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  • 可逆矩阵性质

    万次阅读 多人点赞 2018-07-19 09:01:44
    在人工智能的基础学习中,经常会用到矩阵相关的问题,这里假设A为n*n阶矩阵,则记录了A矩阵可逆与不可逆的一些性质,希望对大家有帮助: A可逆的性质: 1 矩阵A可逆的充要条件是A的行列式不等于0。 2 可逆矩阵一定...
    在人工智能的基础学习中,经常会用到矩阵相关的问题,这里假设A为n*n阶矩阵,则记录了A矩阵可逆与不可逆的一些性质,希望对大家有帮助:
    
    A可逆的性质:
    1 矩阵A可逆的充要条件是A的行列式不等于0。  
    2 可逆矩阵一定是方阵。  
    3 如果矩阵A是可逆的,A的逆矩阵是唯一的。
    4 可逆矩阵也被称为非奇异矩阵满秩矩阵。
    5 两个可逆矩阵的乘积依然可逆。 
    6 可逆矩阵的转置矩阵也可逆。 
    7 矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵
    A矩阵不可逆 
    1 |A| = 0
    2 A的列(行)向量组线性相关
    3 R(A)<n
    4 AX=0 有非零解
    5 A有特征值0.
    6 A不能表示成初等矩阵的乘积
    7 A的等价标准形不是单位矩阵
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  • 文章目录矩阵与复数逆矩阵的定义可逆矩阵的逆矩阵的求法可逆矩阵性质克拉默法则的另一种推导法矩阵乘积的秩的性质参考 矩阵与复数 复数可以用二维有序数组来表示,如复数 a+bia+b \mathrm{i}a+bi 可表示为 (a,b),...


    矩阵线性代数笔记整理汇总,超全面

    1. 02矩阵01 ——概念、运算和基本矩阵、对角矩阵、方幂、数量矩阵、转置矩阵、对称矩阵、逆矩阵、奇异矩阵、三角矩阵、矩阵乘积的行列式与秩
    2. 03矩阵02——初等变换与高斯消元法、行阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵、行阶梯形状与方程组解的关系、相抵
    3. 04矩阵03——逆矩阵、逆矩阵的求解、可逆矩阵的判别、伴随矩阵、以及性质、可逆矩阵的等价条件、克拉默法则的另一种推导法、矩阵乘积的秩的性质
    4. 05矩阵04——分块矩阵、分块矩阵的运算、分块矩阵的初等变换、分块初等矩阵的性质、按行分块、按列分块

    矩阵与复数

    复数可以用二维有序数组来表示,如复数 a + b i a+b \mathrm{i} a+bi 可表示为 ( a , b ) , (a, b), (a,b),因此,从结构上看复数是矩阵的特殊情形.我们看到,矩阵与复数相仿,有加法、减法、乘法三种运算. 我们知道,复数的乘法运算有逆运算,那么矩阵的乘法运算是否也有逆运算呢?如果有的话,这种运算如何定义,如何计算呢?这就是本节所要讨论的问题.

    这一节讨论的矩阵,如不特别说明,都是 n × n n \times n n×n 矩阵. 我们知道,对于任意的 n n n 级方阵 A A A 都有
    A E = E A = A A E=E A=A AE=EA=A
    这里 E E E n n n 级单位矩阵. 因此,从乘法的角度来看 n n n 级单位矩阵.在 n n n 级方阵中的地位类似于 1 在复数中的地位.

    一个复数 a ≠ 0 a \neq 0 a=0 的倒数 a − 1 a^{-1} a1 可以用等式
    a a − 1 = 1 { a } a^{-1}=1 aa1=1
    来刻画,相仿地,我们引入逆矩阵的概念.

    逆矩阵的定义

    1. 可逆的定义

    定 义 1 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义1} }} 1 n \quad n n 级方阵 A A A 称为为可逆矩阵,如果有n级方阵 B , B, B, 使得
    A B = B A = E  ,  (1) A B=B A=E \text { , } \tag{1} AB=BA=E , (1)
    这里 E E E n n n 级单位矩阵. 简称A可逆.

    定 义 2 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义2} }} 2 如果矩阵 B B B 满足 ( 1 ) , (1), (1), 那么就称为 A A A 逆 矩 阵 \large\color{red}{\boxed{\color{green}{ 逆矩阵 }}} ,记为 A − 1 = B A^{-1}=B A1=B.

    问 题 1 \Large\color{violet}{问题1} 1 任意非零矩阵都有逆矩阵吗 ?

    例1 单位阵是可逆矩阵.

    例2 由于 ( 0 0 1 1 ) ( a b c d ) = ( 0 0 a + c b + d ) ≠ ( 1 0 0 1 ) \left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\ a+c & b+d\end{array}\right) \neq\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right) (0101)(acbd)=(0a+c0b+d)=(1001)

    因此 ( 0 0 1 1 ) \left(\begin{array}{ll}\mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{1} & \mathbf{1}\end{array}\right) (0101) 不可逆.

    答:并非任一非零矩阵都有逆矩阵.

    问 题 2 \Large\color{violet}{问题2} 2 若n阶方阵A可逆,则逆矩阵唯一吗 ?

    事实上,若B、C 均为 A A A 的逆矩阵,则
    A B = B A = E n , A C = C A = E n A B=B A=E_{n,} A C=C A=E_{n} AB=BA=En,AC=CA=En
    从而 B = B E n = B ( A C ) = ( B A ) C = E n C = C . B=B E_{n}=B(A C)=(B A) C=E_{n} C=C . B=BEn=B(AC)=(BA)C=EnC=C.

    答: 若 n n n 阶方阵 A A A 可逆,则逆矩阵唯一.

    注 \Large\color{violet}{注 } 由于可逆矩阵 A A A 的逆矩阵是唯一确定的,故可用确定的符号记之为 A − 1 A^{-1} A1.

    例 1 \Large\color{violet}{例1 } 1 设方阵 A A A 满足 A 2 − A − 2 E = O A^{2}-A-2 E=O \quad A2A2E=O 证明 A A A A + 2 E A+2 E A+2E都可逆, 并求 A − 1 A^{-1} A1 ( A + 2 E ) − 1 . (A+2 E)^{-1} . (A+2E)1.

    【解】 \quad 变形所给的等式,得
    A 2 − A − 2 E = O A^{2}-A-2 E=O A2A2E=O
    移项 得
    A 2 − A = 2 E A^{2}-A=2 E A2A=2E
    分解因式 得
    A ( A − E ) = 2 E A(A-E)=2 E A(AE)=2E
    两边取行列式得
    ∣ A ( A − E ) ∣ = ∣ 2 E ∣ = 2 n ≠ 0 |A(A-E)|=|2 E|=2^{n} \neq 0 A(AE)=2E=2n=0
    由方阵的行列式的性质得
    ∣ A ∣ ∣ A − E ∣ = ∣ A ( A − E ) ∣ = 2 n ≠ 0 |A||A-E|=|A(A-E)|=2^{n} \neq 0 AAE=A(AE)=2n=0
    所以 ∣ A ∣ ≠ 0 , |A| \neq 0, \quad A=0, A A A 可逆.又因为
    A ( A − E ) = 2 E A(A-E)=2 E A(AE)=2E
    变形, 得 A ⋅ A − E 2 = E , \quad A \cdot \frac{A-E}{2}=E, A2AE=E, 由逆矩阵的定义知 A − 1 = A − E 2 A^{-1}=\frac{A-E}{2} A1=2AE.

    现再证 A + 2 E A+2 E A+2E 可逆.
    A 2 − A − 2 E = O A^{2}-A-2 E=O A2A2E=O
    移项, 得 A + 2 E = A 2 , \quad A+2 E=A^{2}, A+2E=A2, 两边取行列式得 ∣ A + 2 E ∣ = ∣ A 2 ∣ = ∣ A ∣ 2 ≠ 0 , |A+2 E|=|A^{2}|= |A|^{2} \neq 0, A+2E=A2=A2=0,所以 A + 2 E \quad A+2 E \quad A+2E 可逆.

    在等式 A + 2 E = A 2 \quad A+2 E=A^{2} \quad A+2E=A2 两边左乘 A − 2 A^{-2} A2
    A − 2 ( A + 2 E ) = A − 2 A 2 = E A^{-2}(A+2 E)=A^{-2} A^{2}=E A2(A+2E)=A2A2=E
    再两边右乘 ( A + 2 E ) − 1 (A+2 E)^{-1} (A+2E)1
    ( A + 2 E ) − 1 = A − 2 = ( A − 1 ) 2 = ( A − E 2 ) 2 = 3 E − A 4 (A+2 E)^{-1}=A^{-2}=\left(A^{-1}\right)^{2}=\left(\frac{A-E}{2}\right)^{2}=\frac{3 E-A}{4} (A+2E)1=A2=(A1)2=(2AE)2=43EA

    逆矩阵的求解

    定 义 3 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义3} }} 3 若方阵 A A A满足 d e t A ≠ 0 detA≠0 detA=0 ,则称 A A A为非奇异矩阵或非退化矩阵;否则称 A A A为奇异矩阵或退化矩阵.

    定 义 4 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义4} }} 4 A i j A_{i j} Aij 是n阶方阵
    A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] A=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right] A=a11a21an1a12a22an2a1na2nann
    中元素 a i j a_{i j} aij 的代数余子式,则 A i j A_{i j} Aij 按转置排列成的矩阵
    adj ⁡ A = [ A i j ] T = [ A 11 A 21 ⋯ A n 1 A 12 A 22 ⋯ A n 2 ⋮ ⋮ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A n n ] \operatorname{adj} A=\left[A_{i j}\right]^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cccc} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n 1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n 2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1 n} & A_{2 n} & \cdots & A_{n n} \end{array}\right] adjA=[Aij]T=A11A12A1nA21A22A2nAn1An2Ann
    称为矩阵 A A A 伴 随 矩 阵 \large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{伴随矩阵}}} , 习惯记为 A ∗ A^{*} A.

    由代数余子式组合定理
    A A ∗ = A ∗ A = [  det  A 0 ⋯ 0 0  det  A ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯  det  A ] = ( det ⁡ A ) E AA^*=A^* A=\left[\begin{array}{cccc} \text { det } A & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \text { det } A & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \text { det } A \end{array}\right]=(\operatorname{det} A) E AA=AA= det A000 det A000 det A=(detA)E
    det ⁡ A ≠ 0 \operatorname{det} A \neq 0 detA=0,上式两端除以非零数 det ⁡ A \operatorname{det} A detA,得
    A ( A ∗ det ⁡ A ) = ( A ∗ det ⁡ A ) A = E A\left(\frac{A^*}{\operatorname{det} A}\right)=\left(\frac{A^*}{\operatorname{det} A}\right) A=E A(detAA)=(detAA)A=E

    A − 1 = A ∗ det ⁡ A A^{-1}=\frac{A^*}{\operatorname{det} A} A1=detAA

    特殊矩阵的逆

    单位阵 I : I − 1 = I I: \quad I^{-1}=I I:I1=I

    对角阵: D = ( d 1 ⋱ d n ) , ( d 1 , … , d n ≠ 0 ) \quad D=\left(\begin{array}{lll}d_{1} & & \\ & \ddots & \\ & & d_{n}\end{array}\right),\left(d_{1}, \ldots, d_{n} \neq 0\right) D=d1dn,(d1,,dn=0)
    ( d 1 ⋱ d n ) ( 1 d 1 ⋱ 1 d n ) = ( 1 ⋱ 1 ) = I ⇒ D − 1 = ( 1 d 1 ⋱ 1 d n ) \left(\begin{array}{ccccc}d_{1} & & \\ & \ddots & \\ & & \boldsymbol{d}_{n}\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}\frac{1}{d_{1}} & & \\ & \ddots & \\ & & \frac{1}{d_{n}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1 & & \\ & \ddots & \\ & & 1\end{array}\right)=\boldsymbol{I} \Rightarrow D^{-1}=\left(\begin{array}{lll}\frac{1}{d_{1}} & & \\ & \ddots & \\ & & \frac{1}{d_{n}}\end{array}\right) d1dnd11dn1=11=ID1=d11dn1

    数量阵: ( k I ) − 1 = 1 k I , ( k ≠ 0 ) \quad(k I)^{-1}=\frac{1}{k} I,(k \neq 0) (kI)1=k1I,(k=0)

    可逆矩阵的判别

    定 理 1 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理 1} }} 1 (逆矩阵的存在定理)

    矩阵 A A A 可逆的充要条件是 A A A 非退化的,而
    A − 1 = 1 det ⁡ A A ∗ ( d = ∣ A ∣ ≠ 0 ) (2) A^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det} A} A^{*} \quad(d=|A| \neq 0)\tag{2} A1=detA1A(d=A=0)(2)
    根据定理 1 容易看出,对于 n n n 级方阵 A , B A, B A,B ,如果
    A B = E (3) A B=E \tag{3} AB=E(3)
    那么 A , B A, B A,B 就都是可逆的并且它们互为逆矩阵.

    定理 1 不但给出了一矩阵可逆的条件,同时也给出了求逆矩阵的公式(2). 按这个公式来求逆矩阵,计算量一般是非常大的.在以后我们将给出另一种求法.

    例 1 \Large\color{violet}{例1 } 1
    A = [ 1 2 3 2 2 1 3 4 3 ] A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 3 \end{array}\right] A=123224313
    A − 1 A^{-1} A1.

    【解】: ∣ A ∣ = 2 ≠ 0 |A|=2 \neq 0 A=2=0, 因而 A − 1 A^{-1} A1 存在. \quad 计算得
    A 11 = 2 , A 12 = − 3 , A 13 = 2 A 21 = 6 , A 22 = − 6 , A 23 = 2 , A 31 = − 4 , A 32 = 5 , A 33 = − 2 A ∗ = [ 2 6 − 4 − 3 − 6 5 2 2 − 2 ] \begin{array}{l}A_{11}=2, \quad A_{12}=-3, \quad A_{13}=2 \\ A_{21}=6, \quad A_{22}=-6, \quad A_{23}=2, \\ A_{31}=-4, \quad A_{32}=5, \quad A_{33}=-2\end{array} \quad A^{*}=\left[\begin{array}{ccc}2 & 6 & -4 \\ -3 & -6 & 5 \\ 2 & 2 & -2\end{array}\right] A11=2,A12=3,A13=2A21=6,A22=6,A23=2,A31=4,A32=5,A33=2A=232662452

     所以  A − 1 = A ∗ det ⁡ A = 1 2 [ 2 6 − 4 − 3 − 6 5 2 2 − 2 ] = [ 1 3 − 2 − 3 2 − 3 5 2 1 1 − 1 ] \text { 所以 } A^{-1}=\frac{A^{*}}{\operatorname{det} A}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc} 2 & 6 & -4 \\ -3 & -6 & 5 \\ 2 & 2 & -2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & -2 \\ -\frac{3}{2} & -3 & \frac{5}{2} \\ 1 & 1 & -1 \end{array}\right]  所以 A1=detAA=21232662452=12313312251

    可逆矩阵的性质

    A , B , A i ( i = 1 , 2 , … , m ) A, B, A_{i}(i=1,2, \ldots, m) A,B,Ai(i=1,2,,m) n n n 级可逆方阵, k k k 为非零常数,则
    A − 1 , k A , A B , A 1 A 2 … A m , A T A^{-1}, k A, A B, A_{1} A_{2} \ldots A_{m}, A^{\mathrm{T}} A1,kA,AB,A1A2Am,AT
    也都是可逆矩阵,且

    (1) ( A − 1 ) − 1 = A \left(A^{-1}\right)^{-1}=A (A1)1=A;

    (2) ( k A ) − 1 = 1 k A − 1 (k A)^{-1}=\frac{1}{k} A^{-1} (kA)1=k1A1;

    (3) ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1} (AB)1=B1A1 ; ( A 1 A 2 … A m ) − 1 = A m − 1 … A 2 − 1 A 1 − 1 \left(A_{1} A_{2} \ldots A_{m}\right)^{-1}=A_{m}^{-1} \ldots A_{2}^{-1} A_{1}^{-1} (A1A2Am)1=Am1A21A11

    (4) ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T \left(A^{\mathrm{T}}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\mathrm{T}} (AT)1=(A1)T

    (5) ∣ A − 1 ∣ = 1 ∣ A ∣ \left|A^{-1}\right|=\frac{1}{|A|} A1=A1

    (6) ( A m ) − 1 = ( A − 1 ) m , m \left(A^{m}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{m}, m (Am)1=(A1)m,m 为正整数.

    【证明】 \quad 我们只证(3) 和 (4).

    (3) ( A B ) ( B − 1 A − 1 ) = A ( B B − 1 ) A − 1 = A E A − 1 = A A − 1 = E (A B)\left(B^{-1} A^{-1}\right)=A\left(B B^{-1}\right) A^{-1}=A E A^{-1}=A A^{-1}=E (AB)(B1A1)=A(BB1)A1=AEA1=AA1=E.

    (4) A T ( A − 1 ) T = ( A − 1 A ) T = ( E ) T = E , A^{\mathrm{T}}\left(A^{-1}\right)^{\mathrm{T}}=\left(A^{-1} A\right)^{\mathrm{T}}=(E)^{\mathrm{T}}=E, \quad AT(A1)T=(A1A)T=(E)T=E, 证毕

    说明 若矩阵 A , B , C A ,B ,C A,B,C满足 A B = A C AB=AC AB=AC,且 A A A可逆,则
    A B = A C ⇒ A − 1 A B = A − 1 A C ⇒ E B = E C ⇒ B = C \begin{array}{rl} A B=A C \Rightarrow & A^{-1} A B=A^{-1} A C \\ \Rightarrow & E B=E C \\ \Rightarrow & B=C \end{array} AB=ACA1AB=A1ACEB=ECB=C
    可逆矩阵相乘有消去律.

    例 2 \Large\color{violet}{例2 } 2
    A = ( 4 2 3 1 1 0 − 1 2 3 ) , A B = A + 2 B ,  求  B . A=\left(\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \end{array}\right), \quad A B=A+2 B, \quad \text { 求 } B . A=411212303,AB=A+2B,  B.
    【解 】 \quad 已知方程变形 \quad A B − 2 B = A , \quad A B-2 B=A, AB2B=A,分解因式 得 ( A − 2 E ) B = A , (A-2 E) B=A, (A2E)B=A,两边左乘 ( A − 2 E ) − 1 (A-2 E)^{-1} (A2E)1 ,得
    B = ( A − 2 E ) − 1 A = ( A − 2 E ) − 1 ( A − 2 E + 2 E ) = E + 2 ( A − 2 E ) − 1 而  A − 2 E = ( 2 2 3 1 − 1 0 − 1 2 1 ) \begin{aligned} B &=(A-2 E)^{-1} A \\ =(&A-2 E)^{-1}(A-2 E+2 E) \\ =& E+2(A-2 E)^{-1} \\ \text {而 } \\ & A-2 E=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{array}\right) \end{aligned} B=(= =(A2E)1AA2E)1(A2E+2E)E+2(A2E)1A2E=211212301
    用伴随矩阵法求逆, 得
    ( A − 2 E ) − 1 = ( 1 − 4 − 3 1 − 5 − 3 − 1 6 4 ) (A-2 E)^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -4 & -3 \\ 1 & -5 & -3 \\ -1 & 6 & 4 \end{array}\right) (A2E)1=111456334
    所以
    B = E + 2 ( A − 2 E ) − 1 = ( 3 − 8 − 6 2 − 9 − 6 − 2 12 9 ) B=E+2(A-2 E)^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 3 & -8 & -6 \\ 2 & -9 & -6 \\ -2 & 12 & 9 \end{array}\right) B=E+2(A2E)1=3228912669

    例 3 \Large\color{violet}{例3 } 3 解下列矩阵方程 A X B = C , A X B=C, AXB=C, 其中
    A = ( 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ) , B = ( 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ) , C = ( 1 − 4 3 2 0 − 1 1 − 2 0 ) A=\left(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -4 & 3 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & -2 & 0 \end{array}\right) A=010100001,B=100001010,C=121402310
    \quad 由已知易得 X = A − 1 C B − 1 \quad X=A^{-1} C B^{-1} X=A1CB1 ,下面求 A A A B B B 的逆阵.
    A − 1 = ( 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ) , B − 1 = ( 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ) A^{-1}=\left(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right), \quad B^{-1}=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right) A1=010100001,B1=100001010
     所以  X = ( 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ) ( 1 − 4 3 2 0 − 1 1 − 2 0 ) ( 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ) = ( 2 0 − 1 1 − 4 3 1 − 2 0 ) ( 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ) = ( 2 − 1 0 1 3 − 4 1 0 − 2 ) \begin{aligned} \text { 所以 } X &=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1 & -4 & 3 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & -2 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ 1 & -4 & 3 \\ 1 & -2 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 0 \\ 1 & 3 & -4 \\ 1 & 0 & -2\end{array}\right) \end{aligned}  所以 X=010100001121402310100001010=211042130100001010=211130042

    例 4 \Large\color{violet}{例4 } 4 n n n 级矩阵 A , B , A + B A, B, A+B A,B,A+B 均可逆, 证明
    ( A − 1 + B − 1 ) − 1 = A ( A + B ) − 1 B = B ( B + A ) − 1 A \left(A^{-1}+B^{-1}\right)^{-1}=A(A+B)^{-1} B=B(B+A)^{-1} A (A1+B1)1=A(A+B)1B=B(B+A)1A
    【证】 将 A − 1 + B − 1 A^{-1}+B^{-1} A1+B1 表示成已知的可逆矩阵的乘积:
    A − 1 + B − 1 = A − 1 ( E + A B − 1 ) = A − 1 ( B B − 1 + A B − 1 ) = A − 1 ( B + A ) B − 1 \begin{aligned} A^{-1}+B^{-1} &=A^{-1}\left(E+A B^{-1}\right)=A^{-1}\left(B B^{-1}+A B^{-1}\right) \\ &=A^{-1}(B+A) B^{-1} \end{aligned} A1+B1=A1(E+AB1)=A1(BB1+AB1)=A1(B+A)B1
    由可逆矩阵的性质可知
    ( A − 1 + B − 1 ) − 1 = [ A − 1 ( A + B ) B − 1 ] − 1 = B ( B + A ) − 1 A \left(A^{-1}+B^{-1}\right)^{-1}=\left[A^{-1}(A+B) B^{-1}\right]^{-1}=B(B+A)^{-1} A (A1+B1)1=[A1(A+B)B1]1=B(B+A)1A
    同理可证另一个等式也成立.

    例 5 \Large\color{violet}{例5 } 5 A 3 = 0 , A^{3}=0, A3=0, 求证 E − A E-A EA 可逆, 且
    ( E − A ) − 1 = A 2 + A + E \begin{array}{l} (E-A)^{-1}=A^{2}+A+E \\ \end{array} (EA)1=A2+A+E
    解:
    ( E − A ) ( A 2 + A + E ) = A 2 + A + E − A 3 − A 2 − A = E − A 3 + O = E − A 3 \begin{array}{l} (E-A)\left(A^{2}+A+E\right) \\ =A^{2}+A+E-A^{3}-A^{2}-A \\ =E-A^{3}+O=E-A^{3} \end{array} (EA)(A2+A+E)=A2+A+EA3A2A=EA3+O=EA3
    A 3 = O A^{3}=O A3=O ,所以由上式得
    ( E − A ) ( A 2 + A + E ) = E (E-A)\left(A^{2}+A+E\right)=E (EA)(A2+A+E)=E
    所以 E − A E-A EA 可逆, 且
    ( E − A ) − 1 = A 2 + A + E (E-A)^{-1}=A^{2}+A+E (EA)1=A2+A+E

    例 6 \Large\color{violet}{例6 } 6 A A A n n n 级方阵 ( n ≥ 2 ) (n \geq 2) (n2),证明
    ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 \left|A^{*}\right|=|A|^{n-1} A=An1
    【证 】 \quad 由于 A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ E , A A^{*}=A^{*} A=|A| E, AA=AA=AE, 所以
    ∣ A ∣ ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n (4) |A|\left|A^{*}\right|=|A|^{n}\tag{4} AA=An(4)
    下面分三种情形讨论:

    (1) ∣ A ∣ ≠ 0 , |A| \neq 0, A=0, A A A 可逆, (4) 式两端除以 ∣ A ∣ |A| A 即得 ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 . \left|A^{*}\right|=|A|^{n-1} . A=An1.

    (2) ∣ A ∣ = 0 , |A|=0, A=0, A = O , A=O, A=O, A ∗ = O , A^{*}=O, A=O, 结论显然成立.

    (3) ∣ A ∣ = 0 , |A|=0, A=0, A ≠ O , A \neq O, A=O, 反设 ∣ A ∗ ∣ ≠ 0 , \left|A^{*}\right| \neq 0, A=0, A ∗ A^{*} A 可逆,因而 A = ( A A ∗ ) ( A ∗ ) − 1 = ( ∣ A ∣ E ) ( A ∗ ) − 1 = ∣ A ∣ ( A ∗ ) − 1 = O \quad A=\left(A A^{*}\right)\left(A^{*}\right)^{-1}=(|A| E)\left(A^{*}\right)^{-1}=|A|\left(A^{*}\right)^{-1}=O A=(AA)(A)1=(AE)(A)1=A(A)1=O,故 A = O , A=O, A=O, A ≠ O A \neq O A=O 矛盾, 所以, ∣ A ∗ ∣ = 0 = ∣ A ∣ n − 1 \left|A^{*}\right|=0=|A|^{n-1} A=0=An1.

    可逆矩阵的等价条件

    A A A 可逆, 则 \quad (1) A X = b A X=b AX=b 有唯一解 X = A − 1 b . X=A^{-1} b . \quad X=A1b. (2) A X = 0 A X=0 AX=0 只有零解 X = 0. X=0 . X=0.

    技巧: (1) 矩阵等式两端同左乘某矩阵.

    (2) 使用逆矩阵时先判断矩阵的可逆性.

    初等矩阵可逆否? 如果求逆?

    初等矩阵理解为变换, 逆矩阵相当于逆变换

    P i j ⋅ P i j ⋅ I = P_{i j} \cdot P_{i j} \cdot I= PijPijI= I I I 连续做两次 i , j i, j i,j 行互换的变换 = I =I =I
    P i j − 1 = P i j P_{i j}^{-1}=P_{i j} Pij1=Pij
    P i ( 1 c ) ⋅ P i ( c ) ⋅ I =  对  I 的 i 行 × c ,  再对第  i 行 × 1 c = I P_{i}\left(\frac{1}{c}\right) \cdot P_{i}(c) \cdot I=\text { 对 } I { 的 } i { 行\times } c, \text { 再对第 } i { 行\times } \frac{1}{c}=I Pi(c1)Pi(c)I=  Ii×c, 再对第 i×c1=I
    P i − 1 ( c ) = P i ( 1 c ) , c ≠ 0 ; \begin{array}{l} P_{i}^{-1}(c)=P_{i}\left(\frac{1}{c}\right), c \neq 0 ;\\ \end{array} Pi1(c)=Pi(c1),c=0;

    P i j − 1 ( c ) = P i j ( − c ) P_{i j}^{-1}(c)=P_{i j}(-c) Pij1(c)=Pij(c)

    Q Q Q 可逆, 存在初等矩阵 P 1 , … , P s P_{1}, \ldots, P_{s} P1,,Ps 使得 Q = P 1 ⋯ P s ⇒ A Q = A P 1 ⋯ P s Q=P_{1} \cdots P_{s} \Rightarrow A Q=A P_{1} \cdots P_{s} Q=P1PsAQ=AP1Ps

    定 理 2 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理 2} }} 2 A A A n n n 阶矩阵,则如下命题等价:
    ( 1 ) A ​ 是 可 逆 的 ; ( 2 ) A X = ​ O 只 有 零 解 ; ( 3 ) A 与 I 行 相 抵 ; ( 4 ) A 可 表 为 有 限 个 初 等 矩 阵 的 乘 积 . \begin{array}{ll} &(1) A​ 是可逆的; & (2) A X=​ O只有零解; \\ &(3) A 与I 行相抵;& (4) A 可表为有限个初等矩阵的乘积. \\ \end{array} (1)A;(3)AI;(2)AX=O;(4)A.
    证明: **(1)→(2) **显然. (2)→(3) A ⟶  系列初等行变换  B ( A \stackrel{\text { 系列初等行变换 }}{\longrightarrow} B( A 系列初等行变换 B( 行简化阶梯形 ) ) )

    ⇒ A X = 0  与  B X = 0  同解   题设  : A X = 0  只有零解  } ⇒ B X = 0 \left.\begin{array}{r}\Rightarrow A X=0 \text { 与 } B X=0 \text { 同解 } \\ \text { 题设 }: A X=0 \text { 只有零解 }\end{array}\right\} \Rightarrow B X=0 AX=0  BX=0 同解  题设 :AX=0 只有零解 }BX=0 只有零解 ⇒ B X = 0 \Rightarrow B X=0 BX=0受约束变元数 = n =n =n

    • ⇒ B \Rightarrow B B 的最后一行不是全 0 行 ⇒ B \Rightarrow B B 的竖直方向总阶梯数为 n n n
    • B B B 的水平方向总阶梯数为 n n n, 水平方向每次阶梯数>=坚直方向

    ⇒ B \Rightarrow B B 水平方向每次阶梯数为 1 ⇒ B ( 1 \Rightarrow B( 1B( 行简化 ) ) ) 每行第一个非零元 1 恰在对角线上 ⇒ B = I \Rightarrow B=I B=I

    (3) → ( 4 ) \rightarrow(4) (4) 由题设, A A A 可经行初等变换得 I \mathbf{I} I.

    故存在初等矩阵 E 1 , ⋯   , E k E_{1}, \cdots, E_{k} E1,,Ek 使得 E k ⋯ E 1 A = I . E_{k} \cdots E_{1} A=I . EkE1A=I.
    ⇒ A = E 1 − 1 ⋯ E k − 1 I = E 1 − 1 ⋯ E k − 1 \Rightarrow A=E_{1}^{-1} \cdots E_{k}^{-1} I=E_{1}^{-1} \cdots E_{k}^{-1} A=E11Ek1I=E11Ek1
    由初等矩阵的逆 E i − 1 E_{i}^{-1} Ei1 仍为初等矩阵即得!

    ( 4 ) → ( 1 ) (\mathbf{4}) \rightarrow(\mathbf{1}) (4)(1) 由初等矩阵均可逆,以及可逆矩阵的乘积可逆即 得!

    推 论 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{推论} }} A A A n n n 阶矩阵, 则 A X = b A X=b AX=b 有唯一解 ⇔ A \Leftrightarrow A A 可逆.

    **证明:**充分性 即 " ⇐ " A " \Leftarrow " \quad A ""A 可逆,则 A X = b A X=b AX=b 有唯一解 X = A − 1 b X=A^{-1} b X=A1b.

    必要性 即 " ⇒ " \quad " \Rightarrow " \quad "" 反证.

    A X = b A X=b AX=b 有唯一解 X 0 X_{0} X0, 但 A A A 不可逆.

    A A A 不可逆 ⇒ A X = 0 \Rightarrow A X=0 AX=0 有非零解 Z : A Z = 0. Z: A Z=\mathbf{0} . Z:AZ=0.

    Y = X 0 + Z ⇒ A Y = A ( X 0 + Z ) = A X 0 + A Z = b Y=X_{0}+Z \Rightarrow A Y=A\left(X_{0}+Z\right)=A X_{0}+A Z=b Y=X0+ZAY=A(X0+Z)=AX0+AZ=b

    Y Y Y A X = b A X=b AX=b 的解,与 A X = b A X=b AX=b 有唯一解 X 0 X_{0} X0 矛盾!

    克拉默法则的另一种推导法

    利用矩阵的逆,可以给出克拉默法则的另一种推导法.线性方程组
    { a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 … … … … … … … a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + ⋯ + a n n x n = b n \left\{\begin{array}{c} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}=b_{n} \end{array}\right. a11x1+a12x2++a1nxn=b1a21x1+a22x2++a2nxn=b2an1x1+an2x2++annxn=bn
    可以写成
    A X = B (5) A X=B\tag{5} AX=B(5)
    如果 ∣ A ∣ ≠ 0 , |A| \neq 0, A=0, 那么 A A A 可逆.用
    X = A − 1 B X=A^{-1} B X=A1B
    代入(5),得恒等式 A ( A − 1 B ) = B , A\left(A^{-1} B\right)=B, A(A1B)=B, 这就是说 A − 1 B A^{-1} B A1B 是一个解.如果
    X = C X=C X=C
    是(5)的一个解,那么由
    A C = B A C=B AC=B

    A − 1 ( A C ) = A − 1 B A^{-1}(A C)=A^{-1} B A1(AC)=A1B

    C = A − 1 B C=A^{-1} B C=A1B
    这就是说,解 X = A − 1 B X=A^{-1} B X=A1B 是唯一的.用 A − 1 A^{-1} A1 的公式(2)代入,乘出来就是克拉默法则中给出的公式.

    矩阵乘积的秩的性质

    定 理 2 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理 2} }} 2 A A A 是一个 s × n s \times n s×n 矩阵,如果 P P P s × s s \times s s×s 可逆矩阵, Q Q Q n × n n \times n n×n 可逆矩阵,那么
    秩 ( A ) = 秩 ( P A ) = 秩 ( A Q ) . 秩 (A)= 秩 (P A)= 秩 (A Q). (A)=(PA)=(AQ).
    【证明】 \quad B = P A \quad B=P A B=PA, 由 秩 ( A B ) ≤ min ⁡ [ (A B) \leq \min [ (AB)min[ ( A ) , (A), (A), ( B ) ] (B)] (B)].得到
    秩 ( B ) ≤ 秩 ( A ) ; 秩 (B) \leq 秩 (A) ; \quad (B)(A);
    但是由
    A = P − 1 B A=P^{-1} B A=P1B
    又有秩 ( A ) ≤ (A) \leq (A) ( B ) (B) (B).所以,秩 ( A ) = (A)= (A)= ( B ) = (B)= (B)= ( P A ) (P A) (PA).另一个式子可以同样地证明.

    参考

    北京大学数学系几何与代数教研室代数小组,《高等代数》(第四版)

    高等代数,林亚南,高等教育出版社

    高等代数学习辅导,林亚南,林鹭,杜妮,陈清华,高等教育出版社

    高等代数 电子科技大学

    高等代数_安阳师范学院

    《高等代数》(第五版)

    展开全文
  • 可逆矩阵的二三性质

    2019-07-31 17:58:43
    可逆矩阵,又称非奇异矩阵,其逆矩阵唯一 AAA可逆⇔∣A∣≠0\Leftrightarrow |A|\ne0⇔∣A∤​=0且A−1=A∗∣A∣A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}A−1=∣A∣A∗​其中A∗A^*A∗是伴随矩阵,由一系列代数余子式(分正负号的...
    • 可逆矩阵,又称非奇异矩阵,其逆矩阵唯一
    • A A A可逆 ⇔ ∣ A ∣ ≠ 0 \Leftrightarrow |A|\ne0 A̸=0 A − 1 = A ∗ ∣ A ∣ A^{-1}=\frac{A^*}{|A|} A1=AA其中 A ∗ A^* A是伴随矩阵,由一系列代数余子式(分正负号的余子式)构成, A ∗ = [ A 11 A 21 . . . A n 1 A 12 A 22 . . . A n 2 . . . . . . . . . A 1 n A 2 n . . . A n n ] A^*=\begin{bmatrix}A_{11}&amp;A_{21}&amp;...&amp;A_{n1}\\A_{12}&amp;A_{22}&amp;...&amp;A_{n2}\\...&amp;...&amp;...\\A_{1n}&amp;A_{2n}&amp;...&amp;A_{nn}\end{bmatrix} A=A11A12...A1nA21A22...A2n............An1An2Ann伴随矩阵的性质
      • 即便 A A A不可逆,也有 A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ I AA^*=A^*A=|A|I AA=AA=AI
    • A A A可逆 ⇒ A ′ \Rightarrow A&#x27; A也可逆,且 ( A ′ ) − 1 = ( A − 1 ) ′ (A&#x27;)^{-1}=(A^{-1})&#x27; (A)1=(A1)
    • A A A可逆 ⇔ A \Leftrightarrow A A可以由一些初等矩阵表示,即 A = P 1 P 2 . . . P m I A=P_1P_2...P_mI A=P1P2...PmI
    • P ( j , i ( k ) ) ) − 1 = P ( j , i ( − k ) ) ) P(j,i(k)))^{-1}=P(j,i(-k))) P(j,i(k)))1=P(j,i(k))) P ( i , k ) − 1 = P ( k , i ) P(i,k)^{-1}=P(k,i) P(i,k)1=P(k,i) P ( i ( c ) ) − 1 = ( P ( i ( 1 c ) ) P(i(c))^{-1}=(P(i(\frac{1}{c})) P(i(c))1=(P(i(c1))
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    题目为什么往往要求求正交矩阵,这du也是为什么要讨论对角化的一个主要的目的zhi之一,是为了求已知矩阵A的n次方,即A^n

    因为T^(-1)AT=B(对角阵)

    那么A^n=TB^nT^(-1)

    由于对角阵B的n次方很好求,所以把A^n转化成B^n    {因为(T^(-1)AT)*(T^(-1)AT)=B*B,即T^(-1)A^(2)T=b^(2),所以可以类推出来,T^(-1)A^(n)T=b^(n),即A^(n)=Tb^(n)T^(-1) }

    但是如果矩阵T只是可逆,那么求它逆需要一定的过程,

    而如果矩阵T是正交矩阵的话,那么它的逆就是它的转置,求起来更加方便 ,

    因此一般来讲对于实对称矩阵,我们都要求要会求其正交矩阵。

    实对称矩阵是矩阵,对的,但是实对称矩阵是一种特殊的矩阵,作为特殊的矩阵,那么除了一般矩阵性质以外还有一些特殊的性质,比如

    1)实对称矩阵的特征值全为实数,

    2)实对称矩阵中属于不同特征值的特征向量必正交。

    3)n阶实对称矩阵一定有n个线性无关的特征向量。

    4)实对称矩阵一定可以对角化。

    由性质4可知:对于实对称矩阵,一定存在可逆阵T, 使得T^(-1)AT=对角阵。

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空空如也

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不可逆矩阵的性质