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  • (本人为本文原作者,转载请标明出处)第一节 三角函数正交性推导三角函数标准形式为公式2.1所示 在物理意义上这个函数又称之为正弦信号(正弦波),其中的t为时间变量,A为波幅, 为角速度, 为相位,我们可以通过公式2.2...

    (本人为本文原作者,转载请标明出处)

    第一节 三角函数正交性推导

    三角函数标准形式为公式2.1所示

    在物理意义上这个函数又称之为正弦信号(正弦波),其中的t为时间变量,A为波幅,

    为角速度,
    为相位,我们可以通过公式2.2求得这个正弦波的频率。

    并由式2.2可知,角速度和正弦波的频率是正相关的。

    同时,因为三角函数是周期函数,其在-π到π的积分必定为0,由此性质可写出式2.3,2.4

    设某三角函数为

    在式2.5两边同时乘以

    同时,对两边在-π到π内进行积分,得出

    由三角函数的积化和差公式,上式可变形为

    依据上述推导方法我们可以继续推导出下列公式:

    因为三角函数在-π到π内的积分为0,因此当

    时,式2.7、2.8、2.9的结果必定为0,因此可以得出以下结论,频率不同的三角函数相乘在一个周期内(-π到π)的积分必定为0。

    第二节 傅里叶级数推导

    法国数学家傅里叶在提出傅里叶级数时认为,任何一个周期信号都可以展开成傅里叶级数,之后这个结论被进一步补充,只有在满足狄利克雷条件时,周期信号才能够被展开成傅里叶级数。

    其中,狄利克雷条件的定义如下:

    1. 在一周期内,连续或只有有限个第一类间断点。
    2. 在一周期内,极大值和极小值的数目应是有限个。
    3. 在一周期内,信号是绝对可积的。

    现假设一函数

    由一个直流分量和若干余弦函数组成,如式2.10所示

    利用三角函数的和差化积公式,上式可以进一步变形为

    为:

    那么,式2.11可写作

    式2.14实际上即是傅里叶级数的展开式,从上式可知,若要将一个周期信号展开为傅里叶级数形式,实现上就是确定级数

    ,那么就下来我们讨论的就是如何求出

    在式2.14的两边同时乘以一个

    并对它们在一个周期内进行积分,那么就有

    根据第一节的推论,频率不同的三角函数相乘在一个周期内的积分必定为0,因此,仅有k=n时不为0,那么其中

    结果为0,
    结果也必定为0,因此上式可以进一步化简为

    因此,得出

    依照上诉方法,同样可以计算出

    同时,通过以下公式可以得知傅里叶级数与波幅相位之间的关系

    第三节 复变函数到傅里叶级数

    常用复数函数表达式:

    其中公式中e是自然对数的底,i是虚数单位。

    该函数将复数、指数函数与三角函数相互联系起来。如果定义一个复平面,其中以横坐标方向作为实数方向,纵坐标方向作为虚数方向,复变函数实际上是一个绕原点旋转的一个圆,如图2.3.1:

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    图2-3-1 复平面坐标系

    由公式

    可知,该复变函数可以看做是一个角速度为

    周期为T在复平面上绕原点旋转的半径为1的圆。将公式代回到复变函数中,那么,复变函数可以写成公式2.22的形式

    设一组三角函数,其频率是

    的n倍,其中n是大于0的正整数,那么可以定义这一组三角函数为:

    将公式2.23与2.24代回到式2.14中,可得到如下公式

    进一步化简可以得到:

    因为

    因此,上式可变为

    上式就写成了

    式3.31就是复数形式的傅里叶级数,其中,

    是一个复数,在式3.31的两边同时乘以一个
    ,并对它们在一个周期内进行积分,得到式子3.32

    由第一节的正交性推论可知,当n与k不相等时,积分结果必定为0,仅当

    时,右表达式有值,因此,推导出3.33

    即得出复数

    的求法

    通过求

    的模(式2.19),可求得该频率波的幅值的一半

    而通过对其虚部与实部反正切,就可以求得该频率波的相位。

    第四节 周期离散时间傅里叶变换

    傅里叶级数适用于周期时间连续且无限长度的信号处理。但是我们需要对待处理信号进行采样,并且信号常常并非是周期的,同时采样时间也不可能是无穷长,这就意味着我们需要一个能够处理非周期离散时间信号的变换公式。

    现假设我们对周期连续信号等间距采样,同时保证采样的结果也是周期性的,设离散时间的采样样本为

    ,其周期为T,那么,其应该频率是
    ,同时因为其周期性,其应该满足式3.35

    其中,n、k是一个整数,设

    表示任意连续的T个采样点,即一个周期内的所有样本点,那么根据式3.31,周期离散傅里叶级数可以写成3.36这种形式

    其中

    就是周期离散傅里叶级数的系数,根据第三节的推导方式,在式子的两边同时乘以
    得到式子3.37

    然后再同时对两边进行T项上求和,得到3.38

    上式同样满足当n不等于k时,周期的累加和为0,因此,上式可变为

    因此,可得到

    第五节 非周期离散时间傅里叶变换

    假设一个离散时间信号,其只在区间[1,3]上有值,其它范围都是0,那么,我们就可以把它当做一个周期无穷大的信号,那么,我们就可以套用公式3.39,取得其傅里叶级数公式3.40

    因为在其它区间内的都是0,因此上式又可以写成

    如果将区间拓展到某一信号有连续的N个值,那么就得出一个更加通用的公式

    根据式那么就有

    将3.44代回式子3.36得到

    因为

    ,因此上式又可以写为

    随着周期趋近于无穷大,

    趋近于无穷小,那么,上式就从累加变成了积分,且因为
    的周期为2π,且其仅在周期内有值,于是,上式也随之变为了

    第六节 非周期有限长度离散时间傅里叶变换

    依据之前章节的推断,傅里叶变换仅能支持周期离散时间的信号样本,要得到周期样本,可以对有限长度的信号样本进行补值:

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    图3-6-1 离散时间信号示范

    如图3-6-1是一个仅有3个样本的离散时间信号(其中横轴为时间轴),在该信号的其它时间区间,可以假设对取信号进行补值,从而得到一个周期性离散时间信号如图3-6-2是一个对图3-6-1进行补值后的信号,该信号可以使用第四节的变换公式。

    05c386abcca83bb24e348b02778e4ccc.png
    图3-6-1 循环补值后的信号

    根据第二章第四节的公式3.39及3.36

    如果将有限长的信号推广到无限长的信号,先假设信号的样本点数为T个,那么,信号x[t]的t取值范围就可以定义在[0,T-1],因此,将范围限定于[0,T-1],式3.36可以写成:

    因为

    因此上式可以写成

    同理,式3.39可以写成

    依据上式可知,变换的结果也是一个离散的复信号,其范围同样被限定在[0,T-1],在实际的使用中,常常用大写的X[n]来表示变换后的复信号的T倍(即求其频率密度),即

    那么,3.47就可以写成

    3.49可以写成

    至此,所有推导完成结束.

    *注意,离散福利叶变换的幅度计算和相位计算与傅里叶级数的余弦展开有所不同

    依据欧拉公式

    其实部对应cos虚部对应sin,与傅里叶级数的余弦展开(参考式2.14)+变-号,那么求其相位应该是:

    同时,依据式3.5,其幅度是

    离散有限长傅里叶变换应该是最常用到的傅里叶变换式,特此说明以免有部分读者对此有所困惑.

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  • 作者:[遇见数学翻译小组核心成员] 龙啸或饭团, 严云飞,亚丽让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶男爵(1768 - 1830)给我们留下了上面这句意味深长的名言,以此强烈提醒我们要不断地把与自然的联系作为知识的灵感来源。...
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    作者:[遇见数学翻译小组核心成员] 龙啸或饭团, 严云飞,亚丽

    让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶男爵(1768 - 1830)给我们留下了上面这句意味深长的名言,以此强烈提醒我们要不断地把与自然的联系作为知识的灵感来源。这句话再恰当不过了,因为无论是从字面上的还是象征意义来看,傅里叶本人最大的贡献——傅里叶级数,都源于他对自然的深入研究。

    本文所要讲述就是他在数学史上的主要贡献,这来自于对一个自然问题的解答:一块金属板上温度如何随着时间的流逝而变化? 对板子上的任何一点来说,其温度究竟具体是怎样改变的?

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    想要解开这个问题最后的答案却要回归到我们最初理解世界的一种长期传统:通过用与圆相关的项来描述周围的世界。

    自古以来,圆形作为人类所能理解的抽象形状,再简单基础不过。一个圆心和一条固定长度的半径就能确定它--圆周上的每一点都与圆心完全等距。理解傅里叶级数(和由此的傅里叶变换,以及离散傅里叶变换)的关键是我们人类一个古老的欲望,即想用与圆有关的项来表示一切。这篇文章的其余部分围绕着这个妙不可言的联系,傅里叶观察的核心就源于下面这个优雅而又引人入胜的认识:从一个圆简单地旋转中就可以创造出正弦和余弦的三角函数。

    导言

    正如刚刚提到“古老”一词所暗示的那样,傅里叶远非第一个意识到这一点的人。 然而,他是第一个聪明地注意到,无论是正弦还是余弦这样简单的波,都可以通过加起来,从而来完美地复制任何类型的周期函数。更重要的是,这个级数之所以以他的名字命名,是因为他推导出了一种巧妙的方法,对他的发现结果进行了逆向分析操作:傅里叶级数的建立和所需的傅里叶分析是揭示所有收敛于目标函数的正弦和余弦波所必需的过程。具体来说,这一逆分析包含推导出各独立圆周旋转运动的系数(圆的半径)和频率(“旋转速度”),以及用这些圆形运动叠加来模拟任何一般周期函数。

    傅里叶级数是与泰勒级数等价的圆和波。假设你不熟悉这一点,傅里叶级数只是一个长而令人畏惧的函数,它能将任何周期函数分解成一个个简单的正弦和余弦波。这似乎是一个令人困惑的概念,但几乎任何函数都可以表示为由旋转的圆周运动产生的一系列正弦和余弦波。为了让您了解这种新观念有多普遍,请查看下面的动图示例,仅仅使用一系列叠加的圆周运动,我们就能成功勾勒出一只展翅小鸟的图案:

    f75da76f1a861c9fe2693997ecf7a6fe.gif

    每个旋转的圆都转化为一个简单的正弦或余弦波

    傅里叶级数的更深含义,在于可以通过傅里叶变换应用于更为一般的非周期函数,长期以来这一直是数学物理、工程和信号处理的主要分析方法之一。傅里叶级数是所有数字信号处理的关键基础 -- 花一点时间就可以意识到其广泛性。傅里叶的工作引发了更宽广的基础和应用研究,一直发展至今。正如我们将在下文看到的,虽然傅里叶级数最初只用于描述自然界存在的各种波运动中的周期函数,例如光波和声波,但它的理论推广到了更广的场景,例如小波分析和局部三角分析的最新理论所依据的时频分析。

    热方程之后的研究

    1828 年,傅里叶男爵第一次提出了一种观点,即任何周期函数都可以用一系列正弦和余弦波来表示;发表在他的论文《Theorie Analytique de la Chaleur》 上,该论文大致翻译为《热的分析理论》,傅里叶的工作是对特定的热方程得出答案的结果。《Panda the Red》优美地讲述了这段特殊的旅程,因此,我们主要来看傅里叶热方程之后的发现。

    简而言之,从热方程出发,傅里叶将他的发现发展为傅里叶级数;从那时起,傅里叶级数的重要性才有所提高 (尽管这种重要性很大程度上来源于傅里叶变换),特别是在数字时代。从建立如布朗运动等物理学基础,到布莱克-斯科尔斯方程等金融基础,再到数字处理等电气工程基础,傅里叶的工作在理论和实际应用中都得到了长足的发展。

    然而,由于受篇幅限制,我们在这里主要讨论的是傅里叶级数。尽管不经意间提到傅里叶级数只适用于周期函数,但实际情况却有点微妙。

    狄利克雷条件(Dirichlet Conditions)

    首先,必须指出,与傅里叶变换不同,傅里叶级数不能应用于一般函数--它们只能收敛于周期函数。然而,这不是全部,为了保证简单的正弦和余弦波的收敛,必须满足三个具体的条件,称为 Dirichlet 条件。对于周期长度为2L的周期函数 f(x),三个条件都必须满足:

    1. 在周期 2L 内,函数 f(x) 连续或只有有限个第一类间断点;
    2. 在周期 2L 内,函数 f(x) 的极大值和极小值的数目应是有限个;
    3. 在周期 2L 内,函数 f(x) 是绝对可积的。

    上面的三个准则主要是问:“函数 f(x) 是有界变化吗?”如果 f(x) 在某些长度 2L 上是周期性的,检查上面所列的每个条件,那么傅里叶级数保证余弦和正弦波的一些混合可以用来替换函数 f(x)。 接下来,我们将深入研究傅里叶级数本身,从一个非常粗略的概述开始,直到计算出精确的傅里叶级数。

    傅立叶级数

    无穷级数要么趋于无穷,要么收敛于一个数,就像无穷级数的表达式(多项式或三角)要么趋于无穷,要么收敛到一个函数(或形状)。相反地,如果我们给定一个形状,我们可以通过创建一个无穷级数的变化的正弦和余弦波来近似它的函数。

    傅里叶级数是一个简单的函数,它是通过波和常数的字面求和来描述和求出的。

    公式概述

    我们先从傅里叶级数更一般的概述开始。下面,下面等式左边 是我们试图通过傅里叶级数(方程右边)近似的目标函数:

    58ee7eb08be27f790e9f4a8b6549789a.png

    “傅里叶分析”只是逆向分析的具体过程,或者是说我们有意从头开始构造一个周期函数,目标是求解其中的系数 , 及 。 傅里叶级数最常见的符号如上所示。在我们深入研究系数之前,让我们通过解释这两个不同的部分来重新定义上面的内容。

    f(x) = Avg. Function Value + Sine/Cosine Waves Series

    傅立叶级数的第一部分,包含系数 a0 的第一部分除式就是函数的平均值;更具体地说,它代表了 -L 或 L 之间的净面积,除以 2L(函数的周期)。

    方程的第二部分,用 ∑ 级数符号标记,表示不同余弦和正弦波的求和,它们应该收敛到目标函数;正如人们所知道的,这两个三角函数在级数中都取到 n 次。对于这个方程的后半部分,挑战是求解 an 和 bn。

    傅里叶分析

    当深入傅里叶分析的时候,我们开始求解目标系数(a0, an 及 bn),有好消息也有坏消息。好消息是:有一个标准的模式可以导出所有三个系数,甚至还有一些捷径可以帮助求解,我们将在稍后介绍。坏消息是:对于 a0, an 及 bn 的求解尽管显得直截了当,但远不简单。所有三个系数都通过以下积分求解:

    14e72f1f0f782459072dc0b09105008b.png

    注:给定的三个系数都假定一个 2π 的周期

    「求解 a0 - 平均值」

    左边的第一项, a0 有时被称为“平均值”系数,正是因为这个原因-它只是我们要替代的函数在固定周期内的积分。

    「求解 an - 余弦波的求和」

    在我们的级数中,an 是余弦波的主导系数;我们的目标是算出这个系数在级数中的不同值。

    「求解 bn - 正弦波的求和」

    相反,bn 是级数中正弦波的主导系数;我们的目标是再次计算这个系数在级数中的不同值。

    an 或 bn 本质上是它们各自波的变化“权重”,它们为我们提供了一个近似,即对于任何给定的级数,怎样通过合理的波的“混合”来达到最佳近似。

    捷径-偶函数和奇函数

    值得庆幸的是,大多数傅里叶级数的复杂度在起初都大大降低了;通过分析目标函数 f(x) 的对称性,无论函数是偶函数还是奇函数,我们通常至少可以一个系数排除出来。让我们回顾一下,一个函数的奇偶性,是相对于它在原点或 y 轴上的对称性而言的:

    • 如果 f(-x)=f(x) ,则 f(x) 是偶函数;
    • 如果 f(-x)=-f(x) , 则 f(x) 是奇函数。

    巧用函数奇偶性将极大地简化求解过程。捷径的关键是在开始傅里叶分析之前,首先检查 f(x),即我们近似的函数或形状,是否是奇函数或偶函数,还是两者都不是。

    如果一个函数是奇函数或偶函数,我们就很幸运了。回忆一下基本的微积分知识,不难发现,在某个固定的周期内对两个三角函数中的任何一个积分时会发生什么:

    • 从 -L 到 L 的 cos(x) 的积分为 0;
    • 从 -L 到 L 的 sin(x) 的积分也是 0。

    基于以上两组事实,现在我们就清楚利用函数的对称性如何大大降低了傅里叶分析的复杂性;基本上,在大多数情况下,我们会遇到傅里叶系数 a0, an 或者 bn 在积分后变为零的情形。利用奇、偶函数的性质,在不进行具体积分运算的情况下就能够预测系数为 0,这实际上是一条强大的捷径。让我们进一步仔细考察这两种情况。

    偶函数:半程傅立叶余弦级数

    对于 x 的所有值,有 f(-x)=f(x);因此,偶函数的图总是关于 y 轴对称的(也称为它是镜像对称的)。 例如,看看下面函数的图,f(x)=cos(x):

    657167202e08d0b7e87f7a33f60cab31.png

    f(x)=cos(πx)

    显然,上面是关于 y 轴对称的。如果一个函数是偶函数,那么对于 bn,不论 bn 的第 n 项是什么,求解的积分部分都等于零。因此,我们可以安全地消掉原来级数的 bn 部分,留下一个偶函数的截断傅里叶级数,称为半程傅立叶余弦级数,它看起来如下:

    fbea5989e22e02f3654d5358ac42ea93.png

    偶函数在其傅里叶展开中只有余弦项:理解这一点的关键是每个傅里叶级数的设置都是从正弦和余弦函数开始。

    「奇函数:半程傅立叶正弦级数」

    对于 x 的所有值,如果 f(-x)=-f(x),则函数 f(x) 被认为是奇函数;因此,奇函数的图像总是关于原点对称的。例如,看看下面函数的图像,f(x)=sin(πx):

    33971a50886e9e961db496c7a25414f4.png

    这有点难讲,但是上面是关于原点对称的。如果一个函数是奇函数,那么包括 an 的级数项的积分,无论是 an 的第 n 项是什么,都等于零。因此,我们可以安全地消掉原来级数的 an 部分,只留下奇函数的截断傅里叶级数,称为半程傅里叶正弦级数。然而,这还没完,奇函数还包括额外的信息,能帮助我们消掉一个额外的项:a0。想一想,如果一个函数在原点上是对称的,那么这意味着 x 轴以上的面积等于 x 轴以下的面积;这意味着函数的平均值,即我们的 a0 项,也等于零。因此,对于半程傅里叶正弦级数,我们可以安全地消掉 a0 项和余弦项,如:

    3a9907b12586bdf3b8f7461412d1a65e.png

    这样最初的几项现在都被去除了,一个奇函数的傅里叶展开中只有正弦项;显然,这比我们开始要求的傅里叶级数要简单的多。

    实例

    现在我们来看一个实际的傅里叶级数的例子。 对于这个例子,我们要复制一个方波,它从-1 的波谷振荡到 1 的波峰,周期为 2π;我们将分析从 -π 到 π 的函数图像。这采取了以下形式(图片在左边/下面)。

    53902d92911d1840ac04b9984239cc2b.png

    建立傅里叶级数的第一步不是直接进入这个原始步骤,而是检查目标函数是否具有对称性;看这张图,很明显,它确实是围绕原点对称的。因此,我们使用的函数是奇函数。这一微小的分析大大降低了复杂性和完成我们的傅里叶级数所需的步骤。因为我们知道它是一个奇函数,这意味着我们可以把它看作是一个半程傅里叶正弦级数(如上所述)。通过这个例子,我们开始了我们的实际旅程,基本上是简单的步骤:

    dcaaf98f6b6080b08d60f6e558fcc1bc.png

    记住我们的目标是求出 bn。

    从左到右,f(t) 是我们用傅里叶级数近似的函数。可以看出,我们已经消除了 a0 和 an 项,只剩下一系列的正弦波需要处理,还有余下这个系数 bn 项需要求出。

    这是第一次需要认真思考的地方:右边的 f(t) 只是我们要近似的形状/函数的值。在这个特殊的例子中,如上图所示,函数 f(t) 的值是分段的:从 -π 到 0,f(t)=-1;从 0 到 π,f(t)=1。 因此,如果我们将 bn 拆分为两个不同的积分,(-π, 0)到(0,π),我们可以简单地用 -1 或 1 替换 .

    8506af9bcea2a7d2011eb41c2fcc9e3f.png

    接下来,我们尝试代入 n 一些值来分析上式的模式,这些模式将暗示系数 bn 的收敛性。我们先从写出 n=1 开始:

    483e678547850bc077ef6f1dc8ec79ca.png

    上面的计算可以借助任何一款计算机软件或者 WolframAlpha 中进行复查。

    197db21f1426bd2cfcb2116fa6ca229f.png

    它告诉我们,对于 的第一个值,我们的系数 收敛到 4/π。我们现在将对 的四个附加值重复这个过程,希望能发现一个模式:

    7d961386b0fe373b811976b36235a3f2.png

    是否有一个清晰的模式?是的。请用 WolframAlpha 或其他的高级计算器再次检查这些分段积分。从上面可以看出,值得注意的是, 的所有偶数值都收敛到零,而 的所有奇数值收敛到 4/(nπ)。

    解出 后,我们现在可以将系数带回到我们上面设置的半程傅立叶正弦级数中。现在让我们写下级数的前几项:

    3bf64c512ce27ee2d16c8a3208985f38.png

    看起来这有点复杂,然而,它已经非常准确能描述出:右边的傅里叶级数确实收敛到我们的目标方波。我们可以通过动画展示来进一步证实这种收敛是如何随着时间的推移发生的:

    fed8c1e50902e7c47216886f197c43d6.png

    随着我们的傅里叶级数已经被正确地解决,让我们花一点时间来直观地确认我们解出来的是什么。下面的动画准确地显示了上面的每一项是如何与一个具有特定半径和频率的圆相对应的。在总和中,它画出了我们预期的方形图:

    35ea7b2dcb6ae4a50dab1f4802f5785e.gif

    每个圆都有不同的半径和频率。在上面的 GIF 的第三列中可以观察到,通过在前一个圆的半径的末尾附加每个圆,我们的波逐渐接近一个方波。最后检查一下,当我们接近无穷时,我们将把该级数覆盖在最开始的方波图形上:

    97d9e066aff20402ad6586b9b52c29c6.gif

    在傅里叶变换上

    傅里叶级数是将周期函数表示为简单正弦和余弦波的无穷和的一种方法。从信号处理到近似理论再到偏微分方程,傅里叶级数与物理现象的联系是多么复杂,怎么说都不为过,任何具有可识别模式的东西都可以用变化的正弦和余弦波来描述。

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    约瑟夫·傅里叶,1768年3月21日-1830年5月16日

    然而...这并不是故事的结尾。几十年后的今天,我们的傅里叶级数的范围与它的继承者傅里叶变换相比是非常有限的。傅里叶级数用于表示一个离散和周期函数,而傅里叶变换用于表示一般的非周期函数。傅里叶变换本质上是函数的傅里叶级数在周期接近无穷大的极限。它也是所有基于数字技术的核心,对于那些好奇的想要了解我们日常物品本质的人来说,这是我们旅程的下一站。(完)

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  • 3.连续信号的傅里叶变换波形绘制

    千次阅读 多人点赞 2020-06-22 11:50:18
    3.连续信号的傅里叶变换波形绘制 文章目录3.连续信号的傅里叶变换波形绘制一、实验目的1.1、 实现连续周期信号的傅里叶级数求解编程算法。1.2、 实现连续信号的傅里叶变换求解编程算法。1.3、 理解Matlab或...

    3.连续信号的傅里叶变换及波形绘制

    一、实验目的

    1.1、 实现连续周期信号的傅里叶级数求解编程算法。

    1.2、 实现连续信号的傅里叶变换求解编程算法。

    1.3、 理解Matlab或Python代码的具体意义并熟练使用。

    二、实验内容

    2.1、 连续周期信号傅里叶级数的Matlab或Python编程及波形表示方法。

    2.2、 连续信号傅里叶变换的Matlab或Python编程及波形表示方法。

    三、实验仪器

    3.1、 电脑 1台

    3.2、 Matlab或Python软件 1套

    四、 实验代码及结果

    4.1、连续周期信号傅里叶级数的Matlab或Python编程及波形表示方法。

    连续周期信号的傅里叶级数
    在这里插入图片描述
    三角型傅里叶系数为:
    在这里插入图片描述
    MATLAB编程

    syms t n y
    T=10;                                                   %设置周期
    tao=1;												    %设置脉宽
    Nn=16;													%输出数据位数为16
    Nf=30;													%谐波次数30
    y=1;														%主周期波形
    a0=2*int(y,t,-tao/2,tao/2)/T;									%直流分量
    as=int(2*y*cos(2*pi*n*t/T)/T,t,-tao/2,tao/2);					%余弦项系数
    bs=int(2*y*sin(2*pi*n*t/T)/T,t,-tao/2,tao/2);						%正弦项系数
    an(1)=double(vpa(a0,Nn));							
    for k=1:Nf
        an(k+1)=double(vpa(subs(as,n,k),Nn));
        bn(k+1)=double(vpa(subs(bs,n,k),Nn));
    end					%符号量转数值量
    cn=sqrt(an.*an+bn.*bn);										%幅度谱
    for i=0:Nf
        if an(i+1)>=0
            phase(i+1)=0;
        else
            phase(i+1)=pi;
        end
    end														%相位谱
    subplot(211);
    k=0:Nf;
    stem(k,cn);
    subplot(212)
    stem(k,phase);
    

    波形表示:

    在这里插入图片描述

    4.2、连续信号傅里叶变换的Matlab或Python编程及波形表示方法。

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    MATLAB编程

    syms t
    f=exp(-2*abs(t))
    F=fourier(f)
    运行结果为:
    F=4/(4+w^2)
    

    在这里插入图片描述

    MATLAB编程

    syms t phase im re
    %f=exp(-2*t)*sym(‘Heaviside(t)’);   % Heaviside(t)第一个字母要小写
    f= exp(-2*t)* heaviside(t);   % Heaviside(t)第一个字母要小写
    F=fourier(f);
    % im=image(F);						%计算F的实部
    im=imag(F);						%计算F的实部
    re=real(F);						%计算F的虚部
    phase=atan(im/re);				%计算相位
    subplot(211);
    ezplot(abs(F));						%绘制幅度谱
    subplot(212);
    ezplot(phase);						%绘制相位谱
    

    波形表示方法:

    在这里插入图片描述

    五、实验心得及体会

    通过本次实验实现连续周期信号、连续信号的傅里叶级数求解编程算法。在本次实验中更深刻地理解Matlab代码的具体意义并熟练使用。

    越是难度越大的实验越要细心,在敲程序的过程中不能粗心大意,我在一开始运行时就出现了错误,导致没有波形图出现,因为我把每个函数的作用区间给弄乱了,但是经过检查改正,程序还是能正确运行的。

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空空如也

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三角波形的傅里叶变换