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  • ACM动态规划算法_C语言课件 指各种供人食用或者饮用的成品和原料以及按照传统既是食品又是药品的物品,但是不包括以治疗为目的的物品,在餐饮业和集体用餐配送单位中主要指原料 动态规划算法 动态规划算法的特点: ...

    41528d3028836879cd698677c3999917.gifACM动态规划算法_C语言课件

    指各种供人食用或者饮用的成品和原料以及按照传统既是食品又是药品的物品,但是不包括以治疗为目的的物品,在餐饮业和集体用餐配送单位中主要指原料 动态规划算法 动态规划算法的特点: 动态归化算法是将问题分解成若干个子问题,通过求解 这些子问题的最优解来求整个问题的最优解。与分治法不同 的是,这些子问题往往并不相互独立,不能将子问题的解作 为最后问题的解。动态规划往往用于求解问题的最优解。 例1:给定n个矩阵的连乘表达式,求其最少需要多少次 乘法运算才能计算出乘法运算的结果。 分析: 设m[i][j]表示计算出Ai Ai+1…Aj所需要的最少次乘 法运算。而假设要得出这样的最优解需要从第k个位置断开 ,这样就将其分解成两个部分,前一部分的最优计算次数为 m[i][k], 后一部分的最优次序为m[k+1][j],显然有下面的表 指各种供人食用或者饮用的成品和原料以及按照传统既是食品又是药品的物品,但是不包括以治疗为目的的物品,在餐饮业和集体用餐配送单位中主要指原料 达式存在: m[i][j]=0; i=j 因为在i=j时表示只有一个矩阵,没有进行乘法运算,其 乘法运算的次数为0。 m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1pkpj 其中im[2][2]-m[3][3] m[0][1]-m[1][2]-m[2][3] m[0][2]-m[1][3] m[0][3] 从上面的计算顺序可以看出类似于一个上三角矩阵,先 计算斜线上的元素,并依次向上递推。 如果希望知道采用何种方式才能实现乘法次数最少,可用 一个数组s[i][j]来记录m[i][j]最优解时的k值。每一个m[i][j]对应 一个s[i][j],这样就可知道如何分解上述矩阵表达式以得到最 小的乘法次数了。上例中k值依次为0-2 在上例中,最后的分解结果为(A0[10][100]*(A1[100][50]* A2[50][2]))*A4[2][10]。 指各种供人食用或者饮用的成品和原料以及按照传统既是食品又是药品的物品,但是不包括以治疗为目的的物品,在餐饮业和集体用餐配送单位中主要指原料 从上面的求解过程来看,动态规划问题取决于两个重要 的性质: 1、最优子结构性质:问题的最优解包含了其子问题的最 优解。 2、子问题重叠性质:后续问题的求解可通过前面的子问 题的求解结果计算出来。 因此可通过动态规划基本上可通过递归算法实现。 例2:设序列X={x1,x2,x3…,xm}, Y={y1,y2,y3,…,yn}, 求这 两个序列的最长公共子序列Z。 设Z={z1,z2,z3,…zk}, 则必有下面的结论存在: (1)如果xm=yn,说明xm或yn一定是最长公共子序列中的最 后一个元素,即zk=xm=yn。同样可以得出{z1,z2,z3,…, zk-1}是 序列Xm-1和Yn-1的最长公共子序列。 指各种供人食用或者饮用的成品和原料以及按照传统既是食品又是药品的物品,但是不包括以治疗为目的的物品,在餐饮业和集体用餐配送单位中主要指原料 (2)如果xm≠yn且zk≠xm,说明xm不是Z中的一个元素,Z中 的元素与X中的最后一个元素无关,因此Z是Xm-1与Yn的最长公 共子序列。 (3)如果xm≠yn且zk≠yn,说明yn不是Z中的一个元素,Z中 的元素与Y中的最后一个元素无关,因此Z是Xm与Yn-1的最长公 共子序列。 基于上述认识,我们可以建立一个数组C[i][j]用于记录 Xi和Yj的最长公共子序列的长度,显然有如下的表达式成立 。 (1)当i=0或者j=0时,C[i][j]=0; (2)当i,j0且xi=yj时,C[i][j]=C[i-1][j-1]+1; (3)当i,j0且xi≠yj时,C[i][j]=max(C[i][j-1],C[i-1] [j]} 因此只要计算出上面的递推式就可以计算出其长度。 指各种供人食用或者饮用的成品和原料以及按照传统既是食品又是药品的物品,但是不包括以治疗为目的的物品,在餐饮业和集体用餐配送单位中主要指原料 显然上述算法的实现与前面的例子相同。如果希望求出其 最长公共子序列,可设置一个数组b[i][j],用于记录是哪一个 子序列求得的解。 当b[i][j]=1时,表示Zk是在原来Zk-1的基础上加上Xi或者Yj 得到,因为此时Xi=Yj。 当b[i][j]=2时,表示Xi和Yj的最长公共子序列与Xi-1和Yj 的 最长公共子序列相同。 当b[i][j]=3时,表示Xi和Yj的最长公共子序列与Xi和Yj 的 最长公共子序列相同。 可通过求得的b[i][j]然后再计算出其最后的子序列。当然 也可在求解过程中计算其最后的最序列。其程序见 MaxLength.cpp. 该算法还可作一定程度的改进以提高其运行速度。 指各种供人食用或者饮用的成品和原料以及按照传统既是食品又是药品的物品,但是不包括以治疗为目的的物品,在餐饮业和集体用餐配送单位中主要指原料 例3:已知某整数序列A=(a1,a2,…,an),求该序列的最大 子段和。 分析:显然要求其最大子段和可通过一个3重循环求得 。首先把序列分解成两个部分,对于前一部分,我们已经计 算出其所有可能的组合结果,后一部分则分别计算其所有组 合中的最大值,并于前面求得的最大值进行比较,如果比前 面求得的最大值还大则取代前面的最大值。这样可求得其最 大子段和。 上述算法执行时间太长。可采用分治法求解,以降低时 间复杂度。 分治法的思想是将序列分解成两个相同的部分,显然可 得到如下几种情形: (1)整个序列的最大子段和与前一部分的最大子段和同 。 (2)整个序列的最大子段和与后一部分的最大子段和同 。 指各种供人食用或者饮用的成品和原料以及按照传统既是食品又是药品的物品,但是不包括以治疗为目的的物品,在餐饮业和集体用餐配送单位中主要指原料 (3)整个序列的最大子段和由前面序列的部分元素和后面 序列的部分元素组成。实际上是从中间往两边找,分别查找 其左边的最大值和右边的最大值,并记录对应的位置。 前面(1)(2)均可利用递归进行求解,后面可通过搜 索获得。其程序见MaxSum.cpp。 该程序也可采用动态规划的方法求得。若设b[j]表示为式1 。所求得的最大子段和可表示为式2的形式。 指各种供人食用或者饮用的成品和原料以及按照传统既是食品又是药品的物品,但是不包括以治疗为目的的物品,在餐饮业和集体用餐配送单位中主要指原料 显然,当b[j-1]0时,b[j]=b[j-1]+a[j],否则b[j]=a[j]。因为 b[j]表示从i到j的的元素之和的最大值,显然若前面求得的最 大子序列之和小于等于0,则需要抛弃前面的元素,重新从 a[j]开始求新的子序列,而不是从前面求得的最大子序列的位 置开始计算。其程序见MaxSum.cpp。 例4:求凸多边形的最优三角剖分。 多边形的三角剖分是将多边形分割成互不相交的三角形 的弦的集合T。 给定凸多边形P,以及定义在由多边形的边和弦组成的三 角形上的权函数w。要求确定该凸多边形的三角剖分,使得 该三角剖分中诸三角形上权之和为最小。 指各种供人食用或者饮用的成品和原料以及按照传统既是食品又是药品的物品,但是不包括以治疗为目的的物品,在餐

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  • //动态内存释放 for (i = 0; i ; i++) { free(c[i]); free(b[i]); } free(c); free(b); } /***LCS测试输出***/ int main(int *argc, int *argv[]) { char X[size_c] = "asdfghjkt"; char Y[size_c] = "yyydfooo"; ...

    #include#ifndef size_c

    #define size_c 200

    #endif // 预定义字符串的长度

    #define EQUAL 1 //EQUAL表示c[i][j]是由c[i-1][j-1]+1来的=此时两个序列有相同的字符

    #define UP 2 //UP表示c[i][j]是由c[i-1][j]来的========此时两个序列没有相同的字符

    #define LEFT 3 //LEFT表示c[i][j]是由[ci][j-1]来的======此时两个序列没有相同的字符

    //int char1[size_c][size_c]; //定义两个二维数组存放字符串

    //int char2[size_c][size_c]; //1存放位置,2存放路径

    //int max(int m, int n, int i, int j);

    //int print(int i, int j);

    /***函数一、判断LCS长度***/

    int Lcs_len(char *str1, char *str2, int **char1, int **char2)

    {

    //int char1[size_c][size_c] = {0};

    //int char2[size_c][size_c] = {0};

    int m = strlen(str1);

    int n = strlen(str2); //求出两个数组的边界长度

    int i, j;

    for (i = 0; i <= m; i++)

    {

    char1[i][0] = 0;

    }

    for (j = 0; j <= n; j++) //初始化边界条件

    {

    char1[0][j] = 0;

    }

    for (i = 1; i <= m; i++)

    {

    for (j = 1; j <= n; j++)

    {

    if (str1[i - 1] == str2[j - 1])

    // 这里使用i-1以及j-1是由于数组的下标从0开始

    //另一种实现方式是逆序实现,对于路径的确定更方便

    {

    char1[i][j] = char1[i - 1][j - 1] + 1;

    char2[i][j] = EQUAL;

    }

    else if (char1[i - 1][j] >= char1[i][j - 1])//在j循环时若字符串不等

    { // 则只用判断char中的元素

    char1[i][j] = char1[i - 1][j];

    char2[i][j] = UP;

    }

    else

    {

    char1[i][j] = char1[i][j - 1];

    char2[i][j] = LEFT;

    }

    }

    }

    return char1[m][n]; //递归的最终位存储的数字就是LCS长度

    }

    /***函数二、输出LCS***/

    void Print_Lcs(char *str, int **b, int i, int j)

    {

    if (i == 0 || j == 0)

    return; //递归至边界则扫描完毕

    if (b[i][j] == EQUAL)

    { //对于相等的元素,其路径为左上方对角移动

    Print_Lcs(str, b, i - 1, j - 1);

    printf("%c ", str[i - 1]); //相等的话,原字符序列向前递归一位并打印出字符

    }

    else if (b[i][j] == UP) //不相等时判断方向:向上则数组向上位移

    Print_Lcs(str, b, i - 1, j);

    else

    Print_Lcs(str, b, i, j - 1); //否则数组下标向左位移一位

    }

    /***函数三、整合LCS函数***/

    void Find_Lcs(char *str1, char *str2)

    {

    int i, j, length;

    int len1 = strlen(str1),

    len2 = strlen(str2);

    //申请二维数组

    int **c = (int **)malloc(sizeof(int*) * (len1 + 1));

    int **b = (int **)malloc(sizeof(int*) * (len1 + 1));

    for (i = 0; i <= len1; i++) 这个等号之前没加,导致内存泄漏

    {

    c[i] = (int *)malloc(sizeof(int) * (len2 + 1));

    b[i] = (int *)malloc(sizeof(int) * (len2 + 1));

    }

    //将c[len1][len2]和b[len1][len2]初始化为0

    for (i = 0; i <= len1; i++)

    for (j = 0; j <= len2; j++)

    {

    c[i][j] = 0;

    b[i][j] = 0;

    }

    //计算LCS的长度

    length = Lcs_len(str1, str2, c, b);

    printf("The number of the Longest-Common-Subsequence is %d\n", length);

    //利用数组b输出最长子序列

    printf("The Longest-Common-Subsequence is: ");

    Print_Lcs(str1, b, len1, len2);

    printf("\n");

    //动态内存释放

    for (i = 0; i <= len1; i++)

    {

    free(c[i]);

    free(b[i]);

    }

    free(c);

    free(b);

    }

    /***LCS测试输出***/

    int main(int *argc, int *argv[])

    {

    char X[size_c] = "asdfghjkt";

    char Y[size_c] = "yyydfooo";

    int len;

    //printf("please enter your characters:");

    //scanf("%s", X);

    while (strlen(X) > 200) //规定字符串序列的最大长度,此处为200

    {

    printf("what you input is too long, please try again");

    //scanf("%s\n", X);//超出限制时提醒并重新输入

    }

    //printf("please enter your characters:");

    //scanf("%s", Y);

    while (strlen(Y) > 200) //长度限制同上

    {

    printf("what you input is too long, please try again");

    //scanf("%s", Y);

    }

    Find_Lcs(X, Y); //使用LCS函数输出长度与子序列

    system("pause");

    }

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  • 动态规划算法---矩阵连乘(C语言

    千次阅读 2019-09-24 22:55:06
    问题描述:给定n个矩阵{A1,A2,…,An},其中Ai与Ai+1是可乘的,i=1,2…,n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序,使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。 一 分析最优解的性质与结构 ...

    问题描述:给定n个矩阵{A1,A2,…,An},其中Ai与Ai+1是可乘的,i=1,2…,n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序,使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。

    一 分析最优解的性质与结构
    最优解也就是计算A[1:n]的最优次序,可以假设这个最优解在第k处断开,1<=k<j,则A[1:j]是最优的,那么A[1,k]和A[k+1:j]也是相应矩阵连乘的最优解。
    关键在于矩阵乘积计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优解,这种性质是最优子结构性质。
    二 建立递归关系
    ![在这里
    其中m[i][j]表示最少数乘次数,也就是构建最优解的代价。
    其中pi-1pkpj表示前两部分相乘的代价。(Ai的维数可以表示为pi-1*pi).
    三 计算最优值并解决子问题重叠问题
    子问题重叠:
    根据以上递归中,可以知道有些子问题例如m[1,2]被不同的子问题包含,可能被计算多次。
    解决办法:
    根据递归形式以自底向上的方式进行计算,在计算过程中保存已解决的子问题答案,从而避免重复计算。
    具体:
    数组m[n][n]存取最优值,数组s[n][n]表示分割位置,按照递增的方式逐步填写子问题的解,也就是先计算长度为2的所有矩阵链的解,然后计算长度3的矩阵链,直到长度n。
    m[i][i]=0(矩阵链长为1)
    m[i][i+1] (链长为2)

    所以当计算m[i][j]时只用到了m[i][k]和m[k+1][j]。

    四 构造最优解
    从s[1][n]中可知,最优加括号方式应为(A[1:s[1][n])(A[s[1][n]+1:n)。
    A[i:s[1][n])的最优加括号方式为A[1:s[1][s[1][n]]])(A[s[1][s[1][n]]]+1:s[1][n]])…
    最终可以构造原问题的最优解。

    #include <stdio.h>
    #include <stdlib.h>
    void MatrixChain(int p[6],int n,int m[][7],int s[][7])
    {
    int r=0,i=0,j=0,k=0,t=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
        m[i][i]==0;
    for(r=2;r<=n;r++)
    for(i=1;i<=n-r+1;i++)//n-r+1表示保证有r个矩阵相乘
    {
        j=i+r-1;//当r=3时 有三个矩阵 但j=i+2,所以需要-1
        m[i][j]=m[i][i]+m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];//默认在初始下标之后断开,得到初始值
        s[i][j]=i;
        for(k=i+1;k<j;k++)
        {
            t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
            if(t<m[i][j]){
                m[i][j]=t;
                s[i][j]=k;
            }
    
        }
    }
    }
    void TrackBack(int i,int j, int s[][7])
    {
        if(i==j) return;
        TrackBack(i,s[i][j],s);//递归第一次断开之前
        TrackBack(s[i][j]+1,j,s);
        printf("A%d",i);
        printf(" and A%d",j);
        printf("\n");
    
    }
    int main()
    {
       int n=6;
       int p[]={30,35,15,5,10,20,25};
       int s[7][7]={0};
       int m[7][7]={0};
       MatrixChain(p,n,m,s);
       TrackBack(1,n,s);
    }
    

    结果
    在这里插入图片描述

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  • 目录一、算法分析二、代码实现三、测试结果四、leetcode一、算法分析1、 问题描述:设G=为一有向图,V={1,2,…,n},表示顶点编号;E为边的集合,图G中的每一条边(i, j)∈E,对应的距离值为w[i,j]。 顶点i,j间的距离...

    目录

    一、算法分析

    二、代码实现

    三、测试结果

    四、leetcode

    一、算法分析

    1、 问题描述:

    设G=为一有向图,V={1,2,…,n},表示顶点编号;E为边的集合,图G中的每一条边(i, j)∈E,对应的距离值为w[i,j]。 顶点i,j间的距离定义为从i出发到j的最短路径长度。

    目的:找出图G中每一个顶点到其他所有顶点的距离(有向图,即A到B与B到A的距离可能不一样)。

    约定:若(i,j)∉E,则w[i,j]=∞;若i∈V,w[i,i]=0;

    问题输入:表示待权有向图G=的n*n矩阵W。

    问题输出:对任意的i, j∈V,i到j的距离以及最短路径。

    2、分析过程:

    (1)设G中两个不同的顶点i,j∈V,p是从i到j其间仅经过{1,2,…,k}的最短路径。

    (2)若p不经过顶点k,则p也是从i到j其间敬经过{1,2,…,k-1}的最短路径。

    (3)若p经过顶点k,即p–>k–>j。将这两段分别记为p1,p2,则p1是从i到k其间仅经过{1,2,…,k-1}的最短路径,p2是k到j其间仅经过{1,2,…,k-1}的最短路径。(可由反证法证明)

    个人理解:k为i到j的最短路径上的一个顶点,则i到k的最短路径+k到j的最短路径,与i到j的最短路径相同,其顶点必定相同。 判断顶点k是否需要加入最短路径,比较(2)与(3)的结果即可,若(2)

    定义di,jk为i到j其间仅经过{1,2,…,k}的最短路径长度。递归表达式如下:

    [d_{i,j}^{k}=

    begin{cases}

    w[i,j]& text{k=0}\

    minlbrace d_{i,j}^{k-1},d_{i,k}^{k-1} + d_{k,j}^{k-1}rbrace & text{1≤k≤n}\

    end{cases}

    ]

    顶点对的距离矩阵:

    [D_k={d_{i,j}^k}_{(n,n)}

    ]

    二、代码实现

    最短路径:

    pair floydWarshall(double *w, int n)

    {

    // 使用一维数组存储图的矩阵(邻接矩阵)

    double *d = (double*)malloc(n * n * sizeof(double));

    int i, j, k;

    // 存储最短路径的节点

    int *pi = (int*)malloc(n * n * sizeof(int));

    // 最短路径节点初始化

    for (i = 0; i < n; i++) {

    for (j = 0; j < n; j++) {

    // 顶点到自身的路径,顶点到某个无法直接到达的顶点之间路径,初始化为-1

    if (j == i || w[i * n + j] >= DBL_MAX) {

    pi[i * n + j] = -1;

    } else {

    pi[i * n + j] = i;

    }

    }

    }

    // 内存复制,数组的拷贝(动态申请内存的数组),更简洁

    memcpy(d, w, n * n * sizeof(double));

    //计算最短路径,并保存顶点数据

    for (k = 1; k <= n; k++) { // 以下计算,顶点k,对应于其他顶点的最短路径

    for (i = 0; i < n; i++) {

    for (j = 0; j < n; j++) {

    // 若D[i,j]>D[i,k]+D[k,j],即经过顶点K后,路径变短,则将顶点K加入到[i,j]的路径中

    if (d[i * n + j] > d[i * n + k - 1] + d[(k - 1) * n + j]) {

    // 更新巨鹿数据D[i,j]

    d[i * n + j] = d[i * n + k - 1] + d[(k - 1) * n + j];

    // 更新顶点数据:顶点k对应的前驱节点,即当前顶点对应的一个奠定

    pi[i * n + j] = pi[(k - 1) * n + j];

    }

    }

    }

    }

    // 需要返回两个数组,可以使用结构体

    return make_pair(d, pi);

    }

    路径打印:

    void printAllPairsShortestPath(int *pi, int n, int i, int j)

    {

    // 顶点到自身的距离为0,由于初始化时将距离矩阵的对角线初始化为-1,此时将i+1即可

    if (i == j) {

    printf("%d ", i + 1);

    return ;

    }

    // 若距离矩阵中的顶点不存在时,其路径也不存在

    if (pi[i * n + j] == -1) {

    printf("no path from %d to %d exists.n", i + 1, j + 1);

    } else {

    // 递归打印前驱节点

    printAllPairsShortestPath(pi, n, i, pi[i * n + j]);

    printf("%d ", j + 1);

    }

    }

    三、测试结果

    测试代码:

    #include

    #include

    #include

    #include

    typedef struct {

    void *first;

    void *second;

    } pair;

    pair make_pair(void *f, void *d) {

    pair p = {f, d};

    return p;

    }

    pair floydWarshall(double *w, int n)

    {

    // 具体实现参考上一小节

    }

    void printAllPairsShortestPath(int *pi, int n, int i, int j)

    {

    // 具体实现参考上一小节

    }

    int main(void)

    {

    // 初始化

    double w[] = {0, 3, 8, DBL_MAX, -4,

    DBL_MAX, 0, DBL_MAX, 1, 7,

    DBL_MAX, 4, 0, DBL_MAX, DBL_MAX,

    2, DBL_MAX, -5, 0, DBL_MAX,

    DBL_MAX, DBL_MAX, DBL_MAX, 6, 0};

    double *d;

    int i, j, k, *pi;

    int n = 5;

    pair r;

    // 计算最短路径

    r = floydWarshall(w, n);

    // 各顶点间的最短距离

    d = (double *)r.first;

    // 各顶点对应的前驱节点

    pi = (int * )r.second;

    printf("n---Shortest distance---n");

    for (i = 0; i < n; i++) {

    for (j =0; j < n; j++) {

    printf("%1.1f ", d[i * n + j]); }

    printf("nn");

    }

    printf("n---Precursor node---n");

    for (i = 0; i < n; i++) {

    for (j =0; j < n; j++) {

    printf("%2d ", pi[i * n + j]);

    }

    printf("nn");

    }

    for (i = 0; i < n; i++) {

    printf("n---Shortest path:[%d,x]:---n", i + 1);

    for (j =0; j < n; j++) {

    printAllPairsShortestPath(pi, n, i, j);

    printf(":%2.1fn", d[i * n + j]);

    }

    }

    free(d);

    free(pi);

    while (1);

    return 0;

    }

    测试数据:

    75d7cf95a740e242e5d34d937eebf08a.png

    测试结果:

    83fadfd2dea5480fb8996e5cdcc0409e.png

    ad44e47d1aa18012455a0166e03e8171.png

    四、leetcode

    待补充

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    2021-05-24 06:25:07
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空空如也

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