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  • 郑州轻工业大学实验 连续信号与系统的变换域分析-信号系统报告
  • 浅谈信号处理三大变换

    千次阅读 2019-12-17 21:10:56
    欧拉公式 先从欧拉公式说起: 这一公式可以由幂级数推导而出,由三角函数的基础知识,sin(x+π/2)=cosx。...三大变换 对于连续时间下的傅里叶变换,我们可以发现其表达式就是时域信号f(x)乘以eiwt...

    参考

    信号与系统(第二版)——奥本海姆

    欧拉公式

    先从欧拉公式说起:
    欧拉公式
    这一公式在数理上可以由幂级数推导而出。由三角函数的基础知识,sin(x+π/2)=cosx。因此sinx与cosx本质上来说是一组正交基。而只有正交基可以在不产生任何冗余的情况下完整地表示任何信号(可以用正交分解来想象)。因此,使用这一组正交基来表示复杂信号就是傅里叶级数的根本思想。

    三大变换

    三大变换
    一般信号处理的三大变换是指:傅里叶变换,拉普拉斯变换与Z变换
    上图简述了各个变换之间的关系。文字叙述来说就是,拉普拉斯变换是傅里叶变换的更为一般的形式,而Z变换则是拉普拉斯变换的离散形式。

    至于让人看着眼花缭乱的DTFT,DFT,FFT。其实也可以看成,DTFT是傅里叶变换FT的离散形式,而为了让计算机计算傅里叶变换,我们不得不限制一个有限的处理区间,因此有了DFT。所以DFT主要是服务于计算机。而经典算法FFT则是通过分治的思想,将DFT的复杂度由O(n2)降至对数数量级。所以FFT是DFT的一种加速算法。

    接下来,我们对三大变换逐一理解。

    FT也就是傅里叶变换,又称之为连续时间下的傅里叶变换,我们可以发现其表达式就是时域信号f(t)乘以eiwt并在无穷区间内的积分。同时,我们可以用欧拉公式展开eiwt,会发现这个表达式表述的其实是一个周期为2π的单位圆。由单位圆的特性,无论t如何取值,幅值都恒等于一,这一性质保证了傅里叶变换在能量上的守恒。

    那么傅里叶变换的作用是什么呢?

    答案我相信很多人从进入通信专业的时候就很清楚。那就是完成信号从时域至频域的转换。 变换在数理上的解释就是不改变原始数学算式的特征。因此,傅里叶变换只是一种工具,让我们从一个新的角度(频域)来看待信号。

    而频谱(幅度谱)非常直观的解释就是,需要多少个频率为多少的正弦信号才能够叠加出原始信号,而正弦信号的个数就是对应频率的幅值。

    由上可知,连续时间傅里叶变换完整的存续了时域信号的能量。然而,这也带来了一个致命的缺点,并不是所有信号都是收敛的,如果输入信号本身是发散的那么,傅里叶变换将不再成立。因为,发散信号无法在无穷区间上积分。

    这个时候,收敛因子e-at
    被引入a为实数,因此傅里叶变换自此处变为了f(t)乘以e-(a+jw)t用s代替则变为e-s我们将这个时候的频域称之为s域。而当s=jw即a=0在s平面的虚轴的时候拉普拉斯变换则又变回了傅里叶变换。因此,我们可以自由地选择合适的a值控制拉普拉斯变换收敛,而使得拉普拉斯变换收敛的s的集合则被称之为拉普拉斯变换收敛域。

    离散情况下,Z变换被用于代替拉普拉斯变换。
    Z变换的实际就在与Z=rejw 因此Z变换写为输入信号x[n]Z-n在无穷区间上求和(离散求和即连续累乘即积分)。显然这个时候r-n成为了离散情况下的收敛因子。同样的,在Z变换中使得Z变换收敛的所有Z的集合称之为Z变换收敛域。值得注意的是,拉普拉斯变换收敛域是带状的而Z变换的收敛域则是环状的。当r=1的时候,Z变换就变成了离散时间傅里叶变换,正对应着当a=0也就是s域上的虚轴,拉普拉斯变换变成连续时间傅里叶变换一样。

    所以,Z变换的单位圆具有与拉普拉斯变换中的虚轴相同的意义。

    关于离散傅里叶变换

    前面提到了离散时间傅里叶变换,其实离散傅里叶变换就是有限长度的离散时间傅里叶变换,一般记长度为N,因此又称之为N点傅里叶变换。这一过程主要是为了方便在电脑中处理实际工程中的信号。毕竟,电脑处理的是离散数据。

    此外,Z变换作为拉普拉斯变换的离散形式,必然与离散时间傅里叶和离散傅里叶变换有千丝万缕的关系,我们也可以解释为离散傅里叶变换DFT即相当于在Z变换的单位圆上以1/N的频率等间隔采样,为什么是在Z变换的单位圆上呢?因为,Z在Z域单位圆上取值的时候,Z变换也就变成了离散时间傅里叶变换。换句话说也就离散时间拉普拉斯变换变成了离散时间傅里叶变换。

    后记

    本文章仅作者个人理解,如有纰漏敬请理解。通篇文章比较抽象脱离了公式推导,希望用各变换之间的关系来梳理理解这些对于信号处理至关重要的公式。

    展开全文
  • 从奥本海姆那本《信号系统》中总结的变换:傅里叶变换包括连续和离散、拉普拉斯变换、以及用于处理离散系统的Z变换,篇幅不长,只总结了比较重要的公式和性质。
  • 傅立叶级数只适用于周期信号,把非周期信号看成周期T趋于无穷的周期信号,就推导出傅里叶变换,能很好的处理非周期信号的频谱。但是傅立叶变换的弱点是必须原信号必须绝对可积,因此适用范围不广。 拉普拉斯变换是...
    傅立叶变换是最基本得变换,由傅里叶级数推导出。傅立叶级数只适用于周期信号,把非周期信号看成周期T趋于无穷的周期信号,就推导出傅里叶变换,能很好的处理非周期信号的频谱。但是傅立叶变换的弱点是必须原信号必须绝对可积,因此适用范围不广。
    
    拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广,傅立叶变换不适用于指数级增长的函数,而拉氏变换相当于是带有一个指数收敛因子的傅立叶变换,把频域推广到复频域,能分析的信号更广。然而缺点是从拉普拉斯变换的式子中,只能看到变量s,没有频率f的概念,要看幅频响应和相频响应,还得令s=j2πf
    
    Z变换的本质是离散时间傅里叶变换(DTFT),如果说拉普拉斯变换专门分析模拟信号,那Z变换就是专门分析数字信号,Z变换可以把离散卷积变成多项式乘法,对离散数字系统能发挥很好的作用。Z变换看系统频率响应,就是令Z在复频域的单位圆上跑一圈,即Z=e^(j2πf),即可得到频率响应。由于傅里叶变换的特性“时域离散,则频域周期”,因此离散信号的频谱必定是周期的,就是以这个单位圆为周期,Z在单位圆上不停的绕圈,就是周期重复。单位圆0°位置是实际频率0HZ,单位圆180度的实际频率就是采样频率的一般,fs/2.
    展开全文
  • 信号系统变换总结

    2018-04-19 13:14:06
    包含常用连续和离散信号傅里叶变换对,拉氏变换和Z变换
  • 欢迎大家一起学习,不喜勿喷
  • 信号系统-傅里叶变换信号系统-傅里叶变换ppt
  • 常用连续/离散傅里叶变换性质总结,常用L/Z变换性质总结
  • 信号系统变换

    千次阅读 2012-05-29 17:37:31
    信号分为离散信号和连续信号,数字信号和模拟信号,每一种信号的处理都可以用到傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换变换。 这变换都有各自的特点和研究范围,傅里叶变换以频率为自变量研究系统的频域特性,...

    信号分为离散信号和连续信号,数字信号和模拟信号,每一种信号的处理都可以用到傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换这三种变换。

    这三种变换都有各自的特点和研究范围,傅里叶变换以频率为自变量研究系统的频域特性,拉普拉斯变换以平面坐标形式的复数s为自变量研究复频域特性,Z变换以极坐标形式的复数z为自变量研究离散时间系统的复数域特性。另外,这三种变换都有相似的性质如:线性、尺度变换、时移性、频移性、卷积定理、时域微分与积分等。

    利用傅里叶变换分析信号与系统,将只局限与系统的冲击响应有傅里叶变换的情况,既满足狄利克雷条件。但还有不满足此条件的信号可以用拉普拉斯变换。

    拉普拉斯变换可以简化计算,通过正变换到复频域在进行各种运算可以得到信号的响应,然后通过反变换再转换为时域里的时间函数,

    可以简化运算。

    Z变换是对离散序列进行的一种数学变换,可以用于线性时不变差分方程的求解,从而很方便的求解离散的信号响应,在求解时起到简化作用。

    信号与系统是一门很重要的基础课,将应用于很多领域如数字电路,电路设计中队信号的处理与运算等。总之,学好信号与系统会受益匪浅,对以后的学习有很大帮助。

    展开全文
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    • 单边指数信号

    我们设单边指数信号的表达式为

    其中  \alpha  为正实数。则

    F(\omega ) = \int_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt = \int_{0 }^{\infty }e^{-at}e^{-j\omega t}dt = \int_{0 }^{\infty }e^{-(a+j\omega)t }dt

    得 F(\omega ) = \frac{1}{a+j\omega }                 \left | F(w) \right | = \frac{1}{\sqrt{a^{2}+w^{2}}}         \varphi (w) = - arctan(\frac{w}{a})   ,其波形分别为

     

    • 双边指数信号

    设双边指数信号的表达式为 f(t) = e^{-a\left | t \right |} (-\infty < t <+\infty )  ,其中 a 为正实数。

    F(W) = \int_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-jwt}dt = \int_{-\infty }^{\infty }e^{-a\left | t \right |}e^{-jwt}dt ,所以可得

    F(w) = \frac{2a}{a^{2}+w^{2}}               \left |F(w) \right | = \frac{2a}{a^{2}+w^{2}}              \varphi (w) = 0     ,其波形如下图所示

     

    •  矩形脉冲信号

    已知矩形脉冲信号的表示式为       f(t) = E[u(t+\frac{\tau }{2})-u(t-\frac{\tau }{2})]        ,其中 E 为脉冲幅度 ,\tau 为脉冲宽度。

    故 F(w) = \int_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-jwt}dt = \int_{-\frac{\tau }{2}}^{\frac{\tau }{2}}Ee^{-jwt}dt = \frac{2E}{w}sin\left ( \frac{w\tau }{2} \right ) = E\tau \left [ \frac{sin(\frac{w\tau }{2})}{\frac{w\tau }{2}}\right ]  

     

     

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    千次阅读 2020-08-01 11:39:51
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