogonal of trig function
    f = 1000;%the base frequence
    fs = 1e6;%the sampling frequence
    % Generate the signals
    Td = 1000;%time of duration
    for k = 1:Td  % f = 1000,T = 1/f = 1000/fs
        Real_Signal_1(k,1) = cos(2*pi*f*k/fs);% the 1st degree cos frequence
        Real_Signal_2(k,1) = cos(2*pi*2*f*k/fs);% the 2st degree cos frequence
        Real_Signal_3(k,1) = cos(2*pi*3*f*k/fs);% the 3st degree cos frequence
        Imag_Signal_1(k,1) = sin(2*pi*f*k/fs);% the 1st degree sin frequence
        Imag_Signal_2(k,1) = sin(2*pi*2*f*k/fs);% the 2nd degree sin frequence
        Imag_Signal_3(k,1) = sin(2*pi*3*f*k/fs);% the 3rd degree sin frequence
    end
    % Integral cos*sin in T
    % Integral cos*cos in T
    % Integral sin*sin in T
    % The integral results
    Int_Result0 = sum(Real_Signal_1.*Imag_Signal_1);
    Int_Result1 = sum(Real_Signal_1.*Imag_Signal_2);
    Int_Result2 = sum(Real_Signal_1.*Imag_Signal_3);
    Int_Result3 = sum(Real_Signal_1.*Real_Signal_1);
    Int_Result4 = sum(Real_Signal_1.*Real_Signal_2);
    Int_Result5 = sum(Real_Signal_1.*Real_Signal_3);
    Int_Result6 = sum(Imag_Signal_1.*Imag_Signal_1);
    Int_Result7 = sum(Imag_Signal_1.*Imag_Signal_2);
    Int_Result8 = sum(Imag_Signal_1.*Imag_Signal_3);
    % Plot 
    t = 1/1000:1/1000:1;
    figure 
    plot(t,Real_Signal_1,'LineWidth',3,'color','k');
    hold on
    plot(t,Real_Signal_2,'LineWidth',1.5,'LineStyle','--');
    plot(t,Real_Signal_3,'LineWidth',1.5,'color','b');
    hold off
    fprintf('n = 1,m = 1;积分结果 = %d\n',Int_Result3);
    fprintf('n = 1,m = 2;积分结果 = %d\n',Int_Result4);
    fprintf('n = 1,m = 3;积分结果 = %d\n',Int_Result5);

    1.仿真结果:

    2.仿真结果:

    3.仿真结果:

    5.总结

    对三角函数正交性进行了分析,并用Matlab对正交性进行了仿真,仿真结果和理论结果一致。

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    千次阅读 2019-11-12 21:25:22
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  • 三角函数正交性的推导

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  • 单讲付氏级数中的三角函数正交性问题,为想了解这部分的人提供,无用者请勿下载
  • 三角函数三角函数正交

    万次阅读 2017-02-27 14:27:14
    转自https://wenku.baidu.com/view/0c4797613968011ca30091cf.html
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  • 三角函数系的正交

    2021-03-26 15:29:01
    参考资料: https://zhuanlan.zhihu.com/p/341796771 https://www.bilibili.com/video/BV1Et411R78v
  • 三角函数正交性 废话不多说,直接上公式: ∫−ππ(sin⁡nx)(sin⁡mx) dx=0,其中 n≠m,n,m=0,1,2,⋯∫−ππ(sin⁡nx)(cos⁡mx) dx=0,其中 n≠m,n,m=0,1,2,⋯∫−ππ(cos⁡nx)(cos⁡mx)...
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  • 争取从零开始 一遍搞懂。 本章:【由于字数限制开新文章继续】复指数信号、傅里叶级数的系数推导、三角函数正交性、离散傅里叶变换、相位补偿、z变换表、逆变换表、常见序列及其作用

空空如也

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