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  • 信号与系统, 考研常用变换及性质梳理, 傅里叶变换(Fourier Transform, FT), 拉普拉斯变换(Laplace Transform, LT), z变换(z Transform, ZT), 081000信息通信工程, 081002信号与信息处理, 081001通信信息系统, ...
  • 傅里叶变换 文章目录傅里叶变换傅里叶级数基本公式常用公式基本性质其他公式卷积公式周期信号傅里叶变换抽样信号傅里叶变换提供延时的理想滤波器无失真传输 傅里叶级数 ...基本公式 F(ω)=∫−∞+∞f(τ)e−jω...

    傅里叶变换



    傅里叶级数

    https://blog.csdn.net/lafea/article/details/115756741

    基本公式

    F ( ω ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( τ ) e − j ω τ d τ = F [ f ( t ) ]   f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F ( ω ) e j ω t d ω = F − 1 [ F ( ω ) ] F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau=\mathcal{F}[f(t)]\\\ \\ f(t)= \frac 1 {2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega)e^{j\omega t}d\omega=\mathcal F^{-1}[F(\omega)] F(ω)=+f(τ)ejωτdτ=F[f(t)] f(t)=2π1+F(ω)ejωtdω=F1[F(ω)]

    常用公式

    https://blog.csdn.net/lafea/article/details/118651638

    基本性质

    序号解释
    对称性 若 f ( t ) ↔ F ( ω )   则 F ( t ) ↔ 2 π f ( − ω ) 若 f ( t ) 为 偶 函 数   则 F ( t ) ↔ 2 π f ( ω ) 若 f(t) \leftrightarrow F(\omega) \ 则 F(t) \leftrightarrow 2\pi f(-\omega)\\ 若f(t)为偶函数 \ 则F(t) \leftrightarrow 2\pi f(\omega) f(t)F(ω) F(t)2πf(ω)f(t) F(t)2πf(ω)对称特性可推出傅里叶变换链
    线性 c 1 f 1 ( t ) + c 2 f 2 ( t ) ↔ c 1 F 1 ( ω ) + c 2 F 2 ( ω ) c_1f_1(t)+c_2f_2(t) \leftrightarrow c_1F_1(\omega)+c_2F_2(\omega) c1f1(t)+c2f2(t)c1F1(ω)+c2F2(ω)
    奇偶虚实性 若 f ( t ) ↔ F ( ω )   则 f ( − t ) ↔ F ( − ω ) f ( − t ) ↔ F ∗ ( ω ) 若 f(t) \leftrightarrow F(\omega) \ 则\\f(-t) \leftrightarrow F(-\omega)\\f(-t) \leftrightarrow F^*(\omega) f(t)F(ω) f(t)F(ω)f(t)F(ω)
    奇偶特性(1) 偶信号的频谱是偶函数,奇信号的频谱是奇函数;
    (2)实信号的频谱是共轭对称函数,即其实部是偶函数,虚部是奇函数,
    或者其幅度频谱是偶函数,相位频谱是奇函数;
    (3)实偶信号的频谱是实偶函数,实奇函数的频谱是虚奇函数;
    尺度变换 若 f ( t ) ↔ F ( ω )   则 f ( a t ) ↔ 1 ∥ a ∥ F ( ω a )   ( a ≠ 0 ) 若 f(t) \leftrightarrow F(\omega) \ 则\\f(at) \leftrightarrow \frac 1 {\|a\|}F(\frac{\omega} a) \ (a\ne 0) f(t)F(ω) f(at)a1F(aω) (a=0)
    时移 若 f ( t ) ↔ F ( ω )   则 f ( t − t 0 ) ↔ F ( ω ) e − j ω t 0 若 f(t) \leftrightarrow F(\omega) \ 则\\f(t-t_0) \leftrightarrow F(\omega)e^{-j\omega t_0} f(t)F(ω) f(tt0)F(ω)ejωt0移位只改变相位谱,不改变幅度谱
    频移 若 f ( t ) ↔ F ( ω )   则 f ( t ) e j ω 0 t ↔ F ( ω − ω 0 ) 若 f(t) \leftrightarrow F(\omega) \ 则\\f(t)e^{j\omega_0 t}\leftrightarrow F(\omega-\omega_0) f(t)F(ω) f(t)ejω0tF(ωω0)
    微分 F [ f ( n ) ( t ) ] = ( j ω ) n F ( ω )   F [ t f ( t ) ] = j d F ( ω ) d ω   F [ t n f ( t ) ] = 1 ( − j ) n d n F ( ω ) d ω n \mathcal{F}[f^{(n)}(t)]=(j\omega)^n F(\omega)\\\ \\ \mathcal{F}[tf(t)]=j\frac{dF(\omega)}{d\omega}\\\ \\ \mathcal{F}[t^nf(t)]=\frac{1}{(-j)^n}\frac{d^nF(\omega)}{d\omega^n} F[f(n)(t)]=(jω)nF(ω) F[tf(t)]=jdωdF(ω) F[tnf(t)]=(j)n1dωndnF(ω)
    积分 F [ ∫ − ∞ t f ( τ ) d τ ] = { 1 j ω F ( ω ) F ( 0 ) = 0 [ 1 j ω + π δ ( ω ) ] F ( ω ) F ( 0 ) ≠ 0 \mathcal{F}[\int_{-\infty}^t f(\tau)d\tau]=\begin{cases}\frac{1}{j\omega}F(\omega) & F(0)=0\\ [\frac{1}{j\omega}+\pi\delta(\omega)]F(\omega) & F(0) \ne 0\end{cases} F[tf(τ)dτ]={jω1F(ω)[jω1+πδ(ω)]F(ω)F(0)=0F(0)=0

    其他公式

    卷积公式

    F [ f 1 ∗ f 2 ] = F 1 ( ω ) ⋅ F 2 ( ω )     F [ f 1 ⋅ f 2 ] = 1 2 π F 1 ( ω ) ∗ F 2 ( ω ) \mathcal F[f_1*f_2]=F_1(\omega)\cdot F_2(\omega)\\\ \\\ \mathcal F[f_1\cdot f_2]=\frac 1 {2\pi}F_1(\omega) * F_2(\omega) F[f1f2]=F1(ω)F2(ω)  F[f1f2]=2π1F1(ω)F2(ω)

    周期信号的傅里叶变换

    F [ ∑ − ∞ ∞ F ( n ω 1 ) e j n ω 1 t ] = 2 π ∑ − ∞ ∞ F ( n ω 1 ) ⋅ δ ( ω − n ω 1 ) \mathcal F[\sum_{-\infty}^{\infty}F(n\omega_1)e^{jn\omega_1 t}]=2\pi\sum_{-\infty}^{\infty}F(n\omega_1)\cdot \delta(\omega-n\omega_1) F[F(nω1)ejnω1t]=2πF(nω1)δ(ωnω1)

    抽样信号的傅里叶变换

    f s ( t ) = f ( t ) δ T ( t ) = ∑ − ∞ ∞ f ( n T s ) δ ( t − n T s )   F s ( ω ) = F [ f s ( t ) ] = 1 T s ∑ − ∞ ∞ F ( ω − n ω s ) f_s(t)=f(t)\delta_T(t)=\sum_{-\infty}^{\infty}f(nT_s)\delta(t-nT_s)\\\ \\ F_s(\omega)=\mathcal F[f_s(t)]=\frac 1 {T_s}\sum_{-\infty}^{\infty}F(\omega-n\omega_s) fs(t)=f(t)δT(t)=f(nTs)δ(tnTs) Fs(ω)=F[fs(t)]=Ts1F(ωnωs)

    提供延时的理想滤波器

    H ( j ω ) = e − j ω t 0 [ u ( ω + ω 0 ) − u ( ω − ω 0 ) ] H(j\omega)=e^{-j\omega t_0}[u(\omega+\omega_0)-u(\omega-\omega_0)] H(jω)=ejωt0[u(ω+ω0)u(ωω0)]

    无失真传输

    H ( j ω ) = K e − j ω t 0 H(j\omega)=Ke^{-j\omega t_0} H(jω)=Kejωt0

    在这里插入图片描述

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  • 对于所有涉及到电子、通信、控制等等专业的人来说,傅里叶变换是绕... 傅里叶变换的作用是将原来难以处理的时域信号转换为易于分析的频域信号,也就是信号的频谱。在频域进行处理和加工之后,还可以利用傅里叶反变换将

    对于所有涉及到电子、通信、控制等等专业的人来说,傅里叶变换是绕不过去的一个坎。
    条件:绝对可和。
    傅里叶变换的核心就是:一切的波形都可以由不同频率的正弦波的叠加来表示,这些不同频率的正弦波称为频率分量。
    cos(0t)就是一个周期无限长的正弦波,也就是一条直线!所以在频域,0频率也被称为直流分量,在傅里叶级数的叠加中,它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。
    在这里插入图片描述

    傅里叶变换的作用是将原来难以处理的时域信号转换为易于分析的频域信号,也就是信号的频谱。在频域进行处理和加工之后,还可以利用傅里叶反变换将这些频域信号转换为时域信号。傅里叶变换的另一个作用就是解微分方程。傅里叶变换可以把时域的微分积分化作频域的乘法除法。
    傅里叶级数与傅里叶变换的关系:
    傅里叶变换与拉普拉斯变换的关系:拉普拉斯变换将傅里叶变换推广到了复数域。当s为纯虚数的时候,拉普拉斯变换就等价于傅里叶变换。
    DTFT与z变换的关系:z变换将DTFT推广到了复数域。当z的模为1(在单位圆上时),z变换等价于DTFT。
    傅里叶变换是连续谱。

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  • 常用连续/离散傅里叶变换性质总结,常用L/Z变换性质总结
  • 信号与系统信号的频谱与傅里叶变换(一图看懂傅里叶变换

    Author:AXYZdong
    自动化专业 工科男
    有一点思考,有一点想法,有一点理性!

    一图看懂傅里叶变换

    图片来自@胖福的小木屋
    从时域来看,我们会看到一个近似为矩形的波,而我们知道这个矩形的波可以被差分为一些正弦波的叠加。
    而从频域方向来看,我们就看到了每一个正余弦波的幅值,每两个正弦波之间都还有一条直线,那并不是分割线,而是振幅为 0 的正弦波!
    也就是说,为了组成特殊的曲线,有些正弦波成分是不需要的。随着叠加的递增,所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡,而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准 90 度角的矩形波呢?不幸的告诉大家,答案是无穷多个。

    前言

    连续系统频域分析中的 信号的频谱与傅里叶变换

    信号的频谱:信号的某种特征量与信号频率变化的关系。

    频谱图:将幅度和相位分量用一定高度的直线表示。

    一、周期信号的频谱

    1、周期信号频谱的相关概念

    周期信号频谱:周期信号中各次谐波幅值、相位随频率变化关系。

    A u ∼ ω A_u\sim \omega Auω :振幅频谱图

    φ u ∼ ω \varphi _u\sim \omega φuω :相位频谱图

    三角函数形式分解: f ( t ) = A 0 2 + ∑ n = 1 ∞ A n cos ⁡ ( n Ω t + φ n ) f(t)=\frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} A_n \cos(n \Omega t + \varphi_n) f(t)=2A0+n=1Ancos(nΩt+φn)

    虚指数函数形式分解: f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ F n e j n Ω t f(t)= \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n e^{jn \Omega t} f(t)=n=FnejnΩt

    频谱分类直流分量幅度相位 n n n
    单边谱 A 0 2 \frac{A_0}{2} 2A0 A n A_n An φ n \varphi_n φn n = 0 , 1 , 2 , . . . n=0,1,2,... n=0,1,2,...
    双边谱 F 0 F_0 F0| F n F_n Fn| φ n \varphi_n φn n = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . n=0, \pm1, \pm2,... n=0,±1,±2,...

    单边谱和双边谱的关系:
    cos ⁡ ( n Ω t ) = 1 2 ( e j n Ω t + e − j n Ω t ) F n = ∣ F n ∣ e j φ n = 1 2 A n e j φ n ∣ F n ∣ = 1 2 A n , φ n = − arctan ⁡ b n a n \cos( n \Omega t) = \frac{1}{2} (e^{jn \Omega t}+e^{-jn \Omega t})\\ F_n=|F_n| e^{j \varphi_n} = \frac{1}{2} A_n e^{j \varphi_n}\\ |F_n|= \frac{1}{2} A_n, \varphi_n=- \arctan\frac{b_n}a_n{} cos(nΩt)=21(ejnΩt+ejnΩt)Fn=Fnejφn=21AnejφnFn=21An,φn=arctanabnn

    例:周期信号 f ( t ) = 1 − 1 2 cos ⁡ ( π 4 t − 2 π 3 ) + 1 4 sin ⁡ ( π 3 t − π 6 ) f(t) = 1- \frac{1}{2} \cos(\frac{\pi}{4}t-\frac{2\pi}{3}) + \frac{1}{4} \sin(\frac{\pi}{3}t-\frac{ \pi}{6}) f(t)=121cos(4πt32π)+41sin(3πt6π)

    求该周期信号的基波周期 T T T ,基波角频率 Ω \Omega Ω ,平均功率 P P P ,并画出它的频谱图。

    解:
    改 写 f ( t ) 表 达 式 : f ( t ) = 1 + 1 2 cos ⁡ ( π 4 t + π 3 ) + 1 4 cos ⁡ ( π 3 t − 2 π 3 ) 改写f(t)表达式:f(t)=1 + \frac{1}{2} \cos(\frac{\pi}{4}t + \frac{\pi}{3}) + \frac{1}{4} \cos(\frac{\pi}{3}t-\frac{ 2\pi}{3}) f(t)f(t)=1+21cos(4πt+3π)+41cos(3πt32π)
    1 2 cos ⁡ ( π 4 t + π 3 ) 周 期 T 1 = 8 \frac{1}{2} \cos(\frac{\pi}{4}t + \frac{\pi}{3}) 周期 T_1=8 21cos(4πt+3π)T1=8

    1 4 cos ⁡ ( π 3 t − 2 π 3 ) 周 期 T 2 = 6 \frac{1}{4} \cos(\frac{\pi}{3}t-\frac{ 2\pi}{3})周期 T_2=6 41cos(3πt32π)T2=6

    ∴ f ( t ) 周 期 T = 24 , 基 波 角 频 率 Ω = 2 π T = π 12 \therefore f(t) 周期T=24, 基波角频率 \Omega = \frac{ 2\pi}{T} =\frac{ \pi}{12} f(t)T=24,Ω=T2π=12π

    由 帕 斯 瓦 尔 等 式 , P = 1 + 1 2 ⋅ ( 1 2 ) 2 + 1 2 ⋅ ( 1 4 ) 2 = 37 32 由帕斯瓦尔等式,P=1+\frac{ 1}{2} \cdot(\frac{ 1}{2})^2 +\frac{ 1}{2} \cdot(\frac{ 1}{4})^2 =\frac{ 37}{32} P=1+21(21)2+21(41)2=3237

    频谱图:

    1 2 cos ⁡ ( π 4 t + π 3 ) \frac{1}{2} \cos(\frac{\pi}{4}t + \frac{\pi}{3}) 21cos(4πt+3π) f ( t ) f(t) f(t) [ π / 4 ] / [ π / 12 ] = 3 [\pi/4]/[\pi/12]=3 [π/4]/[π/12]=3 次谐波分量;

    1 4 cos ⁡ ( π 3 t − 2 π 3 ) \frac{1}{4} \cos(\frac{\pi}{3}t-\frac{ 2\pi}{3}) 41cos(3πt32π) f ( t ) f(t) f(t) [ π / 3 ] / [ π / 12 ] = 4 [\pi/3]/[\pi/12]=4 [π/3]/[π/12]=4 次谐波分量;

    在这里插入图片描述

    2、周期信号频谱的特点

    1、离散型:以基频 Ω \Omega Ω 为间隔的若干离散谱线组成

    2、谐波性:谱线仅含有基频 Ω \Omega Ω 的整数倍分量

    3、收敛性:整体趋势减小

    周期信号频谱的特点简要的概括了一下

    3、谱线的结构与波形参数的关系

    1、 T T T一定, τ \tau τ变小,此时 Ω \Omega Ω (谱线间隔)不变。两零点之间的谱线数:

    ω Ω = 2 π τ / 2 π T , 增 多 \frac{\omega}{\Omega} = \frac{2 \pi}{\tau} /\frac{2\pi}{T},增多 Ωω=τ2π/T2π,
    2、 τ \tau τ 一定, T T T 增大,间隔 Ω \Omega Ω 减小,频谱变密,幅度减小。

    如果周期 T T T 无限增长( T → ∞ T\to \infty T ),周期信号就变成了非周期信号,那么,谱线间隔将趋于零,周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。

    二、非周期信号的频谱

    1、周期信号 → \to 非周期信号

    频谱函数: F n = 1 T ∫ − 2 T 2 T f ( t ) e − j n Ω t d t F_n= \frac{1}{T} \int_{-\frac{2}{T}}^{ \frac{2}{T}} f(t) e^{-j n \Omega t}dt Fn=T1T2T2f(t)ejnΩtdt

    T → ∞ T\to \infty T 时:
    f ( t ) 周 期 信 号 → 非 周 期 信 号 F n → 0 谱 线 间 隔 Ω → 0 离 散 频 谱 → 连 续 频 谱 , 频 谱 幅 度 → 0 f(t) 周期信号\to 非周期信号\\ F_n \to0\\ 谱线间隔 \Omega \to 0\\ 离散频谱\to 连续频谱 ,频谱幅度\to 0 f(t)Fn0线Ω00

    2、频谱密度函数

    频谱函数: F n = 1 T ∫ − 2 T 2 T f ( t ) e − j n Ω t d t F_n= \frac{1}{T} \int_{-\frac{2}{T}}^{ \frac{2}{T}} f(t) e^{-j n \Omega t}dt Fn=T1T2T2f(t)ejnΩtdt
    T → ∞ T\to \infty T 时:
    Ω → d ω ( 无 穷 小 量 ) n Ω → ω ( 离 散 → 连 续 ) \Omega \to d\omega (无穷小量)\\ n\Omega \to \omega (离散\to连续)\\ Ωdω()nΩω()

    F ( j ω ) = lim ⁡ T → ∞ F n 1 / T = lim ⁡ T → ∞ F n T F(j \omega)=\lim_{T\to \infty} \frac{F_n}{1/T}=\lim_{T\to \infty}F_nT F(jω)=Tlim1/TFn=TlimFnT
                                                                                            = lim ⁡ T → ∞ ∫ − 2 T 2 T f ( t ) e − j n Ω t d t =\lim_{T\to \infty} \int_{-\frac{2}{T}}^{\frac{2}{T}} f(t) e^{-j n \Omega t}dt =limTT2T2f(t)ejnΩtdt

                                                                                            = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − j ω t d t =\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j \omega t}dt =f(t)ejωtdt

    3、傅里叶变换与反变换

    3.1傅里叶变换

    F ( j ω ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − j ω t d t F(j \omega)= \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j \omega t}dt F(jω)=f(t)ejωtdt

    F ( j ω ) F(j \omega) F(jω) 称为 f ( t ) f(t) f(t) 的傅里叶变换

    F ( j ω ) F(j \omega) F(jω) 一般为复数,写成 F ( j ω ) F(j \omega) F(jω) = ∣ F ( j ω ) ∣ e j φ ( ω ) |F(j \omega)| e^{j \varphi(\omega)} F(jω)ejφ(ω)

    F ( j ω ) ∼ ω F(j \omega)\sim \omega F(jω)ω :幅频度谱图,频率 ω \omega ω 的偶函数

    φ u ∼ ω \varphi _u\sim \omega φuω :相位频谱图,频率 ω \omega ω 的奇函数

    3.2傅里叶反变换

    f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( j ω ) e j ω t d ω f(t)= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)e^{j \omega t}d\omega f(t)=2π1F(jω)ejωtdω

    符号差别:

    在这里插入图片描述

    4、常用函数的傅里叶变换

    e − α t ϵ ( t ) ⟷ 1 α + j ω e^{- \alpha t}\epsilon(t) \longleftrightarrow \frac{1}{\alpha+j \omega} eαtϵ(t)α+jω1
    e − α ∣ t ∣ ⟷ 2 α α 2 + ω 2 e^{- \alpha |t|} \longleftrightarrow \frac{2\alpha}{\alpha ^2+ \omega ^2} eαtα2+ω22α
    g τ ( t ) ⟷ τ S a ( ω τ 2 ) g_\tau(t) \longleftrightarrow \tau Sa(\frac{\omega \tau}{2}) gτ(t)τSa(2ωτ)
    δ ( t ) ⟷ 1 \delta(t) \longleftrightarrow 1 δ(t)1
    δ ′ ( t ) ⟷ j ω \delta'(t) \longleftrightarrow j \omega δ(t)jω
    1 ⟷ 2 π δ ( ω ) 1 \longleftrightarrow2\pi \delta(\omega) 12πδ(ω)
    s g n ( t ) ⟷ 2 j ω sgn(t) \longleftrightarrow \frac{2}{ j \omega} sgn(t)jω2
    ϵ ( t ) ⟷ π δ ( ω ) + 1 j ω \epsilon(t) \longleftrightarrow \pi \delta(\omega) + \frac{1}{ j \omega} ϵ(t)πδ(ω)+jω1

    总结

    在这里插入图片描述
    时域里面原函数 ⟶ \longrightarrow 频域里面相函数
    频域里面相函数 ⟶ \longrightarrow 时域里面原函数

    周期信号 → \to 傅里叶级数 → \to 频谱

    非周期信号 → \to 傅里叶变换 → \to 频谱


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  • 常用的连续傅里叶变换对及其对偶关系 连续傅里叶变换性质及其对偶关系
  • 常用傅里叶变换对

    2017-11-23 22:04:32
    常用到的傅里叶变换对表,传上来就是为了以后方便下载。
  • 当引入广义函数的概念后,许多不满足绝对可积条件的函数也能进行傅里叶变换,这给信号与系统分析带来很大方便。 一、奇异函数的傅里叶变换 1、冲激函数的频谱 方法一:根据傅里叶变换的定义式,并且考虑到冲激函数的...

    一、前言

    傅里叶变换的定义式
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    函数f(t)的傅里叶变换存在的充分条件是在无限区间内f(t)绝对可积,但它并非必要条件。
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    当引入广义函数的概念后,许多不满足绝对可积条件的函数也能进行傅里叶变换,这给信号与系统分析带来很大方便。

    二、傅里叶变换的性质

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    三、奇异函数的傅里叶变换

    1、冲激函数的频谱

    方法一:根据傅里叶变换的定义式,并且考虑到冲激函数的取样性质,得
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        其频谱密度在-∞<w<∞区间处处相等,常称为“均匀谱”或“白色频谱”。

    方法二:应用广义极限的概念,单位冲激函数δ(t)是幅度为1/τ,脉宽为τ的矩形脉冲当τ→0的广义极限,因而可以写为
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      门函数的傅里叶变换
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      因而
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      所以
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    2、冲激函数导数的频谱

      冲激函数导数定义式为
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      其中φ(t)为检验函数,φ(t)是急降的。
      按广义函数理论,由于选取了性能良好的检验函数空间 Φ,广义函数的各阶导数都存在并且仍属于缓增广义函数空间 Φ’。

      根据定义,冲激函数的一阶导数δ’(t)的频谱函数为
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      即δ’(t)的频谱函数为
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    3、单位直流信号的频谱

      幅度等于1的直流信号可表示为 f(t)=1, -∞ < t < ∞
      显然,该信号不满足绝对可积条件,但其傅里叶变换却存在。
      根据傅里叶变换的性质(对称性),可得
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    4、符号函数的频谱

      符号函数记作sgn(t),它的定义为
    在这里插入图片描述
      显然,该函数也不满足绝对可积条件。
      函数sgn(t)可看作是
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      当α趋于0时的极限,因此其频谱函数也是f1(t)的频谱函数F1(jw) 当α趋于0时的极限。
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      它是ω的奇函数,在ω=0处F1(0)=0,因此当α趋近于零时,有
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      于是得
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    5、阶跃函数的频谱

      单位阶跃函数u(t)也不满足绝对可积条件。它可看作是幅度为½的直流信号与幅度为½的符号函数之和,即
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      对上式两边进行傅里叶变换,得
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    四、常用信号的傅里叶变换表

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  • 信号与系统 ...实际中因为正余弦周期信号都有傅里叶变换,普通周期信号可以先求傅里叶级数转化成很多正弦信号的和,再傅里叶级数傅里叶变换 系数互求 冲击信号傅里叶变换 δ(t)<——>1\del
  • 文章目录非周期信号的频谱--傅里叶变换1 频谱密度函数1.1 引出1.2 频谱密度函数2 傅里叶变换2.1 傅里叶变换2.2 傅里叶反变换2.3 傅里叶变换对2.4 说明3 常用函数的傅里叶变换3.1 单边指数函数3.2 双边指数函数 ...
  • 自己总结的傅里叶变换性质及常用变换的表。在信号与系统课程和现代通信原理课程中方便查阅使用。
  • 信号分解、傅里叶变换与信号信号的分解 在学习【信号分解】这一部分时,脑海里要有两个概念: 其一,我们整本书学习的思路就是围绕着将信号分解成基本信号,将系统的响应转变成基本响应这一思路来开展的; 其二...
  • 常用函数的连续傅里叶变换对

    千次阅读 2019-11-22 17:13:11
    本文整理了一些常用函数的傅里叶变换,方便自己以后查找,也希望大家有用 1、连续函数傅里叶正反变换公式: 2、脉冲函数的正反傅里叶变换公式: 3、单位阶跃函数的正反傅里叶变换公式: 4、指数函数(单边)的...
  • 文章目录三大变换公式表傅里叶变换F\mathcal{F}F拉普拉斯变换L\mathcal{L}Lz变换Z\mathcal{Z}Z 傅里叶变换F\mathcal{F}F f(t)f(t)f(t) F(ω)F(\omega)F(ω) e−ate^{-at}e−at 1a+jω\frac 1 {a+j\omega}...
  • 信号处理领域,存在诸多变换,比如标题中的五个变换。本文将这五个变换进行介绍和比较。在开始之前,我们需要先理清什么是...通常傅里叶变换只适合处理平稳信号,对于非平稳信号,由于频率特性会随时间变化,为了
  • 傅里叶变换、拉普拉斯变换、自(互)相关及卷积是线性系统分析里最重要的四个数学...数字信号处理中常用的几种变换:傅里叶变换、短时傅里叶变换、小波变换、希尔伯特-黄变换、拉普拉斯变换。 待补充。。。。。 ...
  • 本文简要罗列傅里叶变换几大常用性质,方便各位复习整理。 一、线性 若有 则必然有 二、对偶性 三、尺度变换性质 四、时移性质 五、频移性质 六、时域微分 七、卷积定理 时域卷积 频域卷积 ...
  • 常用函数的傅里叶变换汇总

    万次阅读 多人点赞 2020-03-19 12:42:42
    【总目录】信号与系统 学习笔记 Signals and Systems with Python (1) 简介 Intro (2) 傅里叶 Fourier 常用函数的傅里叶变换汇总 (3) LTI 系统 滤波器 常用函数的傅里叶变换汇总 f(t)⟵⟶F(jω)F(jt)⟵⟶2...
  • 信号公式汇总之傅里叶变换

    千次阅读 多人点赞 2019-05-03 22:58:53
    傅里叶级数
  • 傅里叶、拉普拉斯、z变换常用公式合集

    万次阅读 多人点赞 2019-06-27 09:51:23
    傅里叶变换 常用信号傅里叶变换 傅里叶变换的性质 傅里叶性质—典型变换 拉普拉斯 常用信号的单边拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的性质 z变换 常用序列的z变换 z变换的性质 ...
  • 摘要:一直以来都是用MATLAB做信号处理,得到预处理的特征后再用Python进一步应用神经网络之类的方法。这里将MATLAB中的FFT、STFT、加窗以及带通滤波通过Python接口实现,防止以后MATLAB用不了了,一定程度上也提高...
  • 说到傅里叶变换的基本性质,想必大家都有
  • 傅里叶变换

    千次阅读 2019-07-20 16:17:57
    此篇博文主要简述傅里叶变换的相关概念以及如何代码实现离散序列的傅里叶变换 我们都知道,傅里叶变换是频域分析的重要工具;其将信号从时域转换到了频域,以更直观的角度向我们展示了信号的本质——频率。 下面不加...
  • 傅里叶变换性质和常见信号傅里叶变换

    千次阅读 多人点赞 2019-02-13 12:42:33
    微信公众号:xiaoshi_IC 开年第一篇,单位里没有网,只能用12年前的老电脑发点文章,老电脑还行,虽然装个软件cpu会跑到100%,但是不卡,哈哈。 老电脑见证了摩尔定律,我也没想到最终会做IC,FPGA相关的。...
  • 傅里叶变换(二维离散傅里叶变换)

    万次阅读 多人点赞 2018-06-15 22:22:35
    离散二维傅里叶变换常用性质: 可分离性、周期性和共轭对称性、平移性、旋转性质、卷积相关定理;(1)可分离性: 二维离散傅里叶变换DFT可分离性的基本思想是DFT可分离为两次一维DFT。因此可以用通过计算两次...
  • 很多控制学科的课程中都会用到一些常用信号分析工具如傅里叶变换,Laplace变换Z变换等等。本文想着重整理一下数字信号也就是离散信号傅里叶变换之间的关系。
  • 【 1. 傅里叶变换(定义)】... 常用函数的傅里叶变换 】 1. 矩形脉冲(门函数) 2. 单边指数函数 3. 双边指数函数 4. 冲激函数δ(t)、δ’(t) 5. 直流信号1 6. 符号函数 7. 阶跃函数 8. 小结 9. 例 ...
  • 这也是为什么我们时域信号傅里叶变换之后就到了频域。至于这个结论是怎么来的,那是另外一个故事了,在此不多讲。 另外有一个非常重要的公式:欧拉公式 e j x = c o s ( x ) + j s i n ( x ) e − j x = c o...
  • 本文将这五个变换进行介绍和比较。在开始之前,我们需要先理清什么是平稳信号,什么是非平稳信号。我们知道,自然界中几乎所有信号都是非平稳信号,比如我们的语音信号就是典型的非平稳信号。那么何谓平稳信号和非...

空空如也

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