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  • 浅谈数据结构之图的面试真题-Dijkstra最短路径算法(四) 上一篇 算法描述 通过Dijkstra计算图G中的最短路径时,需要指定起点vs(即从顶点vs开始计算)。 此外,引进两个集合S和U。S的作用是记录已求出最短路径的顶点...

    上一篇

    算法描述

    通过Dijkstra计算图G中的最短路径时,需要指定起点vs(即从顶点vs开始计算)。
    此外,引进两个集合S和U。S的作用是记录已求出最短路径的顶点,而U则是记录还未求出最短路径的顶点(以及该顶点到起点vs的距离)。

    操作步骤

    1. 初始时,S只包含起点vs;U包含除vs外的其他顶点,且U中顶点的距离为"起点vs到该顶点的距离"[例如,U中顶点v的距离为(vs,v)的长度,然后vs和v不相邻,则v的距离为∞]。
    2. 从U中选出"距离最短的顶点k",并将顶点k加入到S中;同时,从U中移除顶点k。
    3. 更新U中各个顶点到起点vs的距离。之所以更新U中顶点的距离,是由于上一步中确定了k是求出最短路径的顶点,从而可以利用k来更新其它顶点的距离;例如,(vs,v)的距离可能大于(vs,k)+(k,v)的距离。
    4. 重复步骤(2)和(3),直到遍历完所有顶点。

    图解

    1.在这里插入图片描述

    2.

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  • 图的最短路径算法Dijkstra算法)的分析和代码实现。

    该系列文章是本人整理的有关带权无向图的数据结构和算法的分析与实现,若要查看源码可以访问我的github仓库,如有问题或者建议欢迎各位指出。

    目录

    基于C++的带权无向图的实现 (一)- 数据结构
    基于C++的带权无向图的实现 (二)- 遍历算法
    基于C++的带权无向图的实现 (三)- Prim最小生成树算法
    基于C++的带权无向图的实现 (四)- Dijkstra最短路径算法
    基于C++的带权无向图的实现 (五)- 连通图和连通分量
    基于C++的带权无向图的实现 (六)- 关节点算法

    最短路径

    最短路径问题

    在图论中,最短路径问题旨在寻找图中一个顶点到其他顶点的最短路径, 主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。对该问题最直观的理解就是地图导航寻找最短路线。假如我要从广州南站驾车前往广州塔,这里拿高德地图中给出的推荐线路举例:
    在这里插入图片描述
    可以知道,一共有三条路线,其中深绿色这条路线所走的路程最短,仅需要22公里。

    对于最短路径问题,常用的算法有:

    • 迪杰斯特拉算法(Dijkstra’s Algorithm)
    • 弗洛伊德算法(Floyd’s Algorithm)
    • SPFA算法 (Bellman-Ford’s Algorithm)

    本节内容将对迪杰斯特拉算法进行详解。


    Dijkstra算法步骤

    给定图G,该图具有非负边权重和起始顶点start

    1. 设置对顶点start的距离为0,对图中其他顶点的距离为正无穷。
    2. 对所有顶点标记为未访问状态。
    3. 将初始顶点startu
    4. 当图中任有未访问过的顶点时:
      1. 将当前顶点u设置为已访问状态。
      2. 对于当前顶点未访问过的邻居顶点v,依次将邻居顶点v到起始顶点start的距离 与(当前顶点u到起始到起始点start的距离 + 当前顶点u到该邻居顶点v的距离)进行比较,并以较小的一个为准。
      3. 选择具有最小暂定距离的未访问顶点,并将其设置为当前顶点。

    此外,遍历顶点需要用到广度优先遍历算法,选择具有最小暂定距离的未访问顶点需要用到优先队列(priority_queue)。


    Dijkstra算法图解

    继续使用前三节用的那张图:
    在这里插入图片描述

    接下来的图中我会使用红色表示该顶点已访问,使用蓝色表示走过的路径,使用哈希表dis表示初始点到图中各个点的最短距离,假设我们从顶点A出发,求顶点A到图中各个顶点的距离,那么初始情况如下所示:

    在这里插入图片描述


    队列首元素出队,如下图所示。由于顶点A尚未访问,因此标记顶点A为已访问。然后遍历顶点A所有未访问过的邻居,将dis[A]加上A点到所有未访问过的邻居的距离依次放入队列中如下所示:

    在这里插入图片描述

    队列首元素出队,如下图所示。由于顶点D尚未访问,因此标记顶点D为已访问。然后遍历顶点D所有未访问过的邻居,将dis[D]加上D点到所有未访问过的邻居的距离依次放入队列后,发现队列中有出现了两个带有未访问顶点B的元素,其所走路径和长度分别为:

    • d(A->B) = dis[A] + weight(A , B) = 0 + 7
    • d(A->D->B) = dis[D] + weight(D , B) = 5 + 9 = 14

    因此选择较小的距离,这里d(A->B)最短,长度为7,所以在队列中这该元素相对靠前。
    在这里插入图片描述

    首元素出队,如下图所示。标记顶点B为已访问,然后遍历顶点B所有未访问过的邻居,将dis[B]加上B点到所有未访问过的邻居的距离依次放入队列中如下所示:

    在这里插入图片描述


    首元素出队,如下图所示。由于顶点F尚未访问,因此标记顶点F为已访问。然后遍历顶点F所有未访问过的邻居,将dis[F]加上F点到所有未访问过的邻居的距离依次放入队列后,发现队列中有出现了三个带有未访问顶点E的元素,其所走路径和长度分别为:

    • d(A->B->E) = dis[B] + weight(B , E) = 7 + 7 = 14
    • d(A->D->E) = dis[D] + weight(D , E) = 5 + 15 = 20
    • d(A->D->F->E) = dis[F] + weight(F , E) = 11 + 8 = 19

    因此选择较小的距离,这里d(A->B->E)最短,长度为14,所以在队列中这该元素相对靠前。

    在这里插入图片描述


    首元素出队,如下图所示。标记顶点E为已访问,然后遍历顶点E所有未访问过的邻居,将dis[E]加上E点到所有未访问过的邻居的距离依次放入队列后,发现队列中出现了两个带有未访问顶点C的元素,其所走路径和长度分别为:

    • d(A->B->C) = dis[B] + weight(B , C) = 7+ 8 = 15
    • d(A->D->E->C) = dis[E] + weight(E , C) = 14 + 5 = 19

    因此选择较小的距离,这里d(A->B->C) 最短,长度为15,所以在队列中这该元素相对靠前。


    除此之外,队列中出现了两个带有未访问顶点G的元素,其所走路径和长度分别为:

    • d(A->B->E->G) = dis[E] + weight(E , G) = 14 + 9 = 23
    • d(A->D->F->G) = dis[F] + weight(F , G) = 11 + 11 = 22

    因此选择较小的距离,这里d(A->D->F->G) 最短,长度为22,所以在队列中这该元素相对靠前。

    在这里插入图片描述


    首元素出队,由于顶点B已经访问过,所以跳过,访问顶点C。由于顶点C未访问过,所以标记顶点C为已访问,然后遍历顶点C所有未访问过的邻居,由于顶点C所有邻居已经访问过,所以不会有元素入队,如下所示:

    在这里插入图片描述


    接下来,由于顶点CE已经访问过,所以都跳过,直到(22,G)出队,如下所示:

    在这里插入图片描述
    顶点全部访问完毕,从初始点A到个顶点的最短距离计算完成。


    代码实现

    在Graph类中除了上节内容实现的功能外,额外添加了 Dijkstra最短路径算法,T为提前定义好的模板:


    函数名用途
    map<T, int> dijkstra(T start)Dijkstra最短路径算法

    1. 边的定义(edge.hpp):
    template <typename T>
    class Edge {
    public:
    	T vertex;
    	int weight;
    
    	Edge(T neighbour_vertex) {
    		this->vertex = neighbour_vertex;
    		this->weight = 0;
    	}
    
    	Edge(T neighbour_vertex, int weight) {
    		this->vertex = neighbour_vertex;
    		this->weight = weight;
    	}
    
    	bool operator<(const Edge& obj) const {
    		return obj.vertex > vertex;
    	}
    
    	bool operator==(const Edge& obj) const {
    		return obj.vertex == vertex;
    	}
    };
    
    1. 图的定义(graph.hpp)
      这里多导了一个包"limits.h", 因为要用到正无穷。
    #include<iostream>
    #include<string>
    #include<vector>
    #include<map>
    #include<set>
    #include<queue>
    #include<stack>
    #include<limits.h>
    #include "edge.hpp"
    using namespace std;
    
    template <typename T>
    class Graph {
    public:
    	map<T, set<Edge<T>>> adj;  /* 邻接表 */
    
    	bool contains(const T& u); /* 判断顶点u是否在图中 */
    	bool adjacent(const T& u, const T& v); /* 判断顶点u和v是否相邻 */
    
    	void add_vertex(const T& u); /* 添加顶点 */
    	void add_edge(const T& u, const T& v, int weight); /* 添加边和权重 */
    
    	void change_weight(const T& u, const T& v, int weight); /* 修改权重 */
    
    	void remove_weight(const T& u, const T& v); /* 移除权重 */
    	void remove_vertex(const T& u); /* 移除顶点 */
    	void remove_edge(const T& u, const T& v); /* 移除边 */
    
    	int degree(const T& u); /* 求顶点的度数 */
    	int num_vertices(); /* 求图中顶点的总数 */
    	int num_edges(); /* 求图中边的总数*/
    	int largest_degree(); /* 求图中的最大度数 */
    
    	int get_weight(const T& u, const T& v); /* 得到某两个顶点之间边的权重 */
    	vector<T> get_vertices(); /* 得到图中所有顶点 */
    	map<T, int> get_neighbours(const T& u); /* 得到顶点u的所有边 */
    
    	void show();
    
    	void dft_recursion(const T& u, set<T>& visited, vector<T>& result); /* 深度优先遍历递归辅助函数 */
    	vector<T> depth_first_rec(const T& u); /* 深度优先遍历递归法 */
    	vector<T> depth_first_itr(const T& u); /* 深度优先遍历迭代法*/
    	vector<T> breadth_first(const T& u); /* 广度优先遍历迭代法 */
    
    	Graph<T> prim(T v); /* prim最小生成树算法 */
    
    	map<T, int> dijkstra(T start); /*  dijkstra最短路径算法 */
    };
    

    由于图的函数声明除了最后一个函数其他的都在前三节中实现了,所以这里只放Dijkstra算法的实现代码(graph.hpp):

    template <typename T> map<T,int> Graph<T>::dijkstra(T start) {
    	// 设置dis用来存放初始点到图中任何一个顶点的距离
    	map<T, int> dis;
    	
    	// 设置带权重的队列,按每个pair的第一个元素进行从小到大的排列
    	priority_queue<pair<int, T>, vector<pair<int, T>>, greater<pair<int, T>>> q;
    
    	for (T vertex: get_vertices()) {
    		// 设置初始顶点到自己的距离为0
    		if(vertex == start) dis[start] = 0;
    		// 设置初始顶点到其他顶点的距离为无穷大
    		else dis[vertex] = INT_MAX;
    	}
    
        // 设置集合visited来存放已经访问过的顶点
    	set<T> visited;
    
    	// 入队:入队的元素是一个pair类型,第一个值是权重,第二个值是顶点
    	q.push(make_pair(0,start));
    
    	while (!q.empty()) {
    		// 队首元素出队
    		auto front = q.top();
    		q.pop();
    
    		// 获得当前顶点
    		T u = front.second;
    
    		// 如果该顶点已经访问过则跳过本此循环,否则存入到集合visited中表示已经访问过
    		if (visited.find(u) != visited.end()) continue;
    		else visited.insert(u);
    
    		// 获得到顶点u的最短路径"shortest_distance_to_u",将此路径存入到dis结果中
    		int shortest_distance_to_u = front.first;
    		dis[u] = shortest_distance_to_u;
    
    		// 依次访问顶点u尚未访问过的邻居
    		for (auto v : adj[u]) {
    			if (visited.find(v.vertex) == visited.end()) {
    				// 从顶点u到邻居v的路径记为“distance_to_v”
    				int distance_to_v = v.weight;
    				q.push(make_pair(shortest_distance_to_u + distance_to_v,  v.vertex));
    			} 
    		}
    	}
    	return dis;
    }
    
    

    测试

    测试案例(graph_testing.cpp):

    #include "graph.hpp"
    void test04(Graph<char> g) {
       cout << "最短路径结果如下:" << endl;
       auto dis = g.dijkstra('A');
       vector<char> vertices = g.get_vertices();
       for(auto vertex: vertices)
            if (dis[vertex] >= 0)
                cout << vertex<< ": " << dis[vertex] << endl;
    }
    
    
    int main()
    {
        Graph<char> g;
        g.add_vertex('A');
        g.add_vertex('B');
        g.add_vertex('C');
        g.add_vertex('D');
        g.add_vertex('E');
        g.add_vertex('F');
        g.add_vertex('G');
    
        g.add_edge('A', 'B', 7);
        g.add_edge('A', 'D', 5);
        g.add_edge('B', 'C', 8);
        g.add_edge('B', 'D', 9);
        g.add_edge('B', 'E', 7);
        g.add_edge('C', 'E', 5);
        g.add_edge('D', 'E', 15);
        g.add_edge('D', 'F', 6);
        g.add_edge('E', 'F', 8);
        g.add_edge('E', 'G', 9);
        g.add_edge('F', 'G', 11);
    
        g.add_vertex('H');
        g.add_edge('B', 'H', 9);
        g.add_edge('A', 'H', 10);
        g.add_edge('D', 'H', 11);
        g.add_edge('A', 'H', 12);
        g.remove_vertex('H');
        cout << "打印图中顶点及其邻接表的详细信息如下" << endl;
        g.show();
        cout << endl;
        
        test04(g);
        return 0;
    }
    
    

    输出结果:
    在这里插入图片描述

    跟之前演示的图做个对比,发现完全一致。在这里插入图片描述

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  • Dijkstra 最短路径算法详解 无向图

    万次阅读 多人点赞 2018-04-03 22:23:55
    对于最短路径问题,这里介绍一种O(N^2)的求解方法。 对于求最短路径的问题一般都会给出一幅图,或者边与边的关系。如上图。假设我们起点是A,我们要求到F的最短距离,我们会怎么做? 首先,因为A是起点,所以我们...
    
    

    对于最短路径问题,这里介绍一种O(N^2)的求解方法。 
    这里写图片描述 
    对于求最短路径的问题一般都会给出一幅图,或者边与边的关系。如上图。

    假设我们起点是A,我们要求到F的最短距离,我们会怎么做? 
    首先,因为A是起点,所以我们把对于每个点都有个参数,相对于A的距离,默认除了A到A为0,其他都是无穷大。 
    这里写图片描述
    从起点A开始,我们更新与A相连通的点到A的距离,并把A点标记。如图: 
    这里写图片描述
    我们遍历一次所有点与A的距离,找到最小的,这里是点B。 
    以它为起点,把它周围未被标记的点拿来做比较,显然,像F这种没有与A练过的点,当前距离就会变成min(dis[B]+maze[B][F],INF),就是B到起点的距离加上BF之间的距离。而像c这种与A直接相连的点,当前距离就会变成min(dis[B]+maze[B][C],dis[c]),所以按照我们每次只需要比较当前点到当前状态起点的和与当前点到起点的距离就可以了。 
    这里写图片描述
    然后我们遍历发现,当前未被标记且到起点距离最小点的点是C点。我们更新连接了C的所有点。同样利用上面的min公式。 
    这里写图片描述
    同理,更新D点的邻点。 
    这里写图片描述
    再把更新E点的邻点。 
    这里写图片描述
    最后再更新F点。发现F点周围所有点都被标记了,不做更新。 
    再遍历,发现图中所有点都被遍历了,算法结束。 
    这个时候,我们已经求出了所有点到起点的最小距离。 
    可以直接输出dis[F]求得A到F的最短路径。

    注意: 
    上面的图重点是看每次变化找的起点和与出发点路径的变化。 
    当前起点是当前未被标记且到出发点距离最近的点。 
    更新的点都是与该起点直接相连并未被标记的点。

    因为并没有无穷大这个数,所以我们把INF设为一个我们计算不能到达的数,这里的数接近int的上限,可以近似看作正无穷。

    参考代码如下:

    #include"iostream"
    #include"cstring"
    #include"cstdio"
    
    using namespace std;
    #define INF 0x7f7f7f7f
    
    const int N = 105; //点的个数上限
    
    int maze[N][N];
    int dis[N];
    bool vis[N];
    
    //点的个数和边的条数
    int n,m;
    
    void init()
    {
        memset(maze,INF,sizeof(maze));
        memset(dis,INF,sizeof(dis));
        memset(vis,false,sizeof(vis));
    }
    
    void dijkstra(int st)
    {
        dis[st]=0;
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
        //找到和起点距离最短的点
            int minx=INF;
            int minmark;
            for(int j=1; j<=n; j++)
            {
                if(vis[j]==false&&dis[j]<=minx)
                {
                    minx=dis[j];
                    minmark=j;
                }
            }
            //并标记
            vis[minmark]=true;
            //更新所有和它连接的点的距离
            for(int j=1; j<=n; j++)
            {
                if(vis[j]==false&&dis[j]>dis[minmark]+maze[minmark][j])
                    dis[j]=dis[minmark]+maze[minmark][j];
            }
        }
    }
    
    
    int main()
    {
        while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF)
        {
            if(n==0&&m==0) break;
            //每组数据都要初始化
            init();
            for(int i=1; i<=m; i++)
            {
                int x,y,len;
                scanf("%d %d %d",&x,&y,&len);
                if(x!=y&&maze[x][y]>len)
                {
                    maze[y][x]=len;
                    maze[x][y]=len;
                }
            }
            //以1为起点跑一次dij
            dijkstra(1);
            //输出到n的距离
            printf("%d\n",dis[n]);
        }
    }

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  • Dijkstra路由最短路径算法

    千次阅读 2020-04-19 18:02:19
    Dijkstra路由最短路径算法Dijkstra路由最短路径算法算法实现 Dijkstra路由最短路径算法 先简单解释一下该算法的字面含义:根据百度百科的解释为:是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法,解决的是有权图中最短路径...

    Dijkstra路由最短路径算法

    Dijkstra路由最短路径算法

    先简单解释一下该算法的字面含义:根据百度百科的解释为:是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法,解决的是有权图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是从起始点开始,采用贪心算法的策略,每次遍历到始点距离最近且未访问过的顶点的邻接节点,直到扩展到终点为止。

    下面开始图文解释:

    我们要寻找从a点到f点的最短路径,上面的数字表示权重,代表每经过一个节点所要付出的代价。
    在这里插入图片描述
    从a点选取一个权重最小的节点c:

    然后根据选中的节点进行更新,更新的是从a点到各个节点的权重。
    在这里插入图片描述
    然后更新下一个权重最小的节点b:

    去掉的节点表示不会再从那个节点路过,因为有更优秀的节点取代。
    在这里插入图片描述
    接下来选取节点e:
    在这里插入图片描述
    接下来选取d:

    该节点选取后就能更新完所有相关的最终节点,确定出最佳路线。
    在这里插入图片描述

    算法实现

    public static final int INF = 99999;
        public static final int[][] a = {
    
                {0,300,100,INF,INF,INF}, //顶点a
                {300,0,150,50,INF,INF}, //顶点b
                {100,150,0,200,200,INF},//顶点c
                {INF,50,200,0,600,400},//顶点d
                {INF,INF,200,600,0,700},//顶点e
                {INF,INF,INF,400,700,0} //顶点f
    
        };
        //是否访问过该节点
        public static boolean[] b = new boolean[a.length];
        //前驱节点 通过该节点可以追踪最佳链路
        public static int[] prev = new int[a.length];
        //各个节点的最短路径
        public static int[] dist = new int[a.length];
    
        public static void solution(){
    
            dist[0] = 0;
            b[0] = true;
            int tmp;
            int k = 0;
            //从顶点a到定点f
            for (int i = 0; i < a[0].length; i++) {
                dist[i] = a[0][i];
            }
            // 从剩余节点中选取权重最小的节点开始
            for (int i = 1; i < a[0].length; i++) {
    
                int min = INF;
                for (int j = 0; j < a[0].length; j++) {
                    if (!b[j] && dist[j] < min) {
                        min = dist[j];
                        k = j;
                    }
                }
    
                b[k] = true;
                // 选中一个节点后 根据这个节点更新所有和它相关的节点
                for (int j = 0; j < a[k].length; j++) {
                    tmp = (min + a[k][j]) < 0 ? INF : (min + a[k][j]);
                    if (!b[j] && tmp < dist[j]) {
                        dist[j] = tmp;
                        prev[j] = k;
                    }
                }
            }
    
    
    
        }
    

    也解答了我上一篇文章的一个遗留问题

    按下回车的那一刻发生了什么?

    更多干货内容请关注公众号:“计算机基础爱好者”

    谢谢

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    2018-06-23 23:09:08
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    千次阅读 多人点赞 2020-11-06 16:41:16
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dijkstra最短路径算法图解