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  • 二进制乘除

    千次阅读 2019-04-17 09:16:04
    当然也是因为一直有一个东西困扰我,就是学到二进制时,当时只教了二进制的加减,(什么原码,反码,补码的的东西(小声bb))但是没有教二进制乘除。在加上老师告诉我们计算机只能进行二进制的加法,所以我就在...

    已经好久没有写博客了,一是因为学院屁事太多了(嘘,吐吐槽就行了,被学院发现会被bb的)二是因为自己确实找不到什么好写的,呼。当然也是因为一直有一个东西困扰我,就是学到二进制时,当时只教了二进制的加减,(什么原码,反码,补码的的东西(小声bb))但是没有教二进制的乘除。在加上老师告诉我们计算机只能进行二进制的加法,所以我就在思考二进制怎么算加减乘除。好了我还是先说明吧。
    *

    一:乘法

    *大家还记得小学我们学九九乘法表的时候,老师当时要求我们必须要背。因为那是我们必须要求掌握的。也没有巧路可以走的在这里,我还是发一张九九乘法表的图片
    在这里插入图片描述
    那二进制的乘法表是怎样的?
    在这里插入图片描述
    是不是感觉和十进制有很大的不同,哇,只有一种情况才有1,其他的都是0,那怎样把数给变大?难道101x110=100?这是我当初的思路。后来回顾了十进制怎么算的。我才发现原来二进制可以和十进制一样进行同样的步骤乘除。例如十进制里29x33
    在这里插入图片描述
    这里我们发现是87+870
    那把这个带入二进制里运算7x9呢那又是怎样?
    在这里插入图片描述
    是不是突然感觉二进制的乘法很简单了?
    这里我们可以把1001理解为9;10010理解为18;100100理解为36,然后把这三个相加也就是63;当然也可以直接用二进制的相加为111111也就是十进制的63了,那如果俩个负数相乘呢?或者其中一个是负数呢?这里我将用7x-9;作为示例;(如计算机最大为八位数字,第一位为符号位)
    在这里插入图片描述
    现在发现是不是二进制的乘法很简单了,只需要算出来然后分别相加就好了。难?为什么难?那是因为这和我们平时的思维逻辑不一样,所以它难。那除法呢?你们自己想吧。十进制是怎么算除法的。二进制当然也一样。
    有什么不对的欢迎指出。求大佬鞭策。

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  • 二进制加减乘除运算

    万次阅读 多人点赞 2019-03-09 11:40:48
    加减 二进制 十进制 0000 =0 0001 =1 ...二进制的运算算术运算二进制的加法: 0+0=0, 0+1=1 , 1+0=1, 1+1=10(向高位进位); 列如 3+1=0011+0001=0100 5+2=0101+0010=0111 二进制的减...

    加减

    二进制十进制
    0000=0
    0001=1
    0010=2
    0011=3
    0100=4
    0101=5
    0110=6
    0111=7

    二进制的运算算术运算二进制的加法:
    0+0=0,
    0+1=1 ,
    1+0=1,
    1+1=10(向高位进位);

    列如
    3+1=0011+0001=0100
    5+2=0101+0010=0111

    二进制的减法:
    0-0=0,
    0-1=1(向高位借位)
    1-0=1,
    1-1=0 (模二加运算或异或运算) ;
    例如
    3-1=0011-0001=0010
    5-2=0101-0010=0011

    乘除

    二进制乘除运算
    左移 -----除以2
    右移 -----乘以2
    例如:
    0110=6
    左移----0011=3
    右移------1100=12
    0010=2
    左移----0001=1
    右移----0100=4

    最后:二进制最大数,最小数

    正值的最大表示为0111 1111,= 127]
    负值的最小表示为1000 0000,即-128。

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  • 二进制数与十进制数的转换 聊二进制数的运算前,我们先看看二进制数的值与十进制数的值是如何相互转换的, 十进制转换成二进制 将十进制数除以2,得到的商再除以2,依次类推直到商为1时为止,然后在旁边标出各步的...

    二进制数与十进制数的转换

    聊二进制数的运算前,我们先看看二进制数的值与十进制数的值是如何相互转换的,
    十进制转换成二进制
    将十进制数除以2,得到的商再除以2,依次类推直到商为1时为止,然后在旁边标出各步的余数,最后从下往上倒着写出来,高位补零就可以成功转换成二进制。
    例如下图49的二进制数就是110001
    在这里插入图片描述
    二进制转换成十进制
    只需将二进制数的各数位的值和位权相乘,然后将相乘的结果相加即可,有木有感觉特别方便。
    在这里插入图片描述
    二进制数的符号位
    二进制数中表示负数值时,一般会把最高位作为符号位来使用,最高位为0代表正数,最高位为1代表负数。
    这时了解二进制的人可能就会疑问,既然最高位1代表负数,1是00000001,那-1应该是10000001,为什么是11111111呢?要解释这个我们要先引入“补数”的概念,因为计算机在做加减运算时其实内部只会做加法运算,所以为了表示负数,就用正数来表示负数,这就是负数的概念。得到补数的方法很简单,进行取反操作,将二进制数的各位数的数值由1变为0,0变为1,再将结果加上1就可以了。

    00000001——————1(十进制)
    先进行取反操作,之后再加上1
    11111110
    变成
    11111111——————-1(十进制)

    不信的同学还可以验证以下,就会发现8位二进制的-1+1刚好等于100000000,而计算机会直接忽略掉最高位溢出的那个数字,所以刚好是00000000了。

    二进制数的乘除运算

    二进制数的乘除运算有两种方法,要么先转化位十进制数进行运算之后再转换为二进制(想来有点麻烦),要么头铁直接用二进制数进行乘除运算。

    在这里插入图片描述
    二进制数111乘以1011,乘数1011的每一位分别与乘数相乘,得到111、1110、00000、111000,将其加起来,得到1001101,这便是二进制乘法最直接的解求过程;也可以将111转化为十进制数7,1011转化为十进制数11,显版然7乘以11等于77,再将十进制数77化为二进制数1001101,显然1x26+1x23+1x22+1x20=64+8+4+1=77,所求结果完全正确。——百度

    二进制数的移位运算

    移位运算可是二进制的门面招牌
    在这里插入图片描述

    移位运算指的是将二进制数值的各数位进行左右移位(shift=移位)的运算。移位有左移(向高位方向)和右移(向低位方向)两种。在一次运算中,可以进行多个数位的移位操作。在程序代码中<<这个运算符表示左移,>>这个运算符表示右移,

    int a=1;
    int b;
    b=a<<3;//b现在为8

    运算符左侧是被移位的值,右侧表示要移位的位数。看到这有些同学就会想到,这移了几位不多了几个空白处么,计算机这千年老怪早想好了,如果是左移运算的话,它就会在空出来的低位补0。如果是右移运算的话,就稍微有点特殊,因为存在两种情况,既可以填1也可以填0,这就是逻辑右移和算数右移的区别。

    当二进制数的值表示图形模式而非数值时,移位后需要在最高位补0.类似于霓虹灯往右滚动的效果。这就称为逻辑右移。
    将二进制数作为带符号的数值进行运算时,移位后要在最高位填充移位前符号位的值(0或1)。这就称为算数右移。例如负数就在最高位补1,正数就在最高位补0。
    在这里插入图片描述

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  • 二进制整数的乘除运算 前言 运算一直视程序执行其中一个重要的环节,而在二进制的运算过程其中,加法运算有时重中之重,他基本上奠定了二进制运算的基础.因此不管是减法还是乘法,都能够由加法运算来取代,只有除法不能...

    二进制整数的乘除运算

    前言

    运算一直视程序执行其中一个重要的环节,而在二进制的运算过程其中,加法运算有时重中之重,他基本上奠定了二进制运算的基础.因此不管是减法还是乘法,都能够由加法运算来取代,只有除法不能取代.

     

    了解了计算机运算的规律,能够有助于我们理解非常多程序代码上无法理解的内容能够.比方上一张提出的溢出问题,在了解了加法运算的原理之后,相信大家都能够轻松您的知道为何有些运算会得到意想不到的结果.

     

    这里还须要提到一点,不同的处理器所採取的运算方式可能有细微的区别,因此也不能一概而论.因此我们大多数时候会尽量讨论运算的而抽象数据特性,抽象的东西大部分时候总是可靠的,这样的特性为跨平台提供了基础,只是也并不是是总是如此,毕竟本屌仅仅听说过浮点数运算标准,没听过整数运算标准.可能有,可是本屌没听过.

     

    正因如此,我们了解一下运算的抽象性,会有助于我们理解程序代码级无法理解的东西.

     

     

    无符号乘法

    无符号的乘法与加法类似,他的运算方式是比較简单的,仅仅是也可能产生溢出.对于两个w位的无符号来说,他们的乘积范围在0(2w次方-1)的平方之间,因此可能须要2w位的二进制才干表示.因此因为位数的限制,如果两个w位的无符号数的真实乘积为pro,依据截断的规则,则实际得到的乘积为pro mod 2w次方

     

     

     

    补码乘法

    与加法运算类似,补码乘法也是家里在无符号的基础之上的,因此我们能够非常easy得到,对于两个w位的补码来说,如果他们的真实乘积为pro,则实际得到的乘积为U2Tw(pro mod 2w次方)

     

    上面的式子我们有一个如果,就是如果对于w位的两个补码数来说,他们的乘积的低w位于无符号数乘积的低w位是一样的.这意味着计算机能够使用一个指令运行无符号和补码的乘法运算.

     

    证明过程略过了,就是利用无符号编码和补码编码的关系.

     

     

     

    乘法运算的优化

    依据我们小学学的乘法运算,我们知道,如果两个w位的二进制数相乘,则须要进行w次与运算,然后进行w-1次加法运算才干得到结果.从此不难看出,乘法运算的时间周期是非常长的.因此计算机界的大神们出山了,他们相处了一个能够优化乘法运算的方法,就是使用移位运算和加法来取代乘法.

     

    上述有花的前提是对于一个w位的二进制数来说,它与2

    k次方的乘积,等同于这个二进制数左移k,在低位补k0.证明过程有兴趣的同学自己看看,我反正没兴趣.事实上还是主要应用了无符号编码的公式.

     

     

    有了上面的基础,我们就能够使用移位和加法对乘法优化了.对于随意一个整数y,他总是能使用二进制序列表示(如果不超过二进制的表示范围),因此我们将xy乘积的二进制序列表示为例如以下形式:

     x * y = x * (yw-12w-1 + ... + y020) =  (x << w-1) * yw-1 +....+ (x << 0 ) * y0

    举个样例,对于x*17,,我们能够计算x*16+x=(x<<4)+x,这样算下来的话,我们仅仅需一次移位一次加法就能够搞定了.而对于x*14来说,则能够计算x*8+x*4+x*2=(x<<3)+(x<<2)+(x<<1),更快的方式我们能够直接这样做:x*16-x*2=(x<<4)-(x<<1).

    这里最后须要提一下的是,加法,减法和移位的速度并不会总快于乘法运算,因此是否要进行上面的优化就取决于二者的速度了.

     

     

     

    无符号除法

    除法和乘法不同,出发不满足假发的分配率,也就是设y=m+n,x/y!=x/m+x/n,更不幸的是,它有时候会比乘法运算更慢,可是我们仅仅探讨仅仅能针对除数可表示为2k次方的除法运算进行优化,转换为算术右移或者逻辑右移k位的运算(无符号数为逻辑右移,为正数时,逻辑右移与算术右移效果一样).

    由于是除法,因此我们会涉及到舍入的问题.

     

    先看案例:

                int a = 17;

                int b = 8;

                int c = a / b;

                Console.WriteLine("a:" + Convert.ToString(a,2));

                Console.WriteLine("b:" + Convert.ToString(b, 2));

                Console.WriteLine("c:" + Convert.ToString(c, 2));

                Console.WriteLine("a >> 3:" + Convert.ToString(a>>3, 2));

    还是C#代码,这段程序的结果能够看出a/b的结果就是a右移3位的结果,就是结果等于a>>3

     

     

    无符号数除以2k次方等价于右移k.证明过程不说了,记住结论.

     

    不知道你发现了没有,乘法是左移,乘法是右移.

     

     

     

    补码除法

    哟与刚才我们的程序使用的都是正数,因此尽管C#中没有无符号数,只是我们能够模拟出无符号数的结果.也能够觉得,补码除法在被除数为正数的情况下,与无符号除法是一样的效果(暂别考虑除数为负数的情况了,由于被除数与除数的符号位能够相互抵消,下面也一样),只是当被除数为负数时就不同了.这里在介绍补码除法之前,我们先来看一下,a为负数时的结果,也就是此时会採用补码编码.

    案例:

                int a = -17;

                int b = 8;

                int c = a / b;

                Console.WriteLine("a:" + Convert.ToString(a,2));

                Console.WriteLine("b:" + Convert.ToString(b, 2));

                Console.WriteLine("c:" + Convert.ToString(c, 2));

                Console.WriteLine("a >> 3:" + Convert.ToString(a>>3, 2));

                Console.WriteLine("c:"+c);

                Console.WriteLine("a >> 3:" + Convert.ToString(a>>3));

    结果有点出人意料:

    a:11111111111111111111111111101111

    b:1000

    c:11111111111111111111111111111110

    a >> 3:11111111111111111111111111111101

    c:-2

    a >> 3:-3

     

     

    这次为了便于观看,我们将ca>>3的整数值打印了出来,发现移位运算的结果是-3,a/b的结果为-2.我们能够看出a/b的结果是我们所期望的,能够移位运算的结果在舍入的出现了问题.为啥?

    事实上这个问题的解决办法非常easy,补码编码与无符号的编码类似,对于位表示同样.只是此时因为是负数,所以採用了向下舍入.

     

    此时能够记住一个结论:当有舍入发生的时候,降一个负数右移k位不等价与把它除以2k次方.

     

     

    除法的补数

     

    既然在舍入时,一个负数右移k位不等价于把它们除以2k次方.那么为了使用这样的优化,计算机界的大神们有出马了,于是他们又想出了一个办法,”偏置”这个值.

     

    在上面的基础上,”偏置”的含义是啥?

    看个案例:

                int a = -17;

                int b = 8;

                int c = a / b;

                Console.WriteLine("a:" + Convert.ToString(a,2));

                Console.WriteLine("b:" + Convert.ToString(b, 2));

                Console.WriteLine("c:" + Convert.ToString(c, 2));

                Console.WriteLine("a >> 3:" + Convert.ToString((a+b-1)>>3, 2));

                Console.WriteLine("c:"+c);

                Console.WriteLine("a >> 3:" + Convert.ToString((a + b - 1) >> 3));

     

    此处我们将a”偏置”,也就是加上b-1的偏移量,结果例如以下:

    a:11111111111111111111111111101111

    b:1000

    c:11111111111111111111111111111110

    a >> 3:11111111111111111111111111111110

    c:-2

    a >> 3:-2

    可以看出,在偏置之后,在负结果舍入时,移位运算的结果将会是我们期望得到的,这样我们便可以使用这一技巧进行优化了,什么歌意思呢?我们在做了将a+b-1这个处理之后,结果会在原来的基础上加1.这就是偏置的含义所在,它会将舍入偏置到向上舍入.

     

    小结

    二进制整数的运算较重要吗?不是,是非常重要,也较难,多花点力气没错.

    转载于:https://www.cnblogs.com/lxjshuju/p/7001665.html

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