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  • 因此本文以傅里叶级数信号与系统中的应用为依托,来讲解傅里叶级数到底是什么,为什么要用它,用它的好处是什么,相信很多人之后会对傅里叶级数有更清晰的认识。 本文总结参考奥本海姆《信号与系统》和西安电子...

          写在前面:相信很多接触傅里叶级数的人都觉得这是一个很复杂的东西,包含大量的复杂公式并且不知道它是用来干什么的。此文从傅里叶级数的最初产生过程进行介绍,产生之初必然伴也随着某种应用,更准确的说是应用促使发展出傅里叶级数来解决现实世界中存在的问题。因此本文以傅里叶级数在信号与系统中的应用为依托,来讲解傅里叶级数到底是什么,为什么要用它,用它的好处是什么,相信很多人之后会对傅里叶级数有更清晰的认识。

          本文总结参考奥本海姆《信号与系统》和西安电子科技大学《工程信号与系统》进行总结,不足之处还望批评指正。

        首先需要声明的是我们所说的把一个函数或信号表示成傅里叶级数的形式,无论是连续时间傅里叶级数还是离散时间傅里叶级数都是相对于周期函数或周期信号的。

    我们最开始接触傅里叶级数应该是这种形式:

    假设以2\pi周期的函数可以展开成三角级数的形式

    f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }(a_{n}cosnx+b_{n}sinnx)

    a_{0}=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }f(x)dx

    a_{n}=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }f(x)cosnxdx (n=1,2,...)

    b_{n}=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }f(x)sinnxdx (n=1,2,...)

    这种表示称为欧拉-傅里叶公式,但这种形式不仅难记,我们也很难理解为什么要这样表示。所以我们首先解决第一个问题,即

    问题1:傅里叶级数是用做干什么的,为什么要这样表示?

    在信号与系统中,为了便于分析,我们经常使用的一类系统是线性时不变(LTI)系统,因为这种系统对加法和数乘运算封闭,即此类系统具有齐次性和叠加性,所以若把该系统中的一个复杂信号分解成一系列简单信号的线性组合形式,那么这些与原信号等价的简单信号的响应就可以很方便的表示出原信号的响应。但是,分解成怎么样的信号才算是简单信号呢?在研究线性时不变系统(LTI)时,这种简单信号应该 具有以下两个性质:

    1. 由这些基本信号可以构成相当广泛的一类信号;
    2. LTI系统对每一个基本信号的响应应该十分简单,以使系统对任意输入信号的响应可以很方便的表示。

    至此,我们先回答第一个问题,我们把一个信号f(x)分解成傅里叶级数的形式,就是因为我们要把一个复杂信号分解成一系列的简单的基本信号,而这个基本信号,应当具备上面两个性质,而三角函数的表示方式也正好满足了上面两种性质。

    到这里,肯定有人会问,为什么把信号表示成正弦、余弦信号组合的形式就是简单信号了?为了回答这个问题,重点针对性质2,我们先引出第二个问题,

    问题2:什么样的信号对系统的响应十分简单?

    我们首先研究这样一种信号,即复指数信号,在研究LTI系统时,复指数信号的重要性在于:一个LTI系统对复指数信号的响应仍是一个复指数信号,不同的只是幅度上的变化,即

    e^{st}\rightarrow H(s)e^{st}                                   (1)

    这就是说,对LTI系统,输出仅是输入乘以一个常数,这种信号,我们完全可以认为它满足性质2

    为了对式(1)进行说明,考虑一个单位冲激响应为 h(t)的连续时间LTI系统,对任意输入 x(t),可由卷积积分确定其输出,若x(t)=e^{st} ,则

    y(t)=\int_{-\infty }^{+\infty }h(\tau )e^{s(t-\tau )}d\tau             (2)   

    e^{s(t-\tau )可写为e^{st}e^{-s\tau } ,则式(2)可写为

    y(t)=e^{st}\int_{-\infty }^{+\infty }h(\tau )e^{-s\tau }d\tau           (3)

    假定式(3)右边积分收敛,系统对e^{st}的响应为

    y(t)=H(s)e^{st}                                (4)

    H(s)与系统单位冲激响应的关系为

    H(s)=\int_{-\infty }^{+\infty }h(\tau )e^{-s\tau }d\tau              (5)

    s是复数,H(s)是一个复常数(复振幅因子),其值决定于s。一个信号,若系统对该信号的输出响应仅是一个常数(可能为复数)乘以输入,则称该信号为系统的特征函数,而幅度因子称为系统的特征值。从而证明了复指数是系统的特征函数。

    下面举一例说明

    1:输入x(t)和输出y(t)是一个延迟为3LTI系统,即y(t)=x(t-3),若该系统的输入为复指数信号x(t)=e^{j2t},那么y(t)=e^{j2(t-3)}=e^{-j6}e^{j2t}与上式(4)具有相同的形式,因为e^{j2t}是一个特征函数,有关的特征值为H(j2)=e^{-j6},该例还可以直接对式(5)进行验证,该系统的单位冲激响应是h(t)=\delta (t-3),将其代入式(5)得H(s)=\int_{-\infty }^{+\infty }\delta (t-3)e^{-s\tau }d\tau=e^{-3s},所以H(j2)=e^{-j6}

    至此,我们可以回答问题2,复指数信号可以满足性质2。

    复指数信号作为输入信号可以方便的得出输出信号的响应,根据LTI系统对数乘和加法运算封闭,若一个信号可以表示成一系列复指数信号线性组合的形式,即复指数信号满足性质1,就,可以导出一个LTI系统响应的方便表达式。具体的说,若一个连续时间LTI系统的输入表示成复指数的线性组合,即

    x(t)=\sum_{k}^{ }a_{k}e^{s_{k}t}                (6)

    那么输出一定是

    y(t)=\sum_{k}^{ }a_{k}H(s_{k})e^{s_{k}t}     (7)

    2:仍然使用例1中的系统,输入信号改为x(t)=cos(4t)+cos(7t),则输出y(t)=cos(4(t-3))+cos(7(t-3)),利用欧拉关系将x(t)展开为:x(t)=\frac{1}{2}e^{j4t}+\frac{1}{2}e^{-j4t}+\frac{1}{2}e^{j7t}+\frac{1}{2}e^{-j7t},由上式(6)、(7)有y(t)=\frac{1}{2}e^{j4(t-3)}+\frac{1}{2}e^{-j4(t-3)}+\frac{1}{2}e^{j7(t-3)}+\frac{1}{2}e^{-j7(t-3)}=cos(4(t-3))+cos(7(t-3))

    我们在上面用复指数信号已经解决了问题2,但复指数信号的线性组合也不是三角函数的表示方式啊,其实这个问题直觉上可以通过欧拉关系找到答案,欧拉关系表示式为e^{jwt}=cos(wt)+jsin(wt),下面推导傅里叶级数的过程将详细介绍这两种表示形式的关系。

    正如我们一开始所说的,我们研究的信号是周期信号,现在研究第三个问题

    问题3:连续时间周期信号的傅里叶级数如何表示?

    如果一个信号是周期的,那么对一切t,存在某个正值T,有

    x(t)=x(t+T)            (8)

     

     

    展开全文
  • 本节是傅里叶级数的练习。推导了几个典型周期信号傅里叶级数

    配郑君里《信号与系统》第三版 3.3

    0. 傅里叶级数展开公式

    其他有关傅里叶级数的总结可见博文
    f ( t ) = 1 2 a 0 + ∑ n = 1 ∞ [ a n cos ⁡ ( n ω 1 t ) + b n sin ⁡ ( n ω 1 t ) ] f(t)=\frac{1}{2}a_0+\sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(n\omega_1t)+b_n\sin(n\omega_1t)\right] f(t)=21a0+n=1[ancos(nω1t)+bnsin(nω1t)]

    a 0 a_0 a0前的系数只是为了保持与其他 a i a_i ai表达式的一致

    其中,
    a n = 2 T 1 ∫ − T 1 2 T 1 2 f ( t ) cos ⁡ ( n ω 1 t )   d t ,     n = 0 , 1 , 2 ⋯ b n = 2 T 1 ∫ − T 1 2 T 1 2 f ( t ) sin ⁡ ( n ω 1 t )   d t ,     n = 1 , 2 , 3 ⋯ a_n=\frac{2}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}f(t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt, \ \ \ n=0, 1, 2\cdots \\ b_n=\frac{2}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}f(t)\sin(n\omega_1t)\,\mathrm dt, \ \ \ n=1, 2, 3\cdots an=T122T12T1f(t)cos(nω1t)dt,   n=0,1,2bn=T122T12T1f(t)sin(nω1t)dt,   n=1,2,3

    关于为什么 a 0 a_0 a0 1 T 1 \frac{1}{T_1} T11,而 a n a_n an 2 T 1 \frac{2}{T_1} T12。思考最初的推导过程,我们是将正交函数系和原函数相乘,得到一系列的关于系数的积分等式, a 0 a_0 a0对应直流部分,常数直接积分,区间长度为 T 1 T_1 T1,因而除过去就是 1 T 1 \frac{1}{T_1} T11,而相应 a n a_n an积分,由正交性,最终留下的是相应三角值的平方,由半角公式,给出一个 1 2 \frac{1}{2} 21的常数,所以积分得到 T 1 2 \frac{T_1}{2} 2T1,除过去得到 2 T 1 \frac{2}{T_1} T12

    1. 周期矩形脉冲信号

    在这里插入图片描述
    偶函数,仅需推导 a n a_n an项。

    1 2 a 0 = 1 T 1 ∫ − T 1 2 T 1 2 f ( t )   d t = 1 T 1 ∫ − τ 2 τ 2 E   d t = E τ T 1 \frac{1}{2}a_0=\frac{1}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}f(t)\,\mathrm dt=\frac{1}{T_1}\int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}E\,\mathrm dt=\frac{E\tau}{T_1} 21a0=T112T12T1f(t)dt=T112τ2τEdt=T1Eτ
    a n = 2 T 1 ∫ − T 1 2 T 1 2 f ( t ) cos ⁡ ( n ω 1 t )   d t = 2 T 1 ∫ − τ 2 τ 2 f ( t ) cos ⁡ ( n ω 1 t )   d t = 2 E n ω 1 T 1 ⋅ 2 sin ⁡ ( n ω 1 t ) ∣ 0 τ 2 = 4 E n ω 1 T 1 sin ⁡ ( n ω 1 τ 2 ) \begin{aligned} a_n&=\frac{2}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{2}}^\frac{T_1}{2}f(t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=\frac{2}{T_1}\int_{-\frac{\tau}{2}}^\frac{\tau}{2}f(t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=\frac{2E}{n\omega_1T_1}\cdot 2\sin(n\omega_1t)\bigg|_0^{\frac{\tau}{2}}=\frac{4E}{n\omega_1T_1}\sin\left(n\omega_1\frac{\tau}{2}\right) \end{aligned} an=T122T12T1f(t)cos(nω1t)dt=T122τ2τf(t)cos(nω1t)dt=nω1T12E2sin(nω1t)02τ=nω1T14Esin(nω12τ)
    随后,灵活运用 ω 1 T 1 = 2 π \omega_1T_1=2\pi ω1T1=2π,得到:
    a n = 2 E n π sin ⁡ ( n π τ T 1 ) a_n=\frac{2E}{n\pi}\sin\left(n\pi\frac{\tau}{T_1}\right) an=nπ2Esin(nπT1τ)
    上面这个式子可以生动地反映出频谱特性,即振幅呈调和收缩,整体为表现出振荡。

    1.1. 抽样函数形式

    利用抽样函数,进行改写:
    a n = 2 E n π n π τ T 1 S a ( n π τ T 1 ) = 2 E τ T 1 S a ( n π τ T 1 ) a_n=\frac{2E}{n\pi}\frac{n\pi\tau}{T_1}\mathrm{Sa}\left(\frac{n\pi\tau}{T_1}\right)=\frac{2E\tau}{T_1}\mathrm{Sa}\left(\frac{n\pi\tau}{T_1}\right) an=nπ2ET1nπτSa(T1nπτ)=T12EτSa(T1nπτ)
    还可以转化成用 ω 1 \omega_1 ω1表示的形式:
    a n = E τ ω 1 π S a ( n ω 1 τ 2 ) a_n=\frac{E\tau\omega_1}{\pi}\mathrm{Sa}\left(\frac{n\omega_1\tau}{2}\right) an=πEτω1Sa(2nω1τ)
    这是一个系数非1的抽样函数,在此基础上,我们对周期脉冲的赋值特性有了更加深刻的了解,即存在一个明显的收敛趋势,通信时我们只需考虑在频带内部的部分即可。

    1.2. 奇偶性分析以及对称方波

    最终的展开式为:
    f ( t ) = E τ T 1 + 2 E τ T 1 ∑ n = 1 ∞ S a ( n π τ T 1 ) cos ⁡ ( n ω 1 t ) f(t)=\frac{E\tau}{T_1}+\frac{2E\tau}{T_1}\sum_{n=1}^\infty\mathrm{Sa}\left(\frac{n\pi\tau}{T_1}\right)\cos\left(n\omega_1t\right) f(t)=T1Eτ+T12Eτn=1Sa(T1nπτ)cos(nω1t)
    这其中常数是一个偶函数才可能有的成分。分析第二部分,为一个对称脉冲。

    如果我们将脉冲宽度调整为 T 1 2 \frac{T_1}{2} 2T1,那么最终就会构成一个对称方波。
    在这里插入图片描述
    亦即
    f ( t ) = 2 E π ∑ n = 1 ∞ 1 n sin ⁡ ( n π 2 ) cos ⁡ ( n ω 1 t ) f(t)=\frac{2E}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)\cos\left(n\omega_1t\right) f(t)=π2En=1n1sin(2nπ)cos(nω1t)

    2. 周期锯齿脉冲信号

    在这里插入图片描述

    这是一个奇函数,因而展开为
    f ( t ) = b n sin ⁡ ( n ω 1 t ) f(t)=b_n\sin(n\omega_1t) f(t)=bnsin(nω1t)
    其中
    b n = 2 T 1 ∫ − T 1 2 T 1 2 E T 1 t sin ⁡ ( n ω 1 t )   d t = 2 E T 1 2 ∫ − T 1 2 T 1 2 t   d [ cos ⁡ ( n ω 1 t ) ] = 2 E T 1 2 ( − 1 n ω 1 ) [ 2 T 1 2 ( − 1 ) n − ∫ − T 1 2 T 1 2 cos ⁡ ( n ω 1 t )   d t ] = 2 E T 1 2 ( − 1 n ω 1 ) [ T 1 ( − 1 ) n − 0 ] = 2 E T 1 n ω 1 ( − 1 ) ( n + 1 ) = E n π ( − 1 ) n + 1 \begin{aligned} b_n&=\frac{2}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}\frac{E}{T_1}t\sin(n\omega_1t)\,\mathrm dt=\frac{2E}{T_1^2}\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}t\,\mathrm d\left[\cos(n\omega_1t)\right]\\ &=\frac{2E}{T_1^2}\left(\frac{-1}{n\omega_1}\right)\left[2\frac{T_1}{2}(-1)^n-\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\right]\\ &=\frac{2E}{T_1^2}\left(\frac{-1}{n\omega_1}\right)\left[T_1(-1)^n-0\right]\\ &=\frac{2E}{T_1n\omega_1}(-1)^{(n+1)}=\frac{E}{n\pi}(-1)^{n+1} \end{aligned} bn=T122T12T1T1Etsin(nω1t)dt=T122E2T12T1td[cos(nω1t)]=T122E(nω11)[22T1(1)n2T12T1cos(nω1t)dt]=T122E(nω11)[T1(1)n0]=T1nω12E(1)(n+1)=nπE(1)n+1
    最终的展开式为:
    f ( t ) = E π ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 1 n sin ⁡ ( n ω 1 t ) = E π [ sin ⁡ ( ω 1 t ) − 1 2 sin ⁡ ( 2 ω 1 t ) + 1 3 sin ⁡ ( 3 ω 1 t ) − 1 4 sin ⁡ ( 4 ω 1 t ) ⋯   ] \begin{aligned} f(t)&=\frac{E}{\pi}\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{1}{n}\sin(n\omega_1t)\\ &=\frac{E}{\pi}\left[\sin(\omega_1t)-\frac{1}{2}\sin(2\omega_1t)+\frac{1}{3}\sin(3\omega_1t)-\frac{1}{4}\sin(4\omega_1t)\cdots\right] \end{aligned} f(t)=πEn=1(1)n+1n1sin(nω1t)=πE[sin(ω1t)21sin(2ω1t)+31sin(3ω1t)41sin(4ω1t)]

    3. 周期三角脉冲信号


    这是一个偶函数,所以我们只需展成如下形式:
    f ( t ) = a 0 + ∑ n = 1 ∞ a n sin ⁡ ( n ω 1 t )   d t f(t)=a_0+\sum_{n=1}^\infty a_n\sin(n\omega_1t)\,\mathrm dt f(t)=a0+n=1ansin(nω1t)dt
    其中 a 0 a_0 a0为一个周期上的积分,易得 a 0 = E 2 a_0=\frac{E}{2} a0=2E

    将三角脉冲分解成一个直流信号和一个倒绝对值信号的加和,绝对值信号是偶对称信号,于是积分过程中可以有:
    a n = 2 T 1 ∫ − T 1 2 T 1 2 f ( t ) cos ⁡ ( n ω 1 t )   d t = 2 T 1 [ ∫ − T 1 2 T 1 2 E + 2 E T 1 ( ∫ − T 1 2 0 − ∫ 0 T 1 2 ) t ] cos ⁡ ( n ω 1 t )   d t = 2 T 1 ( 0 − 4 E T 1 ∫ 0 T 1 2 t ) cos ⁡ ( n ω 1 t )   d t = − 2 T 1 4 E T 1 1 n ω 1 [ t sin ⁡ ( n ω 1 t ) ∣ 0 π 2 − ∫ 0 T 1 2 sin ⁡ ( n ω 1 t )   d t ] = − 8 E n ω 1 T 1 2 [ 0 − 2 n ω 1 ] = 16 n ω 1 2 T 1 2 = 16 n ( 2 π ) 2 = 4 n π 2 \begin{aligned} a_n&=\frac{2}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}f(t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=\frac{2}{T_1}\left[\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}E+\frac{2E}{T_1}\left(\int_{-\frac{T_1}{2}}^{0}-\int_{0}^\frac{T_1}{2}\right)t\right]\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=\frac{2}{T_1}\left(0-\frac{4E}{T_1}\int_{0}^{\frac{T_1}{2}}t\right)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=-\frac{2}{T_1}\frac{4E}{T_1}\frac{1}{n\omega_1}\left[t\sin(n\omega_1t)\Bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\int_0^\frac{T_1}{2}\sin(n\omega_1t)\,\mathrm dt\right]\\ &=-\frac{8E}{n\omega_1T_1^2}\left[0-\frac{2}{n\omega_1}\right]\\ &=\frac{16}{n\omega_1^2T_1^2}=\frac{16}{n(2\pi)^2}=\frac{4}{n\pi^2} \end{aligned} an=T122T12T1f(t)cos(nω1t)dt=T12[2T12T1E+T12E(2T1002T1)t]cos(nω1t)dt=T12(0T14E02T1t)cos(nω1t)dt=T12T14Enω11tsin(nω1t)02π02T1sin(nω1t)dt=nω1T128E[0nω12]=nω12T1216=n(2π)216=nπ24
    最终展开式为:
    f ( t ) = E 2 + 4 E π 2 [ cos ⁡ ( ω 1 t ) + 1 3 2 cos ⁡ ( 3 ω 1 t ) + 1 5 2 cos ⁡ ( 5 ω 1 t ) + ⋯   ] = E 2 + 4 E π 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 sin ⁡ 2 ( n π 2 ) cos ⁡ ( n ω 1 t ) \begin{aligned} f(t)&=\frac{E}{2}+\frac{4E}{\pi^2}\left[\cos(\omega_1t)+\frac{1}{3^2}\cos(3\omega_1t)+\frac{1}{5^2}\cos(5\omega_1t)+\cdots\right]\\ &=\frac{E}{2}+\frac{4E}{\pi^2}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}\sin^2\left(\frac{n\pi}{2}\right)\cos(n\omega_1t) \end{aligned} f(t)=2E+π24E[cos(ω1t)+321cos(3ω1t)+521cos(5ω1t)+]=2E+π24En=1n21sin2(2nπ)cos(nω1t)

    4. 周期半波余弦信号

    在这里插入图片描述

    直接写 a n a_n an的推导过程:
    1 2 a 0 = 1 T 1 ∫ − T 1 2 T 1 2 f ( t )   d t = 1 T 1 ∫ − T 1 4 T 1 4 E cos ⁡ ( ω 1 t )   d t = 1 ω 1 T 1 2 E = E π \frac{1}{2}a_0=\frac{1}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}f(t)\,\mathrm dt=\frac{1}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{4}}^{\frac{T_1}{4}}E\cos(\omega_1t)\,\mathrm dt=\frac{1}{\omega_1T_1}2E=\frac{E}{\pi} 21a0=T112T12T1f(t)dt=T114T14T1Ecos(ω1t)dt=ω1T112E=πE
    a n = 2 T 1 ∫ − T 1 2 T 1 2 f ( t ) cos ⁡ ( n ω 1 t )   d t = 2 T 1 ∫ − T 1 4 T 1 4 E cos ⁡ ( ω 1 t ) cos ⁡ ( n ω 1 t )   d t = 2 E T 1 ∫ 0 T 1 4 cos ⁡ [ ( n + 1 ) ω 1 t ] + cos ⁡ [ ( n − 1 ) ω 1 t ]   d t = 2 E ω 1 T 1 [ sin ⁡ ( n + 1 ) π 2 n + 1 + sin ⁡ ( n − 1 ) π 2 n − 1 ] = E π [ cos ⁡ n π 2 n + 1 − cos ⁡ n π 2 n − 1 ] = E cos ⁡ n π 2 π ⋅ 1 n 2 − 1 ⋅ ( − 2 ) = − 2 E cos ⁡ n π 2 π 1 n 2 − 1 \begin{aligned} a_n&=\frac{2}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}f(t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=\frac{2}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{4}}^{\frac{T_1}{4}}E\cos(\omega_1t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=\frac{2E}{T_1}\int_{0}^{\frac{T_1}{4}}\cos\left[(n+1)\omega_1t\right]+\cos[(n-1)\omega_1t]\,\mathrm dt\\ &=\frac{2E}{\omega_1T_1}\left[\frac{\sin\frac{(n+1)\pi}{2}}{n+1}+\frac{\sin\frac{(n-1)\pi}{2}}{n-1}\right]\\ &=\frac{E}{\pi}\left[\frac{\cos\frac{n\pi}{2}}{n+1}-\frac{\cos\frac{n\pi}{2}}{n-1}\right]\\ &=\frac{E\cos\frac{n\pi}{2}}{\pi}\cdot\frac{1}{n^2-1}\cdot\left(-2\right)=-\frac{2E\cos\frac{n\pi}{2}}{\pi}\frac{1}{n^2-1} \end{aligned} an=T122T12T1f(t)cos(nω1t)dt=T124T14T1Ecos(ω1t)cos(nω1t)dt=T12E04T1cos[(n+1)ω1t]+cos[(n1)ω1t]dt=ω1T12E[n+1sin2(n+1)π+n1sin2(n1)π]=πE[n+1cos2nπn1cos2nπ]=πEcos2nπn211(2)=π2Ecos2nπn211
    展开为:
    f ( t ) = E π − 2 E π ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 − 1 cos ⁡ ( n π 2 ) cos ⁡ ( n ω 1 t ) f(t)=\frac{E}{\pi}-\frac{2E}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2-1}\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)\cos(n\omega_1t) f(t)=πEπ2En=1n211cos(2nπ)cos(nω1t)

    5. 周期全波余弦信号

    在这里插入图片描述
    由于这个函数也是偶函数,分析方法与半波余弦信号比较类似,我们尽量利用先前得到的结果。

    首先,一个周期内的半个空缺被补上,首项变为原来的两倍,成为半波推导中的 a 0 a_0 a0,即 2 E π \frac{2E}{\pi} π2E
    由于是偶函数,所以我们可以利用偶函数性质,将其系数 A n A_n An表示成
    A n = 2 T 1 ∫ − T 1 4 T 1 4 E cos ⁡ ( ω 1 t ) cos ⁡ ( n ω 1 t )   d t + 2 ⋅ 2 T 1 ∫ T 1 4 T 1 2 E ( − cos ⁡ ω 1 t ) cos ⁡ ( n ω 1 t )   d t = a n − 4 E T 1 ∫ T 1 4 T 1 2 cos ⁡ ( ω 1 t ) cos ⁡ ( n ω 1 t )   d t \begin{aligned} A_n&=\frac{2}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{4}}^\frac{T_1}{4}E\cos(\omega_1t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt+2\cdot\frac{2}{T_1}\int_{\frac{T_1}{4}}^\frac{T_1}{2}E(-\cos\omega_1t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=a_n-\frac{4E}{T_1}\int_\frac{T_1}{4}^\frac{T_1}{2}\cos(\omega_1t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt \end{aligned} An=T124T14T1Ecos(ω1t)cos(nω1t)dt+2T124T12T1E(cosω1t)cos(nω1t)dt=anT14E4T12T1cos(ω1t)cos(nω1t)dt
    我们计算
    I n = 4 E T 1 ∫ T 1 4 T 1 2 cos ⁡ ( ω 1 t ) cos ⁡ ( n ω 1 t )   d t = 2 E T 1 ∫ T 1 4 T 1 2 cos ⁡ [ ( n + 1 ) ω 1 t ] + cos ⁡ ( ( n − 1 ) ω 1 t )   d t = 2 E ω 1 T 1 ( sin ⁡ ( n + 1 ) π − sin ⁡ n + 1 2 π n + 1 + sin ⁡ ( n − 1 ) π − sin ⁡ n − 1 2 π n − 1 )   d t = E π ( 0 − cos ⁡ n π 2 n + 1 + 0 + cos ⁡ n π 2 n − 1 )   d t = E π cos ⁡ n π 2 ( 1 n − 1 − 1 n + 1 )   d t = − 2 E π cos ⁡ ( n π 2 ) 1 n 2 − 1 \begin{aligned} I_n&=\frac{4E}{T_1}\int_\frac{T_1}{4}^\frac{T_1}{2}\cos(\omega_1t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=\frac{2E}{T_1}\int_\frac{T_1}{4}^\frac{T_1}{2}\cos[(n+1)\omega_1t]+\cos((n-1)\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=\frac{2E}{\omega_1T_1}\left(\frac{\sin(n+1)\pi-\sin\frac{n+1}{2}\pi}{n+1}+\frac{\sin(n-1)\pi-\sin\frac{n-1}{2}\pi}{n-1}\right)\,\mathrm dt\\ &=\frac{E}{\pi}\left(\frac{0-\cos\frac{n\pi}{2}}{n+1}+\frac{0+\cos\frac{n\pi}{2}}{n-1}\right)\,\mathrm dt\\ &=\frac{E}{\pi}\cos\frac{n\pi}{2}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right)\,\mathrm dt\\ &=\frac{-2E}{\pi}\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)\frac{1}{n^2-1} \end{aligned} In=T14E4T12T1cos(ω1t)cos(nω1t)dt=T12E4T12T1cos[(n+1)ω1t]+cos((n1)ω1t)dt=ω1T12E(n+1sin(n+1)πsin2n+1π+n1sin(n1)πsin2n1π)dt=πE(n+10cos2nπ+n10+cos2nπ)dt=πEcos2nπ(n11n+11)dt=π2Ecos(2nπ)n211

    于是我们发现了一个问题:周期全波余弦信号的傅里叶展开是周期半波余弦的直接加倍。

    将4.中得到的结果加倍,得到:
    f ( t ) = 2 E π − 4 E π ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 − 1 cos ⁡ ( n π 2 ) cos ⁡ ( n ω 1 t ) f(t)=\frac{2E}{\pi}-\frac{4E}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2-1}\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)\cos(n\omega_1t) f(t)=π2Eπ4En=1n211cos(2nπ)cos(nω1t)
    由于 n n n为奇数时,系数为0,所以我们取 n = 2 n n=2n n=2n,对系数表达式进行变形:
    f ( t ) = 2 E π + 4 E π ∑ n = 1 ∞ 1 4 n 2 − 1 ( − 1 ) n + 1 cos ⁡ ( 2 n ω 1 t ) f(t)=\frac{2E}{\pi}+\frac{4E}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{4n^2-1}(-1)^{n+1}\cos(2n\omega_1t) f(t)=π2E+π4En=14n211(1)n+1cos(2nω1t)

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    在这一篇 B l o g Blog Blog 中,博主打算记录一下周期信号傅里叶级数的一些重要性质。在阅读本文之前,请明确一件事情:对于周期信号我们讲的是傅里叶级数展开。对于非周期信号我们讲傅里叶变换。

    一、什么样的周期信号才能够做傅里叶展开?

    当时傅里叶的论文中有这样一句话:“所有的连续时间信号都能够表示成成谐波关系的复指数信号的加权和”。在当时引来了像拉普拉斯等人的强烈反对。傅里叶认为:对于周期方波信号,只要我取的正弦信号足够多,那么我就一定能够完美地拟合出来。如下图所示:
    在这里插入图片描述
    但实际上并不是这样,无论我们的正弦信号取了多少,在原方波的间断点处不可避免地会出现震荡和超量。超量的幅度并不会随着我们所选取的正弦波的数量增多而减少,选取的正弦波的数量增多只会使得超量的震荡频率更大,并且朝着间断点处压缩。这就是所谓的 “吉布斯现象”。

    那么,到底什么样的连续时间信号才能够展开成傅里叶级数呢?我们下面给出三个条件(其中条件三是狄里克雷第一定理)。连续时间的周期信号只要满足三者之一,就可以展开成傅里叶级数:
    【条件一】:信号全部连续
    【条件二】:信号在一个周期内能量有限: 1 T 0 ∫ T 0 ∣ x ( t ) ∣ 2 d t < ∞ \frac{1}{T_0}\int_{T_0}|x(t)|^2dt <∞ T01T0x(t)2dt<
    【条件三】:信号在一个周期内绝对可积: 1 T 0 ∫ T 0 ∣ x ( t ) ∣ < ∞ \frac{1}{T_0}\int_{T_0}|x(t)|<∞ T01T0x(t)<

    二、周期信号傅里叶级数的重要性质

    2.1 线性

    首先我们给出定义:

    连续时间信号傅里叶级数的线性性:若信号 x 1 ( t ) x_1(t) x1(t)的傅里叶级数是 a k a_k ak,信号 x 2 ( t ) x_2(t) x2(t) 的傅里叶级数是 b k b_k bk,那么,信号 A x 1 ( t ) + B x 2 ( t ) Ax_1(t) + Bx_2(t) Ax1(t)+Bx2(t) 的傅里叶级数就是 A a k + B b k Aa_k + Bb_k Aak+Bbk

    首先,我们先知道求傅里叶系数的过程就是一个积分的过程,如果我们用 ∫ \int 表示计算傅里叶系数(当然这样的写法不够准确,但是为了说明问题暂且先这样用)。

    所以,我们如果对信号 A x 1 ( t ) + B x 2 ( t ) Ax_1(t) + Bx_2(t) Ax1(t)+Bx2(t) 求傅里叶系数: ∫ A x 1 ( t ) + B x 2 ( t ) \int Ax_1(t) + Bx_2(t) Ax1(t)+Bx2(t),就可以这样变换: ∫ A x 1 ( t ) + B x 2 ( t ) = ∫ A x 1 ( t ) + ∫ B x 2 ( t ) = A ∫ x 1 ( t ) + B ∫ x 2 ( t ) \begin{aligned} &\int Ax_1(t) + Bx_2(t) = \int Ax_1(t) + \int Bx_2(t) = A\int x_1(t) + B\int x_2(t) \end{aligned} Ax1(t)+Bx2(t)=Ax1(t)+Bx2(t)=Ax1(t)+Bx2(t)
    而我们知道: a k = ∫ x 1 ( t ) a_k = \int x_1(t) ak=x1(t) b k = ∫ x 2 ( t ) b_k = \int x_2(t) bk=x2(t),所以信号 A x 1 ( t ) + B x 2 ( t ) Ax_1(t) + Bx_2(t) Ax1(t)+Bx2(t) 的傅里叶系数就是: A a k + B b k Aa_k+Bb_k Aak+Bbk

    2.2 时移特性

    我们同样先看定义:

    连续时间信号傅里叶级数的时移特性:假设 x ( t ) x(t) x(t) 的傅里叶系数是 a k a_k ak,那么 x ( t − t 0 ) x(t-t_0) x(tt0) 的傅里叶系数就是 a k e − j k ω 0 t 0 a_ke^{-jkω_0t_0} akejkω0t0,也即是说,时移并不会改变傅里叶级数的幅度,改变的是傅里叶级数的相位。

    首先根据定义,我们可以得到: a k = 1 T 0 ∫ T 0 x ( t ) e − j k ω 0 t d t a_k = \frac{1}{T_0}\int_{T_0}x(t)e^{-jkω_0t}dt ak=T01T0x(t)ejkω0tdt
    下面我们对信号 x ( t − t 0 ) x(t-t_0) x(tt0) 求傅里叶级数:因为 x ( t − t 0 ) x(t-t_0) x(tt0) 只是时移,所以周期并不会改变,仍为 T 0 T_0 T0 1 T 0 ∫ x ( t − t 0 ) e − j k ω 0 t d t = e − j k ω 0 t 0 1 T 0 ∫ x ( t − t 0 ) e − j k ω 0 ( t − t 0 ) d ( t − t 0 ) = e − j k ω 0 t 0 1 T 0 ∫ x ( t ) e − j k ω 0 t d t \begin{aligned} \frac{1}{T_0}\int x(t-t_0)e^{-jkω_0t}dt &= e^{-jkω_0t_0}\frac{1}{T_0}\int x(t-t_0)e^{-jkω_0(t-t_0)}d(t-t_0)\\ &=e^{-jkω_0t_0}\frac{1}{T_0}\int x(t)e^{-jkω_0t}dt \end{aligned} T01x(tt0)ejkω0tdt=ejkω0t0T01x(tt0)ejkω0(tt0)d(tt0)=ejkω0t0T01x(t)ejkω0tdt
    注意:在最后一行我们做了变量代换:令 t = t − t 0 t = t-t_0 t=tt0

    2.3 尺度变换

    这个稍微难理解一点点,我们先推导,再给出定义:
    首先对于信号 x ( t ) x(t) x(t) ,我们有: a k = 1 T 0 ∫ T 0 x ( t ) e − j k ω 0 t d t a_k = \frac{1}{T_0}\int_{T_0}x(t)e^{-jkω_0t}dt ak=T01T0x(t)ejkω0tdt
    而我们知道,尺度变换相当于对信号做拉伸或者压缩,自然会改变原信号的周期。例如,如果信号 x ( t ) x(t) x(t) 的周期是 T ,那么信号 x ( a t ) x(at) x(at) 的周期就是 T 1 = T a T_1 = \frac{T}{a} T1=aT。那么角频率就是 ω 1 = a ω 0 ω_1 = aω_0 ω1=aω0。好,下面我们计算 x ( a t ) x(at) x(at) 的傅里叶系数,根据定义,有:
    1 T 1 ∫ T 1 x ( a t ) e − j k ω 1 t d t = a T 0 ∫ T a x ( a t ) e − j k a ω 0 t d t \begin{aligned} \frac{1}{T_1}\int_{T_1}x(at)e^{-jkω_1t}dt&=\frac{a}{T_0}\int_{\frac{T}{a}}x(at)e^{-jkaω_0t}dt \end{aligned} T11T1x(at)ejkω1tdt=T0aaTx(at)ejkaω0tdt
    所以,我们对于计算带时移的周期信号的傅里叶级数,我们首先要做的就是明确这个信号和原本信号周期、角频率之间的关系。然后才能根据定义求解。

    那么,下面我们给出定义:对于带时移的周期信号 x ( a t ) x(at) x(at),其傅里叶级数表示为: b k = a T 0 ∫ T 0 a x ( a t ) e − j k a ω 0 t d t (1) b_k = \frac{a}{T_0}\int_{\frac{T_0}{a}}x(at)e^{-jkaω_0t}dt\tag{1} bk=T0aaT0x(at)ejkaω0tdt(1)
    更进一步讲,如果我们使用 τ τ τ 表示 a t at at,那么,因为我们的积分范围就是在一个周期 T 0 a \frac{T_0}{a} aT0 内,因此,我们知道, t t t 的取值范围是: 0 ≤ t ≤ T 0 a 0 ≤ t ≤ \frac{T_0}{a} 0taT0(当然这个范围并不唯一)。那么 τ τ τ 的取值范围就是 0 ≤ τ ≤ T 0 0 ≤ τ ≤ T_0 0τT0 下面我们就把 τ τ τ 带入(1) 式: b k = a T 0 ∫ T 0 x ( τ ) e j k ω 0 τ d ( τ a )   = 1 a a T 0 ∫ T 0 x ( τ ) e j k ω 0 τ d τ = 1 T 0 ∫ T 0 x ( τ ) e j k ω 0 τ d τ = a k b_k = \frac{a}{T_0}\int_{T_0}x(τ)e^{jkω_0τ}d(\frac{τ}{a})\\ \space\\ =\frac{1}{a}\frac{a}{T_0}\int_{T_0}x(τ)e^{jkω_0τ}dτ = \frac{1}{T_0}\int_{T_0}x(τ)e^{jkω_0τ}dτ = a_k bk=T0aT0x(τ)ejkω0τd(aτ) =a1T0aT0x(τ)ejkω0τdτ=T01T0x(τ)ejkω0τdτ=ak

    2.4 反转

    这里我们直接给出结论:对于周期信号 x ( t ) x(t) x(t),其傅里叶系数是 a k a_k ak。那么其反转信号 x ( − t ) x(-t) x(t) 的傅里叶系数就是 a − k a_{-k} ak,即也是对于 a k a_k ak 的反转。进一步讲,若 x ( t ) x(t) x(t) 是偶信号,那么 a k a_k ak 也是偶的。如果 x ( t ) x(t) x(t)是奇信号,那么 a − k = − a k a_{-k} = -a_k ak=ak

    2.5 时域相乘等价于频域卷积

    我们先给出结论:若 x ( t ) , y ( t ) x(t), y(t) x(t),y(t) 的傅里叶级数分别是 a k , b k a_k, b_k ak,bk,那么有: x ( t ) y ( t ) x(t)y(t) x(t)y(t) 的傅里叶级数就是: a k ∗ b k a_k*b_k akbk
    我们证明一下,直接用求傅里叶系数的公式即可: 1 T ∫ T x ( t ) y ( t ) e − j ω 0 k t d t = 1 T ∫ T ∑ l = − ∞ + ∞ a l e j ω 0 l t y ( t ) e − j ω 0 k t d t = ∑ l = − ∞ + ∞ a l 1 T ∫ T y ( t ) e − j ω 0 ( k − l ) t d t = ∑ l = − ∞ + ∞ a l b k − l = a k ∗ b k \begin{aligned} \frac{1}{T}\int_Tx(t)y(t)e^{-jω_0kt}dt &=\frac{1}{T}\int_T\sum_{l=-∞}^{+∞}a_le^{jω_0lt}y(t)e^{-jω_0kt}dt\\ &=\sum_{l=-∞}^{+∞}a_l\frac{1}{T}\int_Ty(t)e^{-jω_0(k-l)t}dt\\ &=\sum_{l=-∞}^{+∞}a_lb_{k-l} = a_k*b_k \end{aligned} T1Tx(t)y(t)ejω0ktdt=T1Tl=+alejω0lty(t)ejω0ktdt=l=+alT1Ty(t)ejω0(kl)tdt=l=+albkl=akbk

    2.6 周期卷积定理(和2.5 对偶)

    对于连续时间的、周期相同的周期信号 x ( t ) , y ( t ) x(t), y(t) x(t),y(t),我们在一个周期内的卷积,就等于它们对应的傅里叶级数相乘,再乘上周期。表述为: ∫ T x ( τ ) y ( t − τ ) d τ = T a k b k \int_Tx(τ)y(t-τ)dτ = Ta_kb_k Tx(τ)y(tτ)dτ=Takbk

    2.7 共轭以及共轭对称性

    首先我们看看第一个结论:假设周期信号 x ( t ) x(t) x(t) 的傅里叶级数是 a k a_k ak,那么,如果取 x ( t ) x(t) x(t) 的共轭: x ∗ ( t ) x^*(t) x(t),那么这个共轭信号 x ∗ ( t ) x^*(t) x(t) 的傅里叶系数就应该要对 a k a_k ak 取共轭,并且进行反转,即: a − k ∗ a^*_{-k} ak
    用数学语言表述即为: x ( t ) F S ↔ a k   x ∗ ( t ) F S ↔ a − k ∗ x(t) \quad\underleftrightarrow{FS} \quad a_k\\ \space\\ x^*(t)\quad \underleftrightarrow{FS}\quad a^*_{-k} x(t) FSak x(t) FSak

    更进一步:如果 x ( t ) x(t) x(t) 是实信号,即 x ( t ) = x ∗ ( t ) x(t) = x^*(t) x(t)=x(t),那么应有: a k = a − k ∗ a_k = a^*_{-k} ak=ak不过我们更常用的是: a k ∗ = a − k a_k^* = a_{-k} ak=ak

    下面的几个推导大家需要跟上,否则可能会造成混乱:
    【1】若 x ( t ) x(t) x(t) 是实信号,而且是偶函数,即 x ( t ) = x ( − t ) x(t) = x(-t) x(t)=x(t)。那么因为 x ( − t ) x(-t) x(t) 的傅里叶级数应该是 a − k a_{-k} ak。所以应有: a k = a − k a_k = a_{-k} ak=ak,同时,我们根据 x ( t ) x(t) x(t) 是实信号,又可以得到: a k = a − k ∗ a_k = a^*_{-k} ak=ak综上,我们得到了一串等式: a k = a − k = a − k ∗ a_k = a_{-k} = a^*_{-k} ak=ak=ak。前面一个等号说明 a k a_k ak 也是偶的、后面的等号说明 a k a_{k} ak 是实的。 即若 x ( t ) x(t) x(t) 是实偶函数,那么其频谱将会是实偶函数

    【2】若 x ( t ) x(t) x(t) 是实信号,同时又是奇函数 x ( t ) = − x ( − t ) x(t) = -x(-t) x(t)=x(t),因为 − x ( − t ) -x(-t) x(t) 的傅里叶级数是 − a − k -a_{-k} ak。所以我们也可以得到一串等式: a k = − a − k = a − k ∗ a_k = -a_{-k} = a^*_{-k} ak=ak=ak。前一个等号表示 a k a_k ak 是奇函数、后一个等号表示 a k a_k ak 是纯虚数,因此,若 x ( t ) x(t) x(t) 是实奇函数,那么其频谱 a k a_k ak 将会是纯虚奇函数。

    【补充点】: x ( t ) x(t) x(t) 信号偶分量的傅里叶级数是 a k a_k ak 的实部,即: R e { a k } Re\{a_k\} Re{ak} x ( t ) x(t) x(t) 的奇分量的傅里叶级数是 a k a_k ak 的虚部,即: j I m { a k } j Im\{a_k\} jIm{ak}。下面给出信号奇分量和偶分量的求法: E v { x ( t ) } = x ( t ) + x ( − t ) 2   O d { x ( t ) } = x ( t ) − x ( − t ) 2 Ev\{x(t)\} = \frac{x(t) + x(-t)}{2} \\ \space\\ Od\{x(t)\} = \frac{x(t) - x(-t)}{2} Ev{x(t)}=2x(t)+x(t) Od{x(t)}=2x(t)x(t)

    2.8 微分性

    我们先给出结论: x ( t ) x(t) x(t) 的傅里叶级数是 a k a_k ak,那么 ∂ x ( t ) ∂ t \frac{\partial{x(t)}}{\partial t} tx(t) 的傅里叶系数就是: a k j ω 0 t a_k jω_0t akjω0t

    下面给出证明:我们先从 x ( t ) x(t) x(t) 的傅里叶展开表达式入手。由于: x ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ a k e j k ω 0 t x(t) = \sum_{k=-∞}^{+∞}a_ke^{jkω_0t} x(t)=k=+akejkω0t
    下面我们直接对等式两边求导,得: ∂ x ( t ) ∂ t = ∑ k = − ∞ + ∞ ( a k j k ω 0 )   e j k ω 0 t \frac{\partial{x(t)}}{\partial t} = \sum_{k=-∞}^{+∞}(a_kjkω_0)\space e^{jkω_0t} tx(t)=k=+(akjkω0) ejkω0t
    因此,新的傅里叶系数就是: a k j k ω 0 a_k jkω_0 akjkω0

    利用微分型,我们一样可以计算出连续时间周期矩形信号的频谱。这里不详细展开,但是提几个突破口:

    1. 对周期矩形信号求导,将会得到有上有下的单位冲激函数。
    2. 周期为 T 的单位冲激函数串的傅里叶系数的幅值都是 a k = 1 T a_k = \frac{1}{T} ak=T1
    3. 有上有下的单位冲激函数是可以写成单位冲激函数串右移 T 1 T_1 T1 和左移 T 1 T_1 T1 的差值。再利用傅里叶系数时移的特点,即可求出周期矩形信号的频谱。

    三、帕斯瓦尔定理

    这个定理的表示简单,但是证明是比较困难的。下面我们直接给出:
    对于一个周期信号的平均功率的计算,可以把它的所有傅里叶系数的平方加起来。
    1 T ∫ T ∣ x ( t ) ∣ 2 d t = ∑ k = − ∞ + ∞ ∣ a k ∣ 2 \frac{1}{T}\int_{T}|x(t)|^2dt = \sum_{k=-∞}^{+∞}|a_k|^2 T1Tx(t)2dt=k=+ak2

    同时,我们也引入周期信号功率谱的概念:周期信号的 ∣ a k ∣ 2 |a_k|^2 ak2 随着 k ω 0 kω_0 kω0 变化的情况称为功率谱。 对应地,非周期信号还有功率谱密度,我们以后再来介绍。

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  • 满足Direchlet条件的周期信号或特定时间区间的信号可以被傅里叶级数在功率上没有误差的表达,常见的傅里叶级数的形式有两种,即: f(t)=a02+∑n=1+∞[ancos(nΩt)+bnsin(nΩt)]an=2t2−t1∫t1t2f(t)cos(nΩt)dtbn=2t...
  • 郑君里,信号与系统,P99-100,傅里叶级数近似方波。 clc; clear; E = 1; Amp = E/2; n = 5; T = 1; w = 2*pi/T; t = -1:0.0001:1; % Generate the fourier function fun = zeros(size(t...
  • 本博文上承接上篇博文:线性时不变系统(LTI)对复指数信号的响应(数字信号处理的特征值特征函数) 下面的内容是对一类信号傅里叶分析,傅里叶分析针对的复数变量是s以及z的特殊形式,例如在连续情况下仅涉及s...
  • Matlab——周期信号傅里叶级数

    千次阅读 2020-11-07 20:58:19
    通信系统中利用信号来传递信息,确定信号是时间的确定函数。通信系统中的通信信道及其收发设备中的很多部分可以等效成...如果周期信号在一个周期内可积,则可以通过傅里叶级数展开该周期信号傅里叶级数展开如式 ...
  • 时隔多年,趁疫情在家,重新学习郑君里老师的信号与系统,把前面的一些概念做个小结吧。 1.周期函数的傅里叶级数 函数f(t)f(t)f(t)周期为T1T_1T1​,角频率ω1=2πT1\omega_{1}=\frac{2 \pi}{T_{1}}ω1​=T1​2π​ ...
  • 信号与系统:吉布斯现象的验证,傅里叶级数

    千次阅读 多人点赞 2018-06-03 14:43:14
    信号与系统实验   1.谐波的叠加 2.方波的函数逼近 3.吉布斯现象的验证     题目描述 1.写出由程序 t=-2*pi:0.001:2*pi; y=sawtooth(0.5*t,1); plot(t,y)...

空空如也

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信号与系统傅里叶级数