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  • 5.信道带宽、信道容量香农公式

    千次阅读 2020-05-19 22:45:40
    说道通信,从广义上来讲就不得不提到信道容量和信道带宽、以及著名的香农公式。 先说说是什么是信道吧,通俗的来讲,信道就是信息传输的通道。信道在通信系统中的位置如下图所示: 但是,并不是所有频率的信号都...

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    信道带宽

    信道容量

    香农公式


    说道通信,从广义上来讲就不得不提到信道容量和信道带宽、以及著名的香农公式。

    先说说是什么是信道吧,通俗的来讲,信道就是信息传输的通道。信道在通信系统中的位置如下图所示:

     但是,并不是所有频率的信号都可以通过信道传输,信道的频率响应决定了哪些频率的信号可以通过信道,哪些频率的信号不能通过信道。


    信道带宽

    前面说到不是所有的信号都可以通过信道传输。所以我们把可以通过信道传输的信号频率范围大小就是信道的带宽,就像是下面这张图所展示的:

    从图中可以看出,在广义的信道中,能通过信道的最高频率和最低频率的差值,即为信道的带宽。

    而在我们现在的数字信道中,我们常常用信道能够达到的最大数据速率来表示数字信道的带宽。


    信道容量

    信道容量就是指在信道上进行无差错传输所能达到的最大传输速率。对于只有一个信源和一个信宿的单用户信道,它是一个数,单位是比特每秒或比特每符号。它代表每秒或每个信道符号能传送的最大信息量,或者说小于这个数的信息率必能在此信道中无错误地传送。

    信道容量是信道的一个参数,它和信源的大小并无必然联系。信道容量有时也表示为单位时间内可传输的二进制位的位数(称信道的数据传输速率,位速率),以位/秒(b/s)形式予以表示,简记为bps。


    香农公式

    说起香农公式,首先先介绍一下香农。

    香农的全名是克劳德·艾尔伍德·香农。他是美国的以为数学家,当然他被人们所熟知更是因为他是信息论的创始人。

    接下来着重介绍一下香农公式(记得面试的时候,面试官问我的其中一个问题就是能否写一下香农公式,并表述一下香农公式的含义)

    其中,C:信道容量,单位bit/s;B:信道带宽,单位Hz;S:信号平均功率,单位W;N:噪声平均功率,单位W。

    香农公式表述了信道容量和信道带宽的关系,显然我们从公式可以看出:信道容量与信道带宽成正比,同时还取决于系统信噪比以及编码技术种类。

    香农定理指出,如果信息源的信息速率R小于或者等于信道容量C,那么,在理论上存在一种方法可使信息源的输出能够以任意小的差错概率通过信道传输。该定理还指出:如果R>C,则没有任何办法传递这样的信息,或者说传递这样的二进制信息的差错率为1/2。

     

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    奈氏准则:在理想条件下,即一个无噪声,宽带为W赫兹的信道,其传码速率最高为

    2W波特

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    C=2Wlog_{2}M

    C信道容量,W信道带宽,M是电频个数

    例子:一个无噪声3000Hz信道,如果采用8电平传输,则该信道可允许

    的最大数据传输速率是多少?

    解:M=8,W=3000Hz,

           则信道容量,即该信道可允许的最大数据传输速率

          C=2Wlog_{2}M=18kbit/s

    l例子:如果使用一个无噪声的带宽为4000Hz的话音信道来传输数字数据,采用256相制

    技术,试问信道容量是多少?

    解:W =4000Hz

          M=256, log_{2}256=8比特(一个码元携带8比特的数据)

    C=2Wlog_{2}M=...

    信噪比(dB=10log_{10}(S/N)

    有噪声环境下的极限信息传输速率C(信道容量)可表达为

    香农公式C=Wlog_{2}(1+S/N)b/s

    W为信道的带宽(以Hz为单位);

    S/N为信道内信号和噪声的功率之比;

    例题:若通过一个信噪比为20dB,宽带为3kHz的信道上去传送数字数据,则其数据传信

    速率不会超过多少?

    解:dB = 100

    根据香农公式C=Wlog_{2}(1+S/N)b/s =3000*log_{2}(1+100)=3000*6.66=19.88kbit/s

    该信道的传信速率不会超过19.88kbit/s

    在信道容量不变时增加带宽就允许降低信噪比

     

     

     

     

     

     

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    信道的极限容量——奈氏准则、奈圭斯特公式、信噪比、香农公式

    1. 限制码元在信道上的传输速率的因数有两个

    1.1 信道能够通过的频率范围

    具体的信道所能通过的频率范围总是有限的。
    信号中的许多高频成分往往不能通过信道。
    早在1924年,奈圭斯特就推导出著名的奈氏准则,他给出了在嘉定的理想条件下,为了避免码间串扰,码元的传输速率的上限值。

    1.1.1 奈氏准则
    • 奈氏准则(无噪声情况下):码元速率的极限值B与信道带宽W关系。
    • 理想状态下的最高码元传输速率为2W Baud
    • 理想带通信道的最高码元传输速率为1W Baud
    • 注:Baud是波特,是码元传输速率的单位,1波特为每秒传送1个码元,单位是码元/秒。
        W为信道带宽(Hz)。
    1.1.2 奈圭斯特公式
    • 公式:C = 2 * W * log2(N)
    • 注:C是信道的极限信息传输速率,单位bit/s。
        N是携带数据的码元,可能取的离散值个数。

    注:在任何信道中,码元传输的速率是有上限的,传输速率超过此上限,就会出现严重的码间串扰的问题,使接收端对码元的判决(即识别)称为了不可能。

    1.2 信噪比

    噪声存在于所有的电子设备和通信信道中。
    由于噪声是随机产生的,它的瞬时值有时会很大。
    因此噪声会使接收端对码元的判决产生错误(1判决为0或0判决为1)。
    噪声的影响是相对的,如果信号相对较强,那么噪声的影响就相对较小。因此,信噪比很重要。

    1.2.1 信噪比
    • 信噪比:就是信号的平均功率和噪声的平均功率之比,常记为S/N,并用分贝(dB)作为度量单位。
    • 公式:信噪比(dB) = 10 * log10(S/N)(dB)
    • 例子:当S/N=10时,信噪比为10dB,而当S/N=1000时,信噪比为30dB。
    1.2.2 香农公式
    • 香农公式指出了信息传输速率的上限。
    • 公式:C = W * log2(1+S/N)
    • 注:C是信道的极限信息传输速率,单位bit/s。
        W为信道带宽(Hz)。
        S为信道内所传信号的平均功率。
        N为信道内部的高斯噪声功率。

    注:香农公式表明,信道的带宽或信道中的信噪比越大,信息的极限传输速率就越高。

    补充:
    码元:在数字通信中常常用时间间隔相同的符号来表示一位二进制数字,这样的时间间隔内的信号称为二进制码元。 而这个间隔被称为码元长度。 1码元可以携带nbit的信息量。
    码间串扰:在接收端收到的信号波形失去了码元之间的清晰界限的现象叫码间串扰。
    码元传输速率:又称为码元速率或传码率。其定义为每秒钟传送码元的数目,单位为”波特”,常用符号”Baud”表示,简写为”B”。
    数字信号通过实际信道,当码元传输的速率越高,或信号传输的距离越远,或噪声干扰越大,或传输媒体直流越差,在接收端的波形的失真就越严重。

    这里写图片描述


    参考文献:
    [1]《计算机网络(第5版)》谢希仁——第一章 2.2
    [2] 百度搜索关键字:奈氏准则、奈圭斯特公式、信噪比、香农公式

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