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问答
  • 研究了Banach空间X中的级数∑∞n=1xn的收敛性、绝对收敛性、弱无条件收敛性、无条件收敛性与可和性等概念之间的关系,证明了:当X为一般Banach空间时,无条件收敛性与可和性是等价的;当X为Hilbert空间时,弱无条件收敛性...
  • 为判断非负矩阵级数收敛性,通过类比非负矩阵级数与正数项级数的一些性质,证明了非负矩阵级数的M判别法、比较原则、比较判别法定理及推论.证明了可以通过布尔矩阵和函数矩阵的反常积分判别非负矩阵级数的收敛性.
  • 关于一类三角级数的收敛性,吴建伟,,本文讨论了一类三角级数的收敛性,解决了其中一种特定情形下的级数收敛问题。
  • 交错级数收敛性判断

    千次阅读 2015-11-06 10:33:00
    0$为常数,则级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}n^{n-1}}{n^{n}+a^{n}n}$的收敛性如何? 解:由$$u_{n}=\frac{n^{n-1}}{n^{n}+a^{n}n}=\frac{1}{n+(\frac{a}{n})^{n}n^{2}} \sim \frac{1}{n} ,n \to \infty$...

    设$a>0$为常数,则级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}n^{n-1}}{n^{n}+a^{n}n}$的收敛性如何?

     

    解:由$$u_{n}=\frac{n^{n-1}}{n^{n}+a^{n}n}=\frac{1}{n+(\frac{a}{n})^{n}n^{2}} \sim \frac{1}{n} ,n \to \infty$$

    知该级数非绝对收敛。

    设$f(x)=x+(\frac{a}{x})x^{2}$,则

    $$f'(x)=1+(\frac{a}{x})^{x}x^{2}(\ln \frac{a}{x}-1+\frac{2}{x})$$

    极限$$\lim_{x \to +\infty}f'(x)=1+\lim_{x\to +\infty}(\frac{a}{x})^{x}x^{2}\ln \frac{a}{x}=1-\lim_{x\to \infty}(\frac{a}{x})^{x}x^{2}\ln x=1$$

    所以存在$M>0$,当$x>M$时$f(x)$严格单调递增,从而$u_{n}$单调递减趋于零,由Leibnitz判别法知级数(条件)收敛。

    注意有如下极限成立:

    (i). $$\lim_{x\to \infty}(\frac{a}{x})^{x}x^{2}=0,a>0$$

     

    (ii). $$\lim_{x\to \infty}(\frac{a}{x})^{x}x^{\beta}=0,a>0,\beta >0$$

     

    (iii).  $$\lim_{x\to \infty}(\frac{a}{x})^{x}x^{2}\ln x=0,a>0$$

    证明:此处用夹逼准则, $\ln x < x $.

    转载于:https://www.cnblogs.com/zhangwenbiao/p/4941873.html

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  • (比较判别法的极限形式)设Σn=1∞an\Sigma _{n=1} ^{\infty} a_nΣn=1∞​an​和Σn=1∞bn\Sigma _{n=1} ^{\infty} b_nΣn=1∞​bn​均为正项级数,且limn−>∞anbn=llim_{n->\infty} {a_n \over b_n}=llimn...

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    比值判别法 设 Σ n = 1 ∞ a n \Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n Σn=1an为正项级数,且 l i m n − > ∞ a n + 1 a n = q lim_{n->\infty} {a_{n+1}\over a_n}=q limn>anan+1=q,则有

    • 0 < = q < 1 0<=q<1 0<=q<1时,级数设 Σ n = 1 ∞ a n \Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n Σn=1an收敛
    • q > 1 q>1 q>1时,级数设 Σ n = 1 ∞ a n \Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n Σn=1an发散

    (比较判别法的极限形式)设 Σ n = 1 ∞ a n \Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n Σn=1an Σ n = 1 ∞ b n \Sigma _{n=1} ^{\infty} b_n Σn=1bn均为正项级数,且 l i m n − > ∞ a n b n = l lim_{n->\infty} {a_n \over b_n}=l limn>bnan=l

    • 0 < l < ∞ 0<l<\infty 0<l<时,级数 Σ n = 1 ∞ a n \Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n Σn=1an Σ n = 1 ∞ b n \Sigma _{n=1} ^{\infty} b_n Σn=1bn有相同的敛散性;
    • l = 0 l=0 l=0时,如果级数 Σ n = 1 ∞ b n \Sigma _{n=1} ^{\infty} b_n Σn=1bn收敛,那么 Σ n = 1 ∞ a n \Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n Σn=1an收敛
    • l = ∞ l=\infty l=时,如果级数 Σ n = 1 ∞ b n \Sigma _{n=1} ^{\infty} b_n Σn=1bn发散,那么 Σ n = 1 ∞ a n \Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n Σn=1an发散

    (根值判别法)设 Σ n = 1 ∞ a n \Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n Σn=1an为正项级数,且 l i m n − > ∞ a n = q lim_{n->\infty} \sqrt {a_n}=q limn>an =q,则有

    • 0 < = q < 1 0<=q<1 0<=q<1时,级数设 Σ n = 1 ∞ a n \Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n Σn=1an收敛
    • q > 1 q>1 q>1时,级数设 Σ n = 1 ∞ a n \Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n Σn=1an发散
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  • 高等数学学习笔记——第十二讲——正项级数收敛性判别方法.pdf
  • 高等数学学习笔记——第十三讲——变号级数收敛性判别方法.pdf
  • 国防工业大学高数(一)课件。。。。。与国防工业大学出的书配套课件。
  • 国防工业大学高数(一)课件。与国防工业大学出的书配套课件。
  • 文章目录收敛定义级数收敛的柯西准则推论:级数收敛的必要条件定理12.3:去掉、增加或改变级数的有限个项不改变级数的敛散性定理12.4:在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性,也不改变它的和关于等比...

    收敛定义

    部分和数列 { S n } \{S_n\} {Sn}收敛 ⇔ \Leftrightarrow 级数收敛

    级数收敛的柯西准则

    级数 ∑ u n \sum u_n un收敛 ⇔ \Leftrightarrow
    ∀ ε &gt; 0 , 总 ∃ N ∈ N ∗ , 使 得 当 m &gt; N 及 对 ∀ p ∈ N ∗ , 有 \forall\varepsilon&gt;0,总\exist N\in N^*,使得当m&gt;N及对\forall p\in N^*,有 ε>0,NN,使m>NpN, ∣ u m + 1 + . . . + u m + p ∣ &lt; ε |u_{m+1}+...+u_{m+p}|&lt;\varepsilon um+1+...+um+p<ε

    \
    由上得级数发散的充要条件
    级数 ∑ u n \sum u_n un发散 ⇔ \Leftrightarrow
    ∃ ε 0 &gt; 0 , 对 ∀ N ∗ , 当 总 ∃ m 0 &gt; N 和 p 0 , 有 \exist\varepsilon_0&gt;0,对\forall N^*,当总\exist m_0&gt;N和p_0,有 ε0>0,N,m0>Np0, ∣ u m 0 + 1 + . . . + u m 0 + p ∣ ≥ ε |u_{m_0+1}+...+u_{m_0+p}|\ge\varepsilon um0+1+...+um0+pε

    级数收敛的柯西准则和数列的收敛准则类似,只是这里的数列是 { S n } \{S_n\} {Sn}

    推论:级数收敛的必要条件

    若级数收敛,则 lim ⁡ n → + ∞ u n = 0 \lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0 n+limun=0
    常用在判断级数发散上

    定理12.3:去掉、增加或改变级数的有限个项不改变级数的敛散性

    定理12.4:在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性,也不改变它的和

    So,如果加了括号改变了收敛性,那绝对发散了呀!

    关于等比级数的结论

    a + a q + a q 2 + . . . + a q n + . . . a+aq+aq^2+...+aq^n+... a+aq+aq2+...+aqn+...
    lim ⁡ n → + ∞ S n = lim ⁡ n → + ∞ a 1 − q n 1 − q \lim\limits_{n\to+\infty}S_n=\lim\limits_{n\to+\infty}a\frac{1-q^n}{1-q} n+limSn=n+lima1q1qn = { a 1 − q ∣ q ∣ &lt; 1 ∞ ∣ q ∣ ≥ 1 =\begin{cases}\frac a{1-q}&amp;|q|&lt;1\\\infty&amp;|q|\ge1\end{cases} ={1qaq<1q1

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  • 我们将建立一些关于一个任意的正项级数Σa_n(a_n≥0)是否收敛的判断法。在我们的讨论中,θ将是一个定数,0
  • 肯普纳级数收敛性的证明

    千次阅读 2016-06-17 17:15:42
    对于调和级数可有多种方法证明其是发散的,证明见调和级数发散的证明。

    级数证明的重要手段即为:放缩;

    对于调和级数可有多种方法证明其是发散的,证明见调和级数发散性的证明

    所谓肯普纳级数即为,将分母中包含 9 的项都舍弃,即为:

    1+12++18+110++118+120++128++180++188+1100+

    证明见 肯普纳级数

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  • 1.正项级数收敛的充要条件 2.比较判别法 3.比值判别法与根植判别法 3.1比值判别法 3.2根值判别法
  • 1.交错级数 1.1莱布尼兹判别 2.绝对收敛 3.条件收敛 4.Tips 4.1交换律 4.2级数的乘积
  • from: http://math.fudan.edu.cn/gdsx/XXYD.HTM
  • 1. 问题引入——是否存在判别收敛性的一般方法?什么条件能确保收敛级数满足交换律? 2. 交错级数的定义及莱布尼兹判别法 3. 交错级数敛散性证明示例 4. 变号级数的敛散性可通过正项级数敛散性进行...
  • 基于Fourier级数的逐点收敛性已经有很全面的研究,如Dini判别法、Lipschitz判别法、Dirichlet-Jordan判别法 等,而关于Fourier级数的一致收敛性在文献中很少提及,本文将讨论Fourier级数的一致收敛性的几个判别方法。
  • 利用Euler 公式求三角级数 的和函数并讨论其一致收敛性.
  • 2. 正项级数的定义及正项级数收敛的充要条件 3. p级数及其敛散(p>1则收敛,反之不然?) 4. 比较判别法的不等式形式 5. 比较判别法的极限形式 6. 比值判别法(达朗贝尔判别法) ...
  • 级数 收敛半径

    万次阅读 2017-12-09 16:46:27
    设   是定义在某区间I上的函数列,则表达式   (1) 称为定义在区间I上函数项级数。 如果式(1)上的各项   都是定义在区间 ...幂级数收敛半径的求法 ... 关于级数收敛半径的求法,我们有下面的定
  • 讨论了双交错级数的收敛性问题,利用极限理论证明了双交错级数的收敛性,从而推广了判别交错级数收敛性的莱布尼兹法。并对一类特殊的双交错级数求和问题,给出了相应的求和公式和示例。
  • 无穷级数收敛性

    2016-12-26 18:39:00
    转自: (zwb565055403) ...tid=37142 无穷级数收敛性 同学们在初等数学已经知道有限个实数 $$u_{1},u_{2},\cdots,u_{n}$$ 之和仍为实数。这一节课,我们将讨论无穷个实数 $$u_{1},u_{2},\...
  • 本文把决定Dirichlet级数收敛横坐标的Kojima-Knopp公式推广到复指数Dirichlet级数情形。
  • 基于Fourier级数的逐点收敛性已经有很全面的研究,如Dini判别法、Lipschitz判别法、Dirichlet-Jordan判别法等,而关于Fouricr级数的一致收敛性在文献中很少提及,本文将讨论Fourier级数的一致收敛性的几个判别方法。
  • 运用Minkowski不等式和其他不等式,研究了正项随机级数的敛散,给出了正项随机级数收敛的两个定理,并推广了相关结果。
  • 在通常的序关系意义下,借助模糊数水平集的概念,研究模糊数级数收敛性问题.对于正项、一般项以及Leibniz型模糊数级数,分别给出了相应的收敛判别法,从而推广了经典函数项级数的一些基本性质.

空空如也

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