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  • 关键路径AOE网

    2019-12-09 20:24:39
    AOE网中没有入边的顶点称为始点(或源点),没有出边的顶点称为终点(或汇点)。 AOE网的性质 ⑴ 只有在某顶点所代表的事件发生后,从该顶点出发的各活动才能开始; ⑵ 只有在进入某顶点的各活动都结束,该顶点所...

    AOE网的定义

    在一个表示工程的带权有向图中,
    顶点表示事件
    有向边表示活动
    边上的权值表示活动的持续时间
    称这样的有向图叫做边表示活动的网,简称AOE网。
    AOE网中没有入边的顶点称为始点(或源点),没有出边的顶点称为终点(或汇点)。

    AOE网的性质

    ⑴ 只有在某顶点所代表的事件发生后,从该顶点出发的各活动才能开始;
    ⑵ 只有在进入某顶点的各活动都结束,该顶点所代表的事件才能发生。

    AOE网可以回答下列问题:

    完成整个工程至少需要多少时间?
    从始点到终点的路径可能不止一条,只有各条路径上所有活动都完成了,整个工程才算完成。
    因此,完成整个工程所需的最短时间取决于从始点到终点的最长路径长度,即这条路径上所有活动的持续时间之和。
    这条路径长度最长的路径就叫做关键路径
    关键活动:关键路径上的活动称为关键活动。

    关键路径

    首先计算以下与关键活动有关的量:
    ⑴ 事件的最早发生时间ve[k]
    ⑵ 事件的最迟发生时间vl[k]
    ⑶ 活动的最早开始时间e[i]
    ⑷ 活动的最晚开始时间l[i]
    最后计算各个活动的时间余量 l[k] - e[k],时间余量为0者即为关键活动。

    ⑴ 事件的最早发生时间ve[k]

    ve[1]=0
    ve[k]=max{ve[j]+len<vj, vk>} (<vj, vk>∈p[k])

    在这里插入图片描述

    ⑵ 事件的最迟发生时间vl[k]

    vl[n]=ve[n]
    vl[k]=min{vl[j]-len<vk , vj>}(<vk, vj>∈s[

    在这里插入图片描述

    ⑶ 活动的最早开始时间e[i]

    若活动ai是由弧<vk , vj>表示,则活动ai的最早开始时间应等于事件vk的最早发生时间。因此,有:
    e[i]=ve[k]

    在这里插入图片描述

    ⑷ 活动的最晚开始时间l[i]

    活动ai的最晚开始时间是指,在不推迟整个工期的前提下, ai必须开始的最晚时间。
    若ai由弧<vk,vj>表示,
    则ai的最晚开始时间要保证事件vj的最迟发生时间不拖后。
    因此,有:
    l[i]=vl[j]-len<vk, vj>

    在这里插入图片描述
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  • 关键路径AOE网

    千次阅读 2014-10-15 14:35:46
    前面讲了AOV,现在来介绍AOE网。在一个表示工程的youxiang

     前面讲了AOV网,现在来介绍AOE网。在一个表示工程的有向带权图中, 用顶点表示时间,然后用有向边代表活动,用边上的权值代表活动持续的时间,这种有向图的边表示活动的网,我们称之为AOE网(Activity on edge network). 我们通常把AOE网站没有入边的顶点即入度为零的顶点称之为源点,而没有出边或者出度为0的顶点称之为终点。正常情况下一个工程会有一个起始事件和终止事件。也就是说只有一个源点和终点。如下图所示的是一个AOE网,其中V0为源点,表示一个工程的开始,V9是一个终点,表示整个工程的结束。顶点v0, V1, .......V9分别表示时间,而弧<V0, V1>, <v0, V2>, ..........<V8, V9>都表示一个活动,用a0,a1,......a12表示,他们的值代表者活动持续的时间。


    尽管AOE网表示工程流程,所有它具有很明显的工程的特性。 如果在某个顶点代表的事件发生后, 从该顶点出发的个活动才能开始,只有进入某顶点的个活动都已经结束后,该顶点所代表的事件才可以发生。AOV网是顶点表示活动的网,他描述的是各个活动之间的制约关系。 而AOE网是边表示活动的网,表上的权值表示活动的持续时间,因此,AOE网是要建立在活动之间制约关系没有矛盾的基础之上(满足AOV网关系基础),再来分析完成整个工程至少需要的时间,或者说为了缩减完成的工程所需要时间,应当考虑加快哪些活动等一系列问题。



    关键路径:我们把AOE网上每条路径上活动所持续时间之和称之为路径长度, 从源点到终点具有最大的长度的路径叫做关键路径, 在关键路径上的活动叫做关键活动。上图中 开始-发动机完成-部件集中到位-组装完成 就是一条关键路径,路径长度为5.5。

    对于关键路径对于整个工程的影响会很大,想优化整个工程就必须要考虑从关键路径着手进行优化,比如上图中代表的整个工期,去改进轮子的产生效率,哪怕是优化成0.1也是没有多大作用, 只有缩短关键路径上的关键活动,才可以减少整个工期的长度。比如如果发动机的制造时间缩短为2.5, 整个组装缩短为1.5 , 那么关键路径的长度就变成了4.5,整个工程就能早一天完工。


    如何求得关键路径,首先要熟悉几个名词,事件最早开始时间,事件最晚开始时间,活动最早开始时间, 活动最晚开始时间。有的读者要开始犯迷糊了,活动开始就开始,哪里有什么最早最晚? 那么我们举个例子来说明: boss给你分配了个任务,让你下班以前交工,你一看时间,距离下班还有四个小时时间,但是这个任务你只需要两个小时就能做完,假设做完也就能验收通过。那么你可以考虑现在立马开始做任务,做完任务两个小时的剩余时间可以看看技术文章什么的,那你也可以考虑先喝杯下午茶看看文章,两个小时候在开始做任务,也能在下班前搞定任务。如果把做这个任务当成是一项活动, 那么现在立马开始就是0时间开始,也就是最早开始时间, 你也可以选择两小时后开始,不能再晚了不然就要加班了。那么2就是最晚开始时间。 这里最晚开始时间和最早开始时间不相等,表明你还有空闲时间,这一活动不是关键路径,假如你boss发现了你这个秘密,为了让你做更多的贡献,给你加派了两个小时的工作量,这下可好 最早开始时间和最晚开始时间一致了,都是0现在立马开始工作,否则就要加班咯,这样你就没有空闲时间了,这一活动就变成了关键活动。

    关键路径的求得方式就是找到所有活动的最早和最晚开始时间, 如果该活动没有空余时间,也就是最早活动时间和最晚活动时间相等, 那么你该活动就是关键活动,关键活动组成的一条路径称之为关键路径,关键路径可能不唯一,这取决于图的形态。

    与关键路径有关的几个概念:
            ⑴事件的最早发生时间ve[k] :ve[k]是指从始点开始到顶点vk的最大路径长度。
            ⑵事件的最迟发生时间vl[k] :vl[k]是指在不推迟整个工期的前提下,事件vk允许的最晚发生时间。
            ⑶活动的最早开始时间ete[i] :若活动ai是由边<vk→vj>表示,则活动ai的最早开始时间应等于事件vk的最早发生时间。因此有:ete[i]=ve[k]。
            ⑷活动的最晚开始时间lte[i] :活动ai的最晚开始时间是指,在不推迟整个工期的前提下,ai必须开始的最晚时间。
    若ai由边<vk→vj>表示,则ai的最晚开始时间要保证事件vj的最迟发生时间不拖后。因此,有:lte[i]
     = vl[j] - len<vk, vj> len是ai活动的持续时间。
    注意:ete(i) == lte(i) 的活动i叫关键活动
         
    关键路径的算法:
            可以采取如下步骤求得关键活动:
            (1)从起点v1出发,令ve(1)=0,按拓扑排序序列求其余各顶点可能最早发生时间。Ve(k) = max{ ve(j)
     + len(vj,vk)}
      其中j∈T,T是以vk为终点的所有边的起点集合(2 ≤ k ≤ n);
     len(vj, vk)表示vj到vk的边的长度,即活动权值,下同。
            如果得到的拓扑排序序列中顶点的个数小于网络顶点个数n,则说明网络中有环,不能求出关键路径,算法结束。
            (2)从终点vn出发,令vl(n) = ve(n),按逆拓扑排序序列求其余各顶点的允许的最迟发生时间:vl(j)
     = min{ vl(k) - len(vj,vk) }
     其中k∈S,S是以起点为vj的所有边的终点集合(1 ≤
     j ≤ n-1)。
            (3)求每一项活动ai(1 ≤ i ≤ m)的最早开始时间ete(i)
     = ve(j);最晚开始时间:lte(i) = vl(k) - len(vj, vk),若某条边满足 e(i) = l(i) ,则它是关键活动。

    拓扑排序已经在上一篇文章(拓扑排序)中有过介绍,不在此重复介绍。


    code show:

    typedef struct edge  
    {  
    	int AdjVertex;  
    	int weight;
    	edge* Next;  
    }EdgeNode;  
    
    typedef struct vertex  
    {  
    	int InDegree;  
    	int Infos;  
    	EdgeNode* FirstEdge;  
    }VertexNode, AdjList[100];  
    
    typedef struct graph  
    {  
    	AdjList adjlist;  
    	int vernum, edgenum;  
    }Graph;  
    
    int* ve;
    int* vl;
    stack<int> tstack;
    
    int TopologicalSort(Graph* g)  
    {  
    	int count  = 0;  
    	int idt;
    	VertexNode node;  
    	EdgeNode* tmp = NULL;  
    	stack<int> stackver;       // 辅助栈结构  
    
    	// 遍历所有顶点,将顶点入度为0的所有顶点都加入栈  
    	for (int i = 0; i < g->vernum; i++)  
    	{  
    		if (g->adjlist[i].InDegree == 0)  
    		{  
    			stackver.push(i);  
    		}  
    	}  
    
    	ve = (int*) malloc(g->vernum * sizeof(int));
    	for (int i = 0; i < g->vernum; i++)
    	{
    		ve[i] = 0;	 // 初始化所有事件的最早开始时间
    	}
    
    	// 循环处理所有顶点入度为0的顶点  
    	while(!stackver.empty())  
    	{  
    		idt = stackver.top();  
    		stackver.pop();  
    		count++;  
    		cout << g->adjlist[idt].Infos << endl;  
    	
    		tstack.push(idt);   // 将拓扑排序的逆序压入备用栈
    
    		int index;  
    		tmp = g->adjlist[idt].FirstEdge;  
    		while(tmp != NULL)  // 遍历顶点为入度为0的顶点,并且处理和其相关的顶点  
    		{  
    			index = tmp->AdjVertex;  
    			g->adjlist[index].InDegree--; // 以该顶点为起点的顶点入度减1  
    			if (g->adjlist[index].InDegree == 0)  
    			{ // 判断相关连的顶点是否成为新的入度为0的点,满足条件进行入栈  
    				stackver.push(index);  
    			}  
    
    			if (ve[idt] + tmp->weight > ve[index])	// 从起点开始计算事件的最早发生时间
    				ve[index] = ve[idt] + tmp->weight;	// 需要满足所有的拓扑关系
    		}  
    	}  
    
    	// 当所有顶点都处理为入度为0,拓扑排序完成  
    	if (count == g->vernum)  
    	{  
    		cout << "Topological sort succeed" << endl;  
    		return 1;  
    	}  
    
    	// 尚有顶点无法处理说明不是AOV网,是有向带环图  
    	cout << "Topological sort failed" << endl;  
    	return 0;
    }  
    
    void CriticalPath(Graph* g)
    {
    	EdgeNode* e;
    	int ete, lte;	// 活动最早发生的时间和最晚发生的时间
    	int idt;
    	if (!TopologicalSort(g))
    		return;
    
    	vl = (int*) malloc(g->vernum * sizeof(int));
    	for (int i = 0; i < g->vernum; i++)
    	{
    		vl[i] = ve[g->vernum-1]; // 初始化所有的最晚发生时间
    	}
    
    
    	while(!tstack.empty())   // 根据拓扑逆序列来实现最晚时间发生时间的求解,其实就是拓扑排序逆向处理图
    	{
    		idt = tstack.top();
    		tstack.pop();
    
    		e = g->adjlist[idt].FirstEdge;
    		while(e)
    		{
    			int index = e->AdjVertex;
    			if (vl[index] - e->weight < vl[idt])	// 最早和最晚发生时间 多个事件比对选出全部满足的最值
    				vl[idt] = vl[index] - e->weight;	// 也就是所有时间的发生都需要完全满足拓扑关系
    
    			e = e->Next;
    		}
    	}
    
    	// 遍历全部时间来求取关键路径
    	for (int i = 0; i < g->vernum; i++)
    	{
    		e = g->adjlist[i].FirstEdge;
    		while(e != NULL)
    		{
    			int index = e->AdjVertex;
    
    			ete = ve[i];					// 活动最早时间
    			lte = vl[index] - e->weight;	// 活动最晚时间
    			if (ete == lte)					// 判断是否是关键活动 即是否空余时间
    			{
    				cout << "<" << g->adjlist[i].Infos << ', ' << g->adjlist[index].Infos << "> ";
    			}
    			e = e->Next;
    		}
    	}
    	cout << endl;
    }


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  • 关键路径AOE网

    千次阅读 2013-05-21 21:16:46
    在一个表示工程的带权有向图,用顶点表示事件,用有向边表示活动,用边上的权值表示活动的持续时间,这种有向图的边表示活动的,我们叫做AOE网(Activity On Edge Network)。AOE网中没有入度的顶点称为源点或始...

            在一个表示工程的带权有向图中,用顶点表示事件,用有向边表示活动,用边上的权值表示活动的持续时间,这种有向图的边表示活动的网,我们叫做AOE网(Activity On Edge Network)。AOE网中没有入度的顶点称为源点或始点,没有出度的顶点称为终点。AOE网是要建立在活动之间制约关系没有矛盾的基础之上,再来分析完成整个工程至少需要多少时间。

            我们把路径上各个活动所持续的时间之和叫做路径长度,从源点到终点具有最大长度的路径叫做关键路径,在关键路径上的活动叫关键活动。我们找到所有活动的最早开始时间和最晚开始时间,如果它们相等,则此活动是关键活动,活动间的路径为关键路径。如果不相等,则就不是。


           我们定义一下四个参数:

                   1.事件的最早发生时间 etv,即顶点Vk的最早发生时间;

                   2.事件的最晚发生时间 ltv,即顶点Vk的最晚发生时间;

                   3.活动的最早开工时间 ete,边Ak的最早发生时间;

                   4.活动的最早开工时间 lte,边Ak的最晚发生时间;

           我们由1和2可以求得3和4,然后在根据 ete 和 lte 是否相等来判断活动k是否为关键活动。

         

          求事件的最早发生时间 etv[i] 的过程,就是从头到尾找拓扑序列的过程,因此,在求关键路径之前,需要先调用一次拓扑序列算法的代码来计算 etv[i] 和拓扑序列列表。

    代码如下:

    //边表结点
    typedef struct EdgeNode  
    {
    	int adjvex;//邻接点域,存储该顶点对应的下标
    	int weight;//存储权值
    	struct EdgeNode * next;
    }EdgeNode;
    
    //顶点表结构
    typedef struct VertexNode 
    {
    	int in;//顶点入度
    	int data;//顶点域,存储顶点信息
    	EdgeNode * firstedge;//边表头指针
    }VertexNode;
    
    typedef struct  GraphAdjList
    {
    	VertexNode adjList[MAXVEX];
    	int vertexNum;
    }GraphAdjList;
    
    int etv[VERTEX],ltv[VERTEX];//事件最早发生时间和最晚发生时间
    int stack2[VERTEX];//用于存储拓扑序列的栈
    int top2;//指向stack2的栈顶
    
    void TopologicalSort(GraphAdjList GL)
    {
    	EdgeNode * e;
    	int i,k,gettop;
    	int top = -1;//指向栈顶
    	int count = 0;//统计输出顶点的个数
    	int stack[MAXVEX];//用栈来存储入度为0的顶点
    
    	for (i = 0; i < GL.vertexNum; i++)
    		if (GL.adjList[i].in == 0)
    			stack[++top] = i;//将入度为0的顶点入栈
    	top2 = -1;
    	for (i = 0; i < GL.vertexNum; i++)
    		etv[i] = 0;//初始化为0
    
    	while (top != -1)
    	{
    		gettop = stack[top--];//出栈
    		count++;
    		stack2[++top2] = gettop;//将弹出的顶点序号压入拓扑序列的栈
    		e = GL.adjList[gettop].firstedge;
    		while (e != NULL)//遍历此顶点的弧表
    		{
    			k = e->adjvex;
    			if (!(--GL.adjList[k].in))//入度为0则入栈
    				stack[++top] = k;
    			if ((etv[gettop] + e->weight) > etv[k])//求各顶点事件最早发生时间值
    				etv[k] = etv[gettop] + e->weight;
    			e = e->next;
    		}
    	}
    	if (count < GL.vertexNum)
    		printf("有回路");
    }
    
    void CriticalPath(GraphAdjList GL)
    {
    	EdgeNode * e;
    	int i,gettop,k,j;
    	int ete,lte;//声明活动最早发生时间和最迟发生时间
    	TopologicalSort(GL);	//求拓扑序列,计算数组etv和stack2的值
    	for (i = 0; i < GL.vertexNum; i++)
    		ltv[i] = etv[GL.vertexNum - 1];//初始化ltv
    	while (top2 != -1)//计算ltv
    	{
    		gettop = stack2[top2--];//将拓扑序列出栈,后进先出
    		e = GL.adjList[gettop].firstedge;
    		while (e != NULL)
    		{//求各顶点事件的最迟发生时间ltv
    			k = e->adjvex;
    			if (ltv[k] - e->weight < ltv[gettop])
    				ltv[gettop] = ltv[k] - e->weight;
    			e = e->next;
    		}
    	}
    	for (j = 0; j < GL.vertexNum; j++)
    	{
    		e = GL.adjList[j].firstedge;
    		while (e != NULL)
    		{
    			k = e->adjvex;
    			ete = etv[j];	//活动最早发生时间
    			lte = ltv[k] - e->weight;//活动最迟发生时间
    			if (ete == lte)//两者相等即在关键路径上
    				printf("<V%d,V%d> length: %d, ",
                                       GL.adjList[j].data,GL.adjList[k].data,e->weight);
    			e = e->next;
    		}
    	}
    }
    可以结合下图分析:



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  • 关键路径AOE网(C++) AOE网(边表示活动的):【AOE网(activity on edge network)】 在一个表示工程的带权有向图,用顶点表示事件,用有向边表示活动,边上的权值表示活动的持续时间。 AOE网的性质: (1)...

    关键路径—AOE网(C++)

    AOE网(边表示活动的网):【AOE网(activity on edge network)】
    在一个表示工程的带权有向图中,用顶点表示事件,用有向边表示活动,边上的权值表示活动的持续时间。
    AOE网的性质:
    (1)只有在进入某顶点的各活动都已经结束,该顶点所代表的事件才能发生
    (2)只有在某顶点所代表的事件发生后,从该顶点出发的各活动才能开始
    AOE网能够解决什么问题?
    (1) 完成整个工程至少需要多少时间?
    (2)为缩短完成工程所需的时间, 应当加快哪些活动?

    关键路径:AOE网中从源点到终点的最长路径
    关键活动:关键路径上的活动【关键活动的开始时间不能推迟】
    【 关键活动的最早开始时间和最晚开始时间相等】

    算法:关键路径算法
    输入:带权有向图 G=(V,E)
    输出:关键活动
    1. 计算各个活动的最早开始时间和最晚开始时间
    2. 计算各个活动的时间余量,时间余量为 0 即为关键活动

    设带权有向图 G=(V,E)含有 n 个顶点 e 条边,设置 4 个一维数组:
    (1)事件的最早发生时间 ve[n]
    (2)事件的最迟发生时间 vl[n]:
    (3)活动的最早开始时间 ae[e]
    (4)活动的最晚开始时间 al[e]

    事件的最早发生时间 ve[n] 【加边,以达到最大值的】
    ve[0] = 0
    ve[k] = max{ve[j] + len<vj, vk>} (<vj, vk>∈p[k]) //p[k]:所有到达 vk 的有向边
    事件的最迟发生时间 vl[n] 【往前减边,以达到最小值的】
    vl[n-1] = ve[n-1]
    vl[k] = min{vl[j]-len<vk , vj>}(<vk, vj>∈s[k])//s[k] :所有从 vk 发出的有向边
    【两者相等的为关键活动】
    活动的最早开始时间 ae[e] 【a[i] -> 是v[k] -> v[j]的相连边,ae[i]选择始端的ve[k]值】
    ae[i] = ve[k]
    活动的最晚开始时间 al[e]【a[i] -> 是v[k] -> v[j]的相连边,al[i]选择终端的vl[k]值减去a[i]】
    al[i] = vl[j] - len<vk, vj>

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    来自《数据结构——从概念到C++实现(第3版)》的书本例子

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    2012-07-09 02:54:44
    用C++实现的代码,求AOE网络的关键路径,有详细注释
  • AOV——类似于拓扑排序的样子,即用有向图来描述和分析一项工程和计划的实施过程。 AOE网——即在AOV网上加上权重,有向图以顶点表示事件,有向边代表活动,边上的权重代表活动持续的时间。...关键路径AOE...
  • 关键路径AOE网

    2011-11-21 10:55:38
    终于把关键路径搞定了,以前学习的时候,对什么最早发生时间,最迟反生时间,活动最早开始时间,活动最晚开始时间,都是一塌糊涂的,昨晚宿友的一番解释,终于搞定了,谢谢兵哥!!哈哈!!#include #include #...
  • 寻找关键路径,即AOE网络。 解决了多条路径的算法。 数据结构课程设计,VC项目。 含开发文档,示例文件。
  • 首先推荐有个b站视频,讲关键路径讲的非常好,20min可搞懂:https://www.bilibili.com/video/BV1PW41187vc?from=search&seid=40093726432206649 ...找到图的关键路径属于项目管理的范围,应由项目经理严格
  • 【笔记】AOE网关键路径

    万次阅读 多人点赞 2017-12-02 01:06:32
    AOE网 关键路径关键路径的算法实现
  • 【摘 要】介绍AOE网中关键路径的相关概念,通过算法描述和实例,探讨基于拓扑排序求解、P矩阵的求解和广 度优先搜索遍历(BFS)方法三种算法,求解AOE网中关键路径的实现过程,并进一步从算法的时间复杂度、数据结 构形式...
  • 关键路径 关键路径是求「工程上时间最短的问题」的方法 阅读本文前请先了解 拓扑排序 拓扑排序主要解决「工程是否能顺序进行」的问题,关键路径在拓扑排序的基础上解决「工程最短时间的问题」。 一、工程最短时间 ...
  • 在学习拓扑排序一节时讲到拓扑排序只适用于 AOV ,本节所介绍的求关键路径针对的是和 AOV 相近的 AOE 。什么是AOE网AOE 是在 AOV 的基础上,其中每一个边都具有各自的权值,是一个有向无环。其中权值...
  • AOE网关键路径

    千次阅读 2018-08-20 10:19:51
      AOE网是以边表示活动的有向无环,在AOE网中,具有最大路径长度的路径称为关键路径关键路径表示完成工程的最短工期。 1.AOE网   AOE网是一个带权的有向无环图。其中用顶点表示事件,弧表示活动,权值表示...
  • AOE网关键路径.pdf

    2021-09-14 10:33:14
    AOE网关键路径.pdf
  • AOE网活动和关键路径

    2011-07-04 20:36:05
    求出AOE网每个活动的最早开始时间和最迟开始时间;该工程完成的最早时间以及判断出那些是关键路径
  • aoe网关键路径

    2019-11-27 23:19:26
    求出所给的AOE-关键路径。 输入 若干行整数,第一行有2个数,分别为顶点数v和弧数a,接下来有a行,每一行有3个数,分别是该条弧所关联的两个顶点编号和弧的权值 输出 若干个空格隔开的顶点构成的序列(用小写...
  • //求AOE网络关键路径算法 #include <cstdio> #include <cstring> #define MAXN 100 //顶点个数的最大值 #define MAXM 200 //边数的最大值 struct ArcNode { int to, dur, no; //边的另一个顶点持续时间活动序号 ...
  • AOE网关键路径 在一个表示工程的带权有向图,用顶点表示事件,用有向边表示活动,边上的权值表示活动持续的时间,称这样的有向图为边表示活动的,简称 AOE网(activity on edge network)。AOE网中没有入边的...
  • 首先,之前讲的拓扑排序: #DAG图:有向无环图(一个有... 则这种有向图称为「顶点表示活动的网络」,记为:AOE网。 #拓扑排序:由一个DAG的顶点组成的序列,当且仅当满足如下条件时,称为该图的一个拓扑序列:...

空空如也

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