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  • 这个 m 文件给出了任何实数或复数 x y 以及任何非负整数 n 的的幂的展开。 它也被称为牛顿二项式。 从它出现离散二项式(正)分布。...输出: - 二项式定理总和的结果(默认) - 二项式定理值的向量(可选)
  • 牛顿二项式定理 二项式定理 对于一个这样的式子:(x+y)n(x+y)^n(x+y)n 展开式如下: (x+y)n=∑i=0n(in)xn−iyi(x+y)^n=\sum_{i=0}^{n}{(^n_i)x^{n-i}y^{i}}(x+y)n=i=0∑n​(in​)xn−iyi 其中(in)=n(n−1)...(n−i+1)i...

    牛顿二项式定理

    二项式定理

    对于一个这样的式子: ( x + y ) n (x+y)^n (x+y)n

    展开式如下:

    ( x + y ) n = ∑ i = 0 n ( i n ) x n − i y i (x+y)^n=\sum_{i=0}^{n}{(^n_i)x^{n-i}y^{i}} (x+y)n=i=0n(in)xniyi

    其中 ( i n ) = n ( n − 1 ) . . . ( n − i + 1 ) i ! (^n_i)=\frac{n(n-1)...(n-i+1)}{i!} (in)=i!n(n1)...(ni+1)

    牛顿二项式定理

    牛顿二项式定理是对二项式定理的扩展,通过牛顿二项式定理可以得到 ( x + y ) α (x+y)^\alpha (x+y)α

    的展开式,其中 α \alpha α是任意实数。

    α \alpha α为任意实数, x , y x,y x,y满足 0 ≤ ∣ x ∣ < ∣ y ∣ 0 \leq |x| < |y| 0x<y,有

    ( x + y ) α = ∑ k = 0 ∞ ( k α ) x k y α − k (x+y)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}{(^\alpha_k)x^{k}y^{\alpha-k}} (x+y)α=k=0(kα)xkyαk

    z = x / y , ∣ z ∣ < 1 z=x/y,|z| < 1 z=x/y,z<1,那么 ( x + y ) α = y α ( 1 + z ) α (x+y)^{\alpha}=y^{\alpha}(1+z)^{\alpha} (x+y)α=yα(1+z)α,那么等价于求

    ( 1 + z ) α (1+z)^{\alpha} (1+z)α即可。

    ( 1 + z ) α = ∑ k = 0 ∞ ( k α ) z k (1+z)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}{(^{\alpha}_k)z^{k}} (1+z)α=k=0(kα)zk

    n n n为正整数,我们用 − n -n n代替 α \alpha α,有

    ( k a ) = ( k − n ) = − n ( − n − 1 ) . . . ( − n − k + 1 ) k ! = ( − 1 ) k ( k n + k − 1 ) (^{a}_{k})=(^{-n}_{k})=\frac{-n(-n-1)...(-n-k+1)}{k!}=(-1)^k(^{n+k-1}_{k}) (ka)=(kn)=k!n(n1)...(nk+1)=(1)k(kn+k1)

    因此,对于 ∣ z ∣ < 1 |z|<1 z<1有:

    ( 1 + z ) − n = 1 ( 1 + z ) n = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( k n + k − 1 ) z k (1+z)^{-n}=\frac{1}{(1+z)^n}=\sum_{k=0}^{\infty}{(-1)^k(^{n+k-1}_k)z^{k}} (1+z)n=(1+z)n1=k=0(1)k(kn+k1)zk

    − z -z z代替 z z z得:
    ( 1 − z ) − n = 1 ( 1 − z ) n = ∑ k = 0 ∞ ( k n + k − 1 ) z k (1-z)^{-n}=\frac{1}{(1-z)^n}=\sum_{k=0}^{\infty}{(^{n+k-1}_k)z^{k}} (1z)n=(1z)n1=k=0(kn+k1)zk

    n = 1 n=1 n=1得:

    ( 1 + z ) − 1 = 1 ( 1 + z ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k z k (1+z)^{-1}=\frac{1}{(1+z)}=\sum_{k=0}^{\infty}{(-1)^kz^{k}} (1+z)1=(1+z)1=k=0(1)kzk

    ( 1 − z ) − 1 = 1 ( 1 − z ) = ∑ k = 0 ∞ z k (1-z)^{-1}=\frac{1}{(1-z)}=\sum_{k=0}^{\infty}{z^{k}} (1z)1=(1z)1=k=0zk

    利用这个式子我们就可以求任意精度的开根操作了。

    例如求 20 \sqrt{20} 20

    20 = 4 + 16 = ( 4 + 16 ) 1 2 = 4 ( 1 + 0.25 ) 1 2 \sqrt{20}=\sqrt{4+16}=(4+16)^{\frac{1}{2}}=4(1+0.25)^{\frac{1}{2}} 20 =4+16 =(4+16)21=4(1+0.25)21

    然后展开即可。

    20 \sqrt{20} 20 的程序

    
    /*******************************
    Author:galaxy yr
    LANG:C++
    Created Time:2019年10月04日 星期五 16时15分42秒
    *******************************/
    #include<iostream>
    
    const int maxn=3005;
    long double x,c[maxn][maxn];
    
    long double C(double a,double k)
    {
        long double res=1;
        for(double i=a;i>=a-k+1;i--) res*=i;
        for(double i=1;i<=k;i++)
            res/=i;
        return res;
    }
    
    long double solve()
    {
        long double x=1.25,a=0.5,z=x-1;
        if(z<0)z=-z;
        long double s=1,ans=0;
        for(int k=0;k<=170;k++)
        {
            ans+=C(a,k)*s;
            s*=z;
        }
        return 4*ans;
    }
    
    int main()
    {
        std::cout<<solve()<<std::endl;
        return 0;
    }
    
    
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  • 牛顿二项式定理 1、设α\alphaα是实数。对于所有满足1≤∣x∣<∣y∣1\le |x|< |y|1≤∣x∣<∣y∣的xy,有 (x+y)α=∑k=0∞Cαkxkyα−k(x+y)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}C_{\alpha}^k x^ky^{\alpha-k}...

    牛顿二项式定理

    1、设 α \alpha α是实数。对于所有满足 1 ≤ ∣ x ∣ < ∣ y ∣ 1\le |x|< |y| 1x<y的x和y,有
    ( x + y ) α = ∑ k = 0 ∞ C α k x k y α − k (x+y)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}C_{\alpha}^k x^ky^{\alpha-k} (x+y)α=k=0Cαkxkyαk

    其中 C α 0 = 1 C_{\alpha}^{0}=1 Cα0=1

    C α k = α ( α − 1 ) … ( α − k + 1 ) k ! C_{\alpha}^k=\frac {\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-k+1)}{k!} Cαk=k!α(α1)(αk+1) = ( − 1 ) k − α ( − α + 1 ) … ( − α + k − 1 ) k ! = ( − 1 ) k C − α + k − 1 k =(-1)^k\frac {-\alpha(-\alpha+1)\dots(-\alpha+k-1)}{k!}=(-1)^kC_{-\alpha+k-1}^{k} =(1)kk!α(α+1)(α+k1)=(1)kCα+k1k

    2、当 α \alpha α为正整数时,当 k > α k>\alpha k>α时, C α k = 0 C_{\alpha}^k=0 Cαk=0,上式变为

    ( x + y ) α = ∑ k = 0 α C α k x k y α − k (x+y)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\alpha}C_{\alpha}^k x^ky^{\alpha-k} (x+y)α=k=0αCαkxkyαk

    3、当 α \alpha α为负整数时,设 z = x y z=\frac xy z=yx,此时 ∣ z ∣ < 1 |z|< 1 z<1
    ( x + y ) α = y α ( 1 + z ) α (x+y)^{\alpha}=y^{\alpha}(1+z)^{\alpha} (x+y)α=yα(1+z)α

    1. 这样我们只需要讨论 ( 1 + z ) α (1+z)^{\alpha} (1+z)α 就好了
      ( 1 + z ) α = ∑ k = 0 ∞ C α k z k = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k C − a + k − 1 k z k (1+z)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}C_{\alpha}^k z^k=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^kC_{-a+k-1}^k z^k (1+z)α=k=0Cαkzk=k=0(1)kCa+k1kzk

    2. α = − 1 , z = − z \alpha=-1,z=-z α=1z=z

    ( 1 − z ) − 1 = ∑ k = 0 ∞ z k (1-z)^{-1}=\sum_{k=0}^{\infty}z^k (1z)1=k=0zk

    相当于普通生成函数1个因子的情况

    1. α = − n , z = − z \alpha=-n,z=-z α=nz=z

    ( 1 − z ) − n = ∑ k = 0 ∞ C n + k − 1 k z k (1-z)^{-n}=\sum_{k=0}^{\infty}C_{n+k-1}^k z^k (1z)n=k=0Cn+k1kzk

    相当于普通生成函数n个因子的情况

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  • 由此产生负二项式分布,即离散概率分布。 语法:函数 negbins(x,y,n) 输入: x,y - 要展开的一对感兴趣的术语n - 增加二项式定理的系数/幂(它是文件自动给出的负整数) 输出: - 负二项式序列的结果- 负二项式...
  • 二项式定理与二项分布 二项式定理 二项式定理我们在高中就学过了,即: (a+b)n=(n0)anb0+(n1)an−1b1+....+(nn−1)a1bn−1+(nn)a0bn=∑i=0n(ni)an−ibi(a+b)^n = {n \choose 0}a^nb^0 + {n \choose 1}a^{n-1}b^1+......

    二项式定理与二项分布

    二项式定理

    二项式定理我们在高中就学过了,即:
    ( a + b ) n = ( n 0 ) a n b 0 + ( n 1 ) a n − 1 b 1 + . . . . + ( n n − 1 ) a 1 b n − 1 + ( n n ) a 0 b n = ∑ i = 0 n ( n i ) a n − i b i (a+b)^n = {n \choose 0}a^nb^0 + {n \choose 1}a^{n-1}b^1+....+{n \choose n-1}a^1b^{n-1} + {n \choose n}a^0b^{n} \\ = \displaystyle\sum_{i=0}^n {n \choose i}a^{n-i}b^i (a+b)n=(0n)anb0+(1n)an1b1+....+(n1n)a1bn1+(nn)a0bn=i=0n(in)anibi
    二项式定理可以这么理解:以第二项 ( n 1 ) a n − 1 b {n \choose 1}a^{n-1}b (1n)an1b为例,我们可以在n个括号中,n-1个括号选择a,另一个括号选择b,那么总共有n个括号,每个括号都可以选择b,所以前面有系数 ( n 1 ) {n \choose 1} (1n)

    二项式分布

    二项分布适用的情况:一次实验结果只有A和B两种,在n次独立重复实验,设A发生的次数为k,每次试验中事件A发生的概率为p,那么事件A恰好发生K次的概率就可以用二项分布来计算:
    P ( X = K ) = ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k P(X = K) = {n \choose k}p^k(1-p)^{n-k} P(X=K)=(kn)pk(1p)nk
    最直观的例子就是抛N次硬币,计算有k次朝上或朝下的概率。
    我们可以发现,二项分布的概率计算公式就是二项式定理的某一项,这也很容易理解,因为我们只是计算有k次正面 朝上的概率, 如 果 k 从 0 遍 历 到 n 如果k从0遍历到n k0n,那么就完全是二项式定理了。

    多项式定理与多项式分布

    这个过程和二项式定理与二项式分布的关系很相似。

    多项式定理

    在这里插入图片描述
    多项式定理的某一项也可以按照二项式定理那么理解,我们可以在n个括号中选取 r 1 r_1 r1 x 1 x_1 x1,有 ( n r 1 ) {n \choose r_1} (r1n)种取法,再在 ( n − r 1 ) (n-r_1) (nr1)个括号中选取 r 2 r_2 r2 x 2 x_2 x2,有 ( n − r 1 r 2 ) {n-r_1 \choose r_2} (r2nr1)种取法,,,,这样以此类推。根据乘法原理,应该有
    在这里插入图片描述
    这样前面的系数就出来了。

    多项式分布

    多项分布适用的情况:一次实验结果有 X 1 , X 2 , . . . X k X_1, X_2, ... X_k X1,X2,...Xk种,n次独立重复实验,设 X i X_i Xi发生的次数分别为 r i r_i ri,每次试验中事件 X i X_i Xi发生的概率为 p i p_i pi,那么事件 X 1 , X 2 , . . . X k X_1, X_2, ... X_k X1,X2,...Xk恰好发生 r 1 , r 2 , . . . r k r_1, r_2, ... r_k r1,r2,...rk次的概率就可以用多项分布来计算:
    P ( X 1 = r 1 , X 2 = r 2 , , , X k = r k ) = n ! r 1 ! r 2 ! . . . r k ! p 1 r 1 p 2 r 2 . . . p k r k P(X_1 = r_1, X_2 = r_2,,, X_k = r_k ) = {n! \over r_1!r_2!...r_k!}p_1^{r_1}p_2^{r_2}...p_k^{r_k} P(X1=r1,X2=r2,,,Xk=rk)=r1!r2!...rk!n!p1r1p2r2...pkrk

    可以看到,多项式分布概率计算公式也是多项式定理的某一项。
    多项式分布最直观的例子就是掷骰子,掷21次骰子,点数1,2,3,4,5,6朝上的次数分别是6,5,4,3,2,1的概率是多少,这样的问题就可以用多项式分布来建模。

    参考:https://blog.csdn.net/apache_xiaochao/article/details/30535521

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  • 二项式定理

    千次阅读 2013-09-18 23:45:29
    二项式定理,又称牛顿二项式定理,由艾萨克·牛顿于1664年、1665年期间提出。 该定理给出两个数之的整数次幂的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂,即广义二项式定理

    二项式定理,又称牛顿二项式定理,由艾萨克·牛顿1664年、1665年期间提出。

    定理给出两个数之和的整数次幂的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂,即广义二项式定理。


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  • 牛顿二项式定理

    千次阅读 2017-01-20 09:04:15
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  • 二项式定理与杨辉三角 36页.pdf
  • (2)集合B是由二项式定理和它的全部等价公式所构成的一个无穷集合; (3)无穷集合s与B的元素之间存在一一对应关系; (4)集合S、B的元素是完全平等的,无主次之分、无贵贱之别; (5)主要应用:将二项式定理的等价公式...
  • 二项式定理.doc

    2021-09-10 04:01:37
    二项式定理.doc
  • 广义二项式定理

    千次阅读 2016-11-03 14:46:15
    由数式二项式定理可得 (1+x)n=∑r=0nCrnxr (1+x)^n=\sum_{r=0}^{n} C_n^r x^r 这里的n是正数,当指数为负整数时,如何二项式展开呢 当 −1≤x≤1-1\leq x\leq1,且n为正整数时 (1−x)−n=∑r=0∞Crnxr (1-x)^{-n...
  • C语言——二项式定理

    千次阅读 2019-12-04 20:40:46
    题目:用户输入二项式定理中第一个数值、第二个数值,以及幂次。最后打印出展开式二项式 这个题主要是数学公式转换成代码,稍微不留神可能会出错,主要是很绕(刚开始给绕进去了,丢人了) 不多说,看代码看代码 ...
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  • 江苏专用2020高考数学二轮复习专题八二项式定理与数学归纳法第一讲计数原理与二项式定理课件理
  • 二项式定理答案.doc

    2021-09-10 04:01:42
    二项式定理答案.doc
  • 转载于:https://www.cnblogs.com/bianjing/p/9557582.html
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