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  • KM算法用于求二部图最大匹配,该程序的输入是二分图两边节点的数和一个矩阵 矩阵的行和列应该相等,当二分图的两边节点数不一样时,以数值大的节点为准,不存在的边的权赋值为0。 比如:一边是2个点(v1,v2),...
  • 二分最大匹配、完美匹配和匈牙利算法 这篇文章讲无权二分(unweighted bipartite graph)的最大匹配(maximum matching)和完美匹配(perfect matching),以及用于求解匹配的匈牙利算法(Hungarian ...

    二分图的最大匹配、完美匹配和匈牙利算法

    这篇文章讲无权二分图(unweighted bipartite graph)的最大匹配(maximum matching)和完美匹配(perfect matching),以及用于求解匹配的匈牙利算法(Hungarian Algorithm);不讲带权二分图的最佳匹配。

    二分图:简单来说,如果图中点可以被分为两组,并且使得所有边都跨越组的边界,则这就是一个二分图。准确地说:把一个图的顶点划分为两个不相交集 U  和 V ,使得每一条边都分别连接U 、 V  中的顶点。如果存在这样的划分,则此图为一个二分图。二分图的一个等价定义是:不含有「含奇数条边的环」的图。图 1 是一个二分图。为了清晰,我们以后都把它画成图 2 的形式。

    匹配:在图论中,一个「匹配」(matching)是一个边的集合,其中任意两条边都没有公共顶点。例如,图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。

    Bipartite Graph(1)  Bipartite Graph(2)  Matching  Maximum Matching

    我们定义匹配点匹配边未匹配点非匹配边,它们的含义非常显然。例如图 3 中 1、4、5、7 为匹配点,其他顶点为未匹配点;1-5、4-7为匹配边,其他边为非匹配边。

    最大匹配:一个图所有匹配中,所含匹配边数最多的匹配,称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配,它包含 4 条匹配边。

    完美匹配:如果一个图的某个匹配中,所有的顶点都是匹配点,那么它就是一个完美匹配。图 4 是一个完美匹配。显然,完美匹配一定是最大匹配(完美匹配的任何一个点都已经匹配,添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突)。但并非每个图都存在完美匹配。

    举例来说:如下图所示,如果在某一对男孩和女孩之间存在相连的边,就意味着他们彼此喜欢。是否可能让所有男孩和女孩两两配对,使得每对儿都互相喜欢呢?图论中,这就是完美匹配问题。如果换一个说法:最多有多少互相喜欢的男孩/女孩可以配对儿?这就是最大匹配问题。

    0

    基本概念讲完了。求解最大匹配问题的一个算法是匈牙利算法,下面讲的概念都为这个算法服务。

    5交替路:从一个未匹配点出发,依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边...形成的路径叫交替路。

    增广路:从一个未匹配点出发,走交替路,如果途径另一个未匹配点(出发的点不算),则这条交替路称为增广路(agumenting path)。例如,图 5 中的一条增广路如图 6 所示(图中的匹配点均用红色标出):

    6

    增广路有一个重要特点:非匹配边比匹配边多一条。因此,研究增广路的意义是改进匹配。只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边,所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后,图中的匹配边数目比原来多了 1 条。

    我们可以通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时,达到最大匹配(这是增广路定理)。匈牙利算法正是这么做的。在给出匈牙利算法 DFS 和 BFS 版本的代码之前,先讲一下匈牙利树。

    匈牙利树一般由 BFS 构造(类似于 BFS 树)。从一个未匹配点出发运行 BFS(唯一的限制是,必须走交替路),直到不能再扩展为止。例如,由图 7,可以得到如图 8 的一棵 BFS 树:

    7   8    9

    这棵树存在一个叶子节点为非匹配点(7 号),但是匈牙利树要求所有叶子节点均为匹配点,因此这不是一棵匈牙利树。如果原图中根本不含 7 号节点,那么从 2 号节点出发就会得到一棵匈牙利树。这种情况如图 9 所示(顺便说一句,图 8 中根节点 2 到非匹配叶子节点 7 显然是一条增广路,沿这条增广路扩充后将得到一个完美匹配)。

    下面给出匈牙利算法的 DFS 和 BFS 版本的代码:

    // 顶点、边的编号均从 0 开始
    // 邻接表储存
    struct Edge
    {
        int from;
        int to;
        int weight;
        Edge(int f,int t,int w):from(f),to(t),weight(w){}
    };
    vector<int> G[__maxNodes]; /* G[i] 存储顶点 i 出发的边的编号 */
    vector<Edge> edges;
    typedef vector<int>::iterator iterator_t;
    int num_nodes;
    int num_left;
    int num_right;
    int num_edges;

    int matching[__maxNodes];/* 存储求解结果 */
    int check[__maxNodes];
    bool dfs(int u){
    for(iterator_ti=G[u].begin();i!=G[u].end();++i){// 对 u 的每个邻接点
    int v=edges[*i].to;
            if(!check[v])
            {// 要求不在交替路中
                check[v]=true;// 放入交替路
                if(matching[v]==-1||dfs(matching[v]))
                {//如果是未盖点,说明交替路为增广路,则交换路径,并返回成功
                    matching[v]=u;
                    matching[u]=v;
                    return true;
                }
            }
        }
        return false;// 不存在增广路,返回失败
    }
    int hungarian()
    {
        int ans=0;
        memset(matching,-1,sizeof(matching));
        for(int u=0;u<num_left;++u)
        {
            if(matching[u]==-1)
            {
                memset(check,0,sizeof(check));            
                if(dfs(u))
                    ++ans;
            }
        }
        return ans;
    }
    


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  • 图论算法-二部图匹配

    2009-10-30 18:43:23
    图论算法-二部图匹配图论算法-二部图匹配图论算法-二部图匹配
  • 匈牙利算法第5号 用于二部图的匈牙利匹配算法的实现,包括顶点权重。
  • 为解决二部图最大匹配问题,提出了分层网络及网络逆序的概念,在此基础上建立了一种分层网络优化模型及其算法。给出了算法的思想、步骤、实例、时间复杂度分析,概述了求解二部图最大匹配问题的常见算法,与分层网络...
  • 先看看洛谷上面的二分图匹配有关匈牙利算法的题目。 题目背景 二分图 题目描述 给定一个二分图,结点个数分别为n,m,边数为e,求二分图最大匹配数 输入输出格式 输入格式:   第一行,n,m,e 第至e+1行,...

    先看看洛谷上面的二分图匹配有关匈牙利算法的题目。

    题目背景

    二分图

    题目描述

    给定一个二分图,结点个数分别为n,m,边数为e,求二分图最大匹配数

    输入输出格式

    输入格式:

     

    第一行,n,m,e

    第二至e+1行,每行两个正整数u,v,表示u,v有一条连边

     

    输出格式:

     

    共一行,二分图最大匹配

     

    输入输出样例

    输入输出
    1 1 1
    1 1
    1

    二分图匹配:

    二分图匹配,自然要先从定义入手,那么二分图是什么呢?

    二分图:

    二分图又称作二部图,是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图,如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B),并且图中的每条边(i,j)所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B),则称图G为一个二分图。

    简单的说,一个图被分成了两部分,相同的部分没有边,那这个图就是二分图,二分图是特殊的图。

    匹配:

    给定一个二分图G,在G的一个子图M中,M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点,则称M是一个匹配。
    极大匹配(Maximal Matching)是指在当前已完成的匹配下,无法再通过增加未完成匹配的边的方式来增加匹配的边数。最大匹配(maximum matching)是所有极大匹配当中边数最大的一个匹配。选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题。
    如果一个匹配中,图中的每个顶点都和图中某条边相关联,则称此匹配为完全匹配,也称作完备匹配。
    求二分图匹配可以用最大流(Maximal Flow)或者匈牙利算法(Hungarian Algorithm)

    注意匈牙利算法,除了二分图多重匹配外在二分图匹配中都可以使用。

    注:二分图匹配中还有一个hk算法,复杂度为o(sqrt(n)*e)由于复杂度降低较低,代码量飙升而且绝大多数情况下没人会闲的卡个sqrt的复杂度。。在此先不讲了,有兴趣可以自己百度,貌似卡这个算法的只有hdu2389

    嘛 首先我们讲解一下匈牙利算法的过程:

    匈牙利算法:

    实现过程详解

    匈牙利算法几乎是二分图匹配的核心算法,除了二分图多重匹配外均可使用

    匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出,因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想,它是部图匹配最常见的算法,该算法的核心就是寻找增广路径,它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

    -------等等,看得头大?那么请看下面的版本:

     

    通过数代人的努力,你终于赶上了剩男剩女的大潮,假设你是一位光荣的新世纪媒人,在你的手上有N个剩男,M个剩女,每个人都可能对多名异性有好感(惊讶-_-||暂时不考虑特殊的性取向),如果一对男女互有好感,那么你就可以把这一对撮合在一起,现在让我们无视掉所有的单相思(好忧伤的感觉快哭了),你拥有的大概就是下面这样一张关系图,每一条连线都表示互有好感。

     

    本着救人一命,胜造七级浮屠的原则,你想要尽可能地撮合更多的情侣,匈牙利算法的工作模式会教你这样做:

    ===============================================================================

    一: 先试着给1号廖老师找妹子,发现第一个和他相连的1号女生还名花无主,got it,连上一条蓝线

     

    ===============================================================================

    :接着给2号王老师找妹子,发现第一个和他相连的2号女生名花无主,got it

     

    ===============================================================================

    :接下来是3号石老师,很遗憾1号女生已经有主了,怎么办呢?

    我们试着给之前1号女生匹配的老师(也就是1号廖老师)另外分配一个妹子。

     

    (黄色表示这条边被临时拆掉)

     

    与1号廖老师相连的第二个女生是2号女生,但是2号女生也有主了,怎么办呢?我们再试着给2号女生的原配(发火发火)重新找个妹子(注意这个步骤和上面是一样的,这是一个递归的过程)

    此时发现2号王老师还能找到3号女生,那么之前的问题迎刃而解了,回溯回去

    2号王老师可以找3号妹子~~~   

     1号廖老师可以找2号妹子了~~~

    3号石老师可以找1号妹子

    所以最终结果便是如此

     

    ===============================================================================

    : 接下来是4号屈老师,很遗憾,按照第三步的节奏我们没法给4号屈老师腾出来一个妹子,我们实在是无能为力了……屈老师走好。

     

    ===============================================================================

    这就是匈牙利算法的流程,其中找妹子是个搜索或者递归的过程,最最关键的字就是“腾”字

    其原则大概是:有机会上,没机会创造机会也要上 

     

    练习题:洛谷P3386:

    洛谷P3386就是一道裸二分图最大匹配的问题,直接上匈牙利算法即可。

    下面是我AC的代码:

    #include<iostream>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    
    bool d[1010][1010],b[1010];
    int pp[1010],n,m,e,ans;
    
    bool dfs(int k){
    	for(int i=1;i<=n;i++) //扫描每个妹子  
    		if(d[k][i] && !b[i]){
    	//如果有暧昧并且还没有标记过(这里标记的意思是这次查找曾试图改
    	//变过该妹子的归属问题,但是没有成功,所以就不用瞎费工夫了)
    			b[i]=true;
    			if(!pp[i] || dfs(pp[i])){
    				//名花无主或者能腾出个位置来,这里使用递归
    				pp[i]=k;
    				return true;
    			}
    		}
    	return false;
    }
    
    int main(){
    	cin>>n>>m>>e;
    	for(int i=0;i<e;i++){
    		int u,v;
    		cin>>u>>v;
    		if(u>n || v>m)
    			continue;
    		d[u][v]=true;
    	}
    	for(int i=1;i<=m;i++){
    		for(int j=1;j<=m;j++)
    			b[j]=false;
    		if(dfs(i))
    			ans++;
    	}
    	cout<<ans<<endl;
    	return 0;
    }

     

     

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  • 答案便是匈牙利算法,它利用增广路径来求二分图最大匹配。我们通过一个例子来更好地说明二分的情况。 思路: 假设有3个男生3个女生,现在我们要帮他们做配对(男生不可以互相喜欢,女生也一样),如果...

    匈牙利算法

    对于一个二分图,如何找到其最大匹配,也就是匹配数最大的匹配?

    答案便是匈牙利算法,它利用增广路径来求二分图最大匹配。我们通过一个例子来更好地说明二分图的情况。



    思路:

    假设有3个男生3个女生,现在我们要帮他们做配对(男生不可以互相喜欢,女生也一样),如果没有任何限制,即男生对女生没有任何要求,女生对男生也没有任何要求,那显然最大匹配就是3对啦。而情况通常是,每个男生喜欢某些女生而不喜欢其他女生。比如男1喜欢女1和女2,男2喜欢女1和女3,男3喜欢女2和女3.现在我们跑一遍匈牙利算法。

    首先匹配男1,搜索到女1还没有被匹配,则匹配之,并将女1标记为已匹配。接下来匹配男2,搜索到女1已经被匹配,这时男2很失望,便询问男1能否将这个女生让给他,去寻找另外一位女生匹配。男1答应了,于是找到了女2。于是现在男1跟女2匹配,男2跟女1匹配。现在我们匹配男3,男3喜欢女2和女3,首先搜索到女2,发现女2跟男1配对了,便询问男1能否找到另外的匹配。男1又找到女1发现女1跟男2匹配了,又去询问男2能否找到另外的匹配,男2说好,于是找到了女3跟他匹配。于是他回复男1说找到了,男1又回复男2说找到了。这样结局皆大欢喜,男1匹配了女1,男2匹配了女3,男3匹配了女2。而上面那些询问的过程,便是寻找增广路径的过程。如果能找到,则匹配总数加1


    具体代码如下: 

    int n,m;//顶点数n和边数m
    int e[51][51];//一张图
    int vis[51];
    int match[51];//标记谁匹配谁
    int dfs(int u)
    {
    	int i;
    	for(i=1;i<=n;i++)
    	{
    		if(vis[i]==0&&e[u][i]==1)//这个点还没去过,而且他们之间可以连通
    		{
    			vis[1]=1;//把点标记为已经尝试
    			if(match[i]==0||dfs(match[i]))//这个点还没有被匹配或者它匹配的点可以去匹配其他人
    			{
    				match[u]=i;
    				match[i]=u;
    				return 1;
    			}
    		}
    	}
    	return 0;
    } 
    

    for(i=1;i<=n;i++)
    {
    	memset(vis,0,sizeof(vis));
    	if(dfs(i))
    	{
    		tot++;//若能找到新的匹配,则总数+1 
    	}
    }



    KM算法:

    现在假设男生对女生之间不再是单纯的喜欢就好,男生对女生有自己的排名,即对每个女生有不同的期望值,每个男生都希望跟期望

    值最高的女生匹配,这就难免出现冲突的情况,比如众屌丝都喜欢同一个女神。在这种情况下,我们如何找到一种最大的匹配,并且

    使得每个人获得的期望值总和最大呢?

    这是KM算法要解决的问题,KM算法求的是完备匹配下的最大权匹配:

    在一个二分图内,左顶点为X,右顶点为Y,现对于每组左右连接XiYj有权wij,求一种匹配使得所有wij的和最大。

    我们先贴出代码,再根据代码来讲解。 


    int w[1005][1005];
    const int inf=(1<<20)-1;
    int m,n;//n左m右 
    int cx[1005],cy[1005];//顶标 
    bool usex[1005],usey[1005];
    int link[1005];//link[i]=x代表:在y图中的i与x相连 
    bool dfs(int u){
        usex[u]=1;
        for(int i=1;i<=m;i++)
            if(!usey[i]&&cx[u]+cy[i]==w[u][i]){
                usey[i]=1;
                if(link[i]==-1||dfs(link[i])){
                    link[i]=u;
                    return 1;   
                }
            }
    return 0;
    }
    int KM(){
        memset(cy,0,sizeof(cy));
        memset(cx,-1,sizeof(cx));
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=m;j++)
                cx[i]=max(cx[i],w[i][j]);
        for(int i=1;i<=n;i++){      
            while(1){
                int d=inf;
                memset(usex,0,sizeof(usex));
                memset(usey,0,sizeof(usey));
                if(dfs(i))break;
                for(int i=1;i<=n;i++)
                {
                	if(usex[i])
                	{
                		for(int j=1;j<=m;j++)
                		{
                			if(!usey[j])
    							d=min(d,cx[i]+cy[j]-w[i][j]);
    					}
    				} 
    			}
                if(d==inf)return -1;
                for(int i=1;i<=n;i++)
                    if(usex[i])cx[i]-=d;
                for(int i=1;i<=m;i++)
                    if(usey[i])cy[i]+=d;
            }
        }
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=m;i++){
            if(~link[i])ans+=w[link[i]][i];
        }
        return ans; 
    }


    KM算法代码讲解:

    首先,x和y可以看成是男生和女生,有一个cx,cy数组,可以看成是男生对女生,女生对男生的期望值。KM算法1到5行,我们对cx,

    cy进行了初始化。一开始男生肯定是希望跟期望值最高的女生匹配,所以cx初始化为最大的期望值。而女生则对此没什么所谓,期望

    值全是0。

    接下来遍历整个男生组,对每个男生进行匹配。一开始便进入一个死循环,首先usex和usey全部初始化为0,开始寻找男1的匹配女生。

    在dfs中,我们看到结构跟匈牙利算法中的DFS结构差不多,唯一区别是多了一个cx[u]+cy[i]==w[u][i]。这个是什么意思呢?由于一开

    始每个男生都想和期望值最高的女生匹配,所以一开始cx[u]+cy[i]肯定是等于那个最大期望值啦。当它等于w[u][i],也就是找到那个女

    生后,则进行匹配。

    假设男1和女2匹配了。现在我们匹配男2,他也想和女2匹配, 询问他能不能去匹配另外一个人。这时男1找遍所有都没有符合条件的

    (因为此时男1最高的期望值是女2,而现在不能匹配女2了),因此函数返回-1,回到KM算法中,不会跳出死循环,而是进入了下面

    一个操作。 这个操作便是KM算法的精髓。它遍历所有已经访问过的x和所有没被访问过的y,计算出最小的cx[i]+cy[j]-w[i][j]。这个值

    是什么意思呢?因为男1不能再匹配他的女神了,那么他就要把自己的期望值降低,去寻找期望值排第二的女生,那么这个期望值应

    该降低多少?这个差值便是cx[i]+cy[j]-w[i][j]。找出最小的差值d后,我们将所有已经访问过的x的期望值减少d.即cx[i]-=d,而为了维持

    来的匹配,我们要将所有已经访问过的cy[i]+=d。这也不难理解,原本女生是无所谓的,现在知道自己变重要了,有2个人同时在追

    ,便开始增加自己的期望值了。这样原来的匹配仍然存在,即原来成立的cx[u]+cy[i]==w[u][i]变为cx[u]+d+cy[i]-d仍然是cx[u]+cy[i]。

    而多了其他选择,因为原来的cx[u]已经减少了d,它可以跟剩下的其他女生匹配了。

    这样我们就找到了增广路径。整个算法便是在不断地重复这个过程。 

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  • 题目大意:给出田鼠数目与地洞数目,...解题策略:简单二部图,答案 = 田鼠总数-(田鼠——地洞)二部图最大匹配数,邻接表实现。 /* UVA 10080 Gopher II AC by J_Dark ON 2013/4/19 Time 0.044s */ #

    题目大意:给出田鼠数目与地洞数目,每个地洞可以容纳一只田鼠,给出田鼠坐标与地洞坐标,田鼠速度与逃逸最大时间,求出最少被抓住田鼠数。

    解题策略:简单二部图,答案 = 田鼠总数-(田鼠——地洞)二部图最大匹配数,邻接表实现。



    /*
       UVA 10080 Gopher II
       AC by J_Dark
       ON 2013/4/19
       Time 0.044s
    */
    #include <iostream>
    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    #include <cmath>
    #include <vector>
    #include <algorithm>
    using namespace std;
    int gopherNum, holesNum, timeLimit, speed, ans;
    struct XY{  
       double x, y;
       XY(double a=0, double b=0) { x = a; y = b;}
       double pathCompute(XY A){
          return sqrt(pow(A.x-x, 2.0) + pow(A.y-y, 2.0));
       }   
    };
    vector< vector<int> > reachedHoles;  
    vector<XY> G;  //田鼠 
    vector<XY> H;  //地洞 
    vector<int> pairHG; //存放匹配边 
    vector<bool> visited;  //增广路径判定标记
    
    //寻找增光路径 
    bool findPath(int g){
       for(int i=0; i<reachedHoles[g].size(); i++){
          int tempH = reachedHoles[g][i];
          if(!visited[tempH]){
             visited[tempH] = true;
             if( pairHG[tempH] == -1 || findPath(pairHG[tempH]) ){ //发现未匹配边
                pairHG[tempH] = g; //修改匹配信息 
                return true;
             }
          } 
       }
       return false; //未找到匹配边 
    } 
    //匈牙利算法 DFS求最大匹配
    void Compute(){
         int matching = 0;
         for(int g=0; g<gopherNum; g++){
            visited.clear();
            visited.resize(holesNum);
            if(findPath(g))
               matching++;
         }
    	 //最少被抓住田鼠数 = 田鼠总数 - 最大匹配数
         cout << gopherNum - matching << endl;
    }
    
    
    void Input(){
         double x, y;
         G.clear();
         H.clear();
         for(int i=0; i<gopherNum; i++){
            cin >> x >> y;
            G.push_back(XY(x, y));
         }
         for(int i=0; i<holesNum; i++){
            cin >> x >> y;
            H.push_back(XY(x, y));
         }   
         reachedHoles.clear();
         pairHG.clear();
         for(int h=0; h<holesNum; h++)  pairHG.push_back(-1); //初始化未匹配 
    }
    
    void Solve(){
         const double eps = 1e-10;
         vector<int> holes;
         for(int g=0; g<G.size(); g++){
             holes.clear();
             for(int h=0; h<H.size(); h++){
                if(double(timeLimit*speed) - G[g].pathCompute(H[h]) > eps)
                   holes.push_back(h);
             }
             reachedHoles.push_back(holes);
         }
    }
    /
    int main(){
     
        while(cin >> gopherNum >> holesNum >> timeLimit >> speed)
        {
           Input();
           Solve();
           Compute();
        }
        //system("pause");
        return 0;
    }


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