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  • 扩散方程——热传导问题(能量定律+傅里叶热传导定律)+ 拉普拉斯方程 | 偏微分方程(三)
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    2020-05-03 01:03:41

    热传导问题

    物理问题:空间某个物体或静止流体内温度分布不均匀,引起热量流动及温度的变化。

    理想化假设

    1. 物体由同一介质构成,且介质均匀分布、各向同性
    2. 介质的密度、比热和热传导系数均为常数。

    物理定律:

    1. 能量守恒定律
    2. 傅里叶热传导定律

    数学建模(1):

    1. 在空间取定直角坐标系

    2. 取各点在t时刻的温度 u = u ( t , x , y , z ) u=u(t,x,y,z) u=u(t,x,y,z)为热运动的表征量

    3. **微元分析:**在介质内任取微元 d V = [ ( x , y , z ) , ( x + d x , y + d y , z + d z ) ] dV=[(x,y,z),(x+dx,y+dy,z+dz)] dV=[(x,y,z)(x+dx,y+dy,z+dz)],考察微元 d V dV dV在时间间隔 [ t , t + d t ] [t,t+dt] [t,t+dt]内的温度变化

    4. 微元满足能量守恒定律, [ t , t + d t ] [t, t+dt] [t,t+dt]

      外界流入热量 + 内部热源产热 = 温度升高所需热量
      Q 流 入 + Q 热 源 = Q 温 度 升 高 Q_{流入}+Q_{热源}=Q_{温度升高} Q+Q=Q
      傅里叶热传导定律:热量从高温处向低温处流动,沿某方向流动热量的多少与温度在该方向的减少率成比例。
      q → = − k ∇ u = { q x = − k ∂ u ∂ x q y = − k ∂ u ∂ y q z = − k ∂ u ∂ z \overrightarrow q=-k\nabla u = \begin{cases} q_x = -k\frac{\partial u}{\partial x} \\ q_y = -k\frac{\partial u}{\partial y} \\ q_z = -k\frac{\partial u}{\partial z} \end{cases} q =ku=qx=kxuqy=kyuqz=kzu
      其中 q → \overrightarrow q q 是热流密度矢量,表示单位时间沿单位面积的法向流出的热量。

      ∴ \therefore
      Q 左 右 = q ∣ x ⋅ d t ⋅ d y d z − q ∣ x + d x ⋅ d t ⋅ d y d z = ( q ∣ x − q ∣ x + d x ) ⋅ d t d y d z = − ∂ q ∂ x d x ⋅ d t d y d z = − ∂ ∂ x ( − k ∂ u ∂ x ) ⋅ d t d V = k ∂ 2 u ∂ x 2 d t d V Q_{左右}=q|_x·dt·dydz-q|_{x+dx}·dt·dydz \\ =(q|_x-q|_{x+dx})·dtdydz \\ =-\frac{\partial q}{\partial x}dx·dtdydz =-\frac{\partial}{\partial x}(-k\frac{\partial u}{\partial x})·dtdV \\ =k\frac{\partial^2u}{\partial x^2}dtdV Q=qxdtdydzqx+dxdtdydz=(qxqx+dx)dtdydz=xqdxdtdydz=x(kxu)dtdV=kx22udtdV

      Q 前 后 = q ∣ y ⋅ d t ⋅ d x d z − q ∣ y + d y ⋅ d t ⋅ d x d z = ( q ∣ y − q ∣ y + d y ) ⋅ d t d x d z = − ∂ q ∂ y d y ⋅ d t d x d z = − ∂ ∂ y ( − k ∂ u ∂ y ) ⋅ d t d V = k ∂ 2 u ∂ y 2 ⋅ d t d V Q_{前后}=q|_y·dt·dxdz-q|_{y+dy}·dt·dxdz \\ =(q|_y-q|_{y+dy})·dtdxdz \\ =-\frac{\partial q}{\partial y}dy·dtdxdz = -\frac{\partial}{\partial y}(-k\frac{\partial u}{\partial y})·dtdV \\ =k\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}·dtdV Q=qydtdxdzqy+dydtdxdz=(qyqy+dy)dtdxdz=yqdydtdxdz=y(kyu)dtdV=ky22udtdV

      Q 上 下 = k ∂ 2 u ∂ z 2 ⋅ d t d V Q_{上下}=k\frac{\partial^2 u }{\partial z^2}·dtdV Q=kz22udtdV

      Q 流 入 = k ( ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 ) ⋅ d t d V = k Δ u ⋅ d t d V Q_{流入}=k(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2})·dtdV=k\Delta u·dtdV Q=k(x22u+y22u+z22u)dtdV=kΔudtdV

      ∵ \because
      Q 热 源 = g ( x , y , z , t ) d t d V Q_{热源}=g(x,y,z,t)dtdV Q=g(x,y,z,t)dtdV
      g ( x , y , z , t ) g(x,y,z,t) g(x,y,z,t)表示单位体积内部热源的产热率(单位时间单位面积产热量)
      Q 升 温 = c ⋅ ρ d V ⋅ [ u ( t + d t , x , y , z ) − u ( t , x , y , z ) ] = c ⋅ ρ d V ⋅ ∂ u ∂ t d t = c ρ ∂ u ∂ t d t d V Q_{升温}=c·\rho dV·[u(t+dt,x,y,z)-u(t,x,y,z)] \\=c·\rho dV·\frac{\partial u}{\partial t}dt \\=c\rho \frac{\partial u}{\partial t}dtdV Q=cρdV[u(t+dt,x,y,z)u(t,x,y,z)]=cρdVtudt=cρtudtdV
      由能量守恒定律得
      k Δ u ⋅ d t d V + g ( x , y , z , t ) d t d V = c ρ ∂ u ∂ t d t d V k c ρ Δ u + g ( x , y , z , t ) c ρ = ∂ u ∂ t k\Delta u·dtdV + g(x,y,z,t)dtdV = c\rho \frac{\partial u}{\partial t}dtdV \\\frac{k}{c\rho}\Delta u+\frac{g(x,y,z,t)}{c\rho}=\frac{\partial u}{\partial t} kΔudtdV+g(x,y,z,t)dtdV=cρtudtdVcρkΔu+cρg(x,y,z,t)=tu

      热传导方程(扩散方程):
      ∂ u ∂ t = a 2 Δ u + f ( t , x → ) ,   a = κ c ρ , f ( t , x → ) = g ( t , x → ) c ρ \frac{\partial u}{\partial t}=a^2\Delta u+f(t,\overrightarrow x),\space a=\sqrt{\frac{\kappa}{c\rho}},f(t,\overrightarrow x)=\frac{g(t,\overrightarrow x)}{c\rho} tu=a2Δu+f(t,x ), a=cρκ ,f(t,x )=cρg(t,x )
      其中, κ \kappa κ为热扩散系数。

      量纲分析:
      [ k ] [ c ] ⋅ [ ρ ] = J / ( s ⋅ m ⋅ K ) J / ( k g ⋅ K ) ⋅ k g / m 3 = m / s [ u ] [ t ] = [ a 2 ] ⋅ [ u ] [ x 2 ]    ⟹    [ a 2 ] = m 2 / s \sqrt{\frac{[k]}{[c]·[\rho]}} = \sqrt{\frac{J/(s·m·K)}{J/(kg·K)·kg/m^3}}=m/\sqrt{s} \\ \frac{[u]}{[t]}=[a^2]·\frac{[u]}{[x^2]} \implies [a^2]=m^2/s [c][ρ][k] =J/(kgK)kg/m3J/(smK) =m/s [t][u]=[a2][x2][u][a2]=m2/s
      根据量纲可知,扩散传播距离与时间之间的关系:
      x 2 ∝ a 2 t x^2 \propto a^2t x2a2t

    数学建模(2):

    1. 在空间取定直角坐标系

    2. 取各点在t时刻的温度 u = u ( t , x , y , z ) u=u(t,x,y,z) u=u(t,x,y,z)为热运动的表征量。

    3. 在介质内任取微元 d V = [ x , x + d x ] × [ y , y + d y ] × [ z , z + d z ] dV=[x,x+dx]\times [y,y+dy]\times [z,z+dz] dV=[x,x+dx]×[y,y+dy]×[z,z+dz],考察微元 d V dV dV在时间间隔 [ t , t + d t ] [t,t+dt] [t,t+dt]内的温度变化。

    4. 根据能量守恒定律,物体温度升高所需热量等于外部流入热量和内部热源产生热量之和。

      热量的流动遵循傅里叶热传导定律:热量从温度高处向低处,沿某方向流动热量的多少与温度在该方向的减少率成比例,其数学表示式为
      Q n = − k ( x , y , z ; n ) ∂ u ∂ n n \bold Q_n=-k(x,y,z;n)\frac{\partial u}{\partial n}\bold n Qn=k(x,y,z;n)nun
      其中, Q n \bold Q_n Qn n \bold n n方向的热流密度矢量,即单位时间沿 n \bold n n方向通过单位面积的热量; k ( x , y , z ; n ) k(x,y,z;n) k(x,y,z;n)为介质的热传导系数,在介质均匀,各项同性假设下是常数,记为k。

      [ t , t + d t ] [t,t+dt] [t,t+dt]时间间隔内通过微元的左右面传入的热量为
      − k ∂ u ∂ x ∣ ( t , x , y , z ) d t d y d z + k ∂ u ∂ x ∣ ( t , x + d x , y , z ) ≈ k ∂ 2 u ∂ x 2 ∣ ( t , x , y , z ) d t d x d y d z -k\frac{\partial u}{\partial x}|_{(t,x,y,z)}dtdydz+k\frac{\partial u}{\partial x}|_{(t,x+dx,y,z)} \approx k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}|_{(t,x,y,z)}dtdxdydz kxu(t,x,y,z)dtdydz+kxu(t,x+dx,y,z)kx22u(t,x,y,z)dtdxdydz
      同样可以求出通过前后和上下面流入的热量分别为
      k ∂ 2 u ∂ y 2 d t d x d y d z 和 k ∂ 2 u ∂ z 2 d t d x d y d z k\frac{\partial^2u}{\partial y^2}dtdxdydz \quad 和 \quad k\frac{\partial^2u}{\partial z^2}dtdxdydz ky22udtdxdydzkz22udtdxdydz
      如果介质内部有热源,其热源密度,即单位时间单位体积热源流出的热量为 g ( t , x , y , z ) g(t,x,y,z) g(t,x,y,z),则在 [ t , t + d t ] [t,t+dt] [t,t+dt]时间间隔内,微元内部热源流出热量为
      g ( t , x , y , z ) d t d x d y d z g(t,x,y,z)dtdxdydz g(t,x,y,z)dtdxdydz
      而微元温度升高所需的热量为
      c ρ [ u ( t + d t , x , y , z ) − u ( t , x , y , z ) ] d x d y d z ≈ c ρ ∂ u ∂ t d t d x d y d z c\rho[u(t+dt,x,y,z)-u(t,x,y,z)]dxdydz \approx c\rho \frac{\partial u}{\partial t}dtdxdydz cρ[u(t+dt,x,y,z)u(t,x,y,z)]dxdydzcρtudtdxdydz
      这些等式中都忽略了高阶无穷小量

      讲这些量代入能量守恒定律,便得方程
      c ρ ∂ u ∂ t = k ( ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 ) + g ( t , x , y , z ) c\rho \frac{\partial u}{\partial t}=k(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2})+g(t,x,y,z) cρtu=k(x22u+y22u+z22u)+g(t,x,y,z)
      即热传导方程
      ∂ u ∂ t = a 2 Δ u + f ( t , x , y , z ) \frac{\partial u}{\partial t}=a^2\Delta u +f(t,x,y,z) tu=a2Δu+f(t,x,y,z)
      其中, Δ = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 \Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} Δ=x22+y22+z22为三维拉普拉斯算子, a = k c ρ , f ( t , x , y , z ) = g ( t , x , y , z ) c ρ a=\sqrt{\frac{k}{c\rho}}, f(t,x,y,z)=\frac{g(t,x,y,z)}{c\rho} a=cρk ,f(t,x,y,z)=cρg(t,x,y,z)

      如果考虑侧面绝热杆的温度,或柱上与高度无关的温度变化,同样可导出热传导方程,只是拉普拉斯算子相应地取为一维或二维。

    总结:热传导方程的建立基于能量守恒和热传导两条基本物理定律。像气体扩散、杂志在固体或液体中扩散这些物理过程,其机理与热传导相似,都是由浓度的不均匀引起不同物质分子的位置变换,变换过程中每种物质的总量保持不变。选取适当的未知函数,导出的方程与热传导方程有相同形式,因此也称热传导方程为扩散方程。

    波动方程和热传导方程分别描述了双向传播和单向传播两种完全不同的物理过程。它们都与时间t有关,称为发展方程。如果考虑热传导方程的稳恒状态,即 ∂ u ∂ t ≡ 0 \frac{\partial u}{\partial t}\equiv 0 tu0,它就成为泊松(Poisson)方程
    Δ u = − 1 a 2 f ( x , y , z ) \Delta u=-\frac{1}{a^2}f(x,y,z) Δu=a21f(x,y,z)
    f ( x , y , z ) ≡ 0 f(x,y,z)\equiv 0 f(x,y,z)0时,就是Laplace方程(也称调和方程
    Δ u = 0 \Delta u=0 Δu=0

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    本编文章探讨一下数学物理方法中一个常见的问题,即如何用傅立叶变换得到PDE或者积分方程的解。在文章的最后,会附上MATLAB的实现代码。学疏才浅,欢迎大家指点!


    1. 什么是傅立叶变换?

    • 从数学形式上来看,FT的表示在各个领域有着细微的差别。

    (*本文遵循以下的定义)

    • 直观意义上来说,我们通过将波形
      分解成许多不同频率
      的正弦波的叠加把
      时域信号转换到频域。从而把对原函数
      的研究转化为不同频率分量的幅值和相位的研究。

    更详细的入门介绍可以看这里:

    Heinrich:傅里叶分析之掐死教程(完整版)更新于2014.06.06​zhuanlan.zhihu.com
    80e87089363fe0561e9a90f43bd85de8.png

    非常推荐3Blue1Brown的相关视频:

    【官方双语】形象展示傅里叶变换_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili​www.bilibili.com
    0f6827756673fe1b04fabdf87ecefba5.png

    还有斯坦福EE的公开课!时间充裕的话,了解一下。

    EE261 - The Fourier Transform and its Applications​see.stanford.edu
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    2. 傅立叶变换的优势

    傅立叶变换与拉普拉斯变换不同,可以处理全平面上的问题,不要求时间

    • 微分性质

    如果

    上连续或只有有限个可去间断点,且当
    时,

    对一个函数的导数做傅里叶变换,结果上等于这个函数的傅里叶变换乘以因子

    对于一个偏微分方程来说,计算上假设我们对空间变量做傅里叶变换,那我们可以将关于空间的偏微分算符转换成简单的系数乘积

    ,而关于时间的偏微分化为常微分
    。同理,对时间变量也是一样的。(具体的例子请见第4小节)
    • 积分性质

    对一个函数的积分做傅里叶变换,结果上等于这个函数的傅里叶变换除以因子

    3. 傅立叶变换的局限性(选读)

    总的来说, 傅里叶变换的分析思路是将时域特征和频域特征完全分离开来处理的。做完变换之后,频域内不包含任何时域信息。同样的,时域中也没有关于频率的信息。对于频谱当中的某一特定频率信号

    我们不知道这一频率究竟是何时产生的。我们对频域的良好定位是以时域的全部信号分析为代价的。这就是傅里叶变换最大的局限,即无法同时在时域和频域都具有良好的定位的能力,进而我们说这一方法无法处理
    非平稳信号。我们可以通过以下 不确定性原理,来定性的认识这一矛盾:

    我们知道对于光子来说,

    。带入到不等式,可以得到

    那么什么是非平稳信号呢?可以看下下图左侧的例子。

    2a5d95d893aa39a64b5795a43b3b029f.png

    具体的解决方案可移步以下问题,写的很详细

    如何通俗地讲解傅立叶分析和小波分析间的关系?​www.zhihu.com

    4. 具体的例子:一维波动方程

    考虑如下的微分方程:

    和边界条件:

    出于一些约定习俗,我们对等式两边做关于空间变量

    的傅立叶变换:

    变换的结果如下,

    *请读者到这里思考一下,对空间作傅里叶变换有什么实际的物理意义吗?

    从这里我们可以看到FT的优势是如何体现出来的:

    将关于空间的多次偏微分直接操作了出来,而关于时间的偏微分化为常微分。

    当然我们也必须把边界条件作傅立叶变换。

    如果不清楚具体的数学过程的话,先看MATLAB代码段:

    >> 

    * 关于fourier()这个指令我们看看更多的例子:

    368ff706f4bb855e617b81cb81616343.png

    经过以上处理后,我们已经把一个PDE问题转化为ODE问题

    和变换后的边界条件:

    可以解得,

    代码段:

    >> 

    最后,我们把得到的解做一个傅立叶逆变换就能得到原问题的解了。很简单吧!

    代码段:

    >> 

    现在你可以自己创建一个问题,来验证下是不是掌握了这个流程呢?

    5. 新增的例子:MATLAB求解微分积分方程 (选读)

    这一章节, 我们尝试求解以下方程

    求解的关键在于第二小节中提到的微分和积分性质。假设

    ,对方程两边作傅里叶变换,我们得到

    然后用MATLAB,简化运算

    >> 

    稍微整理下形式,我们可以得到

    函数图像如下:

    9ff108dda21c034a8dc9af972de929bc.png
    展开全文
  • 在求解两端固定的弦的非齐次振动方程定解问题中,得到的解具有傅里叶正弦级数的形式,而且其系数AnA_nAn​和BnB_nBn​决定于初始条件φ(x)\varphi(x)φ(x)和ψ(x)\psi(x)ψ(x)的傅里叶正弦级数。至于采取正弦级数而...

    这节研究非齐次振动方程和输运方程的定解问题。
    这节研究的是齐次的边界条件。
    本节介绍两个方法。首先介绍傅里叶级数法,它直接求解非齐次的定解问题;接着是冲量定理法,它把非齐次方程的定解问题转化为齐次方程的定解问题进行求解。

    (一) 傅里叶级数法

    在求解两端固定的弦的非齐次振动方程定解问题中,得到的解具有傅里叶正弦级数的形式,而且其系数 A n A_n An B n B_n Bn决定于初始条件 φ ( x ) \varphi(x) φ(x) ψ ( x ) \psi(x) ψ(x)的傅里叶正弦级数。至于采取正弦级数而不是一般的傅里叶级数的形式,则完全是由于两端都是第一类齐次边界条件 u ∣ x = 0 u|_{x=0} ux=0 u ∣ x = l u|_{x=l} ux=l原因。
    分离变数法得出的这些结果给出提示:不妨把所求的解本身展开为傅里叶级数,即 u ( x , t ) = ∑ n T n ( t ) X n ( x ) . u(x,t)=\sum_nT_n(t)X_n(x). u(x,t)=nTn(t)Xn(x). 上面的傅里叶级数的基本函数族 X n ( x ) X_n(x) Xn(x)为该定解问题齐次方程在所给齐次边界条件下的本征函数。
    由于解是自变数x和t的函数,因而 u ( x , t ) u(x,t) u(x,t)的傅里叶系数不是常数,而是时间t的函数,把它记作 T n ( t ) T_n(t) Tn(t)。将上面的待定解(FIXME)代入泛定方程,尝试分离出 T n ( t ) T_n(t) Tn(t)的常微分方程,然后求解。

    例1 求解定解问题
    u t t − a 2 u x x = A cos ⁡ π x l sin ⁡ ω t ; u_{tt}-a^2u_{xx}=A\cos \frac{\pi x}{l} \sin \omega t; utta2uxx=Acoslπxsinωt; u x ∣ x = 0 = 0 , u x ∣ x = l = 0 ; u_x|_{x=0}=0,u_x|_{x=l}=0; uxx=0=0,uxx=l=0; u ∣ t = 0 = φ ( x ) , u t ∣ t = 0 = ψ ( x ) , ( 0 < x < l ) u|_{t=0}=\varphi (x), u_t|_{t=0}=\psi (x), (0<x<l) ut=0=φ(x),utt=0=ψ(x),(0<x<l)
    解: 级数展开的基本函数应是相应的齐次泛定方程 u t t − a 2 u x x = 0 u_{tt}-a^2u_{xx}=0 utta2uxx=0在所给齐次边界条件 u x ∣ x = 0 = 0 u_x|_{x=0}=0 uxx=0=0 u x ∣ x = l = 0 u_x|_{x=l}=0 uxx=l=0下的本征函数。我们已经熟悉了(并没有)这些本征函数,它们是 cos ⁡ n π x l ( n = 0 , 1 , 2 , . . . ) \cos \frac{n\pi x}{l} (n=0,1,2,...) coslnπx(n=0,1,2,...)。这样,试把所求的解展开为傅里叶余弦级数。 u ( x , t ) = ∑ n = 0 ∞ T n ( t ) cos ⁡ n π x l u(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty}T_n(t)\cos\frac{n\pi x}{l} u(x,t)=n=0Tn(t)coslnπx.为了求解 T n ( t ) T_n(t) Tn(t),尝试把这个级数代入非齐次泛定方程。 ∑ n = 0 ∞ [ T n ′ ′ + n 2 π 2 a 2 l 2 T n ] cos ⁡ n π x l = A cos ⁡ π x l sin ⁡ ω t . \sum_{n=0}^{\infty}[T^{''}_n+\frac{n^2\pi ^2a^2}{l^2}T_n]\cos \frac{n\pi x}{l}=A\cos \frac{\pi x}{l}\sin \omega t. n=0[Tn+l2n2π2a2Tn]coslnπx=Acoslπxsinωt.等式左边是傅里叶余弦级数,这提示我们把等式右边也展开为傅里叶余弦级数。其实,右边已经是傅里叶余弦级数,它只有一个单项即 n = 1 n=1 n=1的项。于是,比较两边的系数,分离出 T n ( t ) T_n(t) Tn(t)的常微分方程 T 1 ′ ′ + π 2 a 2 l 2 T 1 = A sin ⁡ ω t    , T n ′ ′ + n 2 π 2 a 2 l 2 T n = 0 , n ≠ 1 T^{''}_1+\frac{\pi ^2a^2}{l^2}T_1=A\sin \omega t \space \space, T^{''}_n+\frac{n^2\pi ^2a^2}{l^2}T_n=0, n \neq 1 T1+l2π2a2T1=Asinωt  ,Tn+l2n2π2a2Tn=0,n=1又把 u ( x , t ) u(x,t) u(x,t)的傅里叶余弦级数代入初始条件,得 ∑ n = 0 ∞ T n ( 0 ) cos ⁡ n π l x = φ ( x ) = ∑ n = 0 ∞ φ n cos ⁡ n π l x , \sum_{n=0}^{\infty}T_n(0)\cos\frac{n\pi}{l}x=\varphi(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\varphi _n\cos\frac{n\pi}{l}x, n=0Tn(0)coslnπx=φ(x)=n=0φncoslnπx, ∑ n = 0 ∞ T n ′ ( 0 ) cos ⁡ n π l x = ψ ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ψ n cos ⁡ n π l x . \sum_{n=0}^{\infty}T^{'}_n(0)\cos \frac{n \pi}{l}x=\psi (x)=\sum_{n=0}^{\infty}\psi_n\cos \frac{n\pi}{l}x . n=0Tn(0)coslnπx=ψ(x)=n=0ψncoslnπx.其中 φ n , ψ n \varphi_n,\psi_n φn,ψn分别是 φ ( x ) , ψ ( x ) \varphi(x),\psi(x) φ(x),ψ(x)的傅里叶余弦级数[以 cos ⁡ ( n π x / l ) \cos (n\pi x/l) cos(nπx/l)为基本函数族]的第n个函数族。上面等式的两边都是傅里叶余弦级数。由于基本函数族 cos ⁡ ( n π x ) / l \cos (n\pi x)/l cos(nπx)/l的正交性,等式两边对应同一基本函数的傅里叶系数必然相等,于是得 T n ( t ) T_n(t) Tn(t)的非零值初始条件 { T 0 ( 0 ) = φ 0 = 1 l ∫ 0 l φ ( ξ ) d ξ T 0 ′ ( 0 ) = ψ 0 = 1 l ∫ 0 l ψ ( ξ ) d ξ \left\{ \begin{aligned} &T_{0}(0)=\varphi_0=\frac{1}{l}\int_{0}^{l}\varphi (\xi)d \xi \\ &T^{'}_{0}(0)=\psi _0=\frac{1}{l} \int^{l}_{0}\psi (\xi)d\xi \\ \end{aligned} \right. T0(0)=φ0=l10lφ(ξ)dξT0(0)=ψ0=l10lψ(ξ)dξ { T n ( 0 ) = φ n = 2 l ∫ 0 l φ ( ξ ) cos ⁡ n π ξ l d ξ n ≠ 0 T n ′ ( 0 ) = ψ n = 2 l ∫ 0 l ψ ( ξ ) cos ⁡ n π ξ l d ξ \left\{ \begin{aligned} T_{n}(0)=\varphi_n=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}\varphi (\xi)\cos \frac{n\pi \xi}{l}d \xi &\\ & n \neq 0\\ T^{'}_{n}(0)=\psi _n=\frac{2}{l} \int^{l}_{0}\psi (\xi)\cos \frac{n \pi \xi}{l}d\xi &\\ \end{aligned} \right. Tn(0)=φn=l20lφ(ξ)coslnπξdξTn(0)=ψn=l20lψ(ξ)coslnπξdξn=0 T n ( t ) T_n(t) Tn(t)的常微分方程在初始条件下的解是
    T 0 ( t ) = φ 0 + ψ 0 t T 1 ( t ) = A l π a 1 ω 2 − π 2 a 2 / l 2 ( ω sin ⁡ π a t l − π a l sin ⁡ ω t ) + φ 1 cos ⁡ π a t l + l π a ψ 1 sin ⁡ π a t l , T n ( t ) = φ n cos ⁡ n π a t l + l n π a ψ n sin ⁡ n π a t l ( n ≠ 0 , 1 ) T_0(t)=\varphi_0+\psi_0t\\ T_1(t)=\frac{Al}{\pi a}\frac{1}{\omega ^2-\pi ^2a^2/l^2}(\omega\sin \frac{\pi at}{l}-\frac{\pi a}{l}\sin \omega t)+\varphi_1\cos \frac{\pi at}{l} + \frac{l}{\pi a}\psi _1\sin\frac{\pi at}{l}, \\T_n(t)=\varphi_n\cos \frac{n\pi at}{l}+\frac{l}{n\pi a}\psi_n\sin \frac{n\pi at}{l} (n\neq0,1) T0(t)=φ0+ψ0tT1(t)=πaAlω2π2a2/l21(ωsinlπatlπasinωt)+φ1coslπat+πalψ1sinlπat,Tn(t)=φncoslnπat+nπalψnsinlnπat(n=0,1)上面的第二个式子的第一项为 T 1 ( t ) T_1(t) T1(t)的非齐次常微分方程的特解,满足零值初始条件。它的后两项之和及第三个式子分别是 T 1 ( t ) T_1(t) T1(t) T n ( t ) n ≠ 0 , 1 T_n(t) n\neq 0,1 Tn(t)n=0,1的齐次常微分方程的解,满足非零初始条件。
    这样,所求的解为 u ( x , t ) = A l π a 1 ω 2 − π 2 a 2 / l 2 ( ω sin ⁡ π a t l − π a l sin ⁡ ω t ) cos ⁡ π x l + φ 0 + ψ 0 t + ∑ n = 1 ∞ ( φ n cos ⁡ n π a t l + l n π a ψ n sin ⁡ n π a t l ) cos ⁡ n π x l u(x,t)=\frac{Al}{\pi a}\frac{1}{\omega^2-\pi^2a^2/l^2}(\omega\sin\frac{\pi at}{l}-\frac{\pi a}{l}\sin \omega t)\cos \frac{\pi x}{l}+\varphi_0 \\+\psi_0t+\sum_{n=1}^{\infty}(\varphi_n\cos\frac{n\pi at}{l}+\frac{l}{n\pi a}\psi_n\sin\frac{n\pi at}{l})\cos \frac{n\pi x}{l} u(x,t)=πaAlω2π2a2/l21(ωsinlπatlπasinωt)coslπx+φ0+ψ0t+n=1(φncoslnπat+nπalψnsinlnπat)coslnπx齐次振动方程和齐次输运方程当然也可以用傅里叶级数法(结合分离变数法)求解,这时得到的 T n ( t ) T_n(t) Tn(t)的常微分方程是齐次方程,求解更容易。
    综上所述,可以看出,对于振动和输运问题,不论齐次还是非齐次方程定解问题,傅里叶级数结合分离变数法均可应用,如仅用分离变数法,则只能用于齐次方程齐次边界条件定解问题。

    (二) 冲量定理法

    应用冲量定理法有一个前提,即初始条件均取零值。
    现在用冲量定理法来研究弦的非齐次振动方程定解问题。 u t t − a 2 u x x = f ( x , t ) u ∣ x = 0 = 0 , u ∣ x = l = 0 u ∣ t = 0 = 0 , u t ∣ t = 0 = 0 u_{tt}-a^2u_{xx}=f(x,t)\\u|_{x=0}=0,u|_{x=l}=0\\u|_{t=0}=0,u_t|_{t=0}=0 utta2uxx=f(x,t)ux=0=0,ux=l=0ut=0=0,utt=0=0通过冲量定理法,我们可以得到它的等价问题 v t t − a 2 v x x = 0 , v ∣ x = 0 = 0 , v ∣ x = l = 0 v ∣ t = τ = 0 ,    v t ∣ t = τ = f ( x , τ ) v_{tt}-a^2v_{xx}=0,\\v|_{x=0}=0,v|_{x=l}=0\\v|_{t=\tau}=0 ,\space \space v_t|_{t=\tau}=f(x,\tau) vtta2vxx=0,vx=0=0,vx=l=0vt=τ=0,  vtt=τ=f(x,τ)其中 u ( x , t ) = ∫ 0 t v ( x , t ; τ ) d τ u(x,t)=\int_0^tv(x,t;\tau)d\tau u(x,t)=0tv(x,t;τ)dτ

    (1) 冲量定理法的物理思想

    请参考 《数学物理方法》(第四版) 梁昆淼编 第165页

    (2) 冲量定理法的数学验证

    首先验证边界条件,由于 v ∣ x = 0 = 0 , v ∣ x = l = 0 v|_{x=0}=0,v|_{x=l}=0 vx=0=0,vx=l=0,因此 u ∣ x = 0 = ∫ 0 t v ∣ x = 0 d τ = 0 , u ∣ x = l = ∫ 0 t v ∣ x = l d τ = 0. u|_{x=0}=\int_{0}^{t}v|_{x=0}d\tau=0, u|_{x=l}=\int_0^{t}v|_{x=l}d\tau=0. ux=0=0tvx=0dτ=0,ux=l=0tvx=ldτ=0.所以 u ( x , t ) u(x,t) u(x,t)满足边界条件。
    其次验证初始条件,由 u u u v v v的关系知 u ∣ t = 0 = ∫ 0 0 v ∣ t = 0 d τ = 0. u|_{t=0}=\int_0^0v|_{t=0}d\tau=0. ut=0=00vt=0dτ=0.为了验证初始速度,需利用积分号下求导的公式 d d t ∫ α ( t ) β ( t ) g ( t ; τ ) d τ = ∫ α ( t ) β ( t ) ∂ g ( t ; τ ) ∂ t d τ + g [ t ; β ( t ) ] d β ( t ) d t − g [ t ; α ( t ) ] d α ( t ) d t , \frac{d}{dt}\int_{\alpha (t)}^{\beta (t)}g(t;\tau)d\tau=\int_{\alpha (t)}^{\beta(t)}\frac{\partial g(t;\tau)}{\partial t}d\tau + g[t;\beta (t)] \frac{d\beta (t)}{dt}-g[t;\alpha(t)]\frac{d\alpha(t)}{dt}, dtdα(t)β(t)g(t;τ)dτ=α(t)β(t)tg(t;τ)dτ+g[t;β(t)]dtdβ(t)g[t;α(t)]dtdα(t),把这个公式应用于 u ( x , t ) = ∫ 0 t v ( x , t ; τ ) d τ u(x,t)=\int_0^tv(x,t;\tau)d\tau u(x,t)=0tv(x,t;τ)dτ,有 u t ( x , t ) = ∫ 0 t v t ( x , t ; τ ) d τ + v ( x , t ; t ) u_t(x,t)=\int_0^tv_t(x,t;\tau)d\tau+v(x,t;t) ut(x,t)=0tvt(x,t;τ)dτ+v(x,t;t)按照v的初始条件,有 v ( x , τ ; τ ) = 0 ( 0 ≤ τ ≤ t ) v(x,\tau;\tau)=0 (0 \leq \tau \leq t) v(x,τ;τ)=0(0τt)。所以 u t ( x , t ) = ∫ 0 t v t ( x , t ; τ ) d τ , u t ∣ t = 0 = ∫ 0 0 v t ∣ t = 0 d τ = 0 u_t(x,t)=\int_0^tv_t(x,t;\tau)d\tau, \\ u_t|_{t=0}=\int_0^0v_t|_{t=0}d\tau=0 ut(x,t)=0tvt(x,t;τ)dτ,utt=0=00vtt=0dτ=0这样,原始方程中的两个零值初始条件都为零。
    最后验证非齐次方程,对于 u t u_t ut应用求导公式 u t t = ∫ 0 t v t t ( x , t ; τ ) d τ + v t ( x , t ; t ) . u_{tt}=\int_0^{t}v_{tt}(x,t;\tau)d\tau+v_t(x,t;t). utt=0tvtt(x,t;τ)dτ+vt(x,t;t).按照v的初始条件 v t ( x , τ ; τ ) = f ( x , τ ) ( 0 ≤ τ ≤ t ) . v_t(x,\tau;\tau)=f(x,\tau) (0 \leq \tau \leq t). vt(x,τ;τ)=f(x,τ)(0τt).所以, u t t = ∫ 0 t v t t ( x , t ; τ ) d τ + f ( x , t ) . u_{tt}=\int_0^tv_{tt}(x,t;\tau)d\tau+f(x,t). utt=0tvtt(x,t;τ)dτ+f(x,t).这样 u t t − a 2 u x x = ∫ 0 t ( v t t − a 2 v x x ) d τ + f ( x , t ) = ∫ 0 t 0 d τ + f ( x , t ) = f ( x , t ) , u_{tt}-a^2u_{xx}=\int_0^t(v_{tt}-a^2v_{xx})d\tau +f(x,t)=\int_0^t0d\tau+f(x,t) \\=f(x,t), utta2uxx=0t(vtta2vxx)dτ+f(x,t)=0t0dτ+f(x,t)=f(x,t),这样非齐次方程得以满足,其中利用了v的齐次方程。
    数学验证全部完成,冲量定理法在数学上成立。这里还应指出一点:原方程的齐次边界条件不必限于第一类边界条件,而可以是第二类或第三类齐次边界条件。甚至 x = 0 x=0 x=0端与 x = l x=l x=l端的边界条件还可以是不同类的,只要经过变换前后的边界条件类型相同即可。
    例2 将例1中的初始条件改为零值,用冲量定理法求解,即求解定解问题。 u t t − a 2 u x x = A cos ⁡ π x l sin ⁡ ω t u x ∣ x = 0 = 0 , u x ∣ x = l = 0 ; u ∣ t = 0 = 0 , u t ∣ t = 0 = 0. u_{tt}-a^2u_{xx}=A\cos \frac{\pi x}{l}\sin \omega t \\u_x|_{x=0}=0,u_x|_{x=l}=0;\\u|_{t=0}=0,u_t|_{t=0}=0. utta2uxx=Acoslπxsinωtuxx=0=0,uxx=l=0;ut=0=0,utt=0=0.
    应用冲量定理法,先求解 v t t − a 2 v x x = 0 ; v x ∣ x = 0 = 0 , v x ∣ x = l = 0 ; v ∣ t = τ + 0 , v t ∣ t = τ + 0 = A cos ⁡ π x l sin ⁡ ω τ v_{tt}-a^2v_{xx}=0;\\v_x|_{x=0}=0,v_x|_{x=l}=0;\\v|_{t=\tau+0},v_t|_{t=\tau+0}=A\cos \frac{\pi x}{l}\sin\omega \tau vtta2vxx=0;vxx=0=0,vxx=l=0;vt=τ+0,vtt=τ+0=Acoslπxsinωτ参照边界条件,试把解v展开为傅里叶余弦级数 v ( x , t ; τ ) = ∑ 0 ∞ T n ( t , τ ) cos ⁡ n π x l v(x,t;\tau)=\sum_0^{\infty}T_n(t,\tau)\cos \frac{n\pi x}{l} v(x,t;τ)=0Tn(t,τ)coslnπx把这余弦级数代入泛定方程 ∑ n = 0 ∞ [ T n ′ ′ + n 2 π 2 a 2 l 2 T n ] cos ⁡ n π x l = 0 \sum_{n=0}^{\infty}[T^{''}_n+\frac{n^2\pi ^2a^2}{l^2}T_n]\cos \frac{n\pi x}{l}=0 n=0[Tn+l2n2π2a2Tn]coslnπx=0由此分离出 T n T_n Tn的常微分方程 T n ′ ′ + n 2 π 2 a 2 l 2 T n = 0 T_n^{''}+\frac{n^2\pi^2a^2}{l^2}T_n=0 Tn+l2n2π2a2Tn=0这个常微分方程的解是
    T 0 ( t ; τ ) = A 0 ( τ ) + B 0 ( τ ) ( t − τ ) T n ( t ; τ ) = A n ( τ ) cos ⁡ n π a ( t − τ ) l + B n ( τ ) sin ⁡ n π a ( t − τ ) l   ( n = 1 , 2... ) . T_0(t;\tau)=A_0(\tau)+B_0(\tau)(t-\tau)\\T_n(t;\tau)=A_n(\tau)\cos \frac{n\pi a(t-\tau)}{l}+B_n(\tau)\sin\frac{n\pi a(t-\tau)}{l} \space (n=1,2...). T0(t;τ)=A0(τ)+B0(τ)(tτ)Tn(t;τ)=An(τ)coslnπa(tτ)+Bn(τ)sinlnπa(tτ) (n=1,2...).这样,解v具有傅里叶余弦级数形式,为 v ( x , t ; τ ) = A 0 ( τ ) + B 0 ( τ ) ( t − τ ) + ∑ n = 1 ∞ [ A n ( τ ) cos ⁡ n π a ( t − τ ) l + B n ( τ ) sin ⁡ n π a ( t − τ ) l ] cos ⁡ n π x l . v(x,t;\tau)=A_0(\tau)+B_0(\tau)(t-\tau)\\+\sum_{n=1}^{\infty}[A_n(\tau)\cos\frac{n\pi a(t-\tau)}{l}\\+B_n(\tau)\sin\frac{n\pi a(t-\tau)}{l}]\cos \frac{n\pi x}{l}. v(x,t;τ)=A0(τ)+B0(τ)(tτ)+n=1[An(τ)coslnπa(tτ)+Bn(τ)sinlnπa(tτ)]coslnπx.至于系数 A n ( τ ) A_n(\tau) An(τ) B n ( τ ) B_n(\tau) Bn(τ)则由初始条件确定。为此,将上式代入初始条件, A 0 ( τ ) + ∑ n = 1 ∞ A n ( τ ) cos ⁡ n π x l = 0 , B 0 ( τ ) + ∑ n = 1 ∞ B n ( τ ) n π a l cos ⁡ n π x l = A cos ⁡ π x l sin ⁡ ω τ . A_0(\tau)+\sum_{n=1}^{\infty}A_n(\tau)\cos\frac{n\pi x}{l}=0,\\B_0(\tau)+\sum_{n=1}^{\infty}B_n(\tau)\frac{n\pi a}{l}\cos\frac{n\pi x}{l}=A\cos \frac{\pi x}{l}\sin \omega \tau. A0(τ)+n=1An(τ)coslnπx=0,B0(τ)+n=1Bn(τ)lnπacoslnπx=Acoslπxsinωτ.右边的 A cos ⁡ π x l sin ⁡ ω τ A\cos \frac{\pi x}{l}\sin \omega\tau Acoslπxsinωτ也是傅里叶余弦级数,它只有一个单项即n=1的项。比较两边系数,得 A n ( τ ) = 0 , B 1 ( τ ) = A l π a sin ⁡ ω τ , B n ( τ ) = 0 ( n = 2 , 3 , . . . ) A_n(\tau)=0,B_1(\tau)=A\frac{l}{\pi a}\sin \omega \tau,B_n(\tau)=0 (n=2,3,...) An(τ)=0,B1(τ)=Aπalsinωτ,Bn(τ)=0(n=2,3,...)到此,已求出 v ( x , t ; τ ) v(x,t;\tau) v(x,t;τ) v ( x , t ; τ ) = A l π a sin ⁡ ω τ sin ⁡ π a ( t − τ ) l cos ⁡ π x l . v(x,t;\tau)=A\frac{l}{\pi a}\sin \omega \tau \sin \frac{\pi a(t-\tau)}{l}\cos \frac{\pi x}{l}. v(x,t;τ)=Aπalsinωτsinlπa(tτ)coslπx.接着按照 u ( x , t ) = ∫ 0 t v ( x , t ; τ ) d τ u(x,t)=\int_0^tv(x,t;\tau)d\tau u(x,t)=0tv(x,t;τ)dτ得出答案 u ( x , t ) = ∫ 0 t v ( x , t ; τ ) = A l π a cos ⁡ π x l ∫ 0 t sin ⁡ ω τ sin ⁡ π a ( t − τ ) l d τ = A l π a 1 ω 2 − π 2 a 2 / l 2 ( ω sin ⁡ π a l t − π a l sin ⁡ ω t ) cos ⁡ π x l . u(x,t)=\int_0^{t}v(x,t;\tau)\\=\frac{Al}{\pi a}\cos\frac{\pi x}{l}\int_{0}^t\sin\omega\tau\sin\frac{\pi a(t-\tau)}{l}d\tau \\=\frac{Al}{\pi a}\frac{1}{\omega ^2-\pi^2a^2/l^2}(\omega\sin\frac{\pi a}{l}t-\frac{\pi a}{l}\sin \omega t)\cos \frac{\pi x}{l}. u(x,t)=0tv(x,t;τ)=πaAlcoslπx0tsinωτsinlπa(tτ)dτ=πaAlω2π2a2/l21(ωsinlπatlπasinωt)coslπx.输运问题,如泛定方程是非齐次的,完全可以仿照冲量定理法进行加以处理。比如,研究定解问题 u t − a 2 u x x = f ( x , t ) , u x ∣ x = 0 = 0 , u x ∣ x = l = 0 , u ∣ t = 0 = 0 u_t-a^2u_{xx}=f(x,t),\\u_x|_{x=0}=0,u_x|_{x=l}=0,\\u|_{t=0}=0 uta2uxx=f(x,t),uxx=0=0,uxx=l=0,ut=0=0,使用冲量定理我们可以导出 v ( x , t ; τ ) v(x,t;\tau) v(x,t;τ)的定解问题为 v t − a 2 v x x = 0 , v x ∣ x = 0 = 0 , v x ∣ x = l = 0 , v ∣ t = τ = f ( x , τ ) . v_t-a^2v_{xx}=0,\\v_x|_{x=0}=0,v_x|_{x=l}=0,\\v|_{t=\tau}=f(x,\tau). vta2vxx=0,vxx=0=0,vxx=l=0,vt=τ=f(x,τ).现在已是齐次泛定方程,齐次边界条件,可用分离变数法或傅里叶级数法求解,不过要注意,原来求解公式中的 t t t替换成 t − τ t-\tau tτ。同样 u ( x , t ) = ∫ 0 t v ( x , t ; τ ) d τ u(x,t)=\int_0^tv(x,t;\tau)d\tau u(x,t)=0tv(x,t;τ)dτ
    例3求解定解问题 u t − a 2 u x x = A sin ⁡ ω t , u ∣ x = 0 = 0 , u x ∣ x = l = 0 , u ∣ t = 0 = 0. u_t-a^2u_{xx}=A\sin\omega t,\\u|_{x=0}=0,u_x|_{x=l}=0,\\u|_{t=0}=0. uta2uxx=Asinωt,ux=0=0,uxx=l=0,ut=0=0. 首先有 u ( x , t ) = ∫ 0 t v ( x , t ; τ ) d τ , u(x,t)=\int^t_0v(x,t;\tau)d\tau, u(x,t)=0tv(x,t;τ)dτ, v ( x , t ; τ ) v(x,t;\tau) v(x,t;τ)则需从下述定解问题 v t − a 2 v x x = 0 , v ∣ x = 0 = 0 , v x ∣ x = l = 0 , v ∣ t = τ = A sin ⁡ ω τ v_t-a^2v_{xx}=0,\\v|_{x=0}=0,v_x|_{x=l}=0,\\v|_{t=\tau}=A\sin \omega \tau vta2vxx=0,vx=0=0,vxx=l=0,vt=τ=Asinωτ求解。这可以仿照例2,用分离变数法解出 v ( x , t ; τ ) = ∑ n = 0 ∞ C n e x p [ − ( n + 1 2 ) 2 π 2 a 2 l 2 ( t − τ ) ] sin ⁡ ( n + 1 2 ) π l ξ d ξ = 2 A sin ⁡ ω τ l l ( n + 1 2 ) π [ − cos ⁡ ( n + 1 2 π ) l ξ ] 0 l = 2 A sin ⁡ ω τ ( n + 1 2 ) π v(x,t;\tau)=\sum_{n=0}^{\infty}C_nexp[-\frac{(n+\frac{1}{2})^2\pi^2a^2}{l^2}(t-\tau)]\sin\frac{(n+\frac{1}{2})\pi}{l}\xi d\xi\\=\frac{2A\sin\omega\tau}{l}\frac{l}{(n+\frac{1}{2})\pi}[-\cos\frac{(n+\frac{1}{2}\pi)}{l}\xi]^l_0=\frac{2A\sin\omega\tau}{(n+\frac{1}{2})\pi} v(x,t;τ)=n=0Cnexp[l2(n+21)2π2a2(tτ)]sinl(n+21)πξdξ=l2Asinωτ(n+21)πl[cosl(n+21π)ξ]0l=(n+21)π2Asinωτ这样, v ( x , t ; τ ) = 2 A sin ⁡ ω τ π ∑ 0 ∞ 1 ( n + 1 2 ) e x p [ − ( n + 1 2 ) 2 π 2 a 2 l 2 ( t − τ ) ] sin ⁡ ( n + 1 2 ) π l x , v(x,t;\tau)=\frac{2A\sin\omega\tau}{\pi}\sum_0^{\infty}\frac{1}{(n+\frac{1}{2})}exp[-\frac{(n+\frac{1}{2})^2\pi^2a^2}{l^2}(t-\tau)]\sin\frac{(n+\frac{1}{2})\pi}{l}{x}, v(x,t;τ)=π2Asinωτ0(n+21)1exp[l2(n+21)2π2a2(tτ)]sinl(n+21)πx从而 u ( x , t ) = ∫ 0 t v ( x , t ; τ ) d τ = 2 A π ∑ n = 0 ∞ 1 ( n + 1 2 ) sin ⁡ ( n + 1 2 ) π x l e − ( n + 1 2 ) 2 π 2 a 2 t l 2 ∫ 0 t e x p [ ( n + 1 2 ) 2 π 2 a 2 τ l 2 ] sin ⁡ ω τ d τ = 2 A π ∑ n = 0 ∞ 1 ( n + 1 2 ) sin ⁡ ( n + 1 2 ) π x l 1 ( n + 1 2 ) 4 π 4 a 4 / l 4 + ω 2 ( ( n + 1 2 ) 2 π 2 a 2 l 2 sin ⁡ ω t − ω cos ⁡ ω t + ω exp ⁡ [ − ( n + 1 2 ) 2 π 2 a 2 t l 2 ] ) . u(x,t)=\int_0^{t}v(x,t;\tau)d\tau\\=\frac{2A}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+\frac{1}{2})}\sin\frac{(n+\frac{1}{2})\pi x}{l}\\e^{-\frac{(n+\frac{1}{2})^2\pi^2a^2t}{l^2}}\int_0^texp[\frac{(n+\frac{1}{2})^2\pi ^2a^2\tau}{l^2}]\sin\omega\tau d\tau \\=\frac{2A}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+\frac{1}{2})}\sin\frac{(n+\frac{1}{2})\pi x}{l}\frac{1}{(n+\frac{1}{2})^4\pi^4a^4/l^4+\omega ^2}\\ (\frac{(n+\frac{1}{2})^2\pi^2a^2 }{l^2} \sin\omega t-\omega\cos\omega t+\omega\exp[-\frac{{(n+\frac{1}{2})^2}\pi ^2a^2t}{l^2}]). u(x,t)=0tv(x,t;τ)dτ=π2An=0(n+21)1sinl(n+21)πxel2(n+21)2π2a2t0texp[l2(n+21)2π2a2τ]sinωτdτ=π2An=0(n+21)1sinl(n+21)πx(n+21)4π4a4/l4+ω21(l2(n+21)2π2a2sinωtωcosωt+ωexp[l2(n+21)2π2a2t]).

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    例一中T1解的求法【常数变易法】:
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    将一个离散时间信号进行傅立叶变换,怎样用MATLAB求该傅立叶变换中包含的频率值?

    (2014-12-12 09:38:34)

    标签:

    杂谈

    实际上将这个离散时间信号用origin进行傅立叶变换后可以得到频率,但不知它的原理

    基本思路是用fft做傅立叶变换,然后画出频谱图,其中的极值处就是频率值。比如下面这个例子,一个22hz的信号。

    %generate the time index

    sampling_rate = 100;

    t1 = 0:1/sampling_rate:3-1/sampling_rate;

    t2 = 3 1/sampling_rate:1/sampling_rate:6;

    t = [t1 t2];

    �termine the frequency of the input signal

    F1 = 2;

    F2 = 8;

    temp1 = sin(2*F1*pi*t1);

    temp2 = sin(2*F2*pi*t2);

    %generate the signals

    x1 = [temp1 temp2];

    %apply the FFT transform on the input signals

    y1 = fft(x1);

    %plot the input signal

    plot(t, x1); grid on; xlabel('time (seconds)');

    ylabel('Magnitude');

    %generate the frequency index

    f = (0:length(y1)-1)'*sampling_rate/length(y1);

    %plot the frequency components of the input signal

    plot(f(1:length(f)/2), abs(y1(1:length(y1)/2)));

    xlabel('Frequency (Hz)'); ylabel('Abs. Magnitude'); grid on;

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空空如也

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