• I am studying for exams and am failing to find a solid criteria by which I can determine if the Cartesian Product x is to be used or if Natural Join |X| is to be used.I had come up with a rough guide ...

I am studying for exams and am failing to find a solid criteria by which I can determine if the Cartesian Product x is to be used or if Natural Join |X| is to be used.

I had come up with a rough guide that:

"If you need to project an attribute that has the same name as an attribute in the table to be joined you must use x and state the table names to be projected: tableA.colname1 = tableB.colname1"

This however doesn't follow some of the solutions in my notes and my lecturer seems to use x with the above convention or |x| interchangeably.

Does anyone have a rule that can be followed to define use of one over the other?

Take for example this schema (only schema related to the question quoted for brevity):

takes(ID, course_id, sec_id, semester, year, grade)

student(ID, name, dept_name, tot_cred)

Q) Find the name of all students who took courses that were taught in either Spring 2011 or Autumn 2011.

π name(σ semester="Spring" ^ year=2011(takes ⋈ student)) ∪ π name(σ semester="Autumn" ^ year=2011(takes ⋈ student))

π name(σ semester="Spring" ^ year=2011 ^ takes.ID=student.ID(takes x student)) ∪ π name(σ semester="Autumn" ^ year=2011 ^ takes.ID=student.ID(takes x student))

Can anyone provide a reason as to why?

In my mind the Natural Join would take care of the takes.ID=student.ID?

解决方案

A natural join, as I understand it, is a projected, filtered Cartesian product:

You take the Cartesian product, then

select it, so that the values in columns of the same name have the same value, and

project it, so that all columns have distinct names.

To see this, you might want to expand the natural join to the above sequence of operators, and float them around using the laws of relational algebra. You'll see that the projection disappears due to the projection to name, and the selection criterion is fused with the selection above. You'll end up with exactly the same tree as the actual answer, even though you never changed the meaning of your own answer!

I can think of one reason why your lecturer uses these concepts interchangeably: your lecturer wants you to understand that these concepts can be used interchangeably, because "the natural join is just a shortcut" (though that's debatable).

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• 笛卡尔积的结果上再进行选择操作，挑选关系第i个分量与第(r+j)个分量值相等的元组 3. 自然连接 在等值联接(以公共属性值相等为条件)的基础上再行投影操作，去掉S中的公共属性列，当两个关系没有公共属性时，自然...

1. 笛卡尔积
对两个关系R和S进行操作，产生的关系中元组个数为两个关系中元组个数之积。
2. 等值联接（内连接的一个子集）
在笛卡尔积的结果上再进行选择操作，挑选关系第i个分量与第(r+j)个分量值相等的元组
3. 自然连接（后面不加on或where）
在等值联接(以公共属性值相等为条件)的基础上再行投影操作，去掉S中的公共属性列，当两个关系没有公共属性时，自然连接就转化成笛卡尔积
4.内连接
即默认连接A inner join B on sth等同于A join B on sth，同理A nature inner join B等同于A nature join B

直接上图

Student表：

Score表：

1. 笛卡尔积
SQL语句select * from Student, Score，结果太长只展示一部分。关系代数形式如下：
2. 等值连接（内连接的一个子集）
Sno相等的连接在一起，内连接SQL语句表达为select * from Student inner join Score on Student.Sno = Score.Sno等价于select * from Student join Score on Student.Sno = Score.Sno，关系代数形式如下：
3. 自然连接
去掉了一个相等的Sno列，SQL语句select * from Student natural join Score，关系代数形式如下：

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•  有五种基本的关系代数运算，并（符号为V）、差（符号为^）、投影（）、笛卡尔积、选择，补充关系代数运算有，交、连接、除、广义投影、外连接。    1、笛卡尔积 ，从数学角度理解，就是将集合A和集合B中...

关系代数 这部分知识，在软考-数据库部分是比较重要的。

有五种基本的关系代数运算，并（符号为V）、差（符号为^）、投影（）、笛卡尔积、选择，补充关系代数运算有，交、连接、除、广义投影、外连接。

1、笛卡尔积 ，从数学角度理解，就是将集合A和集合B中所有有序对元素集合。

例如：假设集合A={a,b}，集合B={0,1,2}，则两个集合的笛卡尔积为{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1), (b,2)} 。即若R有k1个元组，S有k2个元组，则关系R和S的笛卡尔积有k1*k2个元组。

全码：关系模式中所有属性组都是这个关系模式的候选码。

2、投影 ，这里从定义看，投影和选择 都是根据给定的条件来对元组进行选择性组成，最大的不同就是前者以列为基点，后者以元组行为基点。

3、选择

4、连接

注意，连接运算的操作基础是两个关系的笛卡尔积。

5、

按照上面的定义，我们来实战一下。

标注：例1中关系R图第1列第2行改为a1

按定义，关系R(X,Y)和S(Y,Z)中R与S是根据Y属性关联起来的，对应到本题，X为关系模式R中除去Y(属性B)的属性集合­――Ａ属性和Ｃ属性的组合，其实关系模式Ｓ中的Ｚ是不鸟的――木用哈。

X的象集这样来求。在关系R图中，AC属性值组合配对B属性值，这样就有 和

关系S在Y上的投影为选取S上的Y 属性列，其值为（b1，b2）。

那么， 满足对（b1，b2）的包含关系，即为（a1c1

6、外连接

注意，运算的操作基础是两个关系Ｒ和Ｓ先做自然连接运算，选定两个关系中公共属性上相等的元组，再去掉重复的属性列。然后该考虑以上定义所述，做外连接即是将左侧关系中与右侧公共属性不等的元组值补填到结果元组集的左侧部分，结果元组集的右侧部分则为填null

附：

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• 数据库相关 关系代数 并、交、叉、笛卡尔积、投影、选择、连接数据库关系代数数据关系数据关系S1数据关系S2数据关系S3并 US1US2交 ∩S1∩S2差 -S1-S2笛卡尔积 xS1xS2投影 ππno,name(S1)\pi_{no,name}(S1)πno,name...

记录一下方便以后翻阅

# 数据库关系代数

## 数据关系

### 数据关系S1

 no name dept 0001 张三 xx部 0002 李四 xx部 0003 王五 xx部

### 数据关系S2

 no name dept 0001 张三 xx部 0005 钱五 xx部 0006 孙六 xx部

### 数据关系S3

 no age gender 0001 18 男 0005 25 女 0006 26 男

## 并 U

### S1US2

 no name dept 0001 张三 xx部 0002 李四 xx部 0003 王五 xx部 0005 钱五 xx部 0006 孙六 xx部

## 交 ∩

### S1∩S2

 no name dept 0001 张三 xx部

## 差 -

### S1-S2

 no name dept 0002 李四 xx部 0003 王五 xx部

## 笛卡尔积 x

### S1xS2

 no name dept no name dept 0001 张三 xx部 0001 张三 xx部 0001 张三 xx部 0005 钱五 xx部 0001 张三 xx部 0006 孙六 xx部 0002 李四 xx部 0001 张三 xx部 0002 李四 xx部 0005 钱五 xx部 0002 李四 xx部 0006 孙六 xx部 0003 王五 xx部 0001 张三 xx部 0003 王五 xx部 0005 钱五 xx部 0003 王五 xx部 0006 孙六 xx部

## 投影 π

### π n o , n a m e ( S 1 ) \pi_{no,name}(S1)

 no name 0001 张三 0002 李四 0003 王五

## 选择 δ

### δ n o = 0001 ( S 1 ) \delta_{no=0001}(S1)

 no name dept 0001 张三 xx部

选择次序操作
1.括号 ()
2.比较运算符 θ   θ ∈ { > , ⩾ , < , ⩽ , = , ≠ } θ∈{\{>,\geqslant,<,\leqslant ,=,\neq\}}
3.非 not
4.与 and
5.或 or

## 连接 ⋈

### S 1 ⋈ S 3 S1⋈S3

 no name dept age gender 0001 张三 xx部 18 男

一般连接符号下要写连接条件 S 1 A θ B ⋈ S 3 S1^⋈_{AθB} S3

当没写条件时,为自然连接 此时连接条件为:两段关系中相同的字段做等值,上例中其等价于 S 1 S 1. n o = S 3. n o ⋈ S 3 S1^⋈_{S1.no=S3.no} S3
一般连接是从关系的水平方向运算,而自然连接不仅要从关系的水平方向,而且要从关系的垂直方向运算(去掉重复属性).
连接与笛卡尔积的区别,连接操作会吧S1,S2都有的数据仅保留一个

## 连接,选择,印射

### π n o , n a m e , a g e , g e n d e r ( δ S 2. n o = 0005 ( S 2 ⋈ S 3 ) ) \pi_{no,name,age,gender}(\delta_{S2.no=0005}(S2⋈S3))

 no name age gender 0005 张三 18 男

## 除

ABCD
abcd
abef
abhk
bdef
bddl
ckcd
ckef

CD
cd
ef

### 关系A÷B

AB
ab
ck
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