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  • 信号频谱、幅度功率能量谱

    千次阅读 2019-09-26 10:56:14
    信号的频谱、幅度功率能量谱的区别

    信号的频谱、幅度、功率谱和能量谱的区别
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  • 信号频谱、幅度功率和能量

    万次阅读 多人点赞 2019-07-20 12:22:38
    (3)一个复数由模辐角唯一地确定,所以可将频谱分解为幅度谱(即复数的模关于频率的函数)相位谱(即复数的辐角关于频率的函数)。 2.幅度 (1)在英文中,amplitudemagnitude均可表示幅度,其中: amplitude...

    1.频谱

    (1)信号经过傅里叶变换之后产生频谱,频谱是一个以频率为自变量的函数
    (2)频谱在每一个频率点的取值是一个复数
    (3)一个复数由模和辐角唯一地确定,所以可将频谱分解为幅度谱(即复数的模关于频率的函数)和相位谱(即复数的辐角关于频率的函数)。

    2.幅度

    (1)在英文中,amplitude和magnitude均可表示幅度,其中:
    amplitude代表整个信号偏离x轴的最大绝对值
    magnitude代表信号上某一点偏离x轴的绝对值
    可见,amplitude是一个全局概念(峰值幅度),而magnitude是一个瞬时概念(瞬时幅度):
    a) peak amplitude, often shortened to amplitude, is the nonnegative value of the waveform’s peak (either positive or negative).
    b) instantaneous amplitude of x is the value of x(t) (either positive or negative) at time t.
    c) instantaneous magnitude, or simply magnitude, of x is nonnegative and is given by |x(t)|.
    (2)大多数情况下,amplitude和magnitude认为是同一概念,即瞬时幅度。
    a) 信号 f ( t ) f(t) f(t) t t t处的瞬时幅度是 f ( t ) f(t) f(t)的模,即 ∣ f ( t ) ∣ |f(t)| f(t)
    b) 信号 f ( t ) f(t) f(t) t t t处的瞬时相位是 f ( t ) f(t) f(t)的辐角,即 A r g f ( t ) Arg f(t) Argf(t) 或者 ∠ f ( t ) \angle f(t) f(t)
    c) 信号 f ( t ) f(t) f(t) t t t处的瞬时功率是 f ( t ) f(t) f(t)的模的平方,即 ∣ f ( t ) ∣ 2 |f(t)|^2 f(t)2

    3.功率与能量

    (1)在英文中,power表示功率,energy表示能量,其中:
    信号 f ( t ) f(t) f(t) t t t处的瞬时功率是 f ( t ) f(t) f(t)的模(瞬时幅度)的平方,即 P = ∣ f ( t ) ∣ 2 P=|f(t)|^2 P=f(t)2
    信号 f ( t ) f(t) f(t)的能量是瞬时功率的积分值,即 E = ∣ ∣ f ( t ) ∣ ∣ 2 = ∫ − ∞ ∞ ∣ f ( t ) ∣ 2 d t E=||f(t)||^2=\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2 dt E=f(t)2=f(t)2dt
    可见,信号的功率是瞬时概念(平均功率), 信号的能量是一个全局概念。
    (2)注意 ∣ f ( t ) ∣ |f(t)| f(t) ∣ ∣ f ( t ) ∣ ∣ ||f(t)|| f(t)的区别:
    前者是瞬时概念,即信号在某一点的瞬时幅度,
    后者是全局概念,即整个信号的能量的开方。


    参考链接:
    信号的频谱、幅度谱、相位谱及能量谱密度、功率谱密度

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  • 这是我在知乎上的一个回答,鉴于很多朋友对这几个概念不是...信号按能量是否有限,可以分为:能量信号和功率信号,能量信号的能量是有限的,功率信号的能量是无限的。下面我们具体解释一下这两个概念。  在信号系...

    这是我在知乎上的一个回答,鉴于很多朋友对这几个概念不是很清楚,就在公众中发一下。  

    这几个概念,对于刚学信号系统的同学甚至对于很多信号处理的老手来说,都是分不清楚的,下面我们就一一解释这几个概念。

      要解释几个概念,就要首先说一下信号的能量和功率。信号按能量是否有限,可以分为:能量信号和功率信号,能量信号的能量是有限的,功率信号的能量是无限的。下面我们具体解释一下这两个概念。

      在信号系统领域,通常把信号功率定义为电流在单位电阻(1欧姆)上消耗的功率,即归一化功率P。

    cbf9b48648ded30bb08ede2c83e147b5.png
    一般的,用s表示电流或电压,信号能量是信号瞬时功率的积分,因此,信号的能量为:fc7f5aae93e25c9bb1d9e8b6eecdbab5.png
    若信号能量是一个正的有限值,即 7be597d4a0b856019c5a6bab25534cbb.png,则称为能量信号,此时的平均功率定义为:cca462d838d993253c02827765552aee.png
      由于积分里面是个有限值,而T是无穷大,因此P=0,所以能量信号的平均功率是0.
    也就是说,如果P不是0(功率信号),那么积分的结果肯定是无穷大,也就说能量是无穷大。
    所以,这里再重复一遍上面的结果:
      能量信号:能量有限,平均功率为0;
      功率信号:能量无穷大,功率非0。

      举两个简单例子,单位冲激信号就是一个典型的能量信号,因为它在无穷大区间上的积分是1,是个有限值。而阶跃信号(或者某个电压非0的直流信号或周期信号)就是功率信号,因为它在无穷大区间上的积分是无穷大。
      搞清楚上面两个概念之后,我们再来看信号的频率特性分类,有四种:功率信号的频谱、能量信号的频谱密度、功率信号的功率谱(密度)和能量信号的能量谱密度

    功率信号的频谱:

      周期性功率信号的频谱函数为:

    dd288a2b1aef111e2e9f81ecbeec1aea.png
    式中, c7bdcd88e84cd2ebd46f98e23baa7d21.png ,为整数.

    afd4d63c71a2a835d8a7102256623952.png

      一般来说, 是一个复数,代表在频率 上信号分量的复振幅。

    18009be24b4e64a7f715c9a12f21db88.png

      对于周期性功率信号来说,其频谱函数cn(cn就是s(t)的傅里叶系数)是离散的,只有在f0的整数倍上取值。由于n可以取负值,所以在负频率上 c_{n} 也有值,通常称为双边频谱,双边普中负频谱仅在数学上有意义;在物理上,并不存在负频率。但我们可以找到物理上实信号的频谱和数学上的频谱函数的关系,对于物理可实现信号有ca4d1c4ffad4e454428ef1061df0ae0c.png
    即频谱函数的正频率部分和负频率部分间存在复数共轭关系。这就是说,负频谱和正频谱的模是偶对称的,相位是奇对称的。
      对于非周期性的功率信号,原则上可以看成周期等于无穷大,仍然可以按照以上公式,但是实际上的积分是难以计算的。

    能量信号的频谱密度:

      设一个能量信号为 s(t) ,则将它的傅里叶变换定义为它的频谱密度:42ceec27f338bf6e59c78186b240a070.png
      傅里叶变换存在的条件是f(t)在负无穷到正无穷的区间内积分为有限大,即绝对可积。因此傅里叶变换的结果就是能量信号的频谱密度,但为了统一说法,我们一般也叫频谱。(我们平时所说的做个fft看频谱,其实是指的频谱密度)

      那为什么叫频谱密度呢?因为能量信号能量有限,并分布在连续的频谱轴上,所以在每个频点f上信号的幅度是无穷小,只有在一小段频率间隔df上才有确定的非零振幅。所以,能量信号的频谱都是0,频谱密度才有意义。
      能量信号的频谱密度s(f)和周期性功率信号的频谱Cn的区别主要为:
      1. .S(f)是连续谱,Cn是离散谱。即周期对应离散,非周期对应连续。
      2. S(f)的单位是V/Hz,Cn的单位是V。
    从傅里叶变换的公式可以看出,s(t)在时间维上的积分,结果的量纲应该是V*s = V/Hz,所以傅里叶变换的结果是频谱密度。

      这里多说一点,量纲是个好东西,很多公式不理解的时候,把量纲分析一下,能起到很大作用。
       看到这里,可能有点明白了。但再回想一下信号系统中最常见的正弦信号,这是个功率信号,但我们平时好像一直在说它的傅里叶变换,也并没有什么太大问题。这是因为引入了单位冲击函数 ,其性质如下3d4238596cc8a525a623079c20221e83.png 在物理上是不可实现的,但在数学上, 可以用某些函数的极限来描述。例如用抽样函数的极限描述:

    b64098a430c67a1716afae847fc84656.png

    换句话说,抽样函数的极限就是冲激函数。

      有了冲激函数,我们就可以把功率信号当做能量信号看待,计算其频谱密度,功率信号在某些频率上的功率密度为无穷大。但是我们可以用冲击函数来表示这些频率分量。比如:2387a3e6752bef4071fd5ed3416b6569.png
      因此,只要引入冲激函数,我们同样可以求出一个功率信号的频谱密度,换句话说,引用了冲激函数就能把频谱密度推广到功率信号上,即我们可以直接对功率信号做傅里叶变换。这样把傅里叶变换的结果统称为频谱(严格来说应该是频谱密度)。

    能量信号的能量谱密度:

      根据Parseval定理,信号时域能量和频域能量相等,有

    5538ac39ae6de6ee9f73d8738a4ad8cc.png

      我们将 51ee1abe7234332f31d3eedfc507c3fb.png 称为能量信号的能量谱密度,它表示在频率f处宽度为df的频带内的信号能量,或者可以看做是单位频带内的信号能量。

    功率信号的功率谱(密度):

      这里为什么要把密度加括号呢?因为当我们说功率谱的时候,其实指的就是功率谱密度,它表示单位频率的信号功率。
      可能网上有人提过这种说法:若信号能量为E,时间为T,频带为F,则功率谱是表示为E/T;而功率谱密度是表示为E/T/F。
      这种说法其实是有问题的,因为E/T表示的是平均功率,而不是功率谱,平均功率并没有谱的概念。
      信号的平均功率定义为:f5b31704b65236f410a5337a13ca9f31.png

    设 表示信号的功率谱密度,则有

    19533207ed0311580091e7a54ffc2b27.png
    因此,信号的功率谱密度为:

    0535a7838c68ba5820fe8c25b860954b.png

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    功率谱或功率谱密度是频域上描述信号功率随频率的变化情况。幅度谱与功率谱是平方的关系。功率谱丢失相位信息。

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空空如也

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信号幅度和功率的关系