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  • 概率统计3.4 二维随机变量函数分布
  • ppt文档是介绍二维随机变量函数分布的计算和例题
  • 基于二维分布讨论了Sklar定理,介绍了由Sklar定理直接生成Copula函数的方法以及生成给定边际分布的联合分布函数的方法。
  • 概率论与数理统计习题,内容覆盖基础知识,全面概括随机变量内容
  • 利用联合分布函数求概率 缺点:只能求矩形的概率。

    利用联合分布函数求概率

    缺点:只能求矩形的概率。

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  • 文章目录一、为什么是二维随机变量二、二维随机变量分布函数2.1 二维随机变量分布函数的性质2.2 二维随机变量的边缘分布函数三、二维离散型随机变量的联合分布和边缘分布求法 一、为什么是二维随机变量 还记得我们...

    一、为什么是二维随机变量

    还记得我们在 C h a p t e r 2 Chapter 2 Chapter2 里面讨论的都是一维随机变量嘛,但是假如我们举一个例子:

    1. 比如我们要统计人群的身高分布,那容易啊,直接统计一个变量——身高 X 即可
    2. 但是,如果我们要统计的是人群的身材,那你不可能只用身高来衡量,我们需要两个变量——身高 X 和体重 Y。因此,这就是二维随机变量的引入。

    我们一般使用 (X, Y)来表示。可以说是一个向量。

    二、二维随机变量的分布函数

    我们先来看看定义: F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x, y) = P\{X≤x, Y≤y\} F(x,y)=P{Xx,Yy}

    它的意思是由 X ≤ x , Y ≤ y X ≤x, Y ≤y Xx,Yy 所构成的蓝色区域所对应的立体密度函数的体积!!

    这句话怎么理解呢?这得回到一维去,因为我们在一维随机变量里面, F ( x ) = P { X ≤ x } F(x) = P\{X≤x\} F(x)=P{Xx}表示的是 X ≤ x X≤x Xx 所对应的平面密度函数的面积。那么扩展到二维,它的密度函数是 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) ,是一个立体的函数,那么对应的自然就是体积了。

    2.1 二维随机变量分布函数的性质

    【1】 0 ≤ F ( x , y ) ≤ 1 0 ≤ F(x, y) ≤1 0F(x,y)1这个好理解,概率一定小于等于1 .
    【2】 F ( x , y ) F(x, y) F(x,y) 是关于 x 或 y 的不减函数
    【3】 F ( − ∞ , y ) = 0 ; F ( x , − ∞ ) = 0 ; F ( − ∞ , − ∞ ) = 0 , F ( + ∞ , + ∞ ) = 1 F(-∞, y) = 0; F(x, -∞) = 0; F(-∞, -∞) = 0, F(+∞, +∞) = 1 F(,y)=0;F(x,)=0;F(,)=0,F(+,+)=1
    如果我们把二维随机变量的概率密度函数想象成立体草帽,那么在任何一个变量是 -∞ 的时候,还没能切到草帽,所以体积一定是0.

    【4】 F ( x , y ) F(x, y) F(x,y) 分别关于 x, y右连续
    【5】 P { x 1 < X ≤ x 2 , y 1 < Y ≤ y 2 } = F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) − F ( x 1 , y 2 ) + F ( x 1 , y 1 ) P\{x_1 < X ≤ x_2, y_1 <Y ≤ y_2\} = F(x_2, y_2) - F(x_2, y_1) - F(x_1, y_2) + F(x_1, y_1) P{x1<Xx2,y1<Yy2}=F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y2)+F(x1,y1)

    2.2 二维随机变量的边缘分布函数

    上面我们讲过的: F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x, y) = P\{X≤x, Y≤y\} F(x,y)=P{Xx,Yy} 它叫做联合分布函数。下面我们来看看边缘分布函数,其实也好理解:
    F X ( x ) = P { X ≤ x , Y < + ∞ } F_X(x) = P\{X ≤ x, Y< +∞\} FX(x)=P{Xx,Y<+} 这叫做 X 的边缘分布函数,它的意思是令 X 小于等于 x, y 爱咋地咋地,不限制。同理 F Y ( y ) = P { X < + ∞ , Y < y } F_Y(y) = P\{X < +∞, Y < y\} FY(y)=P{X<+,Y<y}, 这叫做 Y 的边缘分布函数。

    三、二维离散型随机变量的联合分布和边缘分布求法

    这一节只需要一个例子就可以解释明白:我们以下面的表为例:

    X\Y123
    10 1 2 \frac{1}{2} 21 1 8 \frac{1}{8} 81
    2 1 8 \frac{1}{8} 81 1 8 \frac{1}{8} 81 1 8 \frac{1}{8} 81

    这是一个二维离散型随机变量的联合分布表,里面具体的概率值就用我们之前学过的办法计算。

    下面看看如何计算联合分布函数:
    假设要计算: F ( 1.2 , 1 ) F(1.2, 1) F(1.2,1),那么就是: P { X ≤ 1.2 , Y ≤ 1 ) P\{X ≤1.2, Y≤ 1) P{X1.2,Y1),我们可以这样做:
    在这里插入图片描述
    F ( 1.2 , 1 ) = 0 F(1.2, 1) = 0 F(1.2,1)=0

    如果计算 F ( 2.4 , 2.1 ) F(2.4, 2.1) F(2.4,2.1),我们可以这样做:
    在这里插入图片描述
    F ( 2.4 , 2.1 ) = 0 + 1 2 + 1 8 + 1 8 = 3 4 F(2.4, 2.1) = 0+\frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{4} F(2.4,2.1)=0+21+81+81=43

    其他情况类似。

    那么,如何计算边缘分布呢?首先我们看看计算 X 的边缘分布:
    在这里插入图片描述
    我们把 每一个 X 所在的行分别相加,就可以得到 X 的边缘分布。如下表:

    X12
    P 5 8 \frac{5}{8} 85 3 8 \frac{3}{8} 83

    Y 的边缘分布的计算类似。
    在这里插入图片描述

    最后提几个要点:

    1. 有了联合分布就可以唯一地确定边缘分布。
    2. 但是有了边缘分布并不能唯一地确定联合分布(除了 X, Y 独立的时候)

    四、二维连续型随机变量的联合密度函数、分布函数和边缘分布

    4.1 联合密度函数和联合分布函数

    分布函数的定义还是一样的: F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x, y) = P\{X≤x, Y≤y\} F(x,y)=P{Xx,Yy}
    它的意义我们在前面讨论过了,既然是体积,那么就会涉及到二重积分。我们先回顾一下二重积分的几何意义:

    f ( x , y ) ≥ 0 f(x, y) ≥ 0 f(x,y)0 时, ∬ D f ( x , y ) d σ \iint_Df(x,y)dσ Df(x,y)dσ 是以区域 D 为底, f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 为顶的曲顶柱体的体积。

    因此,我们就可以通过二重积分计算分布函数: F ( x , y ) = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f ( s , t ) d s d t F(x,y) = \int_{-∞}^{x}\int_{-∞}^{y}f(s,t)dsdt F(x,y)=xyf(s,t)dsdt
    下面我们给出几个性质:
    【1】 f ( x , y ) > 0 f(x,y) >0 f(x,y)>0
    【2】 ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( s , t ) d s d t = 1 \int_{-∞}^{+∞}\int_{-∞}^{+∞}f(s,t)dsdt = 1 ++f(s,t)dsdt=1
    【3】 f ( x , y ) = ∂ 2 F ( x , y ) ∂ x ∂ y f(x,y) = \frac{\partial^2F(x,y)}{\partial {x} \partial {y}} f(x,y)=xy2F(x,y)(这时计算联合密度函数的好办法!)
    【4】如果题目给出来一个区域 G G G,它是 X, Y 平面的一个区域。那么,我们有: P { ( x , y ) ∈ G } = ∬ G f ( x , y ) d x d y P\{(x, y)∈G\} = \iint_{G}f(x,y)dxdy P{(x,y)G}=Gf(x,y)dxdy
    它也就是把 G 区域沿着 Z 轴拉伸,和 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 包围起来的那一部分体积

    4.2 边缘密度函数

    我们先定义一下边缘分布函数: F X ( x ) = F ( x , + ∞ ) = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ + ∞ f ( s , t ) d s d t F Y ( y ) = F ( + ∞ , y ) = ∫ − ∞ y ∫ − ∞ + ∞ f ( s , t ) d s d t F_X(x) = F(x, +∞) = \int_{-∞}^x\int_{-∞}^{+∞}f(s,t)dsdt\\ \quad\\ F_Y(y) = F(+∞, y) = \int_{-∞}^y\int_{-∞}^{+∞}f(s,t)dsdt FX(x)=F(x,+)=x+f(s,t)dsdtFY(y)=F(+,y)=y+f(s,t)dsdt

    当然,通过联合分布函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y) 也可以计算处边缘分布: F X ( x ) = lim ⁡ y → + ∞ F ( x , y ) F Y ( y ) = lim ⁡ x → + ∞ F ( x , y ) F_X(x) = \lim_{y\to +∞}F(x, y)\\ \quad\\ F_Y(y) = \lim_{x\to +∞}F(x,y) FX(x)=y+limF(x,y)FY(y)=x+limF(x,y)
    那么,如果要计算 X 的边缘密度函数,我们就对 F X ( x ) F_X(x) FX(x) 求导: f X ( x ) = F X ′ ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y f Y ( y ) = F Y ′ ( y ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x f_X(x) = F_X'(x) = \int_{-∞}^{+∞}f(x,y)dy\\ \quad\\ f_Y(y) = F_Y'(y) = \int_{-∞}^{+∞}f(x,y)dx fX(x)=FX(x)=+f(x,y)dyfY(y)=FY(y)=+f(x,y)dx
    简而言之,要计算 f X ( x ) f_X(x) fX(x),可以在无穷范围内 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) y y y 积分。要计算 f Y ( y ) f_Y(y) fY(y),可以在无穷范围内 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) x x x 积分。

    当我们说到这儿的时候,其实给出一道题做,套公式写出来没有任何问题。但是,真正的意义你理解了吗?下面我们看一个例子,博主打算用公式法+画图理解法剖析边缘密度函数的意义:

    已知(X, Y)在椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1 a2x2+b2y2=1 所围成的区域上服从均匀分布。其联合密度函数为: φ ( x , y ) = { 1 π a b x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 0 e l s e φ(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{πab}\quad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} ≤1\\ 0\quad else\\ \end{cases} φ(x,y)={πab1a2x2+b2y210else
    求 X ,Y 的边缘密度函数 φ X ( x ) , φ Y ( y ) φ_X(x), φ_Y(y) φX(x),φY(y)

    首先,抛开问题本身,我们一般假设概率密度函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 就是一个草帽状函数,那么问一个问题:联合分布函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)的意义是什么?—— 根据定义思考一下: F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f ( u , v ) d u d v F(x, y) = P\{X≤x, Y≤y\} = \int_{-∞}^x\int_{-∞}^yf(u, v)dudv F(x,y)=P{Xx,Yy}=xyf(u,v)dudv。下面我们看一张图理解一下:

    具体一个 F ( x 0 , y 0 ) F(x_0, y_0) F(x0,y0)的意义就是分别用 x = x 0 x = x_0 x=x0 y = y 0 y = y_0 y=y0 这两把刀,去切割草帽,里面那部分的体积!

    那么,边缘密度函数呢?如果我们还是以 f X ( x 0 ) f_X(x_0) fX(x0)为例?

    既然是 f X ( x 0 ) f_X(x_0) fX(x0) ,那么也就意味着只用 x = x 0 x = x_0 x=x0 这一把刀去切割草帽,我们发现,切割草帽的时候会得到一个切割线,如上图所示。那么 f X ( x 0 ) f_X(x_0) fX(x0) 的意义就是这个切割线与 y y y 轴所围成的面积!

    那么,如果我们把这样的分析具体化到这道题目上,本题的分布密度函数如下图左图所示。那么一样的道理,如果考虑 f X ( x 0 ) f_X(x_0) fX(x0),就是只用 x = x 0 x = x_0 x=x0这一把刀去切割分布密度函数图,如果这把刀能够切割到函数体,那么自然就会产生一个切痕,所以就是切痕曲线与 y y y 轴所围成的面积!

    很显然,我们发现:这个分布密度函数在中间那个椭圆区域才有值,其他地方都是0.

    现在,我们首先计算 φ X ( x ) φ_X(x) φX(x),很自然地,我们发现,如果 x = x 0 x = x_0 x=x0 这把刀放的太前( x ≥ a x ≥a xa)或者太后( x ≤ − a x ≤ -a xa)我们都无法切到这个函数体,自然就没有切痕。那么 φ X ( x ) φ_X(x) φX(x) 就会等于 0.即: φ X ( x ) = 0 i f   ∣ x ∣ ≥ a φ_X(x) = 0\quad if\space |x| ≥ a φX(x)=0if xa

    下面考虑能切到的时候,即 ∣ x ∣ < a |x| < a x<a,那么刀刃的线如上面左图加粗的地方,切割线也是一样的。然后我们就是要计算切痕与 y y y 轴所围成的面积(如上面的右图所示)

    但是我们又发现,这个切痕也是在 y y y 处于一定范围的时候才有值,其他时候为0. y y y 的范围我们可以通过椭圆的方程很容易求出来,就等于: ± b 1 − x 2 a 2 ±b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} ±b1a2x2
    这个面积还不好求?就是一个矩形的面积罢了对吧!所以我们得到: φ X ( x ) = 1 π a b 2 b 1 − x 2 a 2 = 2 π a 1 − x 2 a 2 i f   ∣ x ∣ < a φ_X(x) = \frac{1}{πab}2b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} =\frac{2}{πa}\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} \quad if \space |x| < a φX(x)=πab12b1a2x2 =πa21a2x2 if x<a

    φ Y ( y ) φ_Y(y) φY(y) 的理解方法完全类似。式子的意义理解了,带公式解题也有了底气哈哈!

    关于计算边缘分布密度的注记

    在计算边缘分布密度的时候,积分的区间仍然是一个大坑。这里,博主总结了一个避坑方法:
    在给出的联合分布密度函数中,x ,y 的范围有了的时候,我们一定要把这个 x, y 范围所表示的区域画出来,只要把这个区域画出来了,我们在后面对 x 或者 y 积分的时候,它们各自的积分区间一目了然,就不会搞错了。

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  • 二维随机变量函数卷积公式的推导

    万次阅读 多人点赞 2016-11-02 00:59:00
    二维随机变量函数卷积公式的推导@(概率论)给定Z=g(x,y)Z = g(x,y) 通常需要求FZ(z),fZ(z)F_Z(z),f_Z(z)这里是由两个变元依据关系映射到一个变元,因此,求得FZ(z)F_Z(z)后,很容易求得fZ(z)f_Z(z),只是一个求导的...

    二维随机变量函数卷积公式的推导

    @(概率论)

    给定 Z=g(x,y)
    通常需要求 FZ(z),fZ(z)

    这里是由两个变元依据关系映射到一个变元,因此,求得 FZ(z) 后,很容易求得 fZ(z) ,只是一个求导的过程。

    一般求解 FZ(z) ,可用的思路是:

    FZ(z)=P(Zz)=P(g(X,Y)z)=g(x,y)zf(x,y)dxdy

    化为二重积分求解,可以得到的是关于z的方程,思路很清晰。操作要仔细。

    特殊的情景是, Z=X+Y 这种,当然可以按照一般 方法做,但是特殊性赋予了这类问题以规律,因此有公式解法。

    FZ(z)=P(X+Yz)=x+yzf(x,y)dxdy=+dxzxf(x,y)dyor=+dyzyf(x,y)dx

    接下来是对变上限求导的应用,因为我们需要对z求导,上限是 ϕ(z)=zx
    [ϕ(x)af(t)dt]x=f(ϕ(x))ϕ(x)

    所以,这里运用起来就是:

    fZ(z)=[+dxzxf(x,y)dy]=+f(x,zx)dx

    更加特别的是,如果X,Y相互独立,还可以得出:

    fZ(z)=+fX(x)fY(zx)dx

    这是推导一种情况,从中可以看到变化的应用方式,比如 Z=XY ,如果对 x 求导,则只用y=xz代入即可。

    这就是由基本原理推导出来的公式,因为有区分度,所以这类也很重要。原理要熟知,推导要快,最好是熟练掌握。

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  • 文章目录3.1 二维随机变量二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量二维连续型随机变量 二维随机变量及其分布函数 上一章里我们都是用一个随机变量XXX来表述概率的。但是在现实生活里影响事情发生概率的随机变量...

    3.1 二维随机变量

    二维随机变量及其分布函数

    上一章里我们都是用一个随机变量 X X X来表述概率的。但是在现实生活里影响事情发生概率的随机变量通常不止一个,所以我们在这一章中引入多维随机变量。这里先从最简单的二维随机变量开始。

    在这里插入图片描述
    这个定义是通用的,无论是离散型随机变量还是连续型随机变量都适用。

    在这里插入图片描述
    用图形解释就是在这个阴影区域所对应 z z z轴的值就是 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)
    这个三维的坐标系不好画,你可以想象一下:在遥远的 ( + ∞ , + ∞ , 1 ) (+\infty,+\infty,1) (+,+,1)处是山顶(山顶可能是平的也可能是尖的),山顶上的冰雪融化成水向 ( − ∞ , − ∞ , 0 ) (-\infty,-\infty,0) (,,0)铺天盖地的流下来(一路上可能是下坡也可能是平坦的)。

    在这里插入图片描述
    求紫色部分的概率我们可以用几何概型轻松解决。

    性质:
    在这里插入图片描述
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    二维离散型随机变量

    定义:
    在这里插入图片描述
    二维离散型随机变量的分布律可以这样表示:
    在这里插入图片描述
    例1:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    离散型的比较简单,分布律就从原来的一维表格变成二维的表格。

    二维连续型随机变量

    在这里插入图片描述
    这个就是从原来对密度函数的一重积分变成二重积分。

    在这里插入图片描述
    例2:
    在这里插入图片描述
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    小结:
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