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  • 信号与线性系统分析第习题答案,主编吴大正。
  • 本章是信号分析与系统分析的基础,详细介绍了信号与系统的概念分类方法以及常用的连续信号与离散信号,讨论了冲激函数和冲激偶函数的重要性质,介绍了线性时不变(LTI)系统的特性,简要介绍了LTI系统的描述方法和...

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    第1章 信号与系统

    1.1 复习笔记

    本章是信号分析与系统分析的基础,详细介绍了信号与系统的概念与分类方法以及常用的连续信号与离散信号,讨论了冲激函数和冲激偶函数的重要性质,介绍了线性时不变(LTI)系统的特性,简要介绍了LTI系统的描述方法和分析方法。

    【学习重点】

    (1)重点掌握信号不同分类方法的标准。

    (2)掌握不同信号的时域表达式和波形。

    (3)熟练运用信号的基本运算来画波形变换。

    (4)重点掌握冲激函数与冲激偶函数的性质与运算。

    (5)重点掌握LTI系统的特性(线性、时不变性、因果性、稳定性)。

    (6)掌握根据框图来求微分方程和差分方程的方法。

    一、信号的基本概念与分类

    信号是带有信息(如语言、音乐、图像、数据等)的随时间和空间变化的物理量或物理现象,其图像为信号的波形。在数学上信号表示为一个时间的函数x(t),故信号与函数一般相互通用。

    根据信号的不同特性,可对信号进行不同的分类:确定信号与随机信号;周期信号与非周期信号;连续时间信号与离散时间信号;实信号与复信号;能量信号与功率信号等,各自的特点见表1-1-1。

    表1-1-1 信号的分类及特点

    在这里插入图片描述

    【注意】

    ①模拟信号抽样后变成在时间上离散的信号,但仍是模拟信号,该抽样信号必须经过量化才成为数字信号。

    在这里插入图片描述

    ⑤周期信号判断的方法:

    若信号f1(t)和f2(t)均为周期信号,周期分别为T1和T2,则信号f(t)=f1(t)+f2(t)为周期信号的前提条件是T1/T2=k/m的值为有理数(k,m为互素正整数),其周期满足T=kT2=mT1,离散系统也成立。

    对于正余弦信号,连续时间信号f(t)=cos(ω0t)的周期为2的周ω0;离散时间信号f(k)=cos(ω0k)为周期信号有前提条件2为周ω0必须为有理数。

    二、信号的基本运算

    信号的基本运算主要有加减法、乘法、反转、平移、尺度变换,其时域表达式与各运算的特点见表1-1-2。

    表1-1-2 信号的基本运算及其特点
    在这里插入图片描述

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  • 信号与线性系统分析》学习心得

    千次阅读 2020-07-03 08:26:34
    信号与线性系统分析》学习心得 通过本学期上网课的学习,大致对信号有了一定的了解认知,下面对该课程的理解发表粗浅认知,说起信号,大家都不陌生,比如老师写的幻灯片,朋友的一个眼色,经常使用的 WiFi 信号.....

                                                            《信号与线性系统分析》学习心得

    通过本学期上网课的学习,大致对信号有了一定的了解认知,下面对该课程的理解发表粗浅认知,说起信号,大家都不陌生,比如老师写的幻灯片,朋友的一个眼色,经常使用的 WiFi 信号......总之,信号就是信息的载体,它包含着信息!从数学的角度,信号可以说是一个时间函数/序列;从电路角度来说,信号就是各种激励与响应与系统的作用;从模电数电的角度来看,信号有连续时间信号与离散时间信号,也就是模拟信号与数字信号的体现吧。

      先从数学角度来讲,信号以一个时间序列/时间函数来表示;在整本书中充满了各种各样的数学函数,以冲击函数阶跃函数为代表,同时还利用数学知识对一些重要公式进行推导证明,例如利用麦克劳林展开式得出欧拉公式,接着欧拉公式很巧妙地把正余弦函数转变成了指数函数,这样不仅把实数与虚数结合到了一起,还为时域函数与频域函数的分析以及微积分的运算奠定了基础;整本书以计算推导为脉络,求各种函数的微分积分与变换(尺度、时移、频移),个人认为其中最难的就是卷积定理与傅里叶变化,这两点涉及到的公式计算都不容小觑!最后的拉普拉斯变换与反变换以及后续分析就是数学与电路的结合体了,不过也相对好理解与掌握。

    谈到电路,有一个相似的概念被抛出——系统,这也是信号的中间量,系统有一多半是在研究激励函数,传输系统的特性函数和响应函数三者之间的关系。开始先从时域方面,分离出了线性与非线性、时变与时不变、因果与非因果系统等,在本书主要以LTI系统为研究对象;在此系统的基础上,利用微分方程对系统的响应做了全面的分析,有全响应、零状态响应、零输入响应、冲激响应与阶跃响应以及固有/强迫和暂态/稳态响应;其中最重要的方法是系数匹配法,可以准确的求出系统的初始状态与初始值。电路中为了准确计算电容电感的初始状态,引出了拉普拉斯的电路分析,而信号中由傅里叶变换到拉普拉斯变换,将信号的频域分析拓展到复频域的分析,同样增加了对系统初始状态的准确计算,同时将微分方程的相关计算引入到了对系统复频域分析的领域,二者的结合完美的搭建起了系统函数。

    再来看看离散信号与连续信号,回顾所学,基本上都是在讲连续信号较多,用周期信号和非周期信号来分析,引出功率信号与能量信号以及帕斯瓦尔定理、吉布斯现象等,同时在傅里叶变换中也有区分;对于离散信号以及离散系统的学习我们较少涉及,不过在生活中我们遇到的离散信号也挺多的。

    对于信号与线性系统这门课程,我发现它不仅和电气的许多专业基础课有很强的的相关性,也了解到其他的专业或多或少的接触到信号的相关知识。对于这门课的学习,感触最深的就是对公式的理解,做到真正明白推倒的由来,而不是死记硬背,特别是卷积积分这一知识点,不然很容易在公式变换中出错。

    以上内容是我在粗浅学习后的个人感想,仅供参考阅读,如有错误或不同观点,欢迎下方留言!

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  • 1.连续信号与离散信号 2.周期信号和非周期信号 3.实信号和复信号 4.能量信号和功率信号 1.3 信号的基本运算 1.加法和乘法 2.反转和平移 3.尺度变换(横坐标展缩) 1.4 阶跃函数和冲激函数 1.阶跃函数和冲激...

     

     

    目录

    1.1  绪言

    1.2  信号

    1.连续信号与离散信号

    2.周期信号和非周期信号

    3.实信号和复信号

    4.能量信号和功率信号

    1.3  信号的基本运算

    1.加法和乘法

    2.反转和平移

    3.尺度变换(横坐标展缩)

    1.4  阶跃函数和冲激函数

    1.阶跃函数和冲激函数

    2.冲激函数的广义函数定义

    3.冲激函数的导数和积分

    4.冲击函数的性质

    1.5  系统的描述

    1. 系统的数学模型

    2.系统的框图表示

    1.6  系统的特性和分析方法

    1.线性

    2.时不变性

    3.因果性

    4.稳定性

    5.LTI系统分析方法概述

     


    1.1  绪言

    (前前一段时间准备蓝桥杯,前一段时间在准备十佳标兵,所以对于学习上的事情感觉不够多,现在要腾出很多时间来开始写写信号,写写数理方程,蓝桥的很多代码也忘了,所以有空也会写写蓝桥,要是后续课程有需要,也写一写后边的课程,一定要坚持下来,加油!)

    信号与系统首先要知道什么是信号什么是系统???

    信号:随时间,空间变化的物理量或者物理现象。

    系统:指的是若干相互关联,互相作用的事实按一定规律组合而成的具有特定功能的整体。

    信号与系统的关系:

     

     信号的决定因素——信息

    所以:信号是信息的载体,信息决定信号。

    信号主要是:电、光、声、磁、机械、热等

    信息主要是:语言、文字、图像等

    信号和信息的关系:

     

     

     

    1.2  信号

    确定信号:如果一个信号可以用一个确定的时间函数(或序列)表示,就称其为确定信号(或规则信号)。

    随机信号:幅度未可预知但又服从一定统计特性的信号,又称不确定信号。

    (因为确定信号是基础,所以接下来讨论的都是确定信号)。

    1.连续信号与离散信号

    区分:根据定义域的特点可将信号分为连续信号和离散信号。

    连续信号:在连续时间范围内(-∞<t<+∞)有定义的信号称为连续时间信号,简称连续信号。

    如:阶跃函数(取1的时候不包括0)

     

    离散信号:“离散”是指信号的定义域——时间(或其他量)是离散的,它之取某些规定的值。(可闭合表示,也可以列举表示)

    如单位阶跃序列:

    单位阶跃序列定义为

    ε(k)=0,k<0

    ε(k)=1,k=0

    ε(k)=1,k>0

    它类似于连续时间信号中的单位阶跃信号ε(t

    (但应注意ε(t)在t=0处发生跃变,所以在t=0此点常常不予定义或定义为t=0.5),

    而单位阶跃序列在ε(k)在t=0处为1。

     

    2.周期信号和非周期信号

    周期函数:定义在(-∞,+∞)区间,每隔一定的时间T(或整数N),按相同规律重复变化的信号。

    连续周期信号可表示为

                            f(t) = f(t + mT),  m = 0, \pm1,\pm2,…… (周期T为最小正周期)

    离散周期信号可表示为

                          f(t) = f(k + mN), m = 0, \pm1,\pm2,……

    对于一个三角函数(\sin\betak + \theta))

                         当    \frac{2\pi }{\beta }   =  N(正整数), N为其周期;

                        当   \frac{2\pi }{\beta }  =  M / N (有理数), M为其周期;

                        当 \frac{2\pi }{\beta }  =  无理数,则该函数为非周期;

    3.实信号和复信号

    实信号:物理可实现的信号常常是时间t(或k)的实函数(或序列),其在各时刻的函数(或序列)值为实数,如单边指数信号,正弦信号(正弦,余弦统称为正弦信号)等,称为实函数。

    复信号:函数(或序列)值为复数的信号成为复信号,做常用的是复指数信号。(一个复指数信号可以分解为实、虚两部分)

    例如:

    其中

      

    借助欧拉公式展开,可得                                

                  (欧拉公式为: formula

    此结果表明,一个复指数信号可分为实、虚两部分。其中,实部包含余弦信号,虚部则为正弦信号。

    4.能量信号和功率信号

    连续信号f(t)

    信号能量定义为在区间(-∞,+∞)中信号f(t)的能量,用字母E表示,即

                               {\color{Red} }{\color{Red} E\equiv \lim_{a \to\infty} \int_{-a}^{ a} |f(t)|^2dt}

    信号功率定义为在区间(-∞,+∞)中信号f(t)的平均功率,用字母P表示,即

                             {\color{Red} P\equiv \lim_{a \to\infty }\frac{1}{2a}\int_{-a}^{a}|f(t)|^2dt}

    若信号f(t)的能量有界(即0<E<\infty,这时P = 0),则称其为能量有限信号(持续时间有限),简称能量信号。

    若信号f(t)的功率有界(即0<P<\infty,这时E = \infty),则称其为功率有限信号(如有始信号,周期信号,直流信号),简称功率信号。

    离散信号f(k)

    离散信号有时也需要讨论能量和功率,

    序列f(k)的能量定义为

                                         {\color{Red} }{\color{Red} E\equiv \lim_{N \to\infty} \sum_{k=-N}^{N} |f(k)|^2}

    序列f(k)的功率的定义为

                                       {\color{Red} }{\color{Red} E\equiv \lim_{N \to\infty}\frac{1}{2N+1} \sum_{k=-N}^{N} |f(k)|^2}f_{1}(\cdot )

     

    1.3  信号的基本运算

    1.加法和乘法

    连续信号f(t)

    信号f_{1}(\cdot )f_{2}(\cdot )之和(瞬时和)是指同一瞬时两信号之值对应相加所构成的“和信号”,

                          即     {\color{Red} f(\cdot ) =f_{1}(\cdot )+f_{2}(\cdot )}          (例如调音台,将音乐与语音混合在一起)

    信号f_{1}(\cdot )f_{2}(\cdot )之积是指同一瞬时两信号之值对应相乘所构成的“积信号”,

                          即        {\color{Red} f(\cdot ) =f_{1}(\cdot )f_{2}(\cdot )}           (例如收音机的调幅信号,是将音频信号加载到被称为载波的正弦信号上)

    离散信号f(k)

    离散序列相加(相乘)可采用对应样点的值分别相加(或相乘)的方法来计算。

    2.反转和平移

    反转:将信号f(t)[或f(k)]中的自变量t(或k)转换为-t(或k)。——几何含义为将信号f(\cdot )以纵坐标为轴反转(或称反折)

    平移:    

              连续信号f(t)

                 对于连续信号f(t),若常数  t_{0} >0, 延时信号f(t-{t_{0}})  是将原信号沿t轴方向平移 t_{0}时间       

                                                                   延时信号f(t+{t_{0}})  是将原信号沿t轴方向平移 t_{0}时间

            离散信号f(k)             

                 对于离散信号f(t),若常数  k_{0} >0, 延时信号f(k-{k_{0}})  是将原信号沿k轴方向平移 k_{0}时间       

                                                                   延时信号f(k+{k_{0}})  是将原信号沿k轴方向平移 k_{0}时间

    平移和反转的先后顺序:要先平移后反转

    3.尺度变换(横坐标展缩)

    要想将信号横坐标的尺寸展宽或者压缩(常称为尺度变换),可将变量at(a为非零常数)代替原信号f(t)的自变量t,得到信号f(at)。

     连续信号f(t)

                   f(t) ----->f(at)

              若|a| > 1,则以原点为基准压缩   \frac{1}{|a|},

             若|a| < 1,则以原点为基准展宽   \frac{1}{|a|},         (信号在时域内压缩,在频域会展宽)

    离散信号f(k)   

               f(k) ----->f(ak) ,要求ak是整数,离散信号进行尺度变换常常会丢失原信号的部分信息,因而不能将f(ak)看作f(k)的压缩或者展宽。   

     

    总结:已知f(t),求f(at+b) :  要先平移,再反转,最后尺度变换(所有变得都是自变量

              已知f(at+b),求f(t) :  要先尺度变换,再反转,最后再平移。

    1.4  阶跃函数和冲激函数

    阶跃函数和冲激函数不同于普通的函数,称为奇异函数。

    1.阶跃函数和冲激函数

    阶跃函数

    冲激函数

                

    狄拉克(Dirac)给出了冲激函数的另一种定义

    (1)  

    (2) 

    冲激函数与阶跃函数的关系

    {\color{Red} \delta (t)=\frac{\mathrm{d}\varepsilon (t) }{\mathrm{d} t}}

    {\color{Red} \varepsilon (t)= \int_{-\infty }^{t}\delta (x)dx}

    2.冲激函数的广义函数定义

    粗浅的说,广义函数是这样定义的,选择一类性能良好的函数\varphi (t),称为检验函数(它相当于定义域),一个广义函数g(t)是对检验函数空间中每个函数\varphi (t)赋予一个数值N的映射,该数与广义函数g(t)和检验函数有\varphi (t)有关,记作 N\left [ g(t),\varphi (t) \right ]

    通常广义函数g(t)可写为

                                  \int_{-\infty }^{\infty }g(t)\varphi (t)dt = N\left [ g(t),\varphi (t) \right ]

    式中的检验函数\varphi (t)是连续的,具有任意阶导数,且本身及其各阶导数在无限远处急速下降的普通函数。(本身即无穷阶导数为零)

     

                         \int_{-\infty }^{\infty }f(t)\varphi (t)dt = N\left [ f(t),\varphi (t) \right ] = \int_{-\infty }^{\infty }g(t)\varphi (t)dt = N\left [ g(t),\varphi (t) \right ] 

    就认为两个广义函数相等,并记作f(t) = g(t)

    按广义函数理论,冲激函数\delta (t)由下式

                                 {\color{Red} \int_{-\infty }^{\infty }\delta (t)\varphi (t)dt = \varphi (0)}

    单位阶跃函数\varepsilon (t)的定义为

                                 \int_{-\infty }^{\infty }\varepsilon (t)\varphi (t)dt=\int_{0}^{\infty }\varphi (t)dt

     

    3.冲激函数的导数和积分

    冲激函数\delta (t)的一阶导数\delta {}'(t)的定义为

                                           {\color{Red} \int_{-\infty }^{\infty }\delta {}'(t)\varphi (t)dt = -{\varphi }'(0)}

    \delta ^n(t) = \frac{d^n\delta (t)}{dt^n}  :   {\color{Red} \int_{-\infty }^{\infty }\delta ^n(t)\varphi (t)dt = (-1)^n\varphi ^n(0)}

    \delta (t)\delta {}'(t)  的积分为:

                               \varepsilon (t) = \int_{-\infty }^{t }\delta (x)dx

                               \delta (t) = \int_{-\infty }^{t }\delta {}'(x)dx

    4.冲击函数的性质

       一、以普通函数的乘积

              1.    {\color{Red}f(t)\delta (t)=f(0)\delta (t) }

              2.   {\color{Red}\int_{-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t)dt=f(0)}

              3.  {\color{Red} f(t)\delta {}'(t)=f(0)\delta{}' (t)-f{}'(0)\delta (t)}

              4.   {\color{Red} {\int_{-\infty }^{\infty }}f(t)\delta {}'(t)=-f{}'(0)}

    二、位移

              1.{\color{Red} \int_{-\infty }^{\infty }\delta (t-t_{1})\varphi (t)dt = \varphi (t_{1})}

              2.{\color{Red} \int_{-\infty }^{\infty }\delta {}'(t-t_{1})\varphi (t)dt=-\varphi {}'(t_{1})} 

              3.{\color{Red}f(t)\delta (t-t_{1})=f(t_{1})\delta (t-t_{1}) }

              4.{\color{Red} \int_{-\infty }^{\infty }\delta (t-t_{1})f (t)dt = f (t_{1})}

              5.{\color{Red} f(t)\delta {}'(t-t_{1})=f(t_{1})\delta {}'(t-t_{1})-f{}'(t_{1})\delta (t-t_{1})}

              6.{\color{Red} \int_{-\infty }^{\infty }f(t)\delta {}'(t-t_{1})dt=-f{}'(t_{1})}

      间断点:当信号有第一类间断点时,其一阶导数将在间断点处出现冲激,间断点处向上突跳时出现正冲激,向下突跳时出现负冲激,其强度等于突跳的幅度。

    三、尺度变换

              

    1.5  系统的描述

    1. 系统的数学模型

    2.系统的框图表示

    1.6  系统的特性和分析方法

    1.线性

    2.时不变性

    3.因果性

    4.稳定性

    5.LTI系统分析方法概述

     

     

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  • 根据信号的不同特性,可对信号进行不同的分类:确定信号与随机信号;周期信号与非周期信号;连续时间信号与离散时间信号;实信号与信号;能量信号与功率信号等。 二、信号的基本运算 1加法和乘法...

    1.1 复习笔记

    一、信号的基本概念与分类

    信号是载有信息的随时间变化的物理量或物理现象,其图像为信号的波形。根据信号的不同特性,可对信号进行不同的分类:确定信号与随机信号;周期信号与非周期信号;连续时间信号与离散时间信号;实信号与复信号;能量信号与功率信号等。

    二、信号的基本运算

    1加法和乘法

    f1(t)±f2(t)或f1(t)×f2(t)

    两信号f1(·)和f2(·)的相加、减、乘指同一时刻两信号之值对应相加、减、乘。

    2.反转和平移

    (1)反转f(-t)

    f(-t)波形为f(t)波形以t=0为轴反转。

    在这里插入图片描述

    图1-1

    (2)平移f(t+t0)

    t0>0,f(t+t0)为f(t)波形在t轴上左移t0;

    t0<0,f(t+t0)为f(t)波形在t轴上右移t0。
    在这里插入图片描述

    图1-2

    平移的应用:在雷达系统中,雷达接收到的目标回波信号比发射信号延迟了时间t0,利用该延迟时间t0可以计算出目标与雷达之间的距离。这里雷达接收到的目标回波信号就是延时信号。

    3.尺度变换f(at)

    若a>1,则f(at)波形为f(t)的波形在时间轴上压缩为原来的;

    若0<a<1,则f(at)波形为f(t)的波形在时间轴上扩展为原来的;

    若a<0,则f(at)波形为f(t)的波形反转并压缩或展宽至。

    在这里插入图片描述
    图1-3

    若f(t)是已录制在磁带上的声音信号,则f(-t)可看做将磁带倒转播放产生的信号,而f(2t)是磁带以2倍速度加快播放的信号,f(t/2)则表示磁带放音速度降至一半的信号。

    信号f(at+b)(式中a≠0)的波形可以通过对信号f(t)的平移,反转(若a<0)和尺度变换获得。

    离散信号通常不作展缩运算。

    三、典型信号及其性质

    1单位阶跃信号

    图1-4

    2.单位冲激信号

    则。

    图1-5

    3.冲激函数的基本性质

    (1)偶对称性:δ(-t)=δ(t)

    (2)与普通函数的乘积:f(t)δ(t)=f(0)δ(t),f(t)δ(t-t0)=f(t0)δ(t-t0)

    (3)抽样性

    (4)尺度变换:

    (5)复合函数形式的冲激函数

    若f(t)为普通函数,ti(i=1,2,…,n)为f(t)的n个相异单实根,则

    (6)冲激偶的性质

    以下是吴大正老师的《信号与线性系统分析》 的复习笔记和课后答案分享:
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空空如也

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信号与线性系统分析第五版