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  • 由柯西不等式等号成立的条件得x=9

    由柯西不等式等号成立的条件得x=9


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  • 有界性与最大值最小值定理

    千次阅读 2021-01-24 16:47:11
    定理1:有界性与最大值最小值定理 在闭区间上连续的函数&&该区间上有界,一定能取得最大值和最小值。 关键字:比区间、连续、有界。 定理2:零点定理 如果x0使f(x0)=0,那么x0称为函数f(x)的零点。 设函数f...

    对于在区间I上,有定义的函数f(x),如果有x0属于I,使得对于任一x属于I,都有下面的不等式:
    f(x)<=f(x0),或者
    f(x)>=f(x0),
    那么称f(x0),是函数f(x)在区间I上的最大值,或者最小值。
    最大值和最小值,可以相等。

    定理1:有界性与最大值最小值定理
    在闭区间上连续的函数&&该区间上有界,一定能取得最大值和最小值。
    关键字:比区间、连续、有界。

    定理2:零点定理
    如果x0使f(x0)=0,那么x0称为函数f(x)的零点。
    设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号,则在开区间(a,b)内至少有点ξ 柯西,使得f(ξ)=0

    定理3:界值定理
    设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在这区间的端点取不同的函数值
    f(a)=A
    f(b)=B
    则对于A与B之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使得:
    f(ξ)=C
    a<ξ<b

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  • 函数的最值问题是考试中经常出现的题型,...由于,∴≥0,出y的最值,此种方法易产生增根,因而要对取得最值时对应的x是否有解检验。3、利用函数的单调性:首先明确函数的定义域和单调性,再最值。4、利用均值...

    函数的最值问题是考试中经常出现的题型,那么遇到这类问题时我们应该怎么做呢?

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    高中函数求最值的方法

    1、配方法:形如的函数,根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值。

    2、判别式法:形如的分式函数,将其化成系数含有y的关于x的二次方程。由于,∴≥0,求出y的最值,此种方法易产生增根,因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验。

    3、利用函数的单调性:首先明确函数的定义域和单调性,再求最值。

    4、利用均值不等式,形如的函数,及≥≤,注意正,定,等的应用条件,即:a,b均为正数,是定值,a=b的等号是否成立。

    5、换元法:形如的函数,令,反解出x,代入上式,得出关于t的函数,注意t的定义域范围,再求关于t的函数的最值。还有三角换元法,参数换元法。

    6、数形结合法形:如将式子左边看成一个函数,右边看成一个函数,在同一坐标系作出它们的图象,观察其位置关系,利用解析几何知识求最值。求利用直线的斜率公式求形如的最值。

    7、利用导数求函数最值:首先要求定义域关于原点对称然后判断f(x)和f(-x)的关系:若f(x)=f(-x),偶函数;若f(x)=-f(-x),奇函数。

    函数最值简介

    一般的,函数最值分为函数最小值与函数最大值。

    最小值

    设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意实数x∈I,都有f(x)≥M,②存在x0∈I。使得f(x0)=M,那么,我们称实数M是函数y=f(x)的最小值。

    最大值

    设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意实数x∈I,都有f(x)≤M,②存在x0∈I。使得f(x0)=M,那么,我们称实数M是函数y=f(x)的最大值。

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  • 本文研究实对称矩阵特征值的最大值最小值。定理设 是 阶实对称矩阵,记 分别是 中所有特征值中的最大值最小值,则 证明:这里只证关于最大值的那部分。最小值的证明是完全类似的。因为 是实对称矩阵,所以 有由 ...

    本文研究实对称矩阵特征值的最大值与最小值。

    定理

    阶实对称矩阵,记
    分别是
    中所有特征值中的最大值与最小值,则

    证明:这里只证关于最大值的那部分。最小值的证明是完全类似的。

    因为

    是实对称矩阵,所以
    有由
    中标准正交基
    组成的特征向量。这句话的意思是,
    ,其中
    的第
    个特征值,并且
    。因此,对于
    中任意向量
    ,都有

    推论

    阶实对称矩阵,记
    分别是
    中所有特征值中的最大值与最小值,则

    证明:这里还是只证关于最大值的命题。事实上,上述定理已得到

    。另一方面,特别取
    属于
    的特征向量
    ,就有
    ,从而两者是相等的。

    例1

    阶实对称矩阵,求二次型函数
    上的单位球面
    上的最大值与最小值。

    解:

    ,由题意,
    ,故根据本文定理,
    ,当
    分别为
    属于
    的特征向量时取到等号,所以
    的最大值与最小值就是

    例2

    ,求证:
    所有特征值都大于
    ,小于等于

    证明:(该解法来自@希尔伯特23)

    ,则

    是正定矩阵,故所有特征值都大于

    的最大特征值是
    ,则由本文定理知:对于
    中任意的
    ,都有
    ,即
    ;同理,由
    的最大特征值是
    知:对于任意

    由三角不等式,对于任意

    特别取

    属于
    的特征向量,则有
    ,代入上述不等式就得到
    ,解得
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  • 转]matlab学习-求最小值

    万次阅读 2010-04-01 13:45:00
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空空如也

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不等式求最大值最小值