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  • 二元函数可微与可导的关系
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    2020-12-30 02:21:37

    二元函数可导、可微与连续性的关系.pdf

    专 题 研 究

    t~-I。 啦—~ 一一~…… … l1. TI 醣雾

    … ,l

    二元函数可导、可微与连续胜昀关系

    ◎毛 海勤 (杭 州师范大学钱 江学院 310012)

    【摘要】本文提出的是基于我们所学的关于二元函数导 二、可导性、可微性与连续性之 间的关 系

    数和微分 、连续 的 内容,以此研 究它们 三者之 间的关 系,以 二元 函数可导性 、可微性与连续性的关系:

    便 于我们更简便易懂地使用 它们. (1)二元 函数可微性与连续性 的关系

    【关键词】函数;可导性;可微性;连续性 定理 1 如果函数z=_厂(,Y)在点 (,Y)处可微分 ,那么

    函数在该 点处必定连续.

    一 、 概 述

    证明 .‘函数 。=_厂(,Y)在点(,Y)处可微 ,则有

    1.函数可导 的定义

    Az=AAx+BAy+0(P).

    (1)二元函数偏导数的定义 :

    故limAz= lim △ =0.

    方 向的偏导 : p }O (A ,A1)一 (0.0)

    设有二元 函数 =-厂(,Y),点 (。,Y。)是其定义域 ,J内 从而有 lira _厂(+Ax,Y+Ay):

    一 点.把Y固定在Y。而让 在 。有增量 ,相应地函数 z= lim [/ )+△z]=/ ,Y).

    _厂(,Y)有增量 (称为对 的偏增量 )Az=f(‰ + ,Y。)一

    . . 函数 z:_厂(,Y)在点 (,Y)处连续.

    f(。,Y。).

    故二元 函数可微必定连续 ,但是连续不一定可微.

    如果 △z与 Ax之 比当 一0时的极限存在 ,那么此极

    (2)二元丽数可微与可导的关系

    限值称为函数 =_厂(,Y)在 (。,Y。)处对 的偏导数 (partial

    定理 2 如果 函数 =_厂(,Y)在点 (,Y)处可微分 ,那

    derivative).记作f'x( ,Y0).

    Y方 向的偏导 : 么,函数在点(,y)处的偏导数警,尝必定存在,并且函数

    a oy

    如果 与 Ay之 比当 △y—O时 的极限存在 ,那么此极

    在点(,),)处的全微分为 d:= △ + ZSAy

    限值称为函数 = ,Y)在 (。,Y)处对 Y的偏导数 (partial .

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    谈到多元函数可微与可偏导时,相信不少人头皮有点发麻。一元函数中,可微与可导是等价的,但是在多元函数中,可微与可偏导之间的关系就没那么简单了,这是为什么呢?本文小编将以二元函数为例进行详细的说明。

    1.二元函数的可偏导

    在二元函数中,一元函数的可导的概念变为可偏导,导函数的概念变为偏导函数,具体看下例:

    二元函数f(x,y)对x、y的偏导函数分别为:

    在求二元函数的偏导函数时,都是假设另外一个变量为常量,然后对余下那个变量求导数。例如,f(x,y)对x的偏导函数,就是假设y为常量,然后f(x,y)对变量x求导数即得。

    对于某一点,函数f(x, y)在该点的两个偏导数可能都存在、可能只存在一个、也可能都不存在。

    在点(0, 0)的两个偏导数只存在一个的函数例子:

    在点(0, 0)的两个偏导数都不存在的函数例子:

    在点(0, 0)的两个偏导数都存在的函数例子:

    对于上面三个例子,小编建议大家亲手去算算偏导数,这样能加深对二元函数偏导数的理解。

    2.二元函数的可微

    某一点可微描述的是函数增量与自变量增量之间的线性关系。在一元函数中,若线性主部的系数只与该点有关,则可微。以此类推,在二元函数中,若多个自变量的线性主部的系数都只与该点有关,则可微。下面分别列出一元函数、二元函数函数增量与自变量增量之间的关系式:

    对于一特定点,当A、B为常数时,即A、B与自变量增量无关,则函数在该点可微,且A、B分别为函数在该点对x、y求偏导后的偏导数。

    3.可微、可偏导、连续、导函数连续之间的关系

    为了方便比较一元函数,小编先给出一元函数在某点C上关于可微、可导、连续、导函数连续的关系图。在图1中,函数f(x)可微与可导等价,因此可微与可导之间是双向箭头;在点C可微、可导必能得出函数f(x)在点C连续,但连续不能推出f(x)在点C可导、可微。因此可微、可导与连续之间是单向箭头。而导函数在点C连续,很明显就能推出函数在点C可导、可微、连续,但反过来,无法推出导函数在点C连续。

    图1.一元函数可微、可导关系示意图

    小编提醒大家,一定要经常记忆上图,而且是要理解性地记忆,比如说一元函数可微,要能明白可微是什么,关系式如何写!

    相比于一元函数,二元函数就复杂多了,下面先给出二元函数可微、可偏导、连续、导函数连续的关系图。

    图2.多元函数可微、可偏导关系示意图

    当然在记忆这些关系时,我们通常要花时间记忆的是那些不容易理解的关系,而这些不容易理解的关系是与一元函数相比较后的那些不同之处。

    3.1可微与可偏导不等价

    在阐述二元函数可微与可偏导不等价前,不妨先回顾下,为什么一元函数中可微与可导是等价的?

    在一元函数中,如果函数f(x)在x=x0处可导,则有如下关系式:

    假设在一元函数中,函数增量与自变量存在如下关系:

    上式两边同除以△x,然后两边对△x取极限,可知A=m,则根据一元函数可微的定义,A只与x=x0有关,与△x无关,所以f(x)在x=x0可微。同理,不难得出在一元函数中,可微亦可推出可导。

    那么在二元函数中,如何论证可微必可推导呢?

    假设二元函数在点C(x0, y0)可微,则由可微的定义,必存在(x0, y0)的某邻域,使得下式成立:

    不妨分别令△x=0、△y=0,根据①式可得:

    之所以可以令△x=0、△y=0,是因为点(x0, y0+△y)和(x0+△x, y0)都在点(x0, y0)的可微邻域内。

    对②中两式求极限,可得:

    结合偏导数的定义和③中的两个极限,可知可微情况下,函数在点C的两个偏导数都存在,因此可微必可偏导。

    尽管可微必可偏导,但反过来不成立,请看下面这个例子:

    函数F在(0, 0)的两个偏导数都存在且为0,现在用反证法证明函数F在点(0, 0)不可微。假设函数F在原点可微,则根据可微定义,下列极限必存在,但是下列极限可以通过列举两条路径很容易验证不存在,原假设错误,所以可偏导不一定可微。

    3.2 可偏导不一定连续

    在二元函数关系图中,另外一个很让人费解的地方,是二元函数在某点的两个偏导数都存在,但是函数在这一点却不一定连续。为了说明这一点,请看下面这个函数:

    相信大家都能很熟练地计算出函数F在原点对x、y的偏导数均为0,但是当曲线沿着y=x的路径趋于原点时,函数值会趋于1,不等于0,因此函数F在原点不连续。

    从抽象的角度看,二元函数在某一点的两个偏导数都存在,只能说明二元函数沿x方向、沿y方向趋于该点的值等于函数在该点的定义值,但无法保证沿其它方向趋于该点的值也等于函数值。

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  • 如何理解二元函数的可导与可微

    千次阅读 2022-03-21 16:00:08
    1.如何理解可导与可微? 笔记来源:【kaysen学长的文章】二元微分:连续、可、可偏、偏连续的超强通俗解析! 1.1 二元函数是一个曲面上某点处沿着x,y轴的切线存在 1.2 二元函数是一个曲面...

    1.如何理解可导与可微?

    笔记来源:【kaysen学长的文章】二元微分:连续、可微、可偏导、偏导连续的超强通俗解析!

    1.1 二元函数可导

    可导是一个曲面上某点处沿着x,y轴的切线存在

    1.2 二元函数可微

    可微是一个曲面上某点处的切平面存在

    若切平面不垂直于xoy面,可认为该点处可微(切面垂直于xoy面时,导数不存在,类似于一元的理解)


    曲面某点处的微小切平面


    这个微小切平面是由各个切线组合而成

    如果这些切线中某条切线不存在,剩余切线也不能够合成微平面,所以可微一定可导(微平面存在,则此点处所有切线均存在),可导不一定可微(部分切线存在,则微平面不一定存在)




    Δ z \Delta z Δz的两种表示
    Δ z = f ( x , y ) − f ( x 0 , y 0 ) \Delta z=f(x,y)-f(x_0,y_0) Δz=f(x,y)f(x0,y0)
    Δ z = f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) \Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x_0,y_0) Δz=f(x+Δx,y+Δy)f(x0,y0)

    以下为个人对可微的理解(可能存在误解)
    我们的目的:利用切平面上点的函数值 g ( x , y ) g(x,y) g(x,y)来线性估计曲面上点的函数值 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)
    文章刚开始通俗理解了可微的大致意思是某点的切平面存在,即函数在某点可微,这点才存在切平面,我们才可以利用切平面来进行线性估计
    我们取某个点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)过该点做曲面的切平面,作微小变化后到点 ( x , y ) (x,y) (x,y),始点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)与终点 ( x , y ) (x,y) (x,y)之间的水平距离为 ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 \rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} ρ=(Δx)2+(Δy)2 ,实际函数值与线性估计值的差为 Δ z − d z \Delta z-dz Δzdz,我们为了方便描述实际函数值与线性估计值之间的接近情况引入了极限
    lim ⁡ ρ → 0 Δ z − d z ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 = lim ⁡ ρ → 0 Δ z − d z ρ = 0 \lim_{\rho\rightarrow0}\frac{\Delta z-dz}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}=\lim_{\rho\rightarrow0}\frac{\Delta z-dz}{\rho}=0 ρ0lim(Δx)2+(Δy)2 Δzdz=ρ0limρΔzdz=0
    上述极限表示实际函数值与线性估计值之间的差趋于0的速度要比水平距离 ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 \rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} ρ=(Δx)2+(Δy)2 趋于0的速度快的多,也就是说分子是分母的高阶无穷小,即 Δ z − d z = o ( ρ ) \Delta z-dz=o(\rho) Δzdz=o(ρ),这样才能保证线性估计值更加接近实际函数值,使得估计更加准确,而这也正是可微的定义

    定义判定二元函数可微

    分子: Δ z − ( A Δ x + B Δ y ) \Delta z-(A\Delta x+B\Delta y) Δz(AΔx+BΔy)
    分母: ρ \rho ρ
    即证明分子是分母的高阶无穷小

    其中:

    偏导数为偏增量(关于偏导数详见本人博客:Chapter33:偏导数

    A Δ x + B Δ y A\Delta x+B\Delta y AΔx+BΔy称为函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)全微分,记为
    d z = A d x + B d y dz=Adx+Bdy dz=Adx+Bdy

    判定二元函数在某点是否可微的例子:

    1.3 二元函数的偏导与连续

    可偏导(某点处) ↛ \nrightarrow 连续(邻区域)
    只在直线连续,而非在邻域内连续

    连续(原点邻域内) ↛ \nrightarrow 可偏导(原点处)


    原点处存在多条切线(切线不唯一),故不可导

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  • 二元函数的连续偏可微之间的关系 目 录 摘要……………………………………………………………………………………………1 关键词…………………………………………………………………………………………1 ...

    41528d3028836879cd698677c3999917.gif二元函数的连续偏导数可微之间的关系

    目 录 摘要……………………………………………………………………………………………1 关键词…………………………………………………………………………………………1 Abstract………………………………………………………………………………………1 Key words……………………………………………………………………………………1 引言……………………………………………………………………………………………1 1二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定 义……………………………………………1 2二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关 系………………………………………2 2.1二元函数连续与偏导数存在之间的关系………………………………………………2 2.2二元函数连续与可微之间的关系………………………………………………………3 2.3二元函数可微与偏导数存在之间的关系………………………………………………3 2.4二元函数可微与偏导数连续之间的关系………………………………………………4 二元函数连续、偏导数、可微的关系 图………………………………………………………6 参考文献………………………………………………………………………………………7 致谢……………………………………………………………………………………………8本科生毕业论文 2 二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系 摘要 一元函数可微与可导等价,可导必连续.但二元函数并非如此,以下文章给出了二元函数连续、 偏导数、可微之间的关系,并给出了简单的证明,且用实例说明了它们之间的无关性和在一定条件 下所具有的共性. 关键词 二元函数 连续 偏导数 可微 The Relationship among Continuation, Partial Derivatives and Differentiability in Binary Function Abstract Unary function differentiable with derivative equivalent, will be continuously differentiable. But the dual function is not the case, the following article gives a continuous function of two variables, partial derivatives, can be said the relationship between them, and gives a simple show, and illustrated with examples related between them and under certain conditions have in common Key words binary function continuation partial derivatives differentiability 引言 二元函数的偏导数存在、函数连续、可微是二元函数微分学的三个重要概念.对 于学习数学分析的人来说,必须弄清三者之间的关系,才能学好、掌握与之相关的理 论知识.本文详细讨论这三者之间的关系. 1 二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义 定义1 设 为定义在点集 上的二元函数, ( 或者是 的聚点, f 2 D R  0 D P  0 P D 或者是 的孤立点) ,对于任给的正数 ,总存在相应的正数 ,只要 D   ,就有 ,则称 关于集合 在点 连续. 0 , ) ( D P U P    0 ) | | ( ) ( f P f P    f D 0 P 定义2 设函数 ,若 且 在 的某一邻域 ( , ),( , ) z f x y x y D   0 0 , ) ( y D x  0 , ) ( y f x 0 x 内有定义,则当极限 存在时,则称这个 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ) ( , ) ( , lim lim x x x f x y f x y f x x y x x           本科生毕业论文 3 极限为函数 在点 关于 的偏导数,记作 . f 0 0 , ) ( y x x 0 0 ( , ) | x y f x   定义3 设函数 在点 某邻域 内有定义,对于 中的 ( , ) z f x y  0 0 0 , ) ( y P x 0 ( ) U P 0 ( ) U P 点 ,若函数 在点 处的全增量可表示为 0 0 , ) ( , ) ( y P x y x x y      f 0 P ,其中 、 是仅与点 有关 0 0 0 0 ) ( , ) ( , ( ) A z f x x y y f x y x B y               A B 0 P 的常数, 是较 高阶的无穷小量,则称函数 在点 处可微. 2 2 , ( ) x y         f 0 P 2 二元函数连续、偏 导数、可微三个概念之 间的关系 2.1 二元函数连续与偏导数存在之间的关系 例 在 偏导数存在但不连续. [1] 1 2 2 ,( , ) (0,0) ( , ) 0, ( , ) (0,0) xy x y x y f x y x y          (0,0) 证明 因为 , 0 0 ( ,0) (0,0) 0 0 (0,0) lim lim 0 x x x f x f f x x        同理可知 . 所以 在 偏导数存在. (0,0) 0 y f  ( , ) f x y (0,0) 因为 极限不存在,所以 在 不连续. 2 2 0, 0 lim x y xy x y    ( , ) f x y (0,0) 例 在 点连续,但不存在偏导数. 2 [2] 2 2 ( , ) f x y x y   (0,0) 证明 因为 , 2 2 0, 0 0, 0 lim ( , ) lim 0 (0,0) x y x y f x y x y f         所以 在 点连续, 2 2 ( , ) f x y x y   (0,0) 因为 ,该极限不存在, 2 0 0 ( ,0) (0,0) (0,0) lim lim x x x f x f x f x x      同理 也不存在. (0,0) y f 所以 在点 连续,但不存在偏导数. 2 2 ( , ) f x y x y   (0,0) 此二例说明: 二元函数连续与偏导数存在不等价,偏导数存在不一定连续,连续 不一定偏导数存在.这与一元函数不同.一元函数中,可导一定连续,连续不一定可导. 2.2 二元函数连续与可微之间的关系本科生毕业论文 4 定理 若 在点 可微,则 在点 一定连续. 1 [3] ( , ) z f

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