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  • 自相关函数&互相关函数

    千次阅读 2019-08-15 23:22:45
    这个是信号分析里边的概念。...实函数和,如为能量有限信号,它们之间互相关函数定义为:(注:下角数字,前面的领先) 互相关函数是两信号时间差的函数。 一般 如果和是同一信号,可记为,这...

    这个是信号分析里边的概念。为比较某信号与另一延时\tau的信号之间的相似度,需要引入相关函数的概念。相关函数是鉴别信号的有力工具,被广泛应用于雷达回波的识别,通信同步信号的识别等领域。相关函数 也称为相关积分,它与卷积的运算方法类似。

    实函数f_{1}(t)f_{2}(t),如为能量有限信号,它们之间互相关函数定义为:(注:下角数字,前面的领先\tau

    R_{12}(\tau )=\int_{-\infty }^{\infty }f_{1}(t)f_{2}(t-\tau )dt=\int_{-\infty }^{\infty }f_{1}(t+\tau )f_{2}(t)dt

    R_{21}(\tau )=\int_{-\infty }^{\infty }f_{1}(t-\tau )f_{2}(t )dt=\int_{-\infty }^{\infty }f_{1}(t )f_{2}(t+\tau)dt

    互相关函数是两信号时间差\tau的函数。

    一般R_{12}(\tau )\neq R_{21}(\tau )

    \left\{\begin{matrix} R_{12}(\tau ) =R_{21}(-\tau )& & \\ R_{21}(\tau )=R_{12}(-\tau ) & & \end{matrix}\right.

    如果f_{1}(t)f_{2}(t)是同一信号,可记为f(t),这时,无需区分R_{12}R_{21},用R(\tau )表示,称为自相关函数。即

    R(\tau )=\int_{-\infty}^{\infty }f(t)f(t-\tau )dt=\int_{-\infty}^{\infty }f(t+\tau )f(t)dt

    容易看出,对于自相关函数:R(\tau )=R(-\tau )

    可见,实函数f(t)的自相关函数就是时移\tau的偶函数。

     

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  • 互相关函数、互功率谱和卷积...两个信号互相关函数表示为Ry1y2(τ)R_{y_1y_2}(\tau)Ry1​y2​​(τ); 两个信号的傅里叶变换分别表示为Y1(w)Y_1(w)Y1​(w)和Y2(w)Y_2(w)Y2​(w); 两个信号的互功率谱表示为Py1y2(w)P_

    互相关函数的信号傅里叶变换形式表达以及推导

    1.我们要实现怎样的目标?

    如果有两个复信号,
    连续信号表示为 y 1 ( t ) y_1(t) y1(t) y 2 ( t ) y_2(t) y2(t);
    离散信号表示为 y 1 ( n ) y_1(n) y1(n) y 2 ( n ) y_2(n) y2(n)
    两个信号的互相关函数表示为 R y 1 y 2 ( τ ) R_{y_1y_2}(\tau) Ry1y2(τ)
    两个信号的傅里叶变换分别表示为 Y 1 ( w ) Y_1(w) Y1(w) Y 2 ( w ) Y_2(w) Y2(w)
    两个信号的互功率谱表示为 P y 1 y 2 ( w ) P_{y_1y_2}(w) Py1y2(w)
    两个信号的卷积表示为 y 1 ∗ y 2 y_1*y_2 y1y2
    两个信号的共轭分别表示为 y 1 ∗ y_1^* y1 y 2 ∗ y_2^* y2

    使用两个信号的傅里叶变换 Y 1 ( w ) Y_1(w) Y1(w) Y 2 ( w ) Y_2(w) Y2(w)来表示两个信号之间的互相关函数 R x y ( τ ) R_{xy}(\tau) Rxy(τ),则可表示为:

    对于连续信号:

    R y 1 y 2 ( τ ) R_{y_1y_2}(\tau) Ry1y2(τ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ Y 1 ∗ ( w ) Y 2 ( w ) e j w τ d w \frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{Y_1^*(w)Y_2(w)e^{jw\tau}dw} 2π1+Y1(w)Y2(w)ejwτdw

    对于离散信号:

    R y 1 y 2 ( τ ) R_{y_1y_2}(\tau) Ry1y2(τ) = 1 2 π ∫ 0 2 π Y 1 ∗ ( w ) Y 2 ( w ) e j w τ d w \frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{2\pi}_{0}{Y_1^*(w)Y_2(w)e^{jw\tau}dw} 2π102πY1(w)Y2(w)ejwτdw

    我们的目标是:
    (1)完成公式 ( 1 − 1 ) (1-1) (11)推导
    (3)在推导过程中,了解互相关函数,互功率谱、卷积和共轭之间的关系

    2.一些基本知识的铺垫

    在进行公式推导前,我们需要进行一些基础知识的铺垫。

    2.1 什么是互相关函数?什么是实信号的互相关函数?

    在2.1小节,我们都是讨论实信号,在2.2小节,我们再讨论复信号。

    实信号 y 1 ( n ) y_1(n) y1(n) y 2 ( n ) y_2(n) y2(n)的互相关函数,简单的来说,就是把其中一个信号(假如是 y 2 ( n ) y_2(n) y2(n))平移一段距离 τ \tau τ,看它和另外一个信号( y 1 ( n ) y_1(n) y1(n))的相似程度。

    互相关函数就是描述这个相似程度的高低,互相关函数是平移距离的函数,也就是说互相关函数随着平移距离 τ \tau τ的变化而变化。

    那么互相关函数采用什么形式来描述这种相似程度呢?

    对于连续型信号,我们使用平方积分来描述这种相似程度:
    R y 1 y 2 ( τ ) R_{y_1y_2}(\tau) Ry1y2(τ)= ∫ − ∞ + ∞ y 1 ( t ) y 2 ( t + τ ) d t \displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{y_1(t)y_2(t+\tau)dt} +y1(t)y2(t+τ)dt
    如果 y 2 ( t ) y_2(t) y2(t)平移一段距离 τ \tau τ后,和 y 1 ( t ) y_1(t) y1(t)越相似,那么它们的乘积再积分一定越大。

    对于离散信号,我们使用平方求和来描述这种相似程度:
    R y 1 y 2 ( τ ) R_{y_1y_2}(\tau) Ry1y2(τ)= ∑ n = − ∞ + ∞ y 1 ( n ) y 2 ( n + τ ) \displaystyle \sum^{ +\infty}_{n =-\infty}{y_1(n)y_2(n+\tau)} n=+y1(n)y2(n+τ)
    如果 y 2 ( t ) y_2(t) y2(t)平移一段距离 τ \tau τ后,和 y 1 ( t ) y_1(t) y1(t)越相似,那么它们的乘积再求和一定越大。

    以上的互相关函数的描述形式是基于信号平方可积或平方可和(即有限能量)的前提下才成立。

    假如 y 1 ( t ) y_1(t) y1(t) y 2 ( t ) y_2(t) y2(t)(或者 y 1 ( n ) y_1(n) y1(n) y 2 ( n ) y_2(n) y2(n))是“永远持续”的信号,那么无论是乘积积分,还是乘积求和,互相关函数都无法表示。那么对于永远持续”的信号如何描述它们之间的相似性呢?
    永远持续”的信号被处理成随机过程,对于宽平稳随机过程,自相关函数定义为:

    R y 1 y 2 ( τ ) R_{y_1y_2}(\tau) Ry1y2(τ)= E [ y 1 ( t ) y 2 ( t + τ ) ] E[y_1(t)y_2(t+\tau)] E[y1(t)y2(t+τ)]

    R y 1 y 2 ( τ ) R_{y_1y_2}(\tau) Ry1y2(τ)= E [ y 1 ( n ) y 2 ( n + τ ) ] E[y_1(n)y_2(n+\tau)] E[y1(n)y2(n+τ)]

    在实际的操作中,上述通过期望求互相关函数往往被处理成:
    R y 1 y 2 ( τ ) R_{y_1y_2}(\tau) Ry1y2(τ)= E [ y 1 ( t ) y 2 ( t + τ ) ] E[y_1(t)y_2(t+\tau)] E[y1(t)y2(t+τ)]
    = lim ⁡ T → − ∞ 1 T \displaystyle \lim_{T\to -\infty}{\frac{1}{T}} TlimT1 ∫ 0 T \displaystyle \int^{T}_{0} 0T y 1 ( t ) y 2 ( t + τ ) d t {y_1(t)y_2(t+\tau)dt} y1(t)y2(t+τ)dt

    R y 1 y 2 ( τ ) R_{y_1y_2}(\tau) Ry1y2(τ)= E [ y 1 ( n ) y 2 ( n + τ ) ] E[y_1(n)y_2(n+\tau)] E[y1(n)y2(n+τ)]

    = lim ⁡ N → − ∞ 1 N \displaystyle \lim_{N\to -\infty}{\frac{1}{N}} NlimN1 ∑ n = 0 N − 1 y 1 ( n ) y 2 ( n + τ ) \displaystyle \sum^{ N-1}_{n=0}{y_1(n)y_2(n+\tau)} n=0N1y1(n)y2(n+τ)

    2.2什么是复信号的互相关函数?

    为什么复信号要使用共轭相乘?

    y 1 ( t ) y_1(t) y1(t) y 2 ( t ) y_2(t) y2(t)(或者 y 1 ( n ) y_1(n) y1(n) y 2 ( n ) y_2(n) y2(n))是复信号时,互相关函数描述复信号的相似程度,这时若直接采用两个复信号相乘形式,起不到相似度叠加的效果,所以一般会取其中任一信号的共轭形式,然后在与另一信号相乘,所以互相关函数表示为:

    (1)基于信号平方可积或平方可和(即有限能量)的互相关函数表达形式

    R y 1 y 2 ( τ ) R_{y_1y_2}(\tau) Ry1y2(τ)= ∫ − ∞ + ∞ y 1 ∗ ( t ) y 2 ( t + τ ) d t \displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{y_1^*(t)y_2(t+\tau)dt} +y1(t)y2(t+τ)dt

    R y 1 y 2 ( τ ) R_{y_1y_2}(\tau) Ry1y2(τ)= ∑ n = − ∞ + ∞ y 1 ∗ ( n ) y 2 ( n + τ ) \displaystyle \sum^{ +\infty}_{n =-\infty}{y_1^*(n)y_2(n+\tau)} n=+y1(n)y2(n+τ)

    (2)当复信号为“永久持续”的信号时

    R y 1 y 2 ( τ ) R_{y_1y_2}(\tau) Ry1y2(τ)= E [ y 1 ∗ ( t ) y 2 ( t + τ ) ] E[y_1^*(t)y_2(t+\tau)] E[y1(t)y2(t+τ)]

    R y 1 y 2 ( τ ) R_{y_1y_2}(\tau) Ry1y2(τ)= E [ y 1 ∗ ( n ) y 2 ( n + τ ) ] E[y_1^*(n)y_2(n+\tau)] E[y1(n)y2(n+τ)]

    2.3什么是信号的互功率谱?互相关函数和互功率谱之间的关系?

    互功率谱就是对互相关函数的傅里叶变换。
    对于连续信号:
    P y 1 y 2 ( w ) P_{y_1y_2}(w) Py1y2(w)= ∫ − ∞ + ∞ R y 1 y 2 ( τ ) e − j w τ d τ \displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{R_{y_1y_2}(\tau)e^{-jw\tau}d\tau} +Ry1y2(τ)ejwτdτ
    所以互相关函数和互功率谱实际是一对傅里叶变换对,由此
    R y 1 y 2 ( τ ) R_{y_1y_2}(\tau) Ry1y2(τ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ P y 1 y 2 ( w ) e j w τ d w \frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{P_{y_1y_2}(w)e^{jw\tau}dw} 2π1+Py1y2(w)ejwτdw

    对于离散信号:
    P y 1 y 2 ( w ) P_{y_1y_2}(w) Py1y2(w)= ∑ τ = − ∞ + ∞ R y 1 y 2 ( τ ) e − j w τ \displaystyle \sum^{ +\infty}_{\tau =-\infty}{R_{y_1y_2}(\tau)e^{-jw\tau}} τ=+Ry1y2(τ)ejwτ

    R y 1 y 2 ( τ ) R_{y_1y_2}(\tau) Ry1y2(τ) = 1 2 π ∫ 0 2 π P y 1 y 2 ( w ) e j w τ d w \frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{2\pi}_{0}{P_{y_1y_2}(w)e^{jw\tau}dw} 2π102πPy1y2(w)ejwτdw

    2.4卷积和两个信号卷积的傅里叶变换?

    两个信号的卷积的傅里叶变换等于它们各自傅里叶变换的乘积。

    Y 1 ( w ) Y_1(w) Y1(w)= ∫ − ∞ + ∞ y 1 ( τ ) e − j w τ d τ \displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{y_1(\tau)e^{-jw\tau}d\tau} +y1(τ)ejwτdτ
    Y 2 ( w ) Y_2(w) Y2(w)= ∫ − ∞ + ∞ y 2 ( τ ) e − j w τ d τ \displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{y_2(\tau)e^{-jw\tau}d\tau} +y2(τ)ejwτdτ

    Y 1 ( w ) Y_1(w) Y1(w) Y 2 ( w ) Y_2(w) Y2(w)= ∫ − ∞ + ∞ y 1 ( τ ) ∗ y 2 ( τ ) e − j w τ d τ \displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{y_1(\tau)*y_2(\tau)e^{-jw\tau}d\tau} +y1(τ)y2(τ)ejwτdτ

    3.使用两个信号的傅里叶变换表示两个信号之间的互相关函数

    3.1若 y 1 ( t ) y_1(t) y1(t) y 2 ( t ) y_2(t) y2(t)为连续信号,且满足信号平方可积

    则由2.1节知:

    两个复信号之间的互相关函数为:

    R y 1 y 2 ( τ ) R_{y_1y_2}(\tau) Ry1y2(τ)= ∫ − ∞ + ∞ y 1 ∗ ( t ) y 2 ( t + τ ) d t \displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{y_1^*(t)y_2(t+\tau)dt} +y1(t)y2(t+τ)dt

    但现在我们要用两个信号的傅里叶变化来表示它们的互相关函数,那么可以如何表示呢?
    我们首先给出表达形式如下,然后进行推导。

    R y 1 y 2 ( τ ) R_{y_1y_2}(\tau) Ry1y2(τ)= 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ Y 1 ∗ ( w ) Y 2 ( w ) e j w τ d w \frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{Y_1^*(w)Y_2(w)e^{jw\tau}dw} 2π1+Y1(w)Y2(w)ejwτdw

    因为:

    R y 1 y 2 ( τ ) R_{y_1y_2}(\tau) Ry1y2(τ)= ∫ − ∞ + ∞ y 1 ∗ ( t ) y 2 ( t + τ ) d t \displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{y_1^*(t)y_2(t+\tau)dt} +y1(t)y2(t+τ)dt

    t = − t ′ t=-t^{'} t=t, t ′ = − t t^{'}=-t t=t

    R y 1 y 2 ( τ ) R_{y_1y_2}(\tau) Ry1y2(τ)= ∫ + ∞ − ∞ y 1 ∗ ( − t ′ ) y 2 ( − t ′ + τ ) d − t ′ \displaystyle \int^{-\infty}_{+\infty}{y_1^*(-t^{'})y_2(-t^{'}+\tau)d-t^{'}} +y1(t)y2(t+τ)dt
    \quad\quad\quad\quad = ∫ + ∞ − ∞ y 1 ∗ ( − t ′ ) y 2 ( − t ′ + τ ) d − t ′ \displaystyle \int^{-\infty}_{+\infty}{y_1^*(-t^{'})y_2(-t^{'}+\tau)d-t^{'}} +y1(t)y2(t+τ)dt

    \quad\quad\quad\quad = ∫ − ∞ + ∞ y 1 ∗ ( − t ′ ) y 2 ( − t ′ + τ ) d t ′ \displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{y_1^*(-t^{'})y_2(-t^{'}+\tau)dt^{'}} +y1(t)y2(t+τ)dt
    \quad\quad\quad\quad = y 1 ∗ ( − τ ) ∗ y 2 ( τ ) y_1^*(-\tau)*y_2(\tau) y1(τ)y2(τ)

    由2.3节知:

    P y 1 y 2 ( w ) P_{y_1y_2}(w) Py1y2(w)= ∫ − ∞ + ∞ R y 1 y 2 ( τ ) e − j w τ d τ \displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{R_{y_1y_2}(\tau)e^{-jw\tau}d\tau} +Ry1y2(τ)ejwτdτ
    \quad\quad\quad\quad = ∫ − ∞ + ∞ y 1 ∗ ( − τ ) ∗ y 2 ( τ ) e − j w τ d τ \displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{y_1^*(-\tau)*y_2(\tau)e^{-jw\tau}d\tau} +y1(τ)y2(τ)ejwτdτ

    由2.4节知:

    P y 1 y 2 ( w ) P_{y_1y_2}(w) Py1y2(w)= ∫ − ∞ + ∞ y 1 ∗ ( − τ ) ∗ y 2 ( τ ) e − j w τ d τ \displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{y_1^*(-\tau)*y_2(\tau)e^{-jw\tau}d\tau} +y1(τ)y2(τ)ejwτdτ
    \quad\quad\quad\quad = ∫ − ∞ + ∞ y 1 ∗ ( − τ ) e − j w τ d τ × ∫ − ∞ + ∞ y 2 ( τ ) e − j w τ d τ \displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{y_1^*(-\tau)e^{-jw\tau}d\tau}\times \displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{y_2(\tau)e^{-jw\tau}d\tau} +y1(τ)ejwτdτ×+y2(τ)ejwτdτ
    \quad\quad\quad\quad = ∫ − ∞ + ∞ y 1 ∗ ( − τ ) e − j w τ d τ × Y 2 ( w ) \displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{y_1^*(-\tau)e^{-jw\tau}d\tau}\times Y_2(w) +y1(τ)ejwτdτ×Y2(w)

    τ = − τ ′ \tau=-\tau^{'} τ=τ, τ ′ = − τ \tau^{'}=-\tau τ=τ,则

    P y 1 y 2 ( w ) P_{y_1y_2}(w) Py1y2(w)= ∫ + ∞ − ∞ y 1 ∗ ( τ ′ ) e j w τ ′ d ( − τ ′ ) × Y 2 ( w ) \displaystyle \int^{-\infty}_{+\infty}{y_1^*(\tau^{'})e^{jw\tau^{'}}d(-\tau^{'})}\times Y_2(w) +y1(τ)ejwτd(τ)×Y2(w)
    \quad\quad\quad\quad = ∫ − ∞ + ∞ y 1 ∗ ( τ ′ ) e j w τ ′ d τ ′ × Y 2 ( w ) \displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{y_1^*(\tau^{'})e^{jw\tau^{'}}d\tau^{'}}\times Y_2(w) +y1(τ)ejwτdτ×Y2(w)
    \quad\quad\quad\quad = ∫ − ∞ + ∞ y 1 ∗ ( τ ′ ) e j w τ ′ d τ ′ × Y 2 ( w ) \displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{y_1^*(\tau^{'})e^{jw\tau^{'}}d\tau^{'}}\times Y_2(w) +y1(τ)ejwτdτ×Y2(w)
    \quad\quad\quad\quad = ( ∫ − ∞ + ∞ y 1 ( τ ′ ) e − j w τ ′ d τ ′ ) ∗ × Y 2 ( w ) (\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{y_1(\tau^{'})e^{-jw\tau^{'}}d\tau^{'}})^*\times Y_2(w) (+y1(τ)ejwτdτ)×Y2(w)

    \quad\quad\quad\quad = Y 1 ∗ ( w ) Y 2 ( w ) Y_1^*(w)Y_2(w) Y1(w)Y2(w)

    由2.3知:

    R y 1 y 2 ( τ ) R_{y_1y_2}(\tau) Ry1y2(τ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ P y 1 y 2 ( w ) e j w τ d w \frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{P_{y_1y_2}(w)e^{jw\tau}dw} 2π1+Py1y2(w)ejwτdw
    \quad\quad\quad\quad = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ Y 1 ∗ ( w ) Y 2 ( w ) e j w τ d w \frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{Y_1^*(w)Y_2(w)e^{jw\tau}dw} 2π1+Y1(w)Y2(w)ejwτdw
    \quad\quad\quad\quad = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ Y 1 ∗ ( w ) Y 2 ( w ) e j w τ d w \frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{Y_1^*(w)Y_2(w)e^{jw\tau}dw} 2π1+Y1(w)Y2(w)ejwτdw

    由此我们完成了连续信号的互相关函数的推导过程。

    w = − w ′ w=-w^{'} w=w, w ′ = − w w^{'}=-w w=w,则

    R y 1 y 2 ( τ ) R_{y_1y_2}(\tau) Ry1y2(τ) = 1 2 π ∫ + ∞ − ∞ Y 1 ∗ ( − w ′ ) Y 2 ( − w ′ ) e − j w ′ τ d ( − w ′ ) \frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{-\infty}_{+\infty}{Y_1^*(-w^{'})Y_2(-w^{'})e^{-jw^{'}\tau}d(-w^{'})} 2π1+Y1(w)Y2(w)ejwτd(w)
    \quad\quad\quad\quad = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ Y 1 ∗ ( − w ′ ) Y 2 ( − w ′ ) e − j w ′ τ d ( w ′ ) \frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{Y_1^*(-w^{'})Y_2(-w^{'})e^{-jw^{'}\tau}d(w^{'})} 2π1+Y1(w)Y2(w)ejwτd(w)

    y 1 ( t ) y_1(t) y1(t) y 2 ( t ) y_2(t) y2(t)是实信号,则由实信号的共轭对称性得:

    Y 1 ∗ ( − w ′ ) Y_1^*(-w^{'}) Y1(w)= Y 1 ( w ′ ) Y_1(w^{'}) Y1(w)

    Y 2 ( − w ′ ) Y_2(-w^{'}) Y2(w)= Y 2 ∗ ( w ′ ) Y_2^*(w^{'}) Y2(w)

    所以当 y 1 ( t ) y_1(t) y1(t) y 2 ( t ) y_2(t) y2(t)是实信号时,

    R y 1 y 2 ( τ ) R_{y_1y_2}(\tau) Ry1y2(τ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ Y 1 ∗ ( − w ′ ) Y 2 ( − w ′ ) e − j w ′ τ d w ′ \frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{Y_1^*(-w^{'})Y_2(-w^{'})e^{-jw^{'}\tau}dw^{'}} 2π1+Y1(w)Y2(w)ejwτdw
    \quad\quad\quad\quad = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ Y 1 ( w ′ ) Y 2 ∗ ( w ′ ) e − j w ′ τ d w ′ \frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{Y_1(w^{'})Y_2^*(w^{'})e^{-jw^{'}\tau}dw^{'}} 2π1+Y1(w)Y2(w)ejwτdw
    \quad\quad\quad\quad = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ Y 1 ( w ) Y 2 ∗ ( w ) e − j w τ d w \frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{Y_1(w)Y_2^*(w)e^{-jw\tau}dw} 2π1+Y1(w)Y2(w)ejwτdw

    3.2 若 y 1 ( n ) y_1(n) y1(n) y 2 ( n ) y_2(n) y2(n)为离散信号,且满足信号平方可和

    则由2.1节知:

    R y 1 y 2 ( τ ) R_{y_1y_2}(\tau) Ry1y2(τ)= ∑ n = − ∞ + ∞ y 1 ( n ) y 2 ( n + τ ) \displaystyle \sum^{ +\infty}_{n =-\infty}{y_1(n)y_2(n+\tau)} n=+y1(n)y2(n+τ)

    但现在我们要用两个信号的傅里叶变化来表示它们的互相关函数,那么可以如何表示呢?
    我们首先给出表达形式如下,然后进行推导。

    R y 1 y 2 ( τ ) R_{y_1y_2}(\tau) Ry1y2(τ) = 1 2 π ∫ 0 2 π Y 1 ∗ ( w ) Y 2 ( w ) e j w τ d w \frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{2\pi}_{0}{Y_1^*(w)Y_2(w)e^{jw\tau}dw} 2π102πY1(w)Y2(w)ejwτdw

    因为:

    R y 1 y 2 ( τ ) R_{y_1y_2}(\tau) Ry1y2(τ)= ∑ n = − ∞ + ∞ y 1 ( n ) y 2 ( n + τ ) \displaystyle \sum^{ +\infty}_{n =-\infty}{y_1(n)y_2(n+\tau)} n=+y1(n)y2(n+τ)

    n = − n ′ n=-n^{'} n=n, n ′ = − n n^{'}=-n n=n,则:

    R y 1 y 2 ( τ ) R_{y_1y_2}(\tau) Ry1y2(τ)= ∑ n ′ = − ∞ + ∞ y 1 ( − n ′ ) y 2 ( − n ′ + τ ) \displaystyle \sum^{ +\infty}_{n^{'} =-\infty}{y_1(-n^{'})y_2(-n^{'}+\tau)} n=+y1(n)y2(n+τ)

    \quad\quad\quad\quad = y 1 ∗ ( − τ ) ∗ y 2 ( τ ) y_1^*(-\tau)*y_2(\tau) y1(τ)y2(τ)

    由2.3节知:

    P y 1 y 2 ( w ) P_{y_1y_2}(w) Py1y2(w)= ∑ τ = − ∞ + ∞ R y 1 y 2 ( τ ) e − j w τ \displaystyle \sum^{ +\infty}_{\tau =-\infty}{R_{y_1y_2}(\tau)e^{-jw\tau}} τ=+Ry1y2(τ)ejwτ

    \quad\quad\quad\quad = ∑ τ = − ∞ + ∞ y 1 ∗ ( − τ ) e − j w τ × ∑ τ = − ∞ + ∞ y 2 ( τ ) e − j w τ \displaystyle \sum^{ +\infty}_{\tau =-\infty}{y_1^*(-\tau)e^{-jw\tau}} \times \displaystyle \sum^{ +\infty}_{\tau =-\infty}{y_2(\tau)e^{-jw\tau}} τ=+y1(τ)ejwτ×τ=+y2(τ)ejwτ

    \quad\quad\quad\quad = Y 1 ∗ ( w ) Y 2 ( w ) Y_1^*(w)Y_2(w) Y1(w)Y2(w)

    由2.3节知:

    R y 1 y 2 ( τ ) R_{y_1y_2}(\tau) Ry1y2(τ) = 1 2 π ∫ 0 2 π P y 1 y 2 ( w ) e j w τ d w \frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{2\pi}_{0}{P_{y_1y_2}(w)e^{jw\tau}dw} 2π102πPy1y2(w)ejwτdw

    \quad\quad\quad\quad = 1 2 π ∫ 0 2 π Y 1 ∗ ( w ) Y 2 ( w ) e j w τ d w \frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{2\pi}_{0}{Y_1^*(w)Y_2(w)e^{jw\tau}dw} 2π102πY1(w)Y2(w)ejwτdw

    y 1 ( n ) y_1(n) y1(n) y 2 ( n ) y_2(n) y2(n)为实信号,同理可得:

    R y 1 y 2 ( τ ) R_{y_1y_2}(\tau) Ry1y2(τ) = 1 2 π ∫ 0 2 π Y 1 ∗ ( w ) Y 2 ( w ) e j w τ d w \frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{2\pi}_{0}{Y_1^*(w)Y_2(w)e^{jw\tau}dw} 2π102πY1(w)Y2(w)ejwτdw

    \quad\quad\quad\quad = 1 2 π ∫ 0 2 π Y 1 ( w ) Y 2 ∗ ( w ) e − j w τ d w \frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{2\pi}_{0}{Y_1(w)Y_2^*(w)e^{-jw\tau}dw} 2π102πY1(w)Y2(w)ejwτdw

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  • 自相关函数与互相关函数

    万次阅读 多人点赞 2018-11-05 11:08:49
    相关函数是描述信号X(s),Y(t)(这两个信号可以是随机的,也可以是确定的)在任意两个不同时刻s、t的取值之间的相关程度。两个信号之间的相似性大小用相关系数来衡量。定义: 称为变量 X 和 Y 的相关系数。若...

    转自:https://blog.csdn.net/denghecsdn/article/details/78848046

    1、概念

          相关函数是描述信号X(s),Y(t)(这两个信号可以是随机的,也可以是确定的)在任意两个不同时刻s、t的取值之间的相关程度。两个信号之间的相似性大小用相关系数来衡量。定义:

          

    称为变量 X 和 Y 的相关系数。若相关系数 = 0,则称 X与Y 不相关。相关系数越大,相关性越大,但肯定小于或者等于1.。相关函数分为自相关和互相关。下面一一介绍

    (1)、自相关函数

    自相关函数是描述随机信号 x(t) 在任意不同时刻 t1,t2的取值之间的相关程度。自相关函数,是对信号自身的互相关,表示同一序列不同时刻的相关程度。是用寻找重复模式的数字工具,就如一个存在被覆盖噪声的周期信号,或识别丢失的基频。它经常被用于信号处理中的分析函数或序列,如时域信号 。定义式:

          

    主要性质如下:

    (1)自相关函数为偶函数,其图形对称于纵轴。
    (2)当s=t 时,自相关函数具有最大值,且等于信号的均方值,即
    (3)周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。

    (2)、互相关函数

          自相关是互相关的一种特殊情况.。互相关函数是描述随机信号 x(t)、y(t) 在任意两个不同时刻s,t的取值之间的相关程度,其定义为:

          

    对于连续函数,有定义:

          

    对于离散的,有定义:

          

    从定义式中可以看到,互相关函数和卷积运算类似,也是两个序列滑动相乘,但是区别在于:互相关的两个序列都不翻转,直接滑动相乘,求和;卷积的其中一个序列需要先翻转,然后滑动相乘,求和。所以,f(t)和g(t) 做相关等于 f*(-t) 与 g(t) 做卷积。

           在图象处理中,自相关和互相关函数的定义如下:设原函数是f(t),则自相关函数定义为 R(u)=f(t)*f(-t),其中*表示卷积;设两个函数分别是f(t)和g(t),则互相关函数定义为R(u)=f(t)*g(-t),它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度。

    2、物理意义

          两个相关函数都是对相关性,即相似性的度量。如果进行归一化,会看的更清楚。
    自相关就是函数和函数本身的相关性,当函数中有周期性分量的时候,自相关函数的极大值能够很好的体现这种周期性。互相关就是两个函数之间的相似性,当两个函数都具有相同周期分量的时候,它的极大值同样能体现这种周期性的分量。


          相关运算从线性空间的角度看其实是内积运算,而两个向量的内积在线性空间中表示一个向量向另一个向量的投影,表示两个向量的相似程度,所以相关运算就体现了这种相似程度。
     

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  • 自相关函数,互相关函数

    万次阅读 2016-11-15 15:20:49
    1. 首先说说自相关和互相关的概念...函数是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1,t2的取值之间的相关程度,自相关函数是描述随机信号x(t)在任意两个不同时刻t1,t2的 取值之间的相关程度。  自相关函数

    1. 首先说说自相关和互相关的概念。

            这个是信号分析里的概念,他们分别表示的是两个时间序列之间和同一个时间序列在任意两个不同时刻的取值之间的相关程度,即互相关

    函数是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1,t2的取值之间的相关程度,自相关函数是描述随机信号x(t)在任意两个不同时刻t1,t2的

    取值之间的相关程度。

            自相关函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1,t2的取值之间的相关程度;互相关函数给出了在频域内两个信号是否相关的一个

    判断指标,把两测点之间信号的互谱与各自的自谱联系了起来。它能用来确定输出信号有多大程度来自输入信号,对修正测量中接入噪声源而产生

    的误差非常有效.

           事实上,在图象处理中,自相关和互相关函数的定义如下:设原函数是f(t),则自相关函数定义为R(u)=f(t)*f(-t),其中*表示卷积;设

    两个函数分别是f(t)和g(t),则互相关函数定义为R(u)=f(t)*g(-t),它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度。

    那么,如何在matlab中实现这两个相关并用图像显示出来呢?

    dt=.1;
    t=[0:dt:100];
    x=cos(t);
    [a,b]=xcorr(x,'unbiased');
    plot(b*dt,a)
    上面代码是求自相关函数并作图,对于互相关函数,稍微修改一下就可以了,即把[a,b]=xcorr(x,'unbiased');改为[a,b]=xcorr

    (x,y,'unbiased');便可。


    2. 实现过程:
          在Matalb中,求解xcorr的过程事实上是利用Fourier变换中的卷积定理进行的,即R(u)=ifft(fft(f)×fft(g)),其中×表示乘法,注:此

    公式仅表示形式计算,并非实际计算所用的公式。当然也可以直接采用卷积进行计算,但是结果会与xcorr的不同。事实上,两者既然有定理保证

    ,那么结果一定是相同的,只是没有用对公式而已。下面是检验两者结果相同的代码:
    dt=.1;
    t=[0:dt:100];
    x=3*sin(t);
    y=cos(3*t);
    subplot(3,1,1);
    plot(t,x);
    subplot(3,1,2);
    plot(t,y);
    [a,b]=xcorr(x,y);
    subplot(3,1,3);
    plot(b*dt,a);
    yy=cos(3*fliplr(t)); % or use: yy=fliplr(y);
    z=conv(x,yy);
    pause;
    subplot(3,1,3);
    plot(b*dt,z,'r');
    即在xcorr中不使用scaling。

    3. 其他相关问题:
    1) 相关程度与相关函数的取值有什么联系?

           相关系数只是一个比率,不是等单位量度,无什么单位名称,也不是相关的百分数,一般取小数点后两位来表示。相关系数的正负号只表

    示相关的方向,绝对值表示相关的程度。因为不是等单位的度量,因而不能说相关系数0.7是0.35两倍,只能说相关系数为0.7的二列变量相关程度

    比相关系数为0.35的二列变量相关程度更为密切和更高。也不能说相关系数从0.70到0.80与相关系数从0.30到0.40增加的程度一样大。
    对于相关系数的大小所表示的意义目前在统计学界尚不一致,但通常按下是这样认为的:
    相关系数      相关程度
    0.00-±0.30    微相关
    ±0.30-±0.50  实相关
    ±0.50-±0.80  显著相关
    ±0.80-±1.00  高度相关

    在同样的采样时间和采样频率下,低频信号采到的周期数要少。由Parseval定理,同一信号在时域内包含的总能量,等于频域内所包含的总能量。虽然时域上几个最高脉冲具有较高的能量,但是他们的数量少,能量和远小于那些搞频率部分,在频域中就要被弱化,被压低。在功率普中自然就不会突出。相反,功率稍高的信号采到的周期数就多,总能量就大,在功率普上就会表现充分。

    此外,加速度传感器更适合采集中,高频震动信号。

    一台完好设备所采集到的信号频带很快,其中绝大部分是噪声,我们把这样的频带很宽的噪声称作白噪声。然而,一台磨损的设备,当相接触的各个部件之间产程间隙后就必然发生碰撞,而旋转设备每转一转发生碰撞的部分基本上是固定的,也就是硕这种碰撞时周期性的。这些周期性的碰撞信号即有用噪声,被埋没在大量的白噪声值中,尤其是在故障的初级阶段。



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    基于matlab的时延估计算法的互相关函数仿真源代码
  • 由于MATLAB本身自带的相关函数在扩频通信中并不适合,性能欠佳。本程序是我自己编写的求自相关或互相关的MATLAB函数。可直接调用该函数。已通过验证。

空空如也

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