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  • 参考文章:二阶混合偏导数连续的条件下与求导的次序无关 A. 错误 B. 正确

    正确的结论应为:

    二阶混合偏导数在“(二阶混合偏导数)连续”的条件下与求导的次序无关

    参考文章:二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关 A. 错误 B. 正确

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  • http://blog.csdn.net/xiaofengsheng/article/details/6023368 ...  1. 一阶差分: ...2. 二阶偏导数的推导和近似:   3. 上式以点(i+1,j)为中心,用i代换i+1可得以(i,

    http://blog.csdn.net/xiaofengsheng/article/details/6023368

    http://www.cnblogs.com/german-iris/p/4840647.html

     1. 一阶差分:

     

    2. 二阶偏导数的推导和近似:

     

    3. 上式以点(i+1,j)为中心,用i代换i+1可得以(i,j)为中心的二阶偏导数则有:

     

    4. 同理:

     

    5. 进而可推导:

     

    6. 这样我们就可以很好的运用其他的一阶偏导的定义,如SIFT特征OpenCV实现版本中的一阶以及二阶偏导:

    [cpp]  view plain  copy
    1. /* 
    2. Computes the partial derivatives in x, y, and scale of a pixel in the DoG 
    3. scale space pyramid. 
    4.  
    5. @param dog_pyr DoG scale space pyramid 
    6. @param octv pixel's octave in dog_pyr 
    7. @param intvl pixel's interval in octv 
    8. @param r pixel's image row 
    9. @param c pixel's image col 
    10.  
    11. @return Returns the vector of partial derivatives for pixel I 
    12.     { dI/dx, dI/dy, dI/ds }^T as a CvMat* 
    13. */  
    14. static CvMat* deriv_3D( IplImage*** dog_pyr, int octv, int intvl, int r, int c )  
    15. {  
    16.     CvMat* dI;  
    17.     double dx, dy, ds;  
    18.   
    19.     dx = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c+1 ) -  
    20.         pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c-1 ) ) / 2.0;  
    21.     dy = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r+1, c ) -  
    22.         pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r-1, c ) ) / 2.0;  
    23.     ds = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r, c ) -  
    24.         pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r, c ) ) / 2.0;  
    25.   
    26.     dI = cvCreateMat( 3, 1, CV_64FC1 );  
    27.     cvmSet( dI, 0, 0, dx );  
    28.     cvmSet( dI, 1, 0, dy );  
    29.     cvmSet( dI, 2, 0, ds );  
    30.   
    31.     return dI;  
    32. }  
    33.   
    34.   
    35.   
    36. /* 
    37. Computes the 3D Hessian matrix for a pixel in the DoG scale space pyramid. 
    38.  
    39. @param dog_pyr DoG scale space pyramid 
    40. @param octv pixel's octave in dog_pyr 
    41. @param intvl pixel's interval in octv 
    42. @param r pixel's image row 
    43. @param c pixel's image col 
    44.  
    45. @return Returns the Hessian matrix (below) for pixel I as a CvMat* 
    46.  
    47.     / Ixx  Ixy  Ixs / <BR> 
    48.     | Ixy  Iyy  Iys | <BR> 
    49.     / Ixs  Iys  Iss / 
    50. */  
    51. static CvMat* hessian_3D( IplImage*** dog_pyr, int octv, int intvl, int r, int c )  
    52. {  
    53.     CvMat* H;  
    54.     double v, dxx, dyy, dss, dxy, dxs, dys;  
    55.   
    56.     v = pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c );  
    57.     dxx = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c+1 ) +   
    58.             pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c-1 ) - 2 * v );  
    59.     dyy = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r+1, c ) +  
    60.             pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r-1, c ) - 2 * v );  
    61.     dss = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r, c ) +  
    62.             pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r, c ) - 2 * v );  
    63.     dxy = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r+1, c+1 ) -  
    64.             pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r+1, c-1 ) -  
    65.             pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r-1, c+1 ) +  
    66.             pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r-1, c-1 ) ) / 4.0;  
    67.     dxs = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r, c+1 ) -  
    68.             pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r, c-1 ) -  
    69.             pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r, c+1 ) +  
    70.             pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r, c-1 ) ) / 4.0;  
    71.     dys = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r+1, c ) -  
    72.             pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r-1, c ) -  
    73.             pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r+1, c ) +  
    74.             pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r-1, c ) ) / 4.0;  
    75.   
    76.     H = cvCreateMat( 3, 3, CV_64FC1 );  
    77.     cvmSet( H, 0, 0, dxx );  
    78.     cvmSet( H, 0, 1, dxy );  
    79.     cvmSet( H, 0, 2, dxs );  
    80.     cvmSet( H, 1, 0, dxy );  
    81.     cvmSet( H, 1, 1, dyy );  
    82.     cvmSet( H, 1, 2, dys );  
    83.     cvmSet( H, 2, 0, dxs );  
    84.     cvmSet( H, 2, 1, dys );  
    85.     cvmSet( H, 2, 2, dss );  
    86.   
    87.     return H;  
    88. }  

     

    参考:

    (1)http://hi.baidu.com/shareshow/blog/item/34abdf544725cf54d109069b.html

    (2)SIFT的OpenCV实现




    OpenCV-跟我一起学数字图像处理之拉普拉斯算子

    Laplace算子和Sobel算子一样,属于空间锐化滤波操作。起本质与前面的Spatial Filter操作大同小异,下面就通过Laplace算子来介绍一下空间锐化滤波,并对OpenCV中提供的Laplacian函数进行一些说明。

    • 数学原理

    离散函数导数

    离散函数的导数退化成了差分,一维一阶差分公式和二阶差分公式分别为,

    CodeCogsEqn

    CodeCogsEqn(2)

    Laplace算子的差分形式

    分别对Laplace算子x,y两个方向的二阶导数进行差分就得到了离散函数的Laplace算子。

    在一个二维函数f(x,y)中,x,y两个方向的二阶差分分别为,

    CodeCogsEqn(3)

    CodeCogsEqn(4)

    所以Laplace算子的差分形式为,

    CodeCogsEqn(5)

    写成filter mask的形式如下,

    0 1 0
    1 -4 1
    0 1 0
    注意该mask的特点,mask在上下左右四个90度的方向上结果相同,也就是说在90度方向上无方向性。为了让该mask在45度的方向上也具有该性质,对该filter mask进行扩展定义为,
    1 1 1
    1 -8 1
    1 1 1
     

    注:

    有时我们也会见到不同于上述结果的Laplace算子的filter mask,

    0 -1 0
    -1 4 -1
    0 -1 0
     
    -1 -1 -1
    -1 8 -1
    -1 -1 -1

    其原因是在定义二阶导数的时候采用了相反的定义,这个无关紧要,但是要注意,当用Laplace算子滤波后的图像与原图叠加时,混合操作是加还是减因上述的定义而异。

    图像的Laplace操作

    如同本文开始时说的那样,将Laplace算子写成filter mask后,其操作大同小异于其他的空间滤波操作。将filter mask在原图上逐行移动,然后mask中数值与其重合的像素相乘后求和,赋给与mask中心重合的像素,对图像的第一,和最后的行和列无法做上述操作的像素赋值零,就得到了拉普拉斯操作结果。

    拉普拉斯操作结果与原图的混合

    因为Laplace算子是二阶导数操作,其在强调图像素中灰度不连续的部分的同时也不在强调灰度值连续的部分。这样会产生一个具有很明显的灰度边界,但是没有足够特征的黑色背景。背景特征可以通过原图像与Laplace算子操作后的图像混合恢复。用公式,

    CodeCogsEqn(6)

    其中的参数c的取值和上面的两种mask定义有关,当mask中心的数值取正时c=-1,相反c=1;

    • 基于OpenCV的Laplace算子的计算

    OpenCV中Laplacian函数可以实现对图像的Laplace操作,具体用法如下,

    Laplacian( src_gray, dst, ddepth, kernel_size, scale, delta, BORDER_DEFAULT );

    参数意义为,

    1. src_gray,输入图像
    2. dst,Laplace操作结果
    3. ddepth,输出图像深度,因为输入图像一般为CV_8U,为了避免数据溢出,输出图像深度应该设置为CV_16S
    4. kernel_size,filter mask的规模,我们的mask时3x3的,所以这里应该设置为3
    5. scale,delta,BORDER_DEFAULT,默认设置就好

    基于OpenCV的Laplace算子仿真代码段如下,

    复制代码
    //load the Original Image and get some informations
    Mat src = imread("012.jpg",0);
    namedWindow("OriginalImage");
    imshow("OriginalImage",src);
    CV_Assert(src.depth() == CV_8U);
    
    //OpenCV solution - Laplacian
    Mat dst,abs_dst_laplace;
    Laplacian(src,dst,CV_16S,3);
    convertScaleAbs(dst,abs_dst_laplace);
    
    //show the result
    namedWindow("result_laplacian");
    imshow("result_laplacian",abs_dst_laplace);
    复制代码

    其中convertScaleAbs函数功能是将CV_16S型的输出图像转变成CV_8U型的图像。

    仿真结果:

    原图:

    original

    Laplace操作结果:

    abs_dst_laplae

    • 基于mask operation原理仿真

    Laplace算子滤波仿真

    根据数学原理中介绍的算法,编写相应代码,进行相关仿真。其中对Laplace操作结果进行了图像拉伸显示,因为Laplace操作结果的像素值范围可能落在了[0,255]之外,而计算机在显示的时候将赋值全部置为0,大于255的像素全部显示成255。

    代码段如下,

    复制代码
    //get some informations of original image
    int nr = src.rows;
    int nc = src.cols;
    int n = nr*nc;
    int arr[9] = {0};
    
    //scan the whole pixels of original image 
    //and do Laplacian Operation
    int* table_lap = new int[n];
    int* table_orig = new int[n];
    int l;
    for (int i=0;i<n;i++)
    {
        table_lap[i] = 0;
        table_orig[i] = 0;
    }
    for (int i=1;i<nr-1;i++)
    {
        const uchar* previous = src.ptr<uchar>(i-1);
        const uchar* current = src.ptr<uchar>(i);
        const uchar* next = src.ptr<uchar>(i+1);
        for (int j=1;j<nc-1;j++)
        {
            for (int k=0;k<3;k++)
            {
                arr[k] = previous[j+k-1];
                arr[k+3] = current[j+k-1];
                arr[k+6] = next[j+k-1];
            }
            l = nc*i+j;        //calculate the location in the table of current pixel
            Lmaskoperation(table_lap,arr,l);
            table_orig[l] = arr[4];
        }
    }
    
    //pixels scale
    uchar* La_scaled = new uchar[n];
    table_scale(table_lap,La_scaled,n);
    
    //padding values
    Mat LaResult_own;
    LaResult_own.create(src.size(),src.type());
    uchar* p = NULL;
    for (int i=0;i<nr;i++)
    {
        p = LaResult_own.ptr<uchar>(i);
        for (int j=0;j<nc;j++)
        {
            l = nc*i+j;
            p[j] = La_scaled[l];
        }
    }
    
    //show results
    namedWindow("LaResult_own");
    imshow("LaResult_own",LaResult_own);
    复制代码

    其中Lmaskoperation是我写的mask为Laplace mask的mask operation操作函数,函数段如下,

    复制代码
    //**********************//
    //Laplacian mask operation
    //**********************//
    void Lmaskoperation(int* table,int* arr,int l)
    {
        int tmp[9] = {-1,-1,-1,-1,8,-1,-1,-1,-1};
        for (int i=0;i<9;i++)
        {
            table[l] = table[l] + tmp[i]*arr[i];
        }
    }
    复制代码

    tabel_scale函数就是我写的图像拉伸函数,将Laplace操作结果拉伸到[0,255],具体函数段如下,

    复制代码
    //*****************************//
    //scale the pixels to [0 255]
    //*****************************//
    void table_scale(int* table,uchar* result,int n)
    {
        int min = table[0];
        int max = table[0];
        for (int i=0;i<n;i++)
        {
            if(min>table[i])
            {
                min = table[i];
            }
            if(max<table[i])
            {
                max = table[i];
            }
        }
        for (int i=0;i<n;i++)
        {
            result[i] = (uchar)(255*(table[i]-min)/(max-min));
        }
    }
    复制代码

    仿真结果,拉伸后Laplace算子的操作结果

    LaResult_own

    以灰色为主色调的显示结果就是Laplace算子操作拉伸后显示的一大特点。

    Laplace滤波图像与原图像的混合

    我使用的mask中心值为正,所以混合操作需要原图减去Laplace滤波图像,代码段如下,

    复制代码
    //blending with the original image using Eq g(x,y)=f(x,y)+c*Lap(x,y)
    int* table_blend = new int[n];
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        table_blend[i] = table_orig[i] - table_lap[i];
        if(table_blend[i]<0)
        {
            table_blend[i] = 0;
        }
        else if (table_blend[i]>255)
        {
            table_blend[i] = 255;
        }
    }
    
    //padding values to blending result
    Mat Blresult;
    Blresult.create(src.size(),src.type());
    for (int i=0;i<nr;i++)
    {
        p = Blresult.ptr<uchar>(i);
        for(int j=0;j<nc;j++)
        {
            l = nc*i+j;
            p[j] = table_blend[l];
        }
    }
    
    //show blending result
    namedWindow("blending result_laplacian");
    imshow("blending result_laplacian",Blresult);
    复制代码

    仿真结果:

    blending result_laplacian

    最后给出冈萨雷斯在介绍Laplacian时所给素材的仿真结果

    blending result_laplacian



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  • 注:多元函数的偏导数在一点连续是指, 偏导数在该点的某个邻域内存在,于是偏导数在这个邻域内有定义,而且这个偏导函数在该点连续。理解这一点,才能理解后面的充分条件。 为什么函数 在原点可导...

    注:多元函数的偏导数在一点连续是指, 偏导数在该点的某个邻域内存在,于是偏导数在这个邻域内有定义,而且这个偏导函数在该点连续。理解这一点,才能理解后面的充分条件。

    下面的这一步推导用到了这个条件:

    为什么函数

    f(x,y)=\left\{\begin{matrix} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}, \ \ \ x^2+y^2\neq 0\\ \\ 0, x^2+y^2=0 \end{matrix}\right.

    在原点可导不可微?

    先看一下函数图形,能看出什么特征:

    确实比较怪诞,首先由于两个主曲率面和曲面截线弯曲方向不同,此曲面的高斯曲率一定是负的,类似于马鞍面,所以在原点处一定不可展。

    而证明中极限

    不存在的,我们也看一下它的图形:

    极限不存在是显然的,因为沿着不同的y=kx接近原点,和z轴的交点是不同的。

    基于以上两点,推导出了,此函数可导但是不可微,因为再原点不存在高阶无穷小。

    为什么可导加上导函数连续,函数就变成可微的呢?首先我们看上面的函数确实是可导的,但是不可微一定是不满足导函数连续的条件.

    计算一下:

    \LARGE f_x=\frac{y^3}{x^2\sqrt{x^2+y^2}+y^2\sqrt{x^2+y^2}}

    \LARGE f_y=\frac{x^3}{x^2\sqrt{x^2+y^2}+y^2\sqrt{x^2+y^2}}

     看一下它们的图形:

    可以看到此函数的特征,确实在原点不连续的,有跳跃。


    对于一元函数来说,一元函数可导,在其可导区间内对应的导函数也连续,前提和结论互为充要条件,所以对于一个一元函数直观上可以看出来可不可导,以及导函数是不是连续。比如,出现尖峰就是一元函数不可导的直接证据,因为尖峰左右两边的导数不一样。导函数出现了间断点,不连续。

    但是对于二元函数来说,不可导的特征似乎不那么明显,上面就是一个例子,因为在原点处并没有出现尖峰。结果导函数仍然不连续。看连尖峰这个条件变得不那么必要,但是尖峰条件是否仍然是充分的呢?我们再来看一个函数,它的图形是一个椭圆,我们查看一下椭圆的尖峰处的可导性。

     可以看到,不像一元函数的情况,尖峰不是必要的,但是却是充分的,圆锥的顶部存在尖峰,求导后不连续,尖峰仍然可以说明,此函数在剑锋点不存在偏导数。

    另一方面,在一点处可以求偏导,是二元函数可微的必要条件,这里在尖峰处不存在骗导,直接证明圆锥函数在尖峰处不可微.


    结束! 

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  • 困扰我这么多年的问题终于解决了:为什么爷爷的爸爸和爸爸的...答案:二阶偏导次序不影响结果的前提是导数在区间连续. [虽然以前看过,但是没有保存] 转载于:https://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/4080880.html...

    困扰我这么多年的问题终于解决了:为什么爷爷的爸爸和爸爸的爷爷是同一个人,而奶奶的妈妈和妈妈的奶奶却不是同一个人?


    答案:二阶偏导次序不影响结果的前提是导数在区间连续.

     

    [虽然以前看过,但是没有保存]

    转载于:https://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/4080880.html

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    1.偏导数的定义: (1)对于二元函数,如果在点的邻域内有定义, (2)当固定其中一个变量,比如y,那么二元函数变为关于x的一元函数 ,如果此一元函数的导数存在,则称函数在此点对x 是可偏导的,这个导数就是关于x...
  • 梯度 注意:梯度要求具有一阶连续偏导数(即一阶偏导数是连续的),方向导数无此要求。 **梯度指出最陡峭的上升方向,负梯度指出最陡峭的下降方向。**在这里,最陡峭的上升方向和最陡峭的下降方向是共线的(原因是这里...
  • 学习到机器学习线性回归和逻辑回归时遇到了梯度下降算法,然后顺着扯出了一堆高数的相关概念理论:导数、偏导数、全微分、方向导数、梯度,重新回顾它们之间的一些关系,从网上和教材中摘录相关知识点。 通过函数...
  • §8.1 多元函数的基本概念 本章将在一元函数微分学的基础上,讨论多元函数的...的偏导数都存在,那未这个偏导数就是 的函数,称它为函数 对自变量 的 偏导函数 ,记作  。 类似地,可以定义函数 对自变量 的偏...
  • 文章目录前言一、极限和连续二、偏导数三、方向导数四、可微五、梯度六、链式法则七、Hessian矩阵 前言 多元函数 y对某一个变量的导数是偏导数偏导数的结果可以推广到任意方向,也就是方向导数; 方向导数只跟这...
  • 偏导、梯度、散度、拉普拉斯算子

    千次阅读 2020-01-11 23:41:30
    0,说明f(x)的函数值在x点沿x轴正方向是趋于增加的;如果f’(x)<0,说明f(x)的函数值在x点沿x轴正方向是趋于减少的。 Δx:x的变化量;  dx:x的变化量Δx趋于0时,则记作微元dx;  Δy:Δy=f(x0+Δx)-f(x0)...
  • 对联合分布函数求二阶混合偏导数即可。 2.给出二维连续性随机变量的带参联合概率密度函数 1.利用负无穷到正无穷积分等于1求出参数 2.x的边缘概率密度函数是联合概率密度函数在负无穷到正无穷上对y求积分。 y的...
  • 什么是离散函数?我们来看几个例子: 这是 f(x) = sin x + sin {x \2}的函数图像。它的定义域是 R,是连续的。 再看下图这是 f(x) = sin x + sin {x \ 2} 当 x 是 1\2 的整数倍时的图像。是离散的。这样 如果再苛刻...
  • 牛顿法

    2018-06-07 11:18:57
    牛顿法 目标:求解无约束最优化...假设f(x)具有二阶连续偏导数,且第k次迭代值为xkxkx^k,则可将f(x)在xkxkx^k附近进行二阶泰勒展开: f(x)=f(xk)+∇fT(xk)(x−xk)+12(x−xk)TH(xk)(x−xk)f(x)=f(xk)+∇fT(xk)(x...
  • 高等数学(Calculus II)

    2019-05-03 20:31:28
    高等数学 多元函数 偏导数 全微分 重积分 曲线积分 曲面积分
  • 如果多元函数u(x1,x2,...,xn)u(x_1,x_2,...,x_n)u(x1​,x2​,...,xn​)在空间区域V⊂RnV\subset \bold R^nV⊂Rn内具有方程中出现的各阶连续偏导数,并使方程 F(x1,...,xn,u,∂u∂x1,...,∂u∂xn,...,∂mu∂x1m1∂x2...
  • 函数处处具连续二阶导数(这是为了让隐函数定理发挥作用).\\ 120 121 根据通解的定义,我们只用证明 $c_1$ 和 $c_2$ 是函数独立的,也就是证明 122 $\forall x\ in I$, 123 $$ 124 \begin{vmatrix} ...
  • 01考试内容多元函数的概念、二元函数的几何意义、二元函数的极限与连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质、多元函数的偏导数和全微分全微分存在的必要条件和充分条件 、多元复合函数、隐函数的求导法、二阶偏...
  • 二阶偏导数2.多元复合函数求导法则1.一元函数和多元函数复合的情形2.多元函数和多元函数复合的情形3.方向导数与梯度1.方向导数的定义2.梯度的定义3.梯度的几何意义4.多元函数泰勒公式1.二元函数的泰勒展式2.黑塞矩阵...
  • math: 雅可比矩阵 黑塞矩阵

    千次阅读 2018-03-22 10:22:01
    雅可比矩阵:一个多元函数的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵黑塞矩阵:一个多元函数的二阶偏导数以一定方式排列成的矩阵雅可比矩阵 在向量微积分中,雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵,其行列式称为...
  • 这一节说明偏导数如果全部存在且连续,则导数存在。Theorem 6.1回顾了一元函数的中值定理;Theorem 6.2是本节的主定理;Theorem 6.3说明C2C^2C2函数的二阶偏导可以交换次序。本节的讨论看出,连续性,特别是每个分量...
  • 文章目录微分方程的引入及概述基本概念微分方程(PDE)的分类Laplace(拉普拉斯)算子常见PDE二阶线性方程的一般形式波动方程热传导方程Laplace方程极小曲面方程浅水波方程Hamilton-Jacobi方程Cauchy-Riemann方程...
  • 2019-06-12 14:23:33
    态取对数变为正态分布,左态取相反转换为右态 )、富集分析、作用关系网络分析 4.医学数据处理与分析 生物医学文本挖掘、心电信号处理与辨识、脑电信号分析、医学图像处理与分析、质谱与代谢组数据...
  • 一、基础知识 ...将两个分别沿X和Y方向方向的二阶偏导数分别借助差分计算: 由上式则可知4-邻域的拉普拉斯算子模板的各个系数,同理可知8-邻域的拉普拉斯算子模板的各个系数,如下图: 说明: 两种...

空空如也

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二阶连续偏导数说明什么