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  • 信号与系统常用公式总结,可以用于复习
  • 信号与系统常用公式整理,包括傅里叶变换、拉普拉斯变换、z变换。三大变换统一整理,非常适合考研党。
  • 包含:常用的连续傅里叶变换对及其对偶关系、双边拉氏变换对双边Z变换对的类比关系
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  • 信号与系统常用公式大全 傅里叶变换公式 拉普拉斯变换公式 Z变换公式 典型信号傅里叶变换 典型信号拉普拉斯变换 典型信号Z变换 S域收敛域8大性质 S域因果性 S域稳定性 Z域收敛域9大性质 Z域因果性 Z域...
  • 常用的连续傅里叶变换对及其对偶关系 连续傅里叶变换性质及其对偶关系
  • 包含离散 连续的fourier级数 变换 s变换 z变换等公式 是学习信号与系统不可多得的好资料
  • 信号与系统常用的一些公式,包括傅里叶变换,拉普拉斯变换等。
  • 自己总结的一些信号与线性系统常用公式,包括傅里叶变换,S域变换,Z域变换,离散傅里叶变换等,卷积公式,供大家参考学习。
  • 信号与系统公式大全pdf,内含:连续傅里叶变换、连续拉普拉斯变换、离散Z变换、离散傅里叶变换等汇总分类公式
  • 文档目录*1.高等数学**第一部分:基本导数公式...信号与系统****连续信号的时域对应的傅里叶变换Laplace变换**时域离散的傅里叶变换DFTZ变换****三种常用形式的变换对****双边的Laplace变换Z变换对应表**卷积积..
      
    


    1.高等数学

    第一部分:基本导数公式、导数的四则运算法则、高阶导数的运算法则
    第二部分、基本初等函数的n阶导数公式
    第三部分:微分公式及运算法则
    第四部分、基本积分公式



    第一部分:基本导数公式、导数的四则运算法则、高阶导数的运算法则


    第二部分、基本初等函数的n阶导数公式

    在这里插入图片描述


    第三部分:微分公式及运算法则

    在这里插入图片描述


    第四部分、基本积分公式


    在这里插入图片描述在这里插入图片描述


    第五部分、凑微分与分部积分


    在这里插入图片描述在这里插入图片描述


    第六部分:lim极限与常用等价无穷小量


    在这里插入图片描述ps:图中方框口均为等价关系,在x趋近于0时,左边式子可以等效为右侧,一般都是从左到右的单向关系


    第七部分:三角函数公式

    目录:
    1.两角和公式
    2.二倍角公式
    3.半角公式
    4.和差化积公式
    5.积化和差公式
    6.万能公式
    7.诱导公式

    这一部分主要都是初高中学习的三角函数基本公式,忘记了也都可以查阅一下,在文末会有下载链接


    第八部分:补充内容

    在这里插入图片描述


    2.信号与系统


    在这里插入图片描述



    连续时间内傅里叶变换的常用性质

    包括有线性,时移,频移特性,尺度变换

    时域卷积频域相乘
    频域卷积时域相乘的2PI倍

    对称性质:
    在常用信号的傅里叶变换中找出与时域信号相似的一种变换,将所有的t用(-w)表示,w用t表示,再用2PI连接,把握奇偶性写出结果。


    初值与终值定理
    在这里插入图片描述


    连续信号的时域对应的傅里叶变换与Laplace变换

    时域离散的傅里叶变换DFT与Z变换

    在这里插入图片描述


    三种常用形式的变换对

    在这里插入图片描述


    在这里插入图片描述


    双边的Laplace变换与Z变换对应表

    在这里插入图片描述


    卷积积分的相关补充

    在这里插入图片描述

    常用形式的卷积和

    (限定是在离散信号条件下,连续信号的时域卷积对应着离散的卷积和形式)
    所以下表只适用于离散信号条件下

    在这里插入图片描述
    以上为冲激信号 的常用公式


    连续傅里叶变换的对应表

    因为上面的图有点不清晰

    在这里插入图片描述


    文档附赠内容 (数字信号处理的相关公式)

    高等数学和信号与系统的整合公式
    https://wws.lanzous.com/izZBKho6ecd

    数字信号处理
    里面有60多页,从绪论到最后一章都是精华哦,可以当作复习资料
    https://wws.lanzous.com/ilWrZho6m2b

    本人也是第一次写博客,大学狗,平时也没有特别多的时间来写博客,可能文章布局很粗糙,但还是希望大家能支持一下,如果对于信号处理的各种变换有疑问的也都可以私聊我,我有相关的资料,谢谢,如有疑问可私信我邮箱
    rayonsun@outlook.com


    展开全文
  • 信号系统公式总结,文件分为两部分,前半部分49页,利用表格对信号系统的所有常见不常见公式名字、符号、性质、响应特性、连续离散、易错易混知识点对比等做了展现。后半部分41页,对卷积、响应激励、傅里叶变换、...
  • 信号与系统公式笔记(6)

    千次阅读 2018-05-03 22:44:37
    2. 傅里叶变换的定义式、求信号的傅里叶变换、能用傅里叶变换的性质求傅里叶变换(最大的作用就是用来求傅里叶变换)、周期信号的傅里叶变换(用σ(ω)σ(ω)\sigma(\omega))、傅里叶级数和傅里叶变换的转换 ...

    主要关于第三章,这章非常重要。
    重点内容

    1. 傅里叶级数(至少记住周期矩形脉冲,最好记住周期三角波和锯齿波)
    2. 傅里叶变换的定义式、求信号的傅里叶变换、能用傅里叶变换的性质求傅里叶变换(最大的作用就是用来求傅里叶变换)、周期信号的傅里叶变换(用 σ ( ω ) \sigma(\omega) σ(ω))、傅里叶级数和傅里叶变换的转换
    3. 系统的频率响应和系统的频域分析
    4. 采样定理(其实是傅里叶变换的应用,要很清楚,证明过程也要清楚)

    信号的带宽
    1. X ( ω ) X(\omega) X(ω)(频谱)下降到最大值的 1 2 \frac{1}{\sqrt{2}} 2 1时对应的频率范围,此时带内信号分量占有信号总能量的 1 2 \frac{1}{2} 21
    2.对包络式 S a ( x ) \mathrm{Sa}(x) Sa(x)形状的频谱,通常定义主瓣宽度(即频谱第一个零点内的范围)为信号带宽

    脉宽乘以带宽等于常数 C C C(脉宽带宽积)(频域和时域的相反关系)。


    连续时间傅里叶变换的性质(有时用定义直接积分求不了或者很难求结果,所以只能够用这些性质来简化方程式)
    1.线性
    若 x ( t ) ↔ X ( j ω ) , y ( t ) ↔ Y ( j ω ) 则 a x ( t ) + b y ( t ) ↔ a X ( j ω ) + b Y ( j ω ) \mathrm{若}x(t) \leftrightarrow X(\mathrm{j\omega}), y(t) \leftrightarrow Y(\mathrm{j}\omega)\\ \mathrm{则}ax(t) + by(t) \leftrightarrow aX(\mathrm{j}\omega) + bY(\mathrm{j}\omega) x(t)X(jω),y(t)Y(jω)ax(t)+by(t)aX(jω)+bY(jω)同时也体现了齐次性和可加性

    2.时移与频移(必须要记得,很重要)
    x ( t ) ↔ X ( j ω ) x(t) \leftrightarrow X(\mathrm{j}\omega) x(t)X(jω) x ( t − t 0 ) ↔ X ( j ω ) e − j ω t 0 x(t - t_0) \leftrightarrow X(\mathrm{j}\omega)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t_0} x(tt0)X(jω)ejωt0
    信号的时移只影响它的相频特性,其相频特性会增加一个线性相移。
    而频移:
    F [ x ( t ) e − / + j ω t ] = X ( ω + / − ω 0 ) F[x(t)\mathrm{e}^{-/+\mathrm{j}\omega t}] = X(\omega+/-\omega_0) F[x(t)e/+jωt]=X(ω+/ω0)(时间上进行变化,会出现频域上的平移)

    3.共轭对称性(用起来比较复杂)
    x ( t ) ↔ X ( j ω ) x(t)\leftrightarrow X(\mathrm{j}\omega) x(t)X(jω)
    x ∗ ( t ) ↔ X ∗ ( − j ω ) x^*(t)\leftrightarrow X^*(-\mathrm{j}\omega) x(t)X(jω)
    (证明不麻烦,记住就行了)
    这里写图片描述

    这里写图片描述
    然后因为 X ( − j ω ) = X ∗ ( j ω ) X(-\mathrm{j}\omega) = X^*(\mathrm{j}\omega) X(jω)=X(jω)所以 X ( j ω ) = X ∗ ( j ω ) X(\mathrm{j}\omega) = X^*(\mathrm{j}\omega) X(jω)=X(jω),所以 X ( j ω ) X(\mathrm{j}\omega) X(jω)是实函数。
    所以上面ppt里面的表明是指:“实偶信号的傅里叶变换是实偶函数”(因为是实的所以能够满足了上上面那里的共轭关系)。

    如果 x ( t ) x(t) x(t)是奇函数的话:
    这里写图片描述
    如果信号 x ( t ) x(t) x(t)是实奇的,那么它的频谱是奇的虚的。

    这里写图片描述
    “若”后面的意思是, x ( t ) x(t) x(t)是一个能用共轭对称和共轭反对称组成的函数。
    (知道就行,上面这块比较复杂)


    下面这题要记住结论
    这里写图片描述

    下面在傅里叶变换的时候是先进行傅里叶变换然后进行取极限
    这里写图片描述
    左下角那个 u o ( t ) u_o(t) uo(t)这样算法其实用了奇函数的性质, x ( t ) = x ( t ) − x ( − t ) 2 x(t) = \frac{x(t) - x(-t)}{2} x(t)=2x(t)x(t)
    过程不用记(因为比较麻烦,直接用傅里叶变换去做做不出来,只能用性质),但是一定要记住左下角的结论,这是阶跃函数的傅里叶变换结果。


    时域微分与积分
    这个性质非常常见,所以要记住啊。
    若傅里叶变换是要计算这个 x ( t ) ↔ X ( j ω ) x(t)\leftrightarrow X(\mathrm{j}\omega) x(t)X(jω),则 d x ( t ) d t ↔ j ω X ( j ω ) \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}\leftrightarrow \mathrm{j}\omega X(\mathrm{j}\omega) dtdx(t)jωX(jω)(可以将微分运算变成代数运算)
    证明比较简单:直接将 x ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ X ( j ω ) e j ω t d ω x(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\mathrm{j}\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega x(t)=2π1X(jω)ejωtdω两边对 t t t微分就可以得到这个性质。
    这个性质可以延伸到高次导数,例如 x ′ ′ ( t ) → ( j ω ) 2 X ( j ω ) x''(t)\rightarrow(\mathrm{j}\omega)^2X(\mathrm{j}\omega) x(t)(jω)2X(jω)

    时域积分特性:
    ∫ − ∞ t x ( τ ) d τ ↔ 1 j ω X ( j ω ) + π X ( 0 ) δ ( ω ) \int_{-\infty}^{t}x(\tau)\mathrm{d}\tau \leftrightarrow \frac{1}{\mathrm{j}\omega}X(\mathrm{j}\omega) + \pi X(0)\delta(\omega) tx(τ)dτjω1X(jω)+πX(0)δ(ω)
    注意除了除以 j ω \mathrm{j}\omega jω之外还要加上后面那部分。
    上面这个结论要记住。

    可以从上面这个特性得到 δ ( t ) ↔ 1 \delta(t)\leftrightarrow 1 δ(t)1 u ( t ) ↔ 1 j ω + π δ ( ω ) u(t)\leftrightarrow\frac{1}{\mathrm{j}\omega} + \pi \delta(\omega) u(t)jω1+πδ(ω)


    尺度变换
    这里写图片描述
    这部分内容可以联想之前的周期矩形脉冲信号和它对应的频谱。


    对偶性
    x ( t ) ↔ X ( j ω ) x(t)\leftrightarrow X(\mathrm{j}\omega) x(t)X(jω),把右边括号里面的 ω \omega ω换成 t t t,就可以得到 X ( j t ) ↔ 2 π x ( − ω ) X(\mathrm{j}t) \leftrightarrow 2\pi x(-\omega) X(jt)2πx(ω)
    这里写图片描述
    效果大概是这样子的:
    这里写图片描述

    然后下面这张图不重要,看看就可以了。
    这里写图片描述


    频域微积分特性
    微分特性
    X ( j ω ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j ω t d t X(\mathrm{j}\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t X(jω)=x(t)ejωtdt d d ω X ( j ω ) = ∫ − ∞ ∞ − j t x ( t ) e − j ω t d t \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\omega} X(\mathrm{j}\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}-\mathrm{j}tx(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t dωdX(jω)=jtx(t)ejωtdt(前面其实就是直接对方程两边同时对 ω \omega ω求个导,然后直接把 − j t x ( t ) -\mathrm{j}tx(t) jtx(t)看作一个整体),所以 − j t x ( t ) ↔ d d ω X ( j ω ) -\mathrm{j}tx(t)\leftrightarrow \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\omega}X(\mathrm{j}\omega) jtx(t)dωdX(jω)(中间那个箭头是指傅里叶变换)
    同理,如果是多次求导,那么就是 ( − j t ) n x ( t ) ↔ d n d n ω X ( j ω ) (-\mathrm{j}t)^n x(t)\leftrightarrow \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}^n\omega}X(\mathrm{j}\omega) (jt)nx(t)dnωdnX(jω)

    频域积分特性:(具体证明过程看教材)
    ∫ F ( ω ) d ω = π f ( 0 ) δ ( t ) + 1 − j t f ( t ) \int F(\omega) \mathrm{d}\omega = \pi f(0)\delta(t) + \frac{1}{-\mathrm{j}t} f(t) F(ω)dω=πf(0)δ(t)+jt1f(t)
    前面那一项是因为积分出现的直流量,积分比。

    ( − j t ) n x ( t ) ↔ d n d n ω X ( j ω ) (-\mathrm{j}t)^n x(t)\leftrightarrow \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}^n\omega}X(\mathrm{j}\omega) (jt)nx(t)dnωdnX(jω)

    ∫ F ( ω ) d ω = π f ( 0 ) δ ( t ) + 1 − j t f ( t ) \int F(\omega) \mathrm{d}\omega = \pi f(0)\delta(t) + \frac{1}{-\mathrm{j}t} f(t) F(ω)dω=πf(0)δ(t)+jt1f(t)
    这两条结论要记住,比较重要,公式要记得清楚。


    时域卷积定理
    所有傅里叶性质里面最重要和最常用的一个定理。
    这里写图片描述
    上面这个证明只要看看就行,不用怎么管。

    其实结论就是:两个函数卷积的傅里叶变换等于其中每个傅里叶变换的乘积。

    经常这么用:
    这里写图片描述
    就是将函数输入进去一个LTI系统的时候通常会直接对要进行的卷积进行傅里叶变换,变成两个函数对应的傅里叶变换之后的结果进行的乘积,最后把这个得到的乘积进行傅里叶逆变换得到系统输出。


    频域卷积定理
    下面的这个结论用了频域与时域对称的性质。
    箭头指的是傅里叶变换。
    x 1 ( t ) ↔ X 1 ( j ω ) x 2 ( t ) ↔ X 2 ( j ω ) x_1(t) \leftrightarrow X_1(\mathrm{j}\omega)\quad x_2(t)\leftrightarrow X_2(\mathrm{j}\omega) x1(t)X1(jω)x2(t)X2(jω)
    x 1 ( t ) ⋅ x 2 ( t ) ↔ 1 2 π X 1 ( j ω ) ∗ X 2 ( j ω ) x_1(t) \cdot x_2(t) \leftrightarrow \frac{1}{2\pi}X_1(\mathrm{j}\omega) * X_2(\mathrm{j}\omega) x1(t)x2(t)2π1X1(jω)X2(jω)


    Parseval定理
    相当于信号的能量守恒定理。
    这里写图片描述
    结论知道就行


    3.9周期信号的傅里叶变换
    周期信号不满足Dirichlet条件(因为不是绝对可积),所以无法直接进行傅里叶变换(虽然可以用傅里叶级数来表示)。

    记住:
    x ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ X ( j ω ) e j ω t d ω = ∫ − ∞ ∞ δ ( ω − ω 0 ) e j ω t d ω = e j ω 0 t x(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\mathrm{j}\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega = \int_{-\infty}^{\infty}\delta(\omega - \omega_0)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega = \mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega_0 t} x(t)=2π1X(jω)ejωtdω=δ(ωω0)ejωtdω=ejω0t

    (记得 e j ω 0 → 2 π δ ( ω − ω 0 ) \mathrm{e}^{\mathrm{j\omega_0}}\rightarrow2\pi\delta(\omega-\omega_0) ejω02πδ(ωω0)
    可以这么记:
    1 → 2 π δ ( ω ) 1\rightarrow 2\pi\delta(\omega) 12πδ(ω)
    所以 1 ⋅ e j ω t → 2 π δ ( ω − ω 0 1 \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\rightarrow 2\pi \delta(\omega - \omega_0 1ejωt2πδ(ωω0因为产生了频域上的平移。)

    所以:周期性复指数信号的频谱是个冲激。

    x ( t ) = e j k ω 0 t x(t) = \mathrm{e}^{\mathrm{j}k\omega_0 t} x(t)=ejkω0t X ( j ω ) = 2 π δ ( ω − k ω 0 X(\mathrm{j}\omega) = 2\pi \delta(\omega-k\omega_0 X(jω)=2πδ(ωkω0
    因为周期信号对应的傅里叶级数是:
    x ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ a k e j k ω 0 t x(t) = \sum_{k = -\infty}^{\infty}a_k\mathrm{e}^{\mathrm{j}k\omega_0 t} x(t)=k=akejkω0t
    所以周期信号的傅里叶变换表示就是:
    X ( j ω ) = 2 π ∑ k = − ∞ ∞ a k δ ( ω − k ω 0 ) X(\mathrm{j}\omega) = 2\pi \sum_{k = -\infty}^{\infty}a_k\delta(\omega - k\omega_0) X(jω)=2πk=akδ(ωkω0)
    上面这个公式才是重点。下面是个结论,看看就行。
    这里写图片描述
    上面的 a k a_k ak可以直接用级数的方式进行计算,也可以用别的方法(教材里面有)。

    例题:
    这里写图片描述
    上面这个可以推广到余弦的情况。下面这道题要注意解出 a k a_k ak的方式。
    这里写图片描述
    傅里叶级数对应的系数的求法:先求周期信号的主周期的傅里叶变换,然后把变换之后的结果进行取样和用 1 T \frac{1}{T} T1调节。
    这里写图片描述


    3.10 采样定理
    有点像ADC(这部分内容没有前两部分内容重要)。
    这里写图片描述

    这里写图片描述


    时域采样

    采样:在某些离散的时间点上提取连续时间信号值的过程。

    这里写图片描述

    采样数学模型
    这里写图片描述
    采样结果
    这里写图片描述

    对冲激串进行傅里叶变换可以得到另一个系列的冲激串。
    这里写图片描述

    这里写图片描述

    效果
    这里写图片描述
    相当于多次平移原信号。

    这里写图片描述
    上面图里面提到的带限的其实就是指原信号在横轴上要有界限。

    这里写图片描述
    低通滤波起到了图里面红色框的作用,只有红色框里面的信号才可以通过滤波器。(上面的图还暗示了 ω M &lt; ω C &lt; ω S − ω M \omega_M &lt; \omega_C &lt; \omega_S - \omega_M ωM<ωC<ωSωM

    这里写图片描述

    实际上做法
    这里写图片描述

    为了补偿采样时频谱幅度的减小,滤波器应具有 T T T倍的通带增益。


    利用内插从样本重建信号

    内插:由样本值重建某一函数的过程。也就是用一个连续信号对一组样本值的拟合。重建结果可以是近似的也可以是完全准确的。

    带限内插:利用理想低通滤波器的单位冲激响应的内插。
    这里写图片描述
    在时间上做卷积是因为之前取样出来的信号是在频域上做乘积的,就是在时域做卷积。上面的 h ( t ) h(t) h(t)在频域的信号是门函数,在时域是取样函数。
    这里写图片描述
    用图形看比较形象。
    这里写图片描述
    上面就是 X p ( t ) X_p(t) Xp(t)与取样信号分别做卷积,就是把取样信号移动到各个冲激信号对应的点上面,然后就得到 X r ( t ) X_r(t) Xr(t)

    展开全文
  • 吴大正版的每章的公式总结并附有两套试卷 比较系统,清晰的
  • 信号与系统考研辅导讲义》信号与系统常用公式大全》 这些资源参考了中科院信号与系统考研相关知识点整理而成
  • 信号与系统常用公式.pdf 《通信原理》课后答案-蒋青.pdf 07通信原理真题.docx 08通信原理真题.docx 11年通信原理真题.docx 2010信号与系统考研.pdf 2011通信原理真题.pdf 2012信号与系统真题.pdf 2013通信复试真题...
  • 信号与系统公式笔记(9)——Z变换

    千次阅读 2019-03-15 20:42:03
    平面 s s s 平面的映射关系 从上面定义的公式里面可以看出来 z z z 和 s s s 之间有这样的关系: z = e σ T s s = 1 T s l n z z = \mathrm{e}^{\sigma T_s}\quad s = \frac{1}{T_s}\mathrm{ln}z z = e σ T ...

    还是齐开悦博士的视频,不过这次没看完就自己看着书总结了(还是觉得看书更加高效率)。

    重新提一下,一定要把课本的例题过一遍,因为例题有很详细的解析(孙国霞的书的话比较少资料,贫僧觉得还是看吴大正的比较好,至少课后习题有答案解析,这样可以多很多习题来练手。现在流的汗都是当初买错书脑子进的水。。。),而且做完之后可以看得出自己那一步想漏了或者想错了,所以无论如何都要过一遍。

    首先复习一下前面讲的拉氏变换:
    拉氏变换比傅里叶变换的适用范围更加广泛,但是还是被收敛域限制住了(而傅里叶的限制是被积函数绝对可积)。为了保证能够积分出答案,所以要对 σ \sigma σ有限制,这就是收敛域。
    ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − σ t e − j ω t d t \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-\sigma t}e^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t +f(t)eσtejωtdt
    所以每次答题的时候一定要加上对应的收敛域,不然公式没意义(可能结果不成立)。
    比较有用的是单边,因为可以用来算零状态和零输入。
    要记清楚正负号对收敛域的影响(例如 e − a t u ( t ) → 1 s + a e^{-at}\mathrm{u}(t) \rightarrow \frac{1}{s + a} eatu(t)s+a1的定义域是 R e [ s ] &gt; − a Re[s] &gt; -a Re[s]>a,而 e a t u ( − t ) → − 1 s − a e^{at}\mathrm{u}(-t) \rightarrow -\frac{1}{s - a} eatu(t)sa1但是定义域方向是翻过来的 R e [ s ] &lt; + a Re[s] &lt; +a Re[s]<+a

    基本性质中拉氏变换只比傅里叶变换多了初值和终值定理,其他的差不多。
    一定要记住两阶的微分性质(通用的是 f ( n ) ( t ) s n F ( s ) − ∑ m = 0 n − 1 s n − 1 − m f ( m ) ( 0 − ) f^{(n)}(t)s^nF(s) - \sum_{m = 0}^{n-1}s^{n - 1 - m}f^{(m)}(0_-) f(n)(t)snF(s)m=0n1sn1mf(m)(0)两阶就是 f ( 2 ) ( t ) = s 2 F ( s ) − s 1 f ( 0 ) ( 0 − ) − s 0 f ( 1 ) ( 0 − ) f^{(2)}(t)=s^2F(s) - s^{1}f^{(0)}(0_-) - s^0f^{(1)}(0_-) f(2)(t)=s2F(s)s1f(0)(0)s0f(1)(0))。
    熟练用拉氏反变换的部分分式展开法(记得注意收敛域,如果题目没有给收敛域的话就要另外讨论)。
    熟练用拉氏变换来分析电路(记得各种元件对应的s域模型,记串联的基本上就可以了)。
    周期信号的拉氏变换是 F ( s ) = F 1 ( s ) 1 1 − e − s T R e [ s ] &gt; 0 F(s) = F_1(s)\frac{1}{1-e^{-sT}} \quad Re[s] &gt; 0 F(s)=F1(s)1esT1Re[s]>0 F 1 ( s ) F_1(s) F1(s)就是主周期的信号对应的拉氏变换结果。主要用在反变换,遇到要逆变换的函数的分母含有 1 − e − s T 1-e^{-sT} 1esT的时候就可以直接推出对应的原函数(周期为T的周期信号)。


    一些定义

    一定要记住定义,这样遇到问题的时候(例如欸欸欸为什么答案是这样,以及啊啊啊不记得公式了啊)就可以回到定义/原理来推导(推导过程也可以帮助记忆,理解其实就是记住原理和各个推导出来的公式之间的关系,理解越深就离定义越近)。

    ·连续信号 x ( t ) x(t) x(t)经过均匀冲激序列进行理想抽象后可以得到抽样信号 x s ( t ) x_s(t) xs(t)

    x s ( t ) = x ( t ) σ T s ( t ) = x ( t ) ∑ n = − ∞ ∞ σ ( t − n T s ) = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n T s ) σ ( t − n T s ) x_s(t) = x(t) \sigma_{Ts}(t) = x(t)\sum_{n = -\infty}^{\infty}\sigma(t - nT_s) = \sum_{n = - \infty}^{\infty}x(nT_s)\sigma(t - nT_s) xs(t)=x(t)σTs(t)=x(t)n=σ(tnTs)=n=x(nTs)σ(tnTs)

    对等式两边同时取拉普拉斯变换

    X s ( s ) = ∫ − ∞ ∞ x s ( t ) e − s t d t = ∫ − ∞ ∞ e − s t ∑ n = − ∞ ∞ x ( n T s ) σ ( t − T s ) d t X_s(s) = \int_{-\infty}^{\infty}x_s(t)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t = \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-st}\sum_{n = -\infty}^{\infty}x(nT_s)\sigma(t - T_s)\mathrm{d}t Xs(s)=xs(t)estdt=estn=x(nTs)σ(tTs)dt

    上面这个式子要注意积分的对象是 t t t,不是 T s T_s Ts,所以 x ( n T s ) x(nT_s) x(nTs)不受积分影响(相当于是常数了)。然后再把积分和求和顺序调换,用冲激函数的抽样性质就可以得到下面这个公式:

    X s ( s ) = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n T s ) e − s n T s X_s(s) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}x(nT_s)\mathrm{e}^{-snT_s} Xs(s)=n=x(nTs)esnTs

    然后就像在拉普拉斯变换里面干的那样,用一个新的变量代替掉 x x x以外的东西:

    z = e s T s z = \mathrm{e}^{sT_s} z=esTs

    就可以得到

    X ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n T s ) z − n X(z) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}x(nT_s)z^{-n} X(z)=n=x(nTs)zn

    这就是z变换,通常抽样的方式是均匀抽样,所以可以忽略掉 T s T_s Ts

    X ( z ) ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) z − n X(z) \sum_{n = -\infty}^{\infty}x(n)z^{-n} X(z)n=x(n)zn

    这里的定义用到了冲激信号的采样特性,同时要注意的是 σ ( t ) \sigma(t) σ(t)无论在哪种变换里面变换的结果都是 1 1 1
    上面那种公式其实是双边z变换的定义式,如果是单边的话(现实中大部分都是单边的,所以这个定义式才有用):

    X ( z ) = ∑ n = 0 ∞ x ( n ) z − n X(z) = \sum_{n = 0}^{\infty}x(n)z^{-n} X(z)=n=0x(n)zn

    因为定义的过程中用到了拉普拉斯变换,所以正变换和反变换可以表示成:

    X ( z ) = L [ x ( n ) ] x ( n ) = L − 1 [ X ( z ) ] X(z) = L[x(n)]\\ x(n) = L^{-1}[X(z)] X(z)=L[x(n)]x(n)=L1[X(z)]

    大写的X就是变换之后的像函数,小写的x对应的是原函数

    所以这里也可以看出来某些拉普拉斯变换里面出现的解题方法也可以用在z变换这里,例如部分分式展开法(但是要对原函数 x ( n ) x(n) x(n)处理一下,下面会提到)。

    z z z平面与 s s s平面的映射关系

    从上面定义的公式里面可以看出来 z z z s s s之间有这样的关系:

    z = e σ T s s = 1 T s l n z z = \mathrm{e}^{\sigma T_s}\quad s = \frac{1}{T_s}\mathrm{ln}z z=eσTss=Ts1lnz

    s s s用直角坐标系来表示, z z z用极坐标系来进行表示,那么有 s = σ + j ω , z = ∣ z ∣ e j Ω s = \sigma + \mathrm{j}\omega, z = |z|\mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega} s=σ+jω,z=zejΩ,那么:

    z = e s T s = e ( σ + j ω ) T s z = \mathrm{e}^{sT_s} = \mathrm{e}^{(\sigma + \mathrm{j}\omega)T_s} z=esTs=e(σ+jω)Ts

    因为 z = ∣ z ∣ e j Ω z = |z|\mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega} z=zejΩ,所以:
    ∣ z ∣ = e σ T s Ω = ω T s = ω f s |z| = \mathrm{e}^{\sigma T_s} \\ \Omega = \omega T_s = \frac{\omega}{f_s} z=eσTsΩ=ωTs=fsω

    上面表明了数字角频率 Ω \Omega Ω是模拟角频率 ω \omega ω关于采样频率 f s f_s fs的归一化频率。

    这里写图片描述

    这里写图片描述

    上面这两张图片来自这里

    这里的映射关系在后面学习《数字信号处理》的时候会用到,不过现在只需要了解下就行。

    收敛域

    每一个 X ( z ) X(z) X(z)可能会对应多个 x ( n ) x(n) x(n),所以需要指明收敛域来确定对应的是哪一个 x ( n ) x(n) x(n),且只有指明了收敛域,才可以确保 X ( z ) X(z) X(z)收敛,使得公式有意义。

    收敛域的特性:

    1. 收敛域是相通的,收敛域内不能包括任何极点,收敛域以极点为边界
    2. 时限序列的收敛是整个 z z z平面,但是 z = 0 z=0 z=0 z = ∞ z=\infty z=可能除外
    3. 因果序列的收敛域是以像函数 X ( z ) X(z) X(z)的最大极点的模为半径的圆外区域
    4. 非因果序列的收敛域是以像函数 X ( z ) X(z) X(z)的最小极点的模为半径的圆内区域

    常用公式

    在这里插入图片描述
    上图来自孙国霞老师的《信号与系统》。

    常用性质

    在这里插入图片描述
    上图来自孙国霞老师的《信号与系统》。

    z反变换

    反变换公式定义:

    x ( n ) = 1 2 π j ∮ c X ( z ) z n − 1 d z x(n) = \frac{1}{2\pi \mathrm{j}}\oint_{c}X(z)z^{n-1}\mathrm{d}z x(n)=2πj1cX(z)zn1dz

    除非万不得已,通常不用定义式,而是:1. 长除法;2. 部分分式法(重点)

    长除法

    长除法很简单,直接给个例子自己体会:
    在这里插入图片描述

    部分分式法

    部分分式法直接参考之前拉普拉斯变换里面的部分分式法,都是一样的,所以这里只给个例子。

    在这里插入图片描述

    差分方程的变换解

    其实这里和拉普拉斯解微分方程是差不多的,只是比较不同的是有时需要用到迭代法(即对原方程中 y ( n ) y(n) y(n) n n n代入需要的数字来求出对应时刻系统的输出)。这里给个例子(没有用到迭代法,因为题目已经给出了所有需要用到的 y ( n ) y(n) y(n)

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    系统函数和冲激响应 h ( n ) h(n) h(n)

    和之前拉普拉斯、傅里叶变换的系统函数定义是一样的。z变换中零状态响应等于激励与系统冲激响应(即输入为 δ ( n ) \delta(n) δ(n),冲激函数,时系统的输出)的卷积和 y z s ( n ) = x ( n ) ∗ h ( n ) y_{zs}(n) = x(n) * h(n) yzs(n)=x(n)h(n) Y z s ( z ) = X ( z ) H ( z ) Y_{zs}(z) = X(z)H(z) Yzs(z)=X(z)H(z),这里的 H ( z ) H(z) H(z)就是离散系统的系统函数,定义为z域中零状态响应与激励的像函数的比值, H ( z ) = Y z s ( z ) X ( z ) H(z) = \frac{Y_{zs}(z)}{X(z)} H(z)=X(z)Yzs(z)。注意, H ( z ) H(z) H(z)只与系统特性相关,只要系统不变,系统函数就不会变(这点上3个变换都是这样)。

    此外,解题的时候记得写这句话:在零状态条件下,对差分方程两边取单边z变换。不然可能会因为不严谨而失分,因为在使用系统函数的时候就已经架设了初始条件为0(即处于零状态)且激励函数为因果序列(看公式表,如果不是因果序列z变换之后的结果会有“小尾巴”)。

    此外,因为系统本身的特性决定了系统函数,所以可以通过系统函数可以判断系统的特性:

    在这里插入图片描述

    参考资料

    《信号与系统》孙国霞(基本上这篇博文里面的公式都是从这里来的,但就算是这样,贫僧还是要说,用吴大正的吧。。。目前这本书还没有习题解析之类的辅导书,所以自学用的话会比较麻烦,网上又不一定能找得到答案)
    《信号与线性系统分析(第 4 版)》吴大正(贫僧其实是拿这本书当参考书来用了,看上面那一本书看不懂的时候就会看下面这一本,因为上面那一本总结的挺好,但是不适合初学者。贫僧觉得想要找到比较详细的解析的话还是看吴大正这本比较好)
    齐开悦博士的视频(超有用。。。然而并不能代替刷题,如果是要考试的话该刷的还要刷,如果只是自学的话还是挺推荐的)
    §4 Z 变换与拉氏变换的关系

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  • 信号与系统公式笔记(7)

    千次阅读 2018-05-08 10:29:05
    主要关于第四章 连续时间系统频域分析(继续讲傅里叶变换的应用) 学习建议:教材看1~2遍,例题做1遍,注意...3.线性系统信号失真 4.理想低通滤波器 5.调制解调 在时域,系统特性由h(t)h(t)h(t)描述,h(...

    主要关于第四章 连续时间系统频域分析(继续讲傅里叶变换的应用)
    学习建议:教材看1~2遍,例题做1遍,注意积累
    重点内容:
    1. 傅里叶变换形式的系统函数
    2. 调制和解调


    主要内容:
    1.傅里叶变换模与相位
    2.LTI系统的幅频特性与相频特性,系统的失真
    3.线性系统的信号失真
    4.理想低通滤波器
    5.调制与解调


    在时域,系统特性由 h(t) h ( t ) 描述, h(t) h ( t ) 就是系统的冲激响应;
    在频域,系统特性由 H(jω H ( j ω 描述( H(jω H ( j ω 就是 h(t) h ( t ) 的傅里叶变换结果)
    这里写图片描述


    傅里叶变换的模和相位表示
    无论CTFT还是DTFT,一般情况下都表现为一个复函数。

    X(jω)=|X(jω)|ejX(jω) X ( j ω ) = | X ( j ω ) | e j ∠ X ( j ω )

    (就是模和相位的形式)
    这表明一个信号携带的所有信息分别包含在其频谱的模和相位中。

    这里写图片描述


    LTI系统频率响应的模和相位表示

    LTI系统对输入信号所起到的作用包括两个方面:
    1.改变输入信号各频率分量的幅度
    2.改变输入信号各频率分量的相对相位

    Y(jω)=X(jω)H(jω)|Y(jω)|=|X(jω)||H(jω)|Y(jω)=H(jω)+X(jω) Y ( j ω ) = X ( j ω ) H ( j ω ) | Y ( j ω ) | = | X ( j ω ) | | H ( j ω ) | ∠ Y ( j ω ) = ∠ H ( j ω ) + ∠ X ( j ω )

    记得在频域相乘就是在时域卷积的说。

    这里写图片描述
    上面这个可以结合模电知识理解。
    这里写图片描述


    傅里叶变换形式的系统函数
    这里写图片描述
    H(jω)=R(jω)E(jω) H ( j ω ) = R ( j ω ) E ( j ω ) 就是系统频响(这是系统函数里面的一种特殊情况,更深入的会在第五章学到)。重要的是PPT里面下半部分出现的公式,这个经常用来求特定输入下LTI系统的输出,就是频域的乘积相当于时域的卷积。

    这里写图片描述
    上面只是定义。通常就是用来画图的。
    这里写图片描述
    注意结果里面出现的 ejω0t e j ω 0 t ,这个刚好是输入信号。这是个性质:当输入刚好是 e(t) e ( t ) 的时候,输出就是输入与系统频响的乘积。( e(t) e ( t ) 就是特征函数,第八章会更深入的讲)。


    补充:为什么用冲激信号算出冲激响应就可以求出不同输入信号输入后对应的系统输出。
    因为冲激信号 δ(t) δ ( t ) 对应的频谱是 1 1 ,所以可以算出这个系统对不同频率的信号的响应能力。


    系统函数的物理意义

    系统可以看作是一个信号处理器
    激励:E(jω)
    响应( R(jω) R ( j ω ) )= H(jω)E(jω) H ( j ω ) ⋅ E ( j ω ) (对信号各频率分量进行加权,联想卷积)

    E(jω)=|E(jω)|ejφe(ω)H(jω)=|H(jω)|ejφh(ω)|R(jω)|=|E(jω)||H(jω)|E(ω)|H(ω)|φr(ω)=φe(ω)+φh(ω)E(ω)φ(ω) E ( j ω ) = | E ( j ω ) | ⋅ e j φ e ( ω ) H ( j ω ) = | H ( j ω ) | ⋅ e j φ h ( ω ) | R ( j ω ) | = | E ( j ω ) | ⋅ | H ( j ω ) | E ( ω ) 的 幅 度 由 | H ( ω ) | 加 权 φ r ( ω ) = φ e ( ω ) + φ h ( ω ) E ( ω ) 的 相 位 由 φ ( ω ) 修 正

    对于不同的频率 ω ω ,有不同的加权作用,这也是信号分解,求响应再叠加的过程。

    例题
    这里写图片描述
    要注意记住正弦信号对应的频谱(就是被挡住的那部分,记住就是了)。
    下面出现的频移特性是由 12πδ(ω) 1 → 2 π δ ( ω ) 和频移特性得出的(反变换)。
    注意上面里面的 ejφ(ω) e j φ ( ω ) 里面的 jφ(ω) j φ ( ω ) 是奇函数(用的是 arctan a r c t a n 计算出来的, φ(ω)=arctanω φ ( ω ) = − a r c t a n ω ),然后记得 δ(t0)x(t)=x(t0) δ ( t 0 ) ⋅ x ( t ) = x ( t 0 ) ,所以可以得到上面用黄色点亮的式子。
    最后得出
    这里写图片描述
    这个结论很重要,因为输入和输出是同频率的,只是幅度有加权和相位有平移(据说常考)。

    不懂的话看这个例题
    这里写图片描述
    上面这类问题一定要会算。

    线性系统对激励信号的响应

    这里写图片描述
    只是个例题,关键在思路里面的: R(jω) R ( j ω ) )= H(jω)E(jω) H ( j ω ) ⋅ E ( j ω )
    注意:上面的门信号其实就是平移之后的矩形脉冲信号。
    所以可以得到
    这里写图片描述
    EτSa(ωτ2) E τ S a ( ω τ 2 )
    这里写图片描述

    最后求反变换(难在这里)
    这里写图片描述
    说明
    这里写图片描述

    线性系统的信号失真

    这里写图片描述
    意思是:波形在幅度和时移上变化了不会让波形失真。这是不失真成立的条件。
    这里写图片描述
    傅里叶变换之后的频谱要符合上面这个特性(其实是直接把最上面的公式傅里叶变换了,这里频域对应着系统在时域的平移)
    上面两张图片右边的公式都是离散情况下成立的公式。
    这里写图片描述

    这里写图片描述
    注意公式里面的 ,群延时其实就是一组信号在通过系统时候产生的延时。
    这里写图片描述
    这里只需要了解(拓展内容)
    这里写图片描述
    群延时的概念,了解就可以。。。

    理想低通滤波器

    一、理想低通滤波器的频率特性
    这里写图片描述
    左边是幅频特性,右边是相频特性。右边的相频特性保证了通关过系统的信号不失真(所以过原点)。
    下面大括号里面的那些只是对上面两个图的数学描述。

    对应的冲激响应:
    这里写图片描述
    对应的波形
    这里写图片描述
    这里写图片描述
    非因果系统原因:从h(t)看, t<0 t < 0 时已有值。(只要 t<0 t < 0 有值就是非因果系统,因为输出信号在 t=0 t = 0 输入信号出现前就已经出现,所以是非因果的)


    理想低通的阶跃响应(不是重点)

    这里写图片描述
    然后对应的图形
    这里写图片描述
    这里写图片描述
    这里写图片描述
    了解一下就可以了。。。不是重点。


    理想低通对矩形脉冲的响应
    这里写图片描述


    这里写图片描述


    一种可实现的低通滤波器
    这里写图片描述
    上面的公式里面用到了分压的定理(KVL)
    这里写图片描述

    这里写图片描述
    只是个例子。。。

    调制与解调

    傅里叶变换的应用中最重要的一个(取样也很重要,都要掌握)。

    调制定义:用一个信号去控制另一个信号的某一个参量的过程。
    被控制的信号是载波
    控制信号被称为调制信号,也成为基带信号。
    这里写图片描述

    这里写图片描述

    调制

    这里写图片描述
    这里写图片描述
    调制其实就是直接把调制信号和载波信号相乘(相当于在频域上做卷积)。
    这里写图片描述
    注意余弦信号对应的频谱( π[σ(ωω0)+σ(ω+ω0)] π [ σ ( ω − ω 0 ) + σ ( ω + ω 0 ) ] )。
    这样也就实现了信号从低频到高频的搬运。
    下面这个是直接用频移性质实现的:
    这里写图片描述
    上图里面最下面的公式是数学推导。

    这里写图片描述
    (实际情况中会让 ω0>>ωM ω 0 >> ω M

    解调

    这里写图片描述
    其实关键在下面这个图:
    这里写图片描述
    因为 ω0 − ω 0 里面的和 ω0 ω 0 做卷积,所以向右移动,回到原点,右边那个差不多。
    最后的出来的信号变成中间那个图(注意幅度是 A2 A 2 ),然后这时候用低通滤波器就可以把信号给取出来。
    其实上面图里面中间的图对应的是最上面的图的公式:
    这里写图片描述

    载波相位的影响:
    这里写图片描述
    这种情况主要是对应实际应用时出现的调制和解调用的波形相位不一致的情况。。。
    这里写图片描述

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