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  • 二进制减法的简单过程

    万次阅读 2019-09-17 16:50:11
    二进制减法运算方法 二进制减法有两种运算方法,可以使用向高位借位的办法,也可以将减法转为加法 采用借位的办法不是很快捷,比较容易看错,示例如下: 1 0 1 0 -0 1 1 1 ———— 0 0 1 1 被减数末尾的0向前一位...

    二进制减法的运算方法

    二进制减法有两种运算方法,可以使用向高位借位的办法,也可以将减法转为加法

    采用借位的办法不是很快捷,比较容易看错,示例如下:
    1 0 1 0
    -0 1 1 1
    ————
    0 0 1 1

    被减数末尾的0向前一位借1,相当于10(2)-1得到1,倒数第二位被借一位后变0,继续向前一位借,以此来得到结果,如果减数大于被减数,则需将最后的结果按位取反得到结果。

    另外也可采用转换为加法的方式来计算,具体操作是将减数的符号位取反,如果符号取反后是1(即负数),须将其他数字按位取反后在加1。如减数是1111,则转化为1(符号位)0001,如计算1010 - 1111,先将1111,转化为10001,计算过程如下:

    0 1 0 1 0 (10)
    +1 0 0 0 1 (-15)
    ——————
    1 1 0 1 1

    得到的结果为1开头的数字,即是负数,所以须将得到的数符号位不变,其他数字按位取反在加1得到 1 0 1 0 1, 即-5,如果结果是正数的话,结果无需变化,就是最终结果。

    在将加法变为减法的过程,实际就是利用补码在进行运算,由于正数的补码就是其本身,所以自需要变换负数为其补码既可。

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  • 二进制基础运算整理

    2020-11-27 19:34:05
    在正常的运算规则下,我们熟悉的十进制会转化成二进制在计算机中表示,这时的二进制就是原码表示,在计算机中,为了简化运算单元的逻辑处理、降低硬件电路复杂度和成本,只有加法器的硬件电路,计算机的减法是通过...
    • 原码、反码和补码

      在正常的运算规则下,我们熟悉的十进制会转化成二进制在计算机中表示,这时的二进制就是原码表示,在计算机中,为了简化运算单元的逻辑处理、降低硬件电路复杂度和成本,只有加法器的硬件电路,计算机的减法是通过数学变换把其转化成加法运算,比如5-2,也就是5+(-2),但是如果用原码形式去运算5+(-2)得到的值却不是我们想要的值,所以经过探索,又出现了反码和补码,至于他们有什么作用,继续往下看。

      • 原码

        原码就是真值的二进制表示,最高位表示符号位,整数的符号位是0,负数的符号位是1。

        比如十进制真值是6,那么八位二进制的原码就是00000110,最高位是0表示正数;十进制的-3的八位二进制表示为10000011,最高位1表示负数。6-3 = 6+(-3) = 00000110+10000011 = 10001001 = -9,很显然它不是正确值3。

      • 反码

        反码的规则是正数的反码是它本身,负数的反码是符号位不变,其余位取反。

        还是上面的例子,6+(-3)的反码表示为00000110 + 11111100 = 100000010,最高位符号位溢出舍掉,即00000010 = 2 ,因为舍弃后的最高位是0,所以不需要再取反恢复成原码,但这也不是正确结果3,但是他们之间好像有点联系,-3原码10000011和其反码11111100,一个是-3,一个是-124,很多资料都是在补码的时候引入“同余”的概念,但我觉得在反码的时候引入更合理,因为在我看过一些资料之后,我还是不明白为什么是从反码过渡到补码而不是直接从原码到补码。

        • 同余和模的概念

          那同余的概念就是两个数对同一个固定的值取余的结果是一样的,则说明这两个值是同余的关系,这里的固定值通常是指一个系统中的最大值,类比生活中的钟表,在钟表系统中,最大值就是12,过了十二就又会从1开始,如果此时的时间是3点整,那么要修改成6点有两种方式,一种是顺时针拨到6点,此时指针走了3圈,另一种是逆时针拨到6点,此时指针走了9圈,那么3和9就是对于12的一对同余数,12就是这个系统的模。

        • 思想带入二进制

          回到八位二进制,因为八位二进制的最高位是符号位,所以它的真值表示范围就是-127~127(即11111111~01111111),负数范围相当于逆时针,正数范围相当于顺时针,所以它的模应该是127,但并不是,因为相对于钟表,它多了一个0,钟表的12就等于0,0就等于12,所以它的模就是12,而这里的八位二进制的0和127不表示同一个值,所以它的模应该是127+1 = 128。

        • 按位取反就是得到同余数

          前面的-3和-124就是原码反码的关系,按照钟表环形系统的模定义来说,把0和-127两端连接起来,这个点假设叫x,那-3到x的距离在两个方向上的前进步径分别是-3和124(这里假设-3、-2、-1、0的方向是负方向,-3、-4、-5…-127的方向是正方向),所以按位取反就是取得同余数的绝对值。

        经过上面的分析,那么上面的-3的反码-124少加个一个值(0),所以应该是-125,也就是11111101,那最后的结果就是00000011 = 3,这正是我们的正确结果。

      • 补码

        正数的补码是它本身,负数的补码等于其反码+1,之所以加1就是因为二进制和钟表不一样的它是线性结构,-127和0不是同一个值,所以我觉得补码的补在于补差的那个0,同余的概念应该存在于反码的按位取反中,负数x的补码的绝对值也就是2的n次幂+x(注意x是负数)。

    • 逻辑位运算符&、|、~、^、<<、>>

      在很多源码的阅读中,较深入的部分、接近底层的部分都会看到一些二进制中的逻辑运算符,有的时候简单的逻辑运算符就能表达一种动作、一个含义,出于求知欲,这里整理一下基本的逻辑运算符的意义和在开发中他们通常来做些什么。

      • 与运算‘&’

        两个二进制位相与,二者都为1的时候才得1,比如1101&0111 = 0101。

      • 或运算‘|’

        两个二进制位相或,有一个为1即得1,比如1101 | 0001 = 1101。

      • 异或运算‘^’

        两个二进制位异或运算,二者不同才得1,比如1101 ^ 0111 = 1010。

      • 非运算‘~’

        单目运算符,一个二进制位非运算,本以为是按位取反,其实并没有这么简单,c语言中unsigned修饰的整型非运算就相当于按位取反,但是对于非unsigned修饰的整数来讲,比如java中的整型都是有符号的,这些有符号的整数进行非运算的结果却别有洞天,比如在java中~5得到的却是-6,而按照按位取反的逻辑它应该是010=2。

        原因在于无符号的数都是正数,相当于你取反的值就是你的真值,但是有符号数的运算是带着符号位一起做的,比如说有符号数5,二进制应该是0101,最高位0代表正数,~运算会转成1010,因为是正数,所以补码也是这个,计算机的有符号数都是通过补码运算的,无论是不是负数,所以这里会把1010当成负数补码对待,那它的真值就是1110=-6,这就是~5 = -6的由来。

      • 左移‘<<’

        二进制所有位整体左移若干位,若高位溢出则舍弃,低位补0。

        比如5 << 1= 101 << 1 = 1010 = 10,可以发现这里的10是5的2倍,101 << 2 = 10100 = 20,所以左移n位就是扩大至原来的2的n次幂倍。

      • 右移‘>>’

        和左移相反,整体右移n位,数值减小2的n次幂,如果是正数,左边补0,如果是负数左边补1,因为是整型,所以会舍弃小数点后面的,譬如5>>1 = 101>>1=10 = 2。

      • 无符号右移‘>>>’

        相比于>>,不同的是左边都是补0。

      • 实际开发场景应用

        现在考虑一个场景,Java中有4个int型变量NONE = 0 = 00、A = 1 = 01、B = 2 = 10、ANY = 3 = 11,他们分别代表不同的模式,可能需要通过switch根据这个模式去做不同的事情,ANY = A | B,NONE = A & B,那么假设现在传进来一个mode是x,我们要求x是A或者ANY,那么可以通过x & A != 0 来确定。这种方式就是通过按照不同的二进制位来代表不同的东西,通过逻辑运算判断属不属于。

        实际RxJava中requestFusion用到了这种方式:

        @Override
        public int requestFusion(int mode) {
            if ((mode & ASYNC) != 0) {
                outputFused = true;
                return ASYNC;
            }
            return NONE;
        }
        
      • LeetCode中的一个题

        给定一个包含n+1个整数的数组,其数字在1到n之间,内部存在唯一的一个重复数,请找出它。

        做法有很多种,我们这里使用位运算符来做:

        int test(int[] nums){
          int base = 0;
          for(i : nums){
            if(base == (base | (1 << i)))
              return i;
            base |= (1 << i);
          }
        }
        

        首先从第一个元素开始,比如是3,则1<<3 = 1000,base|1000 = 1000,不相等,所以base = 1000,此时第4位已经是1了,表示这个位置有过记录了,假如再次读到3的时候,还是只是会在第4位变成1,也就是说读到重复数的时候,同样位置的二进制位已经变成过1了,base | (1 << i)和之前的base才会相同。

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  • 二进制浮点数的加减法运算

    千次阅读 多人点赞 2019-09-27 11:45:55
    二进制浮点数的规格化表示形式定义为N=2E⋅MN=2^E·MN=2E⋅M其中MMM称为尾数,EEE称为阶码 例如二进制浮点数11.011011的规格化表示形式为:2+0010×0.110110112^{+0010}×0.110110112+0010×0.11011011该浮点数在...

    二进制浮点数的规格化表示形式定义为 N = 2 E ⋅ M N=2^E·M N=2EM其中 M M M称为尾数, E E E称为阶码

    例如二进制浮点数11.011011的规格化表示形式为: 2 + 0010 × 0.11011011 2^{+0010}×0.11011011 2+0010×0.11011011该浮点数在计算机中存储为:

    00100011011011
    
    各个二进制位代表的含义为:
    阶符E | 阶码E | 尾符M | 尾码M
    00      010    00      11011011
    

    现假设有两浮点数 X X X Y Y Y
    X : 2 + 010 × 0.11011011 X:2^{+010}×0.11011011 X:2+010×0.11011011 Y : 2 + 100 × − 0.10101100 Y:2^{+100}×-0.10101100 Y2+100×0.10101100
    X X X Y Y Y在计算机中表示为:

        阶符E | 阶码E | 尾符M | 尾码M
    X   00      010    00      11011011
    Y   00      100    11      01010100
    

    要在计算机中实现加减法运算要执行5个步骤:

    1. 对阶

    对阶的目的是为了使两个阶数不同的浮点数变换到为可以直接相加,例如在十进制中 1.2 × 1 0 2 1.2×10^2 1.2×102 2.3 × 1 0 3 2.3×10^3 2.3×103的尾数是不能直接相加的,必须转换成相同的阶数才可以相加
    1.2 × 1 0 2 +   2.3 × 1 0 3 ‾ 3.3 × 1 0 ? ⟹ 0.12 × 1 0 3 +   2.3    × 1 0 3 ‾ 2.42 × 1 0 3 \begin{aligned} & \quad 1.2 × 10^2 \\ & \underline{+\ 2.3 × 10^3}\\ & \quad 3.3 × 10^?\\ \end{aligned}\Longrightarrow \begin{aligned} & \quad 0.12 × 10^3 \\ & \underline{+\ 2.3 \ \ × 10^3}\\ & \quad 2.42 × 10^3\\ \end{aligned} 1.2×102+ 2.3×1033.3×10?0.12×103+ 2.3  ×1032.42×103

    1.1 取大阶

    保留两个浮点数中阶码较大的那一个浮点数的阶数,较小阶码的浮点数的阶数在之后需要对齐大阶,取大阶的公式为: E m a x = max ⁡ ( E X , E Y ) E_{max} = \max(E_X,E_Y) Emax=max(EX,EY)之所以是取大阶而不是取小阶是因为,浮点数往小阶对其后,小数点会进入尾数之中,与上面举的例子不同,这种浮点数形式是无法在计算机中存储的。

    取大阶举例,对 X X X Y Y Y取大阶:
    E m a x = max ⁡ ( E X , E Y ) = E Y E_{max} = \max(E_X,E_Y)=E_Y Emax=max(EX,EY)=EY

    1.2 求阶差

    求出阶差后可以根据阶差对阶码小的浮点数的尾数进行调整,求阶差公式: Δ E = ∣ E X − E Y ∣ 补 \Delta E = |E_{X}-E_{Y}|_{补} ΔE=EXEY

    求阶差举例,对 X X X Y Y Y求阶差:
    Δ E = ∣ E X − E Y ∣ 补 = ∣ E X 补 − E Y 补 ∣ = ∣ E X 补 + ( − E Y ) 补 ∣ = ∣ 00010 + 11100 ∣ = ∣ 11110 ∣ = 2 \begin{aligned} \Delta E=& |E_{X}-E_{Y}|_{补}\\ =& |E_{X补}-E_{Y补}|\\ =& |E_{X补}+(-E_{Y})_{补}|\\ =& |00010 + 11100|\\ =& |11110|=2 \end{aligned} ΔE=====EXEYEXEYEX+(EY)00010+1110011110=2

    1.3 对阶

    1.2求阶差 Δ E ≠ 0 \Delta E \neq 0 ΔE=0,则执行对阶操作,将阶码值较小的浮点数尾数右移 Δ E \Delta E ΔE位,使得两个浮点数的阶码值相等。

    由于进行了右移,对阶操作往往会损失阶码值较小的浮点数的一部分精度从而产生计算误差,若要减小计算误差,则要将右移过程中损失的尾数值保留下了以供后面3.2.2左规格化和4.2舍入步骤使用,这里不细说。

    对阶举例,对 X X X Y Y Y对阶:
    已知 X X X Y Y Y的大阶阶码 E m a x = E Y E_{max}=E_Y Emax=EY,阶差 Δ E = 2 \Delta E=2 ΔE=2。即 E X E_X EX位向 E Y E_Y EY对齐,且 M X M_X MX右移 Δ E \Delta E ΔE位:
    00010 ‾ 00 11011011 ‾ ⟹ 00100 ‾ 00 00110110 ‾ \underline{00010}00\underline{11011011}\Longrightarrow\underline{00100}00\underline{00110110} 000100011011011001000000110110对阶后的 X X X Y Y Y:

        阶符E | 阶码E | 尾符M | 尾码M
    X   00      100    00      00110110
    Y   00      100    11      01010100
    

    对阶前的 X X X Y Y Y:

        阶符E | 阶码E | 尾符M | 尾码M
    X   00      010    00      11011011
    Y   00      100    11      01010100
    

    2. 尾数运算

    2.1 尾数运算

    对阶操作完成之后浮点数的尾数就可以进行运算了,公式可以表示为: M = [ ( M X ) ± ( M Y ) ] 补 M=[(M_X)\pm(M_Y)]_补 M=[(MX)±(MY)]

    尾数运算举例,对 X X X Y Y Y的尾数进行运算:
    M = [ ( M X ) + ( M Y ) ] 补 = ( M X ) 补 + ( M Y ) 补 M=[(M_X)+(M_Y)]_补=(M_X)_补+(M_Y)_补 M=[(MX)+(MY)]=(MX)+(MY)
    00100 0000110110 ‾ +   00100 1101010100 ‾ ‾ 00100 1110001010 ‾ \begin{aligned} & \quad 00100\underline{0000110110} \\ & \underline{+\ 00100\underline{1101010100}}\\ & \quad 00100\underline{1110001010}\\ \end{aligned} 001000000110110+ 001001101010100001001110001010

    3. 规格化

    3.1 判断尾数溢出

    双符号位的判断溢出方法:二进制数的符号一定为00(正)或11(负),运算后若符号位变为01则是正溢出,变为10则是负溢出,二进制数相加结果符号位溢出判断如下表所示:

    正数负数正溢负溢
    00110110

    可以简记为,符号位异或的结果为0则溢出,为1则不溢出。

    3.2 左右规格化
    3.2.1 右规格化

    若尾数加减后的结果 M M M溢出则执行右规格化操作,即尾数右移一位且阶码加1,表示为 M ≫ 1 , E + 1 M\gg 1,E+1 M1,E+1

    3.2.2 左规格化

    若尾数加减后的结果 M M M不溢出则执行左规格化操作,即尾数左移K位且阶码减K,表示为 M ≪ K , E − K M\ll K,E-K MK,EK其中 K K K表示将尾数数值最高位变为与尾数符号位不同值需要执行左移的次数。注意此处的左移要包括1.3对阶时被移出低位的尾数值。

    左规格化的目的是为了提高尾数的精度,例如, M = 001001110001010 M=001001110001010 M=001001110001010转为真值表示为 2 4 × − 0.01110110 2^4×-0.01110110 24×0.01110110,由于在计算机中尾数的存储位数有限,这种表示方法就会造成精度的下降,改为 2 3 × − 0.11101100 2^3×-0.11101100 23×0.11101100就可以多存一个位的数据

    尾数运算举例,对 M M M的尾数进行左规格化:
    尾数左移1位(括号中为对阶时被移出低位的尾数值): 1 11 ‾ 0001010 ( 11 ) ⟹ 1 10 ‾ 0010101 ( 1 ) 1\underline{11}0001010(11)\Longrightarrow 1\underline{10}0010101(1) 1110001010(11)1100010101(1)阶码减1: 00100 − 00001 = 00011 00100-00001=00011 0010000001=00011

    4. 舍入

    4.1 判断阶码溢出

    如果在上一步执行的是右规格化,则要判断阶码是否上溢,若执行的是左规格化,则要判断阶码是否下溢。

    判断方法与3.1一致,符号位异或的结果为0则溢出,为1则不溢出。右规格化若上溢则置上溢标志并且报运算结果溢出错误,左规格化若下溢则置机器零到5.4输出结果

    4.2 舍入

    若左右规格化的步骤执行后结果不溢出,则进行舍入处理。

    在执行3.2.1右规格化和1.3对阶时,尾数低位上的数值会被移除掉使得浮点数精度下降。舍入就是用来弥补被移除掉的精度,当移除掉的低位数值最高位为1时,在规格化后的尾数末尾加1,若加1后使得尾数溢出,则需再执行一次右规格化。

    舍入举例,对规格化后的 M M M的尾数进行舍入:
    在1.3对阶时被移除掉的两个低位数是11,则移除掉的低位数值最高位为1,应在规格化后的尾数末尾加1,得到: M = M + 1 = 1100010101 + 000000001 = 1100010110 M=M+1=1100010101+000000001=1100010110 M=M+1=1100010101+000000001=1100010110

    5. 判溢出

    5.1 判断尾数溢出

    执行完舍入之后,要判断舍入之后的尾数是否溢出,判断方法与3.1一致,符号位异或的结果为0则溢出,为1则不溢出。若不溢出则输出结果。

    若溢出则需要在执行一次右规格化,然后判断是否上溢,若上溢则置上溢标志并且报运算结果溢出错误,若不上溢则输出运算结果

    5.4 输出结果

    最终结果可以用 X ± Y X\pm Y X±Y来表示,其值就是EM的真值 X ± Y = E 真 × M 真 X\pm Y=E_真×M_真 X±Y=E×M

    结果举例,对规格化后的 M M M的尾数进行舍入:
    M = 1100010110 ⟹ X + Y = E 真 × M 真 = 2 011 × − 0.11101010 M=1100010110\Longrightarrow X+Y=E_真×M_真=2^{011}×-0.11101010 M=1100010110X+Y=E×M=2011×0.11101010

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  • 所不同的是,二进制加法中是“逢二进一”,其法则为:0+0=01+0=10+1=11+1=0 并进位例如:两个二进制数相加:10110101+ 10001110______________1010000111.4.2 二进制减法二进制减法中,同样有如下法则:0-0=01-0=...

    1.4.1 二进制加法

    二进制加法与十进制加法相类似,所不同的是,二进制加法中是“逢二进一”,其法则为:

    0+0=0

    1+0=1

    0+1=1

    1+1=0 并进位

    例如:

    两个二进制数相加:

    10110101

    + 10001110

    ______________

    101000011

    1.4.2 二进制减法

    在二进制减法中,同样有如下法则:

    0-0=0

    1-0=1

    1-1=0

    0-1=1  有借位

    当不够减时需要借位,高位的1等于下一位的2,即“借一当二”。

    例如:

    两个二进制数相减:

    10110100

    - 01010111

    ______________

    01011101

    1.4.3 二进制乘法

    二进制乘法与十进制乘法是一样的。但因为二进制数只由0和1构成,因此,二进制乘法更简单。其法则如下:

    0×0=0

    1×0=0

    0×1=0

    1×1=1

    例如:

    二进制数1101.1与101.1相乘:

    1101.1   被乘数(13.5)10

    ×   101.1   乘数(5.5)10

    __________

    11011

    11011

    00000

    + 11011

    _________________

    1001010.01    乘积 (74.25)10

    再看下面的例子:

    (1011) 2×(1101)2

    1011     被乘数(11)10

    × 1101     乘数(13)10

    _________

    1011

    0000

    1011

    +  1011

    _________________

    10001111     乘积(143)10

    1.4.4 二进制除法

    二进制除法是乘法的逆运算,其方法与十进制除法是一样的,而且二进制数仅由0,1构成,做起来更简单。

    例如:

    求二进制数100111除以110的商的方法如下:

    099e0060782490fb68224e4fa5ce8b1d.png

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