精华内容
下载资源
问答
  • 傅里叶变换 文章目录傅里叶变换傅里叶级数基本公式常用公式基本性质其他公式卷积公式周期信号傅里叶变换抽样信号傅里叶变换提供延时的理想滤波器无失真传输 傅里叶级数 ...基本公式 F(ω)=∫−∞+∞f(τ)e−jω...

    傅里叶变换



    傅里叶级数

    https://blog.csdn.net/lafea/article/details/115756741

    基本公式

    F ( ω ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( τ ) e − j ω τ d τ = F [ f ( t ) ]   f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F ( ω ) e j ω t d ω = F − 1 [ F ( ω ) ] F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau=\mathcal{F}[f(t)]\\\ \\ f(t)= \frac 1 {2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega)e^{j\omega t}d\omega=\mathcal F^{-1}[F(\omega)] F(ω)=+f(τ)ejωτdτ=F[f(t)] f(t)=2π1+F(ω)ejωtdω=F1[F(ω)]

    常用公式

    https://blog.csdn.net/lafea/article/details/118651638

    基本性质

    序号解释
    对称性 若 f ( t ) ↔ F ( ω )   则 F ( t ) ↔ 2 π f ( − ω ) 若 f ( t ) 为 偶 函 数   则 F ( t ) ↔ 2 π f ( ω ) 若 f(t) \leftrightarrow F(\omega) \ 则 F(t) \leftrightarrow 2\pi f(-\omega)\\ 若f(t)为偶函数 \ 则F(t) \leftrightarrow 2\pi f(\omega) f(t)F(ω) F(t)2πf(ω)f(t) F(t)2πf(ω)对称特性可推出傅里叶变换链
    线性 c 1 f 1 ( t ) + c 2 f 2 ( t ) ↔ c 1 F 1 ( ω ) + c 2 F 2 ( ω ) c_1f_1(t)+c_2f_2(t) \leftrightarrow c_1F_1(\omega)+c_2F_2(\omega) c1f1(t)+c2f2(t)c1F1(ω)+c2F2(ω)
    奇偶虚实性 若 f ( t ) ↔ F ( ω )   则 f ( − t ) ↔ F ( − ω ) f ( − t ) ↔ F ∗ ( ω ) 若 f(t) \leftrightarrow F(\omega) \ 则\\f(-t) \leftrightarrow F(-\omega)\\f(-t) \leftrightarrow F^*(\omega) f(t)F(ω) f(t)F(ω)f(t)F(ω)
    奇偶特性(1) 偶信号的频谱是偶函数,奇信号的频谱是奇函数;
    (2)实信号的频谱是共轭对称函数,即其实部是偶函数,虚部是奇函数,
    或者其幅度频谱是偶函数,相位频谱是奇函数;
    (3)实偶信号的频谱是实偶函数,实奇函数的频谱是虚奇函数;
    尺度变换 若 f ( t ) ↔ F ( ω )   则 f ( a t ) ↔ 1 ∥ a ∥ F ( ω a )   ( a ≠ 0 ) 若 f(t) \leftrightarrow F(\omega) \ 则\\f(at) \leftrightarrow \frac 1 {\|a\|}F(\frac{\omega} a) \ (a\ne 0) f(t)F(ω) f(at)a1F(aω) (a=0)
    时移 若 f ( t ) ↔ F ( ω )   则 f ( t − t 0 ) ↔ F ( ω ) e − j ω t 0 若 f(t) \leftrightarrow F(\omega) \ 则\\f(t-t_0) \leftrightarrow F(\omega)e^{-j\omega t_0} f(t)F(ω) f(tt0)F(ω)ejωt0移位只改变相位谱,不改变幅度谱
    频移 若 f ( t ) ↔ F ( ω )   则 f ( t ) e j ω 0 t ↔ F ( ω − ω 0 ) 若 f(t) \leftrightarrow F(\omega) \ 则\\f(t)e^{j\omega_0 t}\leftrightarrow F(\omega-\omega_0) f(t)F(ω) f(t)ejω0tF(ωω0)
    微分 F [ f ( n ) ( t ) ] = ( j ω ) n F ( ω )   F [ t f ( t ) ] = j d F ( ω ) d ω   F [ t n f ( t ) ] = 1 ( − j ) n d n F ( ω ) d ω n \mathcal{F}[f^{(n)}(t)]=(j\omega)^n F(\omega)\\\ \\ \mathcal{F}[tf(t)]=j\frac{dF(\omega)}{d\omega}\\\ \\ \mathcal{F}[t^nf(t)]=\frac{1}{(-j)^n}\frac{d^nF(\omega)}{d\omega^n} F[f(n)(t)]=(jω)nF(ω) F[tf(t)]=jdωdF(ω) F[tnf(t)]=(j)n1dωndnF(ω)
    积分 F [ ∫ − ∞ t f ( τ ) d τ ] = { 1 j ω F ( ω ) F ( 0 ) = 0 [ 1 j ω + π δ ( ω ) ] F ( ω ) F ( 0 ) ≠ 0 \mathcal{F}[\int_{-\infty}^t f(\tau)d\tau]=\begin{cases}\frac{1}{j\omega}F(\omega) & F(0)=0\\ [\frac{1}{j\omega}+\pi\delta(\omega)]F(\omega) & F(0) \ne 0\end{cases} F[tf(τ)dτ]={jω1F(ω)[jω1+πδ(ω)]F(ω)F(0)=0F(0)=0

    其他公式

    卷积公式

    F [ f 1 ∗ f 2 ] = F 1 ( ω ) ⋅ F 2 ( ω )     F [ f 1 ⋅ f 2 ] = 1 2 π F 1 ( ω ) ∗ F 2 ( ω ) \mathcal F[f_1*f_2]=F_1(\omega)\cdot F_2(\omega)\\\ \\\ \mathcal F[f_1\cdot f_2]=\frac 1 {2\pi}F_1(\omega) * F_2(\omega) F[f1f2]=F1(ω)F2(ω)  F[f1f2]=2π1F1(ω)F2(ω)

    周期信号的傅里叶变换

    F [ ∑ − ∞ ∞ F ( n ω 1 ) e j n ω 1 t ] = 2 π ∑ − ∞ ∞ F ( n ω 1 ) ⋅ δ ( ω − n ω 1 ) \mathcal F[\sum_{-\infty}^{\infty}F(n\omega_1)e^{jn\omega_1 t}]=2\pi\sum_{-\infty}^{\infty}F(n\omega_1)\cdot \delta(\omega-n\omega_1) F[F(nω1)ejnω1t]=2πF(nω1)δ(ωnω1)

    抽样信号的傅里叶变换

    f s ( t ) = f ( t ) δ T ( t ) = ∑ − ∞ ∞ f ( n T s ) δ ( t − n T s )   F s ( ω ) = F [ f s ( t ) ] = 1 T s ∑ − ∞ ∞ F ( ω − n ω s ) f_s(t)=f(t)\delta_T(t)=\sum_{-\infty}^{\infty}f(nT_s)\delta(t-nT_s)\\\ \\ F_s(\omega)=\mathcal F[f_s(t)]=\frac 1 {T_s}\sum_{-\infty}^{\infty}F(\omega-n\omega_s) fs(t)=f(t)δT(t)=f(nTs)δ(tnTs) Fs(ω)=F[fs(t)]=Ts1F(ωnωs)

    提供延时的理想滤波器

    H ( j ω ) = e − j ω t 0 [ u ( ω + ω 0 ) − u ( ω − ω 0 ) ] H(j\omega)=e^{-j\omega t_0}[u(\omega+\omega_0)-u(\omega-\omega_0)] H(jω)=ejωt0[u(ω+ω0)u(ωω0)]

    无失真传输

    H ( j ω ) = K e − j ω t 0 H(j\omega)=Ke^{-j\omega t_0} H(jω)=Kejωt0

    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 这是我考研整理的笔记。基本上涵盖了信号与系统三大变换所有重要的公式。 1.傅里叶变换 2.拉普拉斯变换 3.Z变换 4.三大变换的关系

    这是我考研整理的笔记。基本上涵盖了信号与系统三大变换所有重要的公式。

    1.傅里叶变换

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    2.拉普拉斯变换

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    3.Z变换

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    4.三大变换的关系

    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换公式和性质表格汇总。傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换公式和性质表格汇总。傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换公式和性质表格汇总。傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换公式和性质表格...
  • 信号与系统 ...实际中因为正余弦周期信号都有傅里叶变换,普通周期信号可以先求傅里叶级数转化成很多正弦信号的和,再对傅里叶级数傅里叶变换 系数互求 冲击信号傅里叶变换 δ(t)<——>1\del

    公众号公式总结

    一、线性时不变系统(LTI)

    3.1 我们研究的是什么

    信号

    无限长的信号:
    理论研究中存在而现实中没有,其中研究最多的是周期信号

    有限长的信号:
    满足绝对可和的非周期信号是傅里叶变换的研究重点

    LTI系统

    系统就是函数
    不同之处在于函数研究对于不同的自变量取值因变量是什么样的
    系统多了一个自变量时间,系统输入输出的变量都自带时间属性
    也可以说是研究两个因变量之间的函数关系

    线性系统:y(t)=kx(t),x(t)扩大多少倍,y(t)就扩大多少倍,且可以叠加
    正比例函数:y=kx,自变量x扩大多少倍,因变量就扩大多少倍,且可以叠加

    时不变系统:输入波形平移多少,输出波形就平移多少
    输入波形从0到第5秒,输出波形是1到第6秒
    则若在第6秒再次输入波形,输出波形在第7秒再次出现

    卷积、微分方程、差分方程、

    解方程专题(各学科:高数、线代、专业课)

    系统函数

    3.3常见的RC滤波器与电路

    电容通高频阻低阻,通交流隔直流

    在基本的RC滤波电路中:C做输出端就是低通滤波器,R做输出就是高通滤波器
    考虑一个连续的过程,当电源频率由0变大时,电阻逐渐分压
    在高通电路中,电阻两端的电压由0慢慢变大,因而高通
    而在低通电路中,电容两端电压由大变小,因而低通

    基本原理是,当电容和电阻串联时
    若电源为直流电(f=0 ),由于电容的隔直作用,故只有电容两端有电压,而电阻两端的电压为0,
    若电源为交流电(f>0 ),电容导通,频率越高导通阻抗越小,因而高通

    高通滤波器

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    低通滤波器

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    带通滤波器

    在这里插入图片描述

    积分电路

    微分电路

    延时电路

    二、连续傅里叶变换

    1.连续周期信号傅里叶级数(FS)——频谱F(nw1)

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    有幅度频谱图与相位频谱图
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    周期越大,频谱越密集
    复数F(nw1)=信号余弦分量实部+信号正弦分量虚部
    偶函数傅里叶级数不含正弦项,F(nw1)为实函数(幅度谱就是频谱)
    奇函数傅里叶级数不含余弦项,F(nw1)为虚函数

    2.连续周期信号傅里叶变换(FT)————频谱密度函数F(w)

    在这里插入图片描述
    注:
    理论上只有满足绝对可和条件的非周期信号才能傅里叶变换
    不满足绝对可和条件的非周期信号无法进行傅里叶变换
    不满足绝对可和条件的周期信号(不绝对可和)无法进行傅里叶变换
    实际中因为正余弦周期信号都有傅里叶变换,普通周期信号可以先求傅里叶级数转化成很多正弦信号的和,再对傅里叶级数傅里叶变换

    3.连续非周期信号傅里叶变换(FT)————频谱密度函数F(w)

    物理意义:f(t)分解成无穷多个连续的频率不同的振幅无穷小的正弦信号

    ——在某个具体频率w处频谱是1/TF(w)= F(w)dw/2pi,T是无穷大周期
    频谱1/TF(w)无穷小,频谱密度F(w)有限值
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    3.1傅里叶变换的性质

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    1.线性
    2.时移(同号)
    在这里插入图片描述

    3.频移(相反)
    在这里插入图片描述

    4.对称性质
    在这里插入图片描述
    5.尺度变换
    在这里插入图片描述
    6.时域的微分和积分
    在这里插入图片描述

    7.频域卷积与时域卷积
    在这里插入图片描述

    8.奇偶虚实性
    f(t)偶函数,只有R(w),相位±兀
    f(t)偶函数,只有X(w),相位±兀/2

    3.2傅里叶级数与非周期傅里叶变换系数互求

    非周期如果当做是周期的一部分
    非周期傅里叶变换除以有限长度,得到周期信号傅里叶级数系数!(周期频谱)
    非周期傅里叶变换除以无限长度,得到非周期傅里叶级数系数!(非周期频谱)
    在这里插入图片描述

    求周期傅里叶变换:3步
    1.求非周期傅里叶变换
    2.求周期傅里叶级数(上面的转换法)
    周期的傅里叶变换系数F(nw1)=非周期的傅里叶变换F(w)除以有限周期(w换成nw1)
    3.求周期傅里叶变换:对级数形式做傅里叶变换
    F T ( ω ) = 级 数 和 F ( n w 1 ) 乘 以 2 π δ ( w − n w 1 ) ) F _T(ω)=级数和F(nw1)乘以2\pi\delta(w-nw_1)) FT(ω)=Fnw12πδ(wnw1)

    ?有点像那个能量、功率信号那个意思

    4.常用公式

    欧拉公式

    在这里插入图片描述

    抽样信号

    在这里插入图片描述

    三角波信号的FT

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    矩形信号 (门函数、窗函数)的FT

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    频域矩形信号的傅里叶反变换

    在这里插入图片描述

    周期矩形信号的傅里叶级数

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    周期单位冲击信号的FT

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    周期矩形信号的FT

    在这里插入图片描述

    5.其他常见信号的傅里叶变换

    在这里插入图片描述

    复指数信号、三角函数的FT

    e j w 0 t < — — > 2 π δ ( w − w 0 ) e^{jw_0t}<——>2\pi\delta(w-w_0) ejw0t<>2πδ(ww0)
    e − j w 0 t < — — > 2 π δ ( w + w 0 ) e^{-jw_0t}<——>2\pi\delta(w+w_0) ejw0t<>2πδ(w+w0)
    c o s w 0 t < — — > π [ δ ( w + w 0 ) + δ ( w − w 0 ) ] cosw_0t<——>\pi[\delta(w+w_0)+\delta(w-w_0)] cosw0t<>π[δ(w+w0)+δ(ww0)]
    s i n w 0 t < — — > j π [ δ ( w + w 0 ) − δ ( w − w 0 ) ] sinw_0t<——>j\pi[\delta(w+w_0)-\delta(w-w_0)] sinw0t<>jπ[δ(w+w0)δ(ww0)]

    冲击信号、冲击偶信号的FT

    δ ( t ) < — — > 1 \delta(t)<——>1 δ(t)<>1
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    直流信号的FT

    1 < — — > 2 π δ ( w ) 1<——>2\pi\delta(w) 1<>2πδ(w)
    E < — — > 2 π E δ ( w ) E<——>2\pi E\delta(w) E<>2πEδ(w)

    单边指数信号

    在这里插入图片描述

    双边指数信号

    在这里插入图片描述

    其他推导链接

    符号函数

    sgn(t) 2/jω
    在这里插入图片描述

    单位阶跃函数u(t)

    在这里插入图片描述

    三、拉普拉斯变换

    拉普拉斯变换与傅里叶变换

    2.1拉普拉斯变换的定义

    拉普拉斯变换是给信号指数级衰减(大小收敛域实部),信号进行傅里叶变换的结果

    收敛域是给信号收敛域实部对应的衰减可以使信号收敛的区域
    极点是使信号拉普拉斯变换结果趋向无穷的点,变换的结果不是有限值

    s负半平面是给信号增长趋势,极点位于左半平面说明给信号一定程度的增长都可以使得信号收敛
    s正半平面是给衰减衰减趋势,极点位于右半平面必须给予信号衰减才能使得信号收敛
    s=0是不对信号做变化,极点在原点信号不收敛,应该衰减才能使信号收敛

    在这里插入图片描述

    2.2拉普拉斯变换的性质

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    2.3 H(s)零极点分布决定系统单位冲击响应h(t)时域特性

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    2.3 H(s)零极点分布判断系统的频响特性H(jw)

    H(jw)变换成零极点类型,根据零极点大致判断H(jw)的频响特性曲线
    s复平面两种形式:直角坐标,极坐标
    jw是在虚轴上移动的点,从0到正无穷
    分子变成零点矢量,由零点指向虚轴上的点
    分母变成极点矢量,由极点指向虚轴上的点

    在这里插入图片描述

    四、简单z变换

    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 信号分解、傅里叶变换与信号信号的分解 在学习【信号分解】这一部分时,脑海里要有两个概念: 其一,我们整本书学习的思路就是围绕着将信号分解成基本信号,将系统的响应转变成基本响应这一思路来开展的; 其二...

    信号分解、傅里叶变换与信号谱

    信号的分解

    在学习【信号分解】这一部分时,脑海里要有两个概念:

    • 其一,我们整本书学习的思路就是围绕着将信号分解成基本信号,将系统的响应转变成基本响应这一思路来开展的;
    • 其二,我们希望找到一个分解信号的方式,使之分解结果最有效;类比矢量的分解,我们引出对信号的分解。

    1. 矢量的正交分解

    • ①矢量正交

    两个矢量V1和V2的夹角为直角↔两个矢量的内积为零,即V1·V2=|V1|·|V2|·cos90°=0

    • ②正交矢量集

    由两两正交的矢量组成的矢量集合

    p.s. 正交矢量集的概念将正交的位置关系从两个向量拓展到任意多个向量上

    • ③非正交向量的近似表示及误差

    现如下图给出一个待表示的向量V1和基准向量V2,我们想要在误差最小的情况下将V1用V2表示出来:
    在这里插入图片描述
    p.s. 若所选的基准向量V2与向量V1是正交的,则无法进行表示。

    • ④矢量的正交分解

    任意N维的矢量都可以由N维正交坐标系进行表示
    不管是从线性空间的角度,还是从信息表示的角度——两个相互正交的维度所表示的信息是彼此独立、互不影响的;
    因此可以把原向量看成是在各个两两正交维度上分量的矢量叠加;
    而待分解的这个向量在各个维度上的分量就可以由上面第③点的公式得出。
    在这里插入图片描述
    通过上图二维空间与三维空间的分解示例,不难得出:一般地,在n维空间中的任一矢量V,可以精确地表示为n个正交矢量的线性组合,也即
    V = c 1 V 1 + c 2 V 2 + . . . + c n V n V=c_1V_1+c_2V_2+...+c_nV_n V=c1V1+c2V2+...+cnVn
    式中,Vi·Vj=0(i≠j),第r个分量的系数为cr = (V·Vr)/(Vr·Vr

    2. 信号的正交分解

    如果我们将信号看成是矢量,则可以平行地将上述【矢量空间正交分解】的概念推广到信号空间中:正交矢量集→正交信号集;
    矢量的正交分解与线性表示→信号的正交分解与线性表示。

    • ①函数正交
      在这里插入图片描述
    • ②函数集

    将n个函数φ1(t),φ2(t),…,φn(t)放在一起,即构成了一个函数集:

    正交函数集】该集合内的n个函数在某一区间范围内两两正交
    在这里插入图片描述
    标准正交函数集】正交函数集内的每个函数自身内积的值为1
    完备正交函数集】其作为一个正交函数集,且具有完备性(除此之外再也找不到和集合内的函数正交的其他函数)
    在这里插入图片描述

    【记忆】两组重要的完备正交函数集(同时也是常用的基本信号),在区间(t0,t0+T)(T=2π/Ω)上:

    • 三角函数集{1,cos(nΩt),sin(nΩt),n=1,2,…}
    • 虚指数函数集{ejnΩt,n=0,±1,±2,…}
    • ③信号的正交分解

    在这里插入图片描述
    p.s. 这里定义的是【广义傅里叶级数】,所谓广义——因为正交函数集i(t),i=1,2,…}是任意的,只要满足正交函数集的定义即可

    3.帕斯瓦尔定理

    在这里插入图片描述


    傅里叶级数

    总结前文,只要我们能够找到一个完备的正交函数集,那么在这完备正交函数集构成的函数空间内的任意函数,都可以表示成集合内各函数分量的线性组合。

    三角形式的傅里叶级数

    • 三角傅里叶级数与系数
    • 狄利赫里条件
    • 余弦形式的傅里叶级数
    • 吉布斯现象
    • 波形对称性与谐波特性

    1. 三角傅里叶级数与系数
    在这里插入图片描述
    2. 狄利赫里条件

    在上图中,讨论三角形式的傅里叶级数的形式以及傅里叶系数的求解公式,其前提是这个周期信号f(t)是满足狄利赫里条件的,先对该条件作出解释:
    在这里插入图片描述

    3. 余弦形式的傅里叶级数

    将既含正弦分量又含余弦分量的三角形式的傅里叶级数,写成含有相位信息的余弦分量的表示形式:
    在这里插入图片描述

    4. 吉布斯现象

    (1)傅里叶级数分解示例
    在这里插入图片描述
    (2)吉布斯现象
    在这里插入图片描述
    5. 周期信号的波形对称性与谐波特性
    (1)波形对称性
    在这里插入图片描述
    (2)谐波特性
    在这里插入图片描述

    指数形式的傅里叶级数

    1. 展开式与系数结论
    在这里插入图片描述
    2. 指数形式的傅里叶级数推导
    在这里插入图片描述

    两种傅里叶级数之间的关系

    在这里插入图片描述


    信号谱

    1. 基本描述
    我们引入信号【频谱】的概念,实际上是寻求另一个观察信号的视角,不同于时域和空域,从频率的角度来看信号的各分量的基本信息。在这里插入图片描述

    • 频谱:周期信号在分解之后,各分量的幅度和相位相对于频率发生的变化;常有幅度谱、相位谱。

    拿三角形式的傅里叶展开式为例,任何一个满足狄利赫里条件的周期信号都可以展开成前文所说的三角形式的傅里叶级数,我们就会得到相应的直流、正弦和余弦分量,且具有不同频次的谐波(nΩt);

    对于每一次谐波而言,其都形如Ancos(nΩt+φn)的形式,是典型的三角信号,那么重要的信息就是相位φn和幅度An

    • 频谱图:将幅度和相位分量用一定高度的直线进行表示;

    幅度谱反映了信号不同频率分量的大小——
    在这里插入图片描述

    2. 两种级数对应的信号谱
    在这里插入图片描述
    3. 单边谱与双边谱的关系
    (1)关系特点
    本质来说,谱图是要看信号的幅度和相位关于频率的变化情况。

    那么单边谱(An与φn)与双边谱(|Fn|和φn)关于nΩt(也就是下标n)的关系及其转换,可以通过分析An与|Fn|之间的关系,以及φn本身的性质来得到。
    在这里插入图片描述

    (2)示例:绘制信号的单/双边谱图
    在这里插入图片描述

    周期信号的信号谱

    为了可以更加具象地讨论周期信号频谱的相关特点,我们用一个实例求解进行理解:
    在这里插入图片描述
    1. 周期信号频谱的特点

    • 离散性:以基频Ω为最小间隔的若干离散谱线组成
    • 谐波性:谱线值含有基频的整数倍分量
    • 收敛性:整体的趋势呈现衰减的趋势
      在这里插入图片描述

    2. 谱线结构与波形参数之间的关系

    在上例中,有两个需要关注的谱线参数,分别为信号周期T脉冲宽度τ
    而对于谱线的结构,我们也主要关注三个量——基波频率Ω零点位置、以及两个零点之间的谱线数目

    • 当τ发生变化,T不发生变化时——基波频率不变,幅度与τ正相关,零点位置与τ负相关,谱线数目与τ负相关;
    • 当T发生变化,τ不发生变化时——基波频率与T负相关,幅度与T负相关,零点位置不变化,谱线数目与T正相关;
    • 当T→∞,相当于周期信号变成非周期信号
      在这里插入图片描述

    3. 周期信号的功率

    (1)功率的求解
    在这里插入图片描述
    (2)频带宽度
    在这里插入图片描述

    非周期信号的信号谱

    1. 非周期信号的理解
    在这里插入图片描述

    非周期信号就是周期趋向于无穷大的周期信号

    2. 频谱密度函数

    根据上文的讨论,可以知道对于非周期信号而言,其频谱的高度值都是趋向于无穷小的;但是信号在不同频率处的强度依然应该有变化,这个时候,我们需要引出【频谱密度函数】的概念,来比较不同频率信号强度的相对大小。

    在这里插入图片描述


    傅里叶变换

    在上文中,我们通过讲述周期信号到非周期信号的过渡,引出了频谱密度函数,从而得到了傅里叶变换的形式;
    在下文中,我们从数学变换本身的角度,来探讨傅里叶变换的定义、特性与相关结论。

    定义与描述

    1. 傅里叶变换对
    在这里插入图片描述
    2. 常用函数的傅里叶变换

    先识记常见到的一些信号的傅里叶变换,后续一些更加复杂的函数就可以转换成基本信号的组合或变换形式,来简化傅里叶变换的求解过程;

    而计算常见信号的傅里叶变换,就是直接从定义入手。

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    性质

    下面要讲述的各个性质都是基于上文提到的傅里叶变化对而言的,对于比较复杂的信号傅里叶变换求解问题,常常采用【常见变换结论+性质】的思路;

    了解傅里叶变换对的性质,其目的在于——

    • 了解时域-频域转换的内在联系
    • 利用性质求解复杂信号的变换对
    • 了解通信系统中的相关应用

    1. 线性性质
    在这里插入图片描述
    2. 奇偶性

    当具体地讨论针对不同属性的f(t),其对应的频谱F(jw)相应有何特点时,根据函数的虚实性、奇偶性会衍生出很多种情况,读者并不需要背下每一种情况。

    • 其一,只需要记住R(w)和X(w)的表达式如何推导,以及F(jw)在两种坐标下的表示方式和坐标之间的转化关系;
    • 其二,f(t)不论是实函数还是虚函数,其对应的F(jw)都会出现虚实两种情况——
      F(jw)的奇偶性与f(t)的奇偶性保持一致;
      f(t)为实函数和虚函数时,其F(jw)的虚实对应关系恰恰相反。

    在这里插入图片描述
    3. 对称性
    在这里插入图片描述
    4. 尺度变化特性
    在这里插入图片描述
    5. 时移特性
    在这里插入图片描述
    6. 频移特性
    在这里插入图片描述
    7. 卷积定理
    在这里插入图片描述
    8. 时域微积分特性
    在这里插入图片描述
    9. 频域微积分特性
    在这里插入图片描述

    相关定理

    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 对信号的单双边谱及其特点进行了讲解,重点探讨了LTI系统频域分析所使用的傅里叶变换/级数分析法。
  • 傅里叶变换、DFT、FFT分析理解;
  • 信号处理领域,存在诸多变换,比如标题中的五个变换。本文将这五个变换进行介绍和比较。在开始之前,我们需要先理清什么是...通常傅里叶变换只适合处理平稳信号,对于非平稳信号,由于频率特性会随时间变化,为了
  • 说到傅里叶变换基本性质,想必大家都有
  • 文章目录DTFT离散时间傅里叶变换基本公式基本性质卷积定理 基本公式 DTFT即为z平面单位圆上的z变换 得到的是在z平面单位圆上的连续函数 z平面自带周期性 序列在时域是离散的,在频域(jωj\omegajω轴)上表现出...
  • 数字信号处理:研究时域离散的模拟信号基本概念时域离散信号(采样)时域频域波形特点 离散周期信号傅里叶级数(DFS) 离散非周期信号傅里叶变换(DTFT) 离散时间傅里叶变换(DTFT,频率连续) 离散傅里叶变换...
  • 傅立叶变换是最基本变换,由傅里叶级数推导出。傅立叶级数只适用于周期信号,把非周期信号看成周期T趋于无穷的周期信号,就推导出傅里叶变换,能很好的处理非周期信号的频谱。但是傅立叶变换的弱点是必须原信号...
  • 本文将这五个变换进行介绍和比较。在开始之前,我们需要先理清什么是平稳信号,什么是非平稳信号。我们知道,自然界中几乎所有信号都是非平稳信号,比如我们的语音信号就是典型的非平稳信号。那么何谓平稳信号和非...
  • 傅里叶基本定义性质在这里就不作赘述了,文章主要想说明它的主要应用,以助于大家这个概念有一个更为形象的认识。 傅里叶变换是一种分析信号的方法,它可分析信号的成分,也可用这些成分合成信号。在分析信号...
  • 7 时域、周期性、连续信号傅里叶级数 7.1周期性、连续信号傅里叶级数概述 时域上任意连续的、周期信号可以分解为无限多个、离散的、非周期的、正交的复指数信号之和,称之为傅里叶级数。 (1)时域信号...
  • 文章目录深刻理解傅里叶级数与傅里叶变换的联系一、引入1.1 信号分解的基本思想1.2 系统特征函数1.3 复指数分解二、周期信号傅里叶级数2.1 谐波复指数集2.2 傅里叶级数2.2.1 表示形式2.2.2 收敛条件2.2.3 傅里叶...
  • 傅里叶变换到加窗傅里叶变换

    万次阅读 多人点赞 2017-12-10 14:00:49
    傅里叶变换到加窗傅里叶变换我们都做了什么
  • 信号与系统中关于傅里叶的几种变换简介时域连续连续周期连续非周期时域离散周期非周期证明 简介 这篇文章是参考奥本海姆的Signals and Systems和B站上西电的信号与系统这门课,字母的选择可能会视频里的有些许的...
  • 傅里叶变换,就是一种连续时间函数的积分变换,可以将信号从时域变换到频域,是连续时间信号的频域分析,进而研究信号的频谱(幅度频谱和相位频谱)结构和变化规律。 频域分析即把信号分解为不同频率分量,求响应...
  • 信号公式汇总之傅里叶变换

    千次阅读 多人点赞 2019-05-03 22:58:53
    傅里叶级数
  • 文章目录信号分解为正交函数1 矢量的正交分解2 信号的正交分解 信号分解为正交函数 1 矢量的正交分解 (1)矢量正交 复习:两矢量V1V_1V1​V2V_2V2​正交,夹角为90° 两正交矢量的内积为零 (2)正交矢量集 由...
  • 信号与系统书上原话:如果已知一个线性系统对每一个移位单位脉冲序列的响应,那么系统对任何输入的响应都可求出。 1.咱们学的是信号与系统,那么我们首先有疑惑的就是这玩意为啥要进行卷积运算啊。电路不就是电阻、...
  • 上文中,我们学习了《信号与系统》的第十章——z变换。这是我们学院教学大纲所要求的最后一章内容。因此,这将是本系列专栏的最后一篇课程笔记啦!但是文章却不止于此,平时关于信号与系统的一些思考我也会继续发上...
  • 1.傅里叶分析方法的理论基础 2 傅里叶分析方法概述与基本框架 3 函数/信号的积分 4函数/信号之间的相关性正交 5. 基本正交信号的选择 6.傅里叶分析的基本思路 7 傅里叶分析的9大步骤
  • 文章目录周期信号的频谱及特点1 周期信号的频谱2 单边谱和双边谱的关系3 周期信号频谱的特点4 周期信号的功率 周期信号的频谱及特点 频谱——信号的一种新的表示方法 1 周期信号的频谱 频谱:周期信号分解后,各...
  • 傅里叶光学是信息光学的基础,今天光电资讯为各位光学人整理了一些关于傅里叶变换的光学基本原理,今天跟大家带来的是“衍射系统的屏函数和相因子判断法”!傅里叶变换光学概述现代光学的三件大事• 全息术—1948年...
  • 当我们学习到离散时间非周期信号傅里叶变换的时候,我们已经走到了频域...文章目录一、基本公式二、离散时间傅里叶变换的收敛性三、常见信号的 DTFT3.1 单边指数信号:anu[n]a^nu[n]anu[n]3.2 单位冲激函数3.3 ...
  • 这也是为什么我们时域信号傅里叶变换之后就到了频域。至于这个结论是怎么来的,那是另外一个故事了,在此不多讲。 另外有一个非常重要的公式:欧拉公式 e j x = c o s ( x ) + j s i n ( x ) e − j x = c o...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 6,513
精华内容 2,605
关键字:

信号与系统傅里叶基本变换对