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  • 对确定性信号分解与平稳随机信号分解进行了深入统一的研究。首先根据线性系统稳定性理论,分别给出正则稳定情况下与边界稳定情况下2种信号分解的统一研究结果。然后根据线性空间投影理论,分别给出正交投影情况下与...
  • EEMD信号分解

    2018-11-15 18:30:00
    信号分解EEMD方法,EEMD 方法作为一种信号分析技术,在研究信号的局部特征方面具有独特的优越性,非常适合处理非线性、非平稳信号.
  • 经验模态分解法(EMD),基于瞬时频率、本征模态函数(Intrinsic Mode Function,IMF)的概念,能够将信号分解为若干个IMF分量,每个IMF表征信号的局部特征。依据的是数据自身的时间尺度特征来进行信号分解,无需预先设定...

    EMD学习笔记

    一、简述:

    经验模态分解法(EMD),基于瞬时频率、本征模态函数(Intrinsic Mode Function,IMF)的概念,能够将信号分解为若干个IMF分量,每个IMF表征信号的局部特征。依据的是数据自身的时间尺度特征来进行信号分解,无需预先设定任何基函数,因此具有自适应性。

    二、基础概念:

    1. 解析信号

    为什么要进行信号的解析?

    采集的信号一般为时间尺度数据,要分析其特性一般把时间尺度变为频率尺度即信号的频率分析。如果把信号直接进行傅里叶变换后会使频域变为正频域和负频域(负频域现实世界是不存在的,只存在数学推导中),这就使得变换后的频域(正频域)缺失不完整,从而导致信号特性的缺失。

    公式推导:

     

    其中sgn(f)为符号函数

    Hilbert变换可以看成是将原始信号通过一个滤波器,或者一个系统,这个系统的冲击响应为h(t)。

       

    2、瞬时频率

    为什么使用瞬时频率?

    在传统频谱分析中,频率指是以傅里叶变换为基础的与时间无关的量:频率f或角频率w ,其实质是表示信号在一段时间内的总体特征,对于一般的平稳信号,传统的频域分析方法是有效的。但是对于实际中存在的非平稳信号,其频率是随时间变化的,此时傅里叶频率不再适合,为了表征信号的局部特性就需要引进瞬时频率的概念。

    推导公式:

        

     

     

     

    备注:不是任何解析信号都可以通过该定义得到有意义的瞬时频率,要得到有意义的瞬时频率,原始信号就必须满足严格的条件。

    瞬时频率是时间t的单值函数,即每个时间t只有一个频率与之唯一对应,因此它只能表示单分量的信号,对于由多分量组合而成的信号,瞬时频率是没有实际的物理意义的,但在很多情况下是很难判断一个信号是单分量还是多分量,所以通常把“窄带信号” 作为信号选择的标准,使之符合瞬时频率的定义。

     

    3、本特征模态

    本征模式函数(Intrinsic Mode Function,IMF)的新概念,基于这类函数的局部特性,使函数的任何一点瞬时频率都有意义。

    一个固有模式函数必须满足以下两个条件:

    (1)整个数据长度中极值点和过零点的数目必须相等或至多相差一个;

    (2)在研究对象的时域中,由三次样条拟合最大值和最小值点确定的上、下包络线的平均值是0。

    通常情况下,实际信号都是复杂信号并不满足上述条件。因此,Huang进行了以下的假设:

    (1)任何信号都是由若干本征模态函数组成的;

    (2)各个本征模态函数即可是线性的,也可是非线性的,各本征模态函数的局部零点数和极值点数相同,同时上下包络关于时间轴局部对称;

    (3)在任何时候,一个信号都可以包含若干本征模态函数,若各模态函数之间相互混叠,就组成了复合信号。

    三、EMD的基本理论

    1、找到原信号x(t)的所有极大值点,通过三次样条函数拟合出极大值包络线emax(t);同理,找到原信号x(t)的所有极小值点,通过三次样条函数拟合出信号的极小值包络线emin(t) 。注意:所有的极值点必须保证被上部和下部包络线包含。

    2、计算上、下包络的平均值m1(t):                                                   

    3、将原信号序列减去m1(t)就得到一个去掉低频的新信号p11(t):

     

    一般p11(t)不是一个平稳信号,不满足IMF定义的两个条件,重复上述过程,假定经过k次之后(k一般小于10) p1k (t) 满足IMF的定义,则原信号x(t)的一阶IMF分量为:

    用原信号x(t)减去c1(t),得到一个去掉高频成分的新信号r1(t):

     

    对r1(t)重复得到c1(t)的过程,得到第二个IMF分量c2(t),如此反复进行,一直到第n阶IMF分量cn (t)或其余量rn(t)小于预设值;或当残余分量rn(t)是单调函数或常量时,EMD分解过程停止。

    最后, 原始信号经EMD分解,可以表示为:

    在实际情况中,上下包络的均值无法为零,通常当满足下面的式子时,就认为包络的均值满足IMF的均值为零的条件:

    当标准差SD的值在0.2和0.3之间,这时停止筛选是最合理的。

    • 实现步骤

    (1)初始化:r(t)=x(t),i=0,k=1,终止阈值条件为SD<δ,一般情况下选择δ在0.2〜0.3之间;

    (2)通过r(t)计算获取的局部极大值点和极小值点;使用三次样条曲线分别拟合极大值点和极小值点,得到信号的上、下包络线emax(t)和 emin(t),由上、下包络线计算其局部平均值,得到平均包络m(t);

    (3)令i=i+1,从原始信号中减去均值包络,得到待鉴定分量

     

    (4)计算终止迭代条件SD。由于在实际情况的限制,一般无法完全实现上包络线和下包络线的均值为零,通常情况下如果SD<δ ,则                 ,进入下一步,否则令          ,循环执行(2)-(4);

    (5)计算                     ,判断r(t)是否单调,若其不单调,回到步骤(2),且执行k=k+1,直至r(t)为单调函数。最终信号分解为如下形式:

     

     

    注:EMD分解时,分解出来的模态信号是从高频信号到低频信号与VMD分解的模态信号是相反的。

     

     

     

     

     

    混叠模式介绍及程序图像输出判断

    模态混叠就是指不能依据时间特征尺度(是通过频谱来反映出来的)有效地分离出不同的模态分量,使得原本不同的模态出现在一个模态中的现象

    即两个模态的中心频率非常接近,也就是说两个模态混叠了。

     

     

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  • 局部均值分解算法(LMD), LMD算法最大的特点就在依据信号本身的特征对信号的自适应分解能力,产生具有真实物理意义的乘积函数(PF)分量(每个PF分量都是一个纯调频信号和包络信号的乘积,且每个PF分量的瞬时频率...

                                                LMD学习笔记

    • 总述

    局部均值分解算法(LMD), LMD算法最大的特点就在依据信号本身的特征对信号的自适应分解能力,产生具有真实物理意义的乘积函数(PF)分量(每个PF分量都是一个纯调频信号和包络信号的乘积,且每个PF分量的瞬时频率具有实际物理意义。),并由此得到能够清晰准确反映出信号能量在空间各尺度上分布规律的时频分布,有利于更加细致的对信号特征进行分析。

    与此同时,局部均值分解算法(LMD)相较于模态分解的创始算法经验模态分解算法(EMD)而言,其具备端点效应小、迭代次数少等优势。

    • 分解方法
    1. 求局部均值函数m11(t)

    找出原函数的局部均值ni,

    求出所有相邻的局部极值点的平均值:

    将所有的相邻平均值点mi用直线连起来后通过滑动平均法进行平 滑处理得到局部均值函数m11(t)。

    2、求包络估计函数a11(t)

    求出包络估计值:                将所有相邻两个包络估计值ai用直线连起来后通过滑动平均法进行平滑处理得到包络估计函数a11(t)。

    **其余步骤在笔记本上**

    • EMD与LMD的对比分析
    1. 求解过程EMD与LMD的差别
    1. 平均包络函数的产生

    EMD:三次样条函数拟合局部极大与极小值形成的上下包络线,然后对上下包络线求平均得到平均包络函数

    LMD:不断平滑相邻局部极值点的平均值来获得平均包络函数(局部均值函数)

    1. 模态分量迭代过程不同

    EMD:不断用原始信号减去平均包络函数(即去掉低频成分),然后判断剩余信号是否满足模态的两个条件的方式得到模态分量的。

    LMD:不断用原始信号减去局部均值函数并除以包络估计函数(即对其进行解调),并重复直到包络估计函数近似等于1时,得到纯调频信号,在获得纯调频信号后再进行包络信号与纯调频信号相乘得到PF分量。

    1. 求瞬时幅值与瞬时频率

    EMD:对每个模态进行Hibert变化后,再通过一下公式

     

     

     

     

       求出瞬时幅值与瞬时频率。

    LMD:将迭代产生的每个包络估计函数相乘来求得瞬时赋值,而瞬时频率则是由纯调频信号通过

     

     

     

    1. EMD的缺陷

    模态混叠和端点效应

    1. 对比EMD,LMD突出的优势

    在抑制端点效应、减少迭代次数和保留信号完整性都优于EMD

    1. LMD不足

    依然存在端点效应、平滑次数较多时,信号会发生提前或滞后现象、在平滑时步长不能最优确定、无快速算法等问题

    注:端点效应的产生:EMD和LMD都是对局部极值进行操作,而两端点有可能既不是极大值点也不是极小值点,二者都未对端点进行处理。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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  • 三、信号分解 —> VMD(变分模态分解)学习笔记

    万次阅读 多人点赞 2020-09-09 09:41:24
    与EMD原理不同,VMD分解方式是利用迭代搜索变分模型最优解来确定每个分解的分量中心频率及带宽,属于完全非递归模型,该模型寻找模态分量的集合及其各自的中心频率,而每个模态在解调成基带之后是平滑的,Konstantin...

                                               VMD学习笔记

    简述:变分模态分解由Konstantin Dragomiretskiy于2014年提出,可以很好抑制EMD方法的模态混叠现象(通过控制带宽来避免混叠现象)。与EMD原理不同,VMD分解方式是利用迭代搜索变分模型最优解来确定每个分解的分量中心频率及带宽,属于完全非递归模型,该模型寻找模态分量的集合及其各自的中心频率,而每个模态在解调成基带之后是平滑的,Konstantin Dragomiretskiy通过实验结果证明:对于采样和噪声方面,该方法更具有鲁棒性。

    注:个人简单理解,就是把非周期信号进行频域分析,把复杂信号分解成为多个谐波信号     另一版本:

    VMD(Variational mode decomposition)是一种自适应、完全非递归的模态变分和信号处理的方法。该技术具有可以确定模态分解个数的优点,其自适应性表现在根据实际情况确定所给序列的模态分解个数,随后的搜索和求解过程中可以自适应地匹配每种模态的最佳中心频率和有限带宽,并且可以实现固有模态分量(IMF)的有效分离、信号的频域划分、进而得到给定信号的有效分解成分,最终获得变分问题的最优解。它克服了EMD方法存在端点效应和模态分量混叠的问题,并且具有更坚实的数学理论基础,可以降低复杂度高和非线性强的时间序列非平稳性,分解获得包含多个不同频率尺度且相对平稳的子序列,适用于非平稳性的序列,VMD的核心思想是构建和求解变分问题。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    一、首先构造变分问题

    假设原始信号f被分解为k个分量,保证分解序列为具有中心频率的有限带宽的模态分量,同时各模态的估计带宽之和最小,约束条件为所有模态之和与原始信号 相等,VMD约束变分模型如下:

    (2-17)

     

    其中,为各模态函数,为各中心频率。

    公式理解:

    1.  

    重新定义了约束条件更严格的有限带宽的本征模态函数(BIMF

    定义为:

    (2-13)

    其中,相位函数为非单调递减,即,幅值,且瞬时幅值和瞬时频率相对来说变化很缓慢,也就是说,在,的间隔范围内,可以看作是一个幅值为、频率为的谐波信号。

    对照《信号与系统》周期信号表示方法                                         P64

    1.  

    希尔伯特变换下的——解析信号

    参考CSDN博客链接整理:https://blog.csdn.net/edogawachia/article/details/79366444

                         https://blog.csdn.net/zd0303/article/details/82996134

    希尔伯特变换:

    上面的Hilbert变换的表达式实际上就是将原始信号和一个信号做卷积的结果。这个用来卷积的信号就是:

     

    因此,Hilbert变换可以看成是将原始信号通过一个滤波器,或者一个系统,这个系统的冲击响应为h(t)。

     

    其傅里叶变换为 或 。为符号函数,。该式说明Hilbert变换可视为一个全通滤波器,且幅频特性为1。

    卷积定理可知,

    的频域表达式为,

    进一步推导可得

    。从频谱上来看,这个滤波器将我们的原始信号的正频率部分乘以-j,也就是说,保持幅度不变的条件下,将相位移动了-π/2,而对于负频率成分,移动了π/2。下面这个示意图很直观地表示了Hilbert变换,在这里我画出了对原始信号做1到4次Hilbert变换的频谱示意图,是为了说明Hilbert变换的几个性质:

     

     

    首先,可以看到,两次希尔伯特变换后,原信号相位翻转了180°,所以,Hilbert逆变换的公式显而易见,就是将正变换加一个符号即可。另外,还可以看到,Hilbert变换四次后就变回本身了。还有其它的性质,比如:

    1. 如果一个信号是两个信号的卷积,即 y = conv(v,x) ,那么Hilbert(y) = conv(Hilbert(v),x) = conv(v,Hilbert(x))这个性质,只要意识到Hilbert变换本质上是卷积就可以明白。
    2. x(t) 和 Hilbert(x(t))的能量以及平均功率相等,相关函数和功率谱相同。

    希尔伯特变换的意义:

    信号通过Hilbert变换后,正频率部分乘以-j,也就是说,保持幅度不变的条件下,将相位移动了-π/2,而对于负频率成分,移动了π/2,因此Hilbert变换又称为90°相移滤波器或者垂直滤波器[]。

     

      解析信号(解析过程)

    对于任何一个实信号

    ,利用构造解析函数的方法,可得到其在复空间的映射,映射方式是复数的实部与虚部互为Hilbert变换,因此,复值解析信号

    定义为:

     

    (2-7)

    1. 这个过程有如下特点,首先,实部和虚部功率谱相同,自相关函数相同;另外,实部和虚部的互相关函数是一个奇函数。其他的还有:

     

     

    以及一个最重要的特点,就是解析信号的功率谱只有正频段,强度为原来的四倍。或者说是只有正频段且幅度值为原来的两倍:

     

     

    1. 其中指数项
    2. 描述复数信号在时域内旋转的矢量,实数包络
    3. 控制振幅,
    4. 表示相位,定义瞬时频率
    5. 。VMD算法将分解得到的固有模态函数(Intrinsic Mode Function,IMF)定义为调幅调频信号(AM-FM),表达式为
    6. ,其解析信号为:

     

    (2-8)

    推导过程利用欧拉公式:

     

    这个公式说明,用复指数信号可以表示成一个实数信号和一个虚数信号的和的形式。而且,这个实部和虚部是有关系的,一个是cos,一个是sin,两者相差pi/2,看sin和cos的傅里叶变换。可以看出,在正频率上和负频率上两者的相位上的先后顺序刚好相反,但是都是保持90°的差值。看到这里,大概可以理解Hilbert变换的用意了吧。欧拉公式实际上是一种特殊的,或者说,最简单的Hilbert变换。复指数信号,就是等号左边的那个,频谱就是一个脉冲,而且是

    只有正频率,且是两倍。虽然时域上是复数,但是在频域只有正分量,实际上是一种简化。

     

    由于解析信号的单边谱只包含非负频率,只要根据上式解析信号的实部,即可恢复初始的实信号,即

     

    (2-9)

    希尔伯特变换下的解析信号意义:

    首先,将实数信号变换成解析信号的结果就是,把一个一维的信号变成了二维复平面上的信号,复数的模和幅角代表了信号的幅度和相位,如图所示:

     

     

    这样看来,似乎复数信号才是完整的,而实信号只是在复平面的实轴上的一个投影。我们知道,解析信号可以计算包络(瞬时振幅)和瞬时相位。在上图中可以看到,实际上我们计算的包络就是黑色的线围成的立体图形的边界在实部的投影,而计算这个边的投影也很简单,就是在复平面上的螺旋线中的每一个点的模值,也就是A(t) = sqrt(x^2(t) + Hilbert(x(t))^2),而瞬时相位就是虚部(Hilbert变换后的)和实部(原始信号)在某一时间点的比值的arctan,瞬时频率就是它的导数。

     

     

    利用指数

    修正,使每个模态函数的频谱调制到相应的基频带;

    调制定理:

    调制信号在时域成以一个等幅高频振荡,相当于在频域把调制信号的各频率分量均搬至高频振荡的频率上,调制信号的各频率分量幅度减半。

    混频原理:

    参考CSDN博客链接整理: www.blog.sina.com.cn/s/blog_ca1ec6aa0102vztg.html

    而复信号则只有单边频率分量,正余弦和复信号的的傅里叶变换频率分量:

     

     

    四种信号的频谱图如下:

     

     

     

     

     

    由上式可知,一个信号在时域中与余弦、正弦或复信号相乘,等效于频域的频谱搬移

    《更细致的请看博客》上有博客链接

     

    混频是两个非线性信号合并的过程,进而获得交叉频项。最简单的乘法算子混合器通过混合

    两个独立的实数信号,得到频率分别为

    的混频输出,可用如下三角恒等式阐述:

     

    (2-10)

    两个独立解析信号的混合可表述如下:

     

    (2-11)

    由此可知,被混合的信号自动合成为只有一个频率的信号。在傅里叶变换中,以下的变换众所周知:

     

    (2-12)

    其中,

    为狄拉克分布。

     

    频谱调制意义:

    将解析信号与纯指数相乘将产生简单频移,上式是向右频移W0频率,变成高频信号,借助于高频载波信号传输低频信号(次声波信号)

     

     

    通过高斯平滑(即

    范数梯度的平方根)对信号解调,得到各模态函数带宽。

    高斯平滑滤波:https://blog.csdn.net/hhygcy/article/details/4329056

    均值滤波:https://blog.csdn.net/hhygcy/article/details/4325304

    范数规则化:

    常用的L0、L1、L2和核范数规则化

    https://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/24971995

    https://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/24972869

    L2规则化的目的:防止过拟合

    什么是过拟合?

     

     

    上面的图是线性回归,下面的图是Logistic回归,也可以说是分类的情况。从左到右分别是欠拟合(underfitting,也称High-bias)、合适的拟合和过拟合(overfitting,也称High variance)三种情况。可以看到,如果模型复杂(可以拟合任意的复杂函数),它可以让我们的模型拟合所有的数据点,也就是基本上没有误差。对于回归来说,就是我们的函数曲线通过了所有的数据点,如上图右。对分类来说,就是我们的函数曲线要把所有的数据点都分类正确。

     L2如何防止过拟合

     L2范数是指向量各元素的平方和然后求平方根。我们让L2范数的规则项||W||2最小,可以使得W的每个元素都很小,都接近于0,但与L1范数不同,它不会让它等于0,而是接近于0,这里是有很大的区别的哦。而越小的参数说明模型越简单,越简单的模型则越不容易产生过拟合现象。为什么越小的参数说明模型越简单?我也不懂,我的理解是:限制了参数很小,实际上就限制了多项式某些分量的影响很小(看上面线性回归的模型的那个拟合的图),这样就相当于减少参数个数。其实我也不太懂,希望大家可以指点下。

    楼主认为“L2 正则项的作用是让所有的 w 都变小,而 w 越小模型越简单”,大家普遍感到难以理解,我在这里讲讲我自己的不同看法,希望能够帮到大家。 我认为 L2 正则项的作用并不是让所有的 w 都变小,而是【有选择地让某些 w 变小】。正如题主举得医生预测疾病的例子,样本中的特征有很多,但大部分特征都是无关紧要的,只有一小部分关键的特征支撑起了整个预测模型。表现在系数 w 上就是,大部分的 w_i 都是不幸的,因为它们刚好与那些无关紧要的特征结对,它们的大小对整个模型的效果影响不大,于是在正则项的约束下它们都变小了,甚至趋近于0;而只有小部分的 w_i 比较幸运,它们刚好对应到了好的特征,于是它们肩负起了非常重大的责任,它们的微小变化会引起模型曲线在走势上的根本性变化,损失函数会急剧增大。如果正则项妄图约束这些关键的 w_i,使它们变小,那么由此造成的损失函数的扩大将远大于从正则项上获得的微小收益,所以这些关键的 w_i 可以几乎不受正则项的干涉。 但也不尽然,如果你把正则项之前的系数 λ 调到非常大,那么它就会敢于压迫那些关键的 w_i,最终造成的结果是,模型确实变简单了,但也严重偏离了预期方向,没什么卵用了。相反,如果你把 λ 调得非常小,那么正则项对每个 w_i 都惹不起,即使是那些无关紧要的 w_i 它也无力约束,最终就会导致模型过拟合(试想 λ 等于0的情况)。所以,损失函数与正则项就像是博弈的双方,它们之间的力量对比通过参数 λ 进行调和。只有把 λ 调合适了,才能得到既不过拟合,又相对简单的好模型。从这种意义上来说,L2正则项与L1正则项类似,也有“特征选择”的效果。 上面的描述比较感性,是我为了方便直观理解做的一些比喻,如果把模型的预测曲线做出来会更加严谨一些。即每个 w_i 都影响着曲线的形态,但是有主次之分。那些低阶的、关键的 w_i 控制着曲线的整体走势;而那些高阶的、次要的 w_i 则是在曲线整体走势的基础上稍微扭曲曲线的形态;当然,还会有更高阶的 w_i,它们负责在大的扭曲之上制造更小的扭曲,以此类推。 这样看来L2正则项的作用就很明显了,要改变预测曲线的整体走势肯地会造成损失函数的不满,但是把曲线的形态熨平似乎并没有什么不妥。而 λ 的大小则决定了正则项的视野,即多大的弯曲算作走势?多小的弯曲算作扭曲?

    VMD中L2正则化补充理解:

    因为我们在上一部进行了一部频率调制使W变大,使用L2正则化相当于使非关键的W变小,关键的W没怎么有变化,相当于解调了

     

     

    复合信号的中心频率分别为2Hz、24Hz、288Hz,对应于图2.3中各模态频谱图的峰值:、、。

     

         

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    二、求解变分问题

    VMD约束变分模型如下:

     

    (2-17)

     

     

    其中,

    为各模态函数,

    为各中心频率。

    注:个人看法感觉就是一个多元函数求条件最值

           多元函数:关于u(t)和w(t)的

           约束条件:各模态分量和为原信号

    解决上述的约束最优化问题,将约束变分问题转变为非约束变分问题,利用二次惩罚项和拉格朗日乘子法的优势,引入了增广Lagrangian函数,如式(2-18)所示:

     

    (2-18)

    其中,

    为罚参数,

    为Lagrange乘子。

     

    步骤更新泛函:

    对所有

    ,更新泛函

     

    (2-19)

    更新泛函

     

    (2-20)

    对所有

    ,进行双重提升:

     

    (2-21)

    其中,

    表示噪声容限,当信号含有强噪声时,可设定

    达到更好的去噪效果。

    Step 5:重复步骤2-4,直至满足如下的迭代约束条件:

     

    (2-22)

    对所有

    ——>解析信号的单边谱只包含非负频率

    迭代寻找最优解:

     

     

    1、初始化uk、ωk、λ和n=0,k=0

    2、n=n+1(迭代次数)

    3、k=k+1,根据VMD算法公式更新uk、ωk

    4、又根据相关的算法更新拉格朗日乘数λ

    5、知直到满足一定条件,停止迭代,不然转到2步骤

    以上只是求每一个模态的单步骤

     

     

    我的理解总步骤:

    1、初始化uk、ωk、λ和n=0,

    2、n=n+1(迭代次数)

    3、根据VMD算法公式更新uk、ωk

    4、又根据相关的算法更新拉格朗日乘数λ

    5、知直到满足一定条件根据(相似系数来判断),停止迭代,不然转到2步骤

    6、k=k+1,将源信号减去分解出来的模态,并作为下次一循环的源信号,转到步骤1

    主循环

    % ----------- Main loop for iterative updates           

    while ( uDiff > tol &&  n < N ) % not converged and below iterations limit   

    k = 1;

     

     

        sum_uk = u_hat_plus(n,:,K) + sum_uk - u_hat_plus(n,:,1);

         u_hat_plus(n+1,:,k) = (f_hat_plus - sum_uk - lambda_hat(n,:)/2)./(1+Alpha(1,k)*(freqs - omega_plus(n,k)).^2);

        

          if ~DC

     

     

            omega_plus(n+1,k) = (freqs(T/2+1:T)*(abs(u_hat_plus(n+1, T/2+1:T, k)).^2)')/sum(abs(u_hat_plus(n+1,T/2+1:T,k)).^2);

        end

        

        % update of any other mode                       ¸üÐÂÆäËûģʽ2-Kģʽ

        for k=2:K

            

            % accumulator

            sum_uk = u_hat_plus(n+1,:,k-1) + sum_uk - u_hat_plus(n,:,k);

            

            % mode spectrum                              Ä£Ì¬ÆµÆ×

            u_hat_plus(n+1,:,k) = (f_hat_plus - sum_uk - lambda_hat(n,:)/2)./(1+Alpha(1,k)*(freqs - omega_plus(n,k)).^2);

            

            % center frequencies                         ÖÐÐÄƵÂÊ          

            omega_plus(n+1,k) = (freqs(T/2+1:T)*(abs(u_hat_plus(n+1, T/2+1:T, k)).^2)')/sum(abs(u_hat_plus(n+1,T/2+1:T,k)).^2);

            

        end

        

     

     

        lambda_hat(n+1,:) = lambda_hat(n,:) + tau*(sum(u_hat_plus(n+1,:,:),3) - f_hat_plus);

        

        % loop counter                  

        n = n+1;

        

    % converged yet?                      

     

     

        uDiff = eps;

        for i=1:K

            uDiff = uDiff + 1/T*(u_hat_plus(n,:,i)-u_hat_plus(n-1,:,i))*conj((u_hat_plus(n,:,i)-u_hat_plus(n-1,:,i)))';

        end

        uDiff = abs(uDiff);

        

    end

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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  • 信号分解或信号变换的基本思路是将信号x(t)和一组函数(或向量)做內积,从而得到一组分解系数an。 分解(或变换)的目的是研究原始信号中有哪些有哟用的信息,并讨论如何抽取这些有用的信息。我能能够理解,正交基...

    1.前言

    信号分解或信号变换的基本思路是将信号x(t)和一组函数(或向量)做內积,从而得到一组分解系数a n
    分解(或变换)的目的是研究原始信号中有哪些有哟用的信息,并讨论如何抽取这些有用的信息。我能能够理解,正交基具有很多优点(信息不冗余,对偶基是本身),实际应用中也是最广泛的,可惜的是,在实际工作中,发现并得到一组好的正交基往往是不容易的。
    正式正交基,或者更广泛地说,分解对研究信号具有很重要的意义,我们不仅反问自:
    1.用于分解的一组函数如何构成拍一组正交基?
    2.用于分解的一组函数如何构成一组基呢?
    3.如果不能构成一组基,既是线性相关的,那么在什么条件下可保证对信号的分解是完备的,并且可以稳定地实现信号的重建?
    标价理论要解决的恰恰是最后一个问题。

    2.基本定义

    2.1 标架

    是Hilbert空间H中的一组向量,对任一信号x∈H,如果存在常数A、B,c<A≤B<∞。并使下式成立:

    称构成一个标架。显然,标架是Hilbert空间中的一组向量

    2.2 对偶标架

    是Hilbert空间中的一个标架,定义标架算子S为:  

    下面的结论可以证明:
    • 也是一个标架,标架的边界为 ,它称为对偶标架
    • Hilbert空间的任一信号x都可表示为形式:
    • 如果A=B,则称构成了一个“紧(tight)标架”。这时满足:

    2.3 紧标架

    如果构成一紧标架,且A=1,则是一正交基。
    根据基函数及对偶函数关于原始信号重建原则,有下式:

    这里需要注意的是,双正交情况下满足关系:
    通过上式,即可证明正交变换必为紧标架。基向量具备线性相关时,标架在Hibert空间依然能够做到信号分解,并满足“完备性”,当然信息冗余无法避免。
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空空如也

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信号分解的意义