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  • 基于复杂网络对电力电子电路的复杂性进行了研究,指出了复杂网络在电力电子技术中运用的结合点并以三相桥式全控整流电路及三相电压型桥式逆变电路为研究对象,提出用复杂网络的特征参数来分析该电路拓扑特性的方法,...
  • 主要是用MATLAB来实现几类典型复杂网络模型的仿真
  • 复杂网络是目前的一个研究热点,动态切换是复杂网络的既重要又典型的特性之一。比如说互联网是一个典型复杂网络,互联网中的节点和关联是不断动态切换变化的。因此研究病毒在典型性动态切换复杂演化网络中的传播及...
  • 利用典型相关分析(CCA)分析了复杂网络中的功能模块及其相互关系,并将其转化为LASSO回归优化问题,提高了结果的可解释性。在此基础上,提出了一种模块及其相互关系的挖掘算法。该算法不仅能准确挖掘网络中的功能模块,...
  • 复杂网络

    千次阅读 2018-10-28 16:31:28
    文章目录复杂网络复杂网络基本概念平均路径长度聚类系数度与度分布网络拓扑基本模型及其性质规则网络全局耦合网络最近邻耦合网络星型耦合网络随机图(ER随机图)小世界网络模型WS小世界模型NW小世界模型小世界网络的...

    复杂网络

    复杂网络基本概念

    平均路径长度

    两个点 i i i j j j之间的距离 d i j d_{ij} dij定义为连接这两个节点的最短路径上的边数。

    网络的平均路径长度 L L L定义为任意两个节点之间的距离的平均值,即:
    L = 1 1 2 N ( N + 1 ) ∑ i ≥ j d i j L=\frac{1}{\frac{1}{2}N(N+1)}\sum_{i\ge j}{d_{ij}} L=21N(N+1)1ijdij
    其中, N N N为网络节点数。

    一个含有 N N N个节点和 M M M条边的网络的平均路径长度可以用时间量级为 O ( M N ) O(MN) O(MN)的广度优先搜索算法来确定。

    网络的平均路径长度也称为网络的特征路径长度。

    聚类系数

    在你的朋友关系网络中,你的两个朋友很可能彼此也是朋友,这种属性称之为网络的聚类特性

    在网络中的节点 i i i k i k_{i} ki条边和其他节点连接,即有 k i k_{i} ki个邻居节点。在这 k i k_{i} ki个邻居节点之间最多可能有 k i ( k i − 1 ) / 2 k_{i}(k_{i}-1)/2 ki(ki1)/2条边,而这 k i k_{i} ki个节点之间实际存在的边数 E i E_{i} Ei和总的可能的边数 k i ( k i − 1 ) / 2 k_{i}(k_{i}-1)/2 ki(ki1)/2之比就定义为节点 i i i的聚类系数 C i C_{i} Ci,即:
    C i = 2 E i k i ( k i − 1 ) C_{i}=\frac{2E_{i}}{k_{i}(k_{i}-1)} Ci=ki(ki1)2Ei
    简单描述即是:
    C i = 与 点 i 相 连 的 三 角 形 的 数 量 与 点 i 相 连 的 三 元 组 的 数 量 C_{i}=\frac{与点i相连的三角形的数量}{与点i相连的三元组的数量} Ci=ii
    三元组包含三角形,三元组两种形式为:

    在这里插入图片描述

    整个网络的聚类系数 C C C就是所有结点i的聚类系数 C i C_{i} Ci的平均值。

    度与度分布

    度是单独节点的属性中简单而又重要的概念,分为出度和入度。直观上,一个节点的度越大,那么这个节点在某种意义下越重要。网络中的所有节点 i i i的度 k i k_{i} ki的平均值成为网络的(节点)平均度,记为 ⟨ k ⟩ \langle k \rangle k,网络中节点的度的分布情况用分布函数 P ( k ) P(k) P(k)来描述。 P ( k ) P(k) P(k)表示一个随机选定的节点的度是 k k k的概率。

    • 规则图为Delta分布
    • 随机网络和小世界网络为近似Poisson分布
    • 指数分布(暂未知是哪种网络!)
    • 无标度分布,即幂律分布

    无标度分布即是分布函数 f ( x ) f(x) f(x)满足无标度条件
    f ( a x ) = b f ( x ) f(ax)=bf(x) f(ax)=bf(x)
    当满足这个条件是必定有:(这里假设 f ( 1 ) f ′ ( 1 ) ≠ 0 f(1)f'(1)\neq 0 f(1)f(1)̸=0 )
    f ( x ) = f ( 1 ) x − r , r = − f ( 1 ) f ′ ( 1 ) f(x) = f(1)x^{-r}, r = -\frac{f(1)}{f'(1)} f(x)=f(1)xr,r=f(1)f(1)
    证明见《复杂网络理论及其应用》中P12。

    幂指数一般为 2 ≤ r ≤ 3 2\le r\le 3 2r3,绝大多数节点的度相对很低,只有少量节点的度相对很高,因此这类网络为非均匀网络,那些度相对很高的节点成为网络的集线器(hubs)

    网络拓扑基本模型及其性质

    规则网络

    全局耦合网络

    构成:任意两个点之间都直接相连接,如下图a所示

    平均路径长度:1

    最大聚类系数:1

    最近邻耦合网络

    构成:每个节点只和它周围的邻居节点相连,一般具有周期边界条件的最近邻耦合网络包含N个围成一个环的点,如下图b所示,每个节点与它最近的4个节点相连

    K:最近邻的个数,图b中为4

    N:节点的数目

    聚类系数为:
    C n c = 3 ( K − 2 ) 4 ( K − 1 ) ≈ 3 4 C_{nc}=\frac{3(K-2)}{4(K-1)}\approx \frac{3}{4} Cnc=4(K1)3(K2)43
    平均路径长度为:
    L n c ≈ N 2 K → ∞ ( N → ∞ ) L_{nc} \approx \frac{N}{2K} \rightarrow \infty \quad \quad (N \rightarrow \infty ) Lnc2KNN

    星型耦合网络

    构成:一个点为中心点,其他点与这个中心点直接连接,如下图c所示

    聚类系数为:
    C s t a r = N − 1 N → 1 ( N → ∞ ) C_{star}=\frac{N-1}{N} \rightarrow 1 \quad \quad (N \rightarrow \infty ) Cstar=NN11N
    平均路径长度为:
    L s t a r = 2 − 2 ( N − 1 ) N ( N − 1 ) → 2 ( N → ∞ ) L_{star}=2- \frac{2(N-1)}{N(N-1)} \rightarrow 2 \quad \quad (N \rightarrow \infty ) Lstar=2N(N1)2(N1)2N
    在这里插入图片描述

    总体而言,这三种规则网络在很理想的情况下进行建模,很大程度上无法反映真实网络世界情况,是复杂网络研究中最基本的模型,不过有必要对他们的三要素进行理解与学习。

    在人工构建的网络中,P2P为完全耦合网络,C/S为星型网络模型,路网在一定程度上可以认为是最近邻耦合模型(这个是自己想的)。

    随机图(ER随机图)

    构成:假设有大量的纽扣( N ≫ 1 N \gg 1 N1)散落在地上,并以相同的概率 p p p给每对纽扣系上一根线,这样便可以得到一个有 N N N个点,约 p N ( N − 1 ) / 2 pN(N-1)/2 pN(N1)/2条边的ER随机图实例。

    性质存在的定义:如果当 N → ∞ N \rightarrow \infty N时产生了一个具有性质Q的ER随机图的概率为1,那么就称几乎每一个ER随即图都具有性质Q。

    ER随即图的许多性质都是突然涌现的。比如当概率 p p p大于某个临界值 p c ∝ ( l n N ) / N p_{c} \propto (lnN)/N pc(lnN)/N,那么几乎每一个图都是连通的。

    平均度: ⟨ k ⟩ = p ( N − 1 ) ≈ p N \langle k \rangle=p(N-1) \approx pN k=p(N1)pN

    平均路径长度: L E R ∝ l n N / l n ⟨ k ⟩ L_{ER} \propto lnN/ln\langle k \rangle LERlnN/lnk。在ER图中随机选择一个点,网络中大概有 ⟨ k ⟩ L E R \langle k \rangle^{L_{ER}} kLER个其他的点与该点之间的距离等于或者非常接近于 L E R L_{ER} LER,因此 N ∝ ⟨ k ⟩ L E R N\propto \langle k \rangle^{L_{ER}} NkLER,变换一下形式即得原式。这种平均路径长度为网络规模的对数增长函数的特性就是典型的小世界特征

    聚类系数: C = p = ⟨ k ⟩ / N ≪ 1 C=p=\langle k \rangle/N\ll1 C=p=k/N1,这意味着大规模的稀疏ER随机图没有聚类特征。

    ER图又称为“Poission随机图”,固定ER随机图的平均度 ⟨ k ⟩ \langle k \rangle k不变,则对于充分大的N,由于每条边的出现与否都是独立的,ER随机图的度分布可以用Poission分布来表示,即:
    P ( k ) = C N k p k ( 1 − p ) N − k ≈ ⟨ k ⟩ k e − ⟨ k ⟩ k ! P(k)=C_{N}^{k}p^{k}(1-p)^{N-k} \approx \frac {{\lang k \rang}^k e^{- \lang k \rang}}{k!} P(k)=CNkpk(1p)Nkk!kkek

    小世界网络模型

    考虑到规则的最近邻耦合网络具有高聚类特性,但是平均路径很大,不是小世界网络,而ER随机图有较小的平均路径长度,但是不具备高聚类特性。将这两者的性质结合,即可得小世界网络模型。

    WS小世界模型

    构造算法:从最近邻耦合网络这个规则网络开始,将它的边以概率 p p p进行随机化重连,一个节点固定,另一个节点随机选择。并保证任意两个不同节点之间至多一条边,节点不能有边与自身相连。 p = 0 p=0 p=0 p = 1 p=1 p=1的过程即是从完全规则网络到完全随机网络的过程。

    聚类系数
    C ( p ) = 3 ( K − 2 ) 4 ( K − 1 ) ( 1 − p ) 3 C(p)=\frac{3(K-2)}{4(K-1)}(1-p)^3 C(p)=4(K1)3(K2)(1p)3
    平均路径长度(目前暂无精确解析表达式,利用重正化群方法可以得到如下公式):
    L ( p ) = 2 N K f ( N K p / 2 ) L(p)=\frac{2N}{K}f(NKp/2) L(p)=K2Nf(NKp/2)
    其中 f ( u ) f(u) f(u)为一普适标度函数,满足:
    f ( u ) = { c o n s t a n t , u ≪ 1 ( l n u ) / u , u ≫ 1 f(u)= \left \{ \begin{aligned} constant,u \ll 1 \\ (lnu)/u,u \gg 1 \end{aligned} \right. f(u)={constantu1(lnu)/uu1
    后来,基于均场方法有如下表达式:
    f ( x ) ≈ 1 2 x 2 + 2 x a r c t a n h x x + 2 f(x) \approx \frac{1}{2\sqrt{x^2+2x}}arctanh\sqrt{\frac{x}{x+2}} f(x)2x2+2x 1arctanhx+2x
    度分布:由于每个节点有 K K K个邻居节点,在随机化重连的过程中,对于每个节点而言,有 K / 2 K/2 K/2条边是不会离开该节点的,因此,当 k &lt; K / 2 k&lt;K/2 k<K/2时, P ( k ) = 0 P(k)=0 P(k)=0,当 k ≥ K / 2 k\geq K/2 kK/2时,分布如下:
    KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 8: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ P(k)= \sum_{n=…
    WS小世界模型构造方式中的随机化过程可能破坏网络的连通性,于是:

    NW小世界模型

    构造算法:从最近邻耦合网络这个规则网络开始,将它的边以概率 p p p进行随机化加边。并保证任意两个不同节点之间至多一条边,节点不能有边与自身相连。 p = 0 p=0 p=0对应原始最近邻耦合网络,而 p = 1 p=1 p=1对应全局耦合网络。

    聚类系数:
    C ( p ) = 3 ( K − 2 ) 4 ( K − 1 ) + 4 K p ( p + 2 ) C(p)=\frac{3(K-2)}{4(K-1)+4Kp(p+2)} C(p)=4(K1)+4Kp(p+2)3(K2)
    平均路径长度(同WS小世界模型):
    L ( p ) = 2 N K f ( N K p / 2 ) L(p)=\frac{2N}{K}f(NKp/2) L(p)=K2Nf(NKp/2)
    其中 f ( u ) f(u) f(u)为一普适标度函数,满足:
    f ( u ) = { c o n s t a n t , u ≪ 1 ( l n u ) / u , u ≫ 1 f(u)= \left \{ \begin{aligned} constant,u \ll 1 \\ (lnu)/u,u \gg 1 \end{aligned} \right. f(u)={constantu1(lnu)/uu1
    后来,基于均场方法有如下表达式:
    f ( x ) ≈ 1 2 x 2 + 2 x a r c t a n h x x + 2 f(x) \approx \frac{1}{2\sqrt{x^2+2x}}arctanh\sqrt{\frac{x}{x+2}} f(x)2x2+2x 1arctanhx+2x
    度分布:由于每个节点至少有 K K K个邻居节点,因此,当 k &lt; K k&lt;K k<K时, P ( k ) = 0 P(k)=0 P(k)=0,当 k ≥ K k\geq K kK时,分布如下:
    KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 8: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ P(k)= C_{N}^{k…
    p p p足够小且 N N N足够大时,NW小世界网络本质上等同于WS小世界网络。

    小世界网络的小波分析

    见《复杂网络理论及其应用》中P23。

    大概就是利用小波变化,在一个粗化的状态下,观察网络的统计特性,进而研究在粗化状态下, L L 1 LL_{1} LL1低频区间所展现出来的网络特性,即网络的平均路径长度以及聚类系数。

    无标度网络模型(重点)

    基本性质

    ER随机图和WS小世界模型的一个共同特征是度分布近似为Poisson分布,这样度基本上存在于平均度 ⟨ k ⟩ \langle k \rangle k峰值附近,当 k ≫ ⟨ k ⟩ k\gg\langle k \rangle kk时,度为 k k k的节点几乎不存在。而许多现实生活中的网络,如Internet、WWW、新陈代谢网络等的连接度分布函数具有幂律形式,由于这类网络的节点的连接度没有明显的特征长度(比如平均度 ⟨ k ⟩ \langle k \rangle k),因此,称之为无标度网络

    最初是的无标度网络模型:BA无标度网络,通过考虑现实情况下,网络的增长特性(每天都有新的节点和边加入)和优先连接特性(新的节点更加倾向于与那些高度节点相连接,“富者更富”“马太效应”)。该部分为我目前的研究重点。

    **BA无标度网络构造算法:**从一个具有 m 0 m_{0} m0个节点的网络开始,每次加入一个节点并连接到 m m m个已存在的节点上,当然,必须满足 m ≤ m 0 m \leq m_{0} mm0。在连接时,一个新的节点与一个已经存在的节点 i i i之间的连接概率 Π i \Pi_{i} Πi与节点 i i i的度 k i k_{i} ki和所有其他节点的度关系如下:
    Π i = k i ∑ j k j \Pi_{i}=\frac{k_{i}}{\sum\limits_{j}{k_{j}}} Πi=jkjki
    平均路径长度:
    L ∝ l o g N l o g l o g N L \propto \frac{logN}{loglogN} LloglogNlogN
    L L L l o g N logN logN一个量级,表明该网络具有小世界特性

    聚类系数:
    C = m 2 ( m + 1 ) 2 4 ( m − 1 ) [ l n m + 1 m − 1 m + 1 ] [ l n ( t ) ] 2 t C=\frac{m^2(m+1)^2}{4(m-1)}\big[ln\frac{m+1}{m}-\frac{1}{m+1}\big]\frac{[ln(t)]^2}{t} C=4(m1)m2(m+1)2[lnmm+1m+11]t[ln(t)]2
    m m m:每次一个新的节点与 m m m个已经存在的节点连接

    t t t:经过 t t t步,即总共加入 t t t个节点,最后共有 N = t + m 0 N=t+m_{0} N=t+m0个节点,大概 m t mt mt条边

    与ER随即图类似,当网络规模充分大时,BA无标度网络不具有明显的聚类特征

    度分布:

    对于无标度网络的度分布研究主要有三种方法:连续场理论,主方程法,速率方程法。

    主方程法的结果:

    定义 p ( k , t i , t ) p(k,t_{i},t) p(k,ti,t)为在 t i t_{i} ti时刻记录的节点 i i i t t t时刻的度恰好是 k k k的概率。在BA模型中,当一个新节点加入到系统中来时,节点 i i i的度增加 1 1 1的概率为 m Π i = k 2 t m\Pi_{i}=\frac{k}{2t} mΠi=2tk (根据前文,可以推导出来),否则该节点的度保持不变。那么有:
    &lt; E m p t y   M a t h   B l o c k &gt; &lt;Empty \space Math \space Block&gt; <Empty Math Block>

    p ( k , t i , t + 1 ) = k − 1 2 t p ( k − 1 , t i , t ) + ( 1 − k 2 t ) p ( k , t i , t ) p(k,t_{i},t+1)=\frac{k-1}{2t}p(k-1,t_{i},t)+(1-\frac{k}{2t})p(k,t_{i},t) p(k,ti,t+1)=2tk1p(k1,ti,t)+(12tk)p(k,ti,t)

    网络的度分布为:
    P ( k ) = lim ⁡ t → + ∞ ( 1 t ∑ t i p ( k , t i , t ) ) P(k)=\lim_{t\to +\infty}\big(\frac{1}{t}\sum\limits_{t_{i}}p(k,t_{i},t)\big) P(k)=t+lim(t1tip(k,ti,t))
    它满足如下递推方程式:
    P ( k ) = { k − 1 k + 2 P ( k − 1 ) , k ≥ m + 1 2 m + 2 , k = m P(k)= \left \{ \begin{aligned} \frac{k-1}{k+2}P(k-1),k \geq m+1 \\ \frac{2}{m+2} \quad \quad ,k =m \qquad \end{aligned} \right. P(k)=k+2k1P(k1)km+1m+22k=m
    从而可得BA网络的度分布函数为:
    P ( k ) = 2 m ( m + 1 ) k ( k + 1 ) ( k + 2 ) ∝ 2 m 2 k − 3 P(k)=\frac{2m(m+1)}{k(k+1)(k+2)} \propto 2m^2k^{-3} P(k)=k(k+1)(k+2)2m(m+1)2m2k3
    m m m:每次一个新的节点与 m m m个已经存在的节点连接

    k k k:随机取一个节点,度为 k k k的概率 P ( k ) P(k) P(k)

    表明:BA无标度网络的度分布函数可以由幂指数为3的幂律函数近似描述

    缺陷:BA无标度网络的幂指数固定为3

    鲁棒性与脆弱性

    见《复杂网络理论及其应用》中P29。

    无标度网络对随机故障策略,即随机移除一些点,有很高的鲁棒性;对蓄意攻击策略,即移除网络中部分度最高的节点,表现得非常脆弱。其中表现情况以整个图的连通性为标准。

    鲁棒但又脆弱是复杂系统的最重要和最基本的特征之一。

    Broder等人研究了更大规模WWW子网络的鲁棒性。他们发现只有删除所有度大于5的节点才能完全破坏WWW的连通性。这其实是因为WWW具有高度倾斜的度分布,度数大于5的节点在整个网络中所占的比例还是很小的。(这个发现以及相关的具体数值的研究,可能对我的研究有帮助

    适应度模型

    BA模型只能生成度分布的幂律指数固定为3的无标度网络,而各种实际复杂网络的幂律指数则不甚相同,且大多属于2到3的范围内。

    实际网络常常还具有一些非幂律特征,如指数截断,小变量饱和等。

    在BA无标度网络的增长过程中,节点的度也在发生变化并且满足如下幂律关系(流式处理中,应该很有用):
    k i ( t ) = ( t t i ) 1 2 k_{i}(t)=\big(\frac{t}{t_{i}}\big)^{\frac{1}{2}} ki(t)=(tit)21
    k i ( t ) k_{i}(t) ki(t):为第 i i i个节点在时刻 t t t的度

    t i t_{i} ti:为第 i i i个节点加入到网络中的时刻

    则可以有一个很直观的认识:就是越老的节点具有越高的度,在完全随机的情况下,这一点基本成立。

    适应度模型构造算法:在原有的BA模型上,为每个节点增加了一个适应度权值

    从一个具有 m 0 m_{0} m0个节点的网络开始,每次加入一个节点并连接到 m m m个已存在的节点上,当然,必须满足 m ≤ m 0 m \leq m_{0} mm0,每一个节点的适应度按照概率分布$ \rho ( \eta ) 选 取 。 在 连 接 时 , 一 个 新 的 节 点 与 一 个 已 经 存 在 的 节 点 选取。在连接时,一个新的节点与一个已经存在的节点 i 之 间 的 连 接 概 率 之间的连接概率 \Pi_{i} 与 节 点 与节点 i 的 度 的度 k_{i} 以 及 适 应 度 以及适应度 \eta_{i}$和所有其他节点的度关系如下:
    Π i = η i k i ∑ j η j k j \Pi_{i}=\frac{\eta_{i}k_{i}}{\sum\limits_{j}{\eta_{j}k_{j}}} Πi=jηjkjηiki

    展开全文
  • 为了解复杂网络的研究现状,首先从复杂网络的定义与统计特性两个角度介绍了复杂网络的基本概念,然后列举了几种典型复杂网络模型,以及在此基础上对其进行改进后所建立的模型并讨论其优缺点,围绕复杂网络结构特性...
  • 复杂网络特征度量

    2013-01-07 15:25:52
    杂网络的概念,然后介绍了几种常用的复杂网络特征量度,之后总结了从复杂网络科学始创到今天,几种典型的网络模型, 如随机网络模型、小世界网络模型、无标度网络模型等,并对这些模型进行了简单的分析。
  • 复杂网络基础5.ppt

    2019-07-01 19:03:32
    本章重点讨论复杂网络的混沌...首先简要介绍混沌理论,然后概述混沌同步的概念和方法,接着引出一般意义上的复杂网络完全同步问题及其稳定性分析方法,最后讨论典型复杂动态网络在线性耗散耦合条件下的混沌同步问题。
  • 复杂网络的研究

    千次阅读 2018-11-04 21:53:53
    1. 复杂网络定义 : 复杂网络概念最开始的时候是相对于规则网络和随机网络提出来的,即介于规则网络和随机网络之间的网络都可以称之为复杂网络。—狭义的复杂网络 从广义上说,任何网络都可以称之为复杂网络,...

    1. 复杂网络定义


    复杂网络概念最开始的时候是相对于规则网络和随机网络提出来的,即介于规则网络和随机网络之间的网络都可以称之为复杂网络。—狭义的复杂网络
    从广义上说,任何网络都可以称之为复杂网络,即使是规则网络和随机网络,也是复杂网络的特例。

    2. 复杂网络研究意义


    复杂网络理论可以应用于保护许多现实系统的正常运行。也就是开展复杂网络稳定性研究,对于一些技术网络的设计和基础设施网络的保护同样具有重要的意义,也可以有效地防止黑客侵入互联网,并组织病毒在万维网上传播蔓延。
    在医疗方面直接针对集散节点(即那些与很多人具有连接关系的人)采取措施接种疫苗,可以达到和好效果。
    在经济管理领域,利用复杂网络了解公司,产业和经济之间的连接方式,有助于监控和预防大规模的经济衰退。

    3. 复杂网络基本参数


    1. 平均最短路径长度:任意两节点之间的距离的平均值。
    2. 聚集系数: 一般与平均最短路径一起提出,因为它们俩是“小世界”效应的两个重要性质。用来刻画两个朋友之间互为朋友的概率。
    3. 度分布: 网络中一个随机选择的节点度为k的概率
    有向图分为出度和入度
    无向网络度分布
    4. 介数:在研究之初,没有介数的概念,在网络节点和边的重要性上的研究和对于网络中社区的划分的研究,提出介数概念。**节点的介数被定义为网络中所有的最短路径中经过该点的数目的比例。**介数反映了相应的节点或者边在整个网络中的作用和影响力,具有很强的现实意义。

    4. 复杂网络的经典模型

    1. 规则网络模型:

      1. 全局耦合网络:任意两个节点都有边直接相连
      2. 最近邻耦合网络 :每个节点只和它周围的邻居相连
      3. 星型耦合网络:只有一个中心节点,其余的N-1个节点与这个中心节点相连接。
    2. 随机模型: 典型例子ER随机模型 研究的课题为:当概率p为多大时,随机模型就会产生一些特殊的性质。

    3. “小世界”模型: “小世界”模型起源于,首先建立一个低维的网络结构,然后增加或移动一些边,以生成较低密度的“捷径”,他们将网络中较远的部分连接起来。WS模型构造出来的网络具有:较高的平均聚类系数和较低的最短路径长度

    4. “无尺度”网络:又可以称之为网络生长模型,反映了复杂网络的另一特性,网络的节点度分布函数具有幂律形式。在“无尺度”模型中,节点和边按照一定的方式被加入到网络中,网络以某种方式进行生长。
      **

    5. 小结

    1. 较小的平均最短路径长度以及较大的聚集系数是复杂网络“小世界”特性的体现,它集中反映了现实网络环境下高集聚性和短连接距离的特点;度分布服从幂律分布体现了复杂网络的“无尺度”特性,即网络的平均度不能反应网络中度的大致分布情况,现实中的“长尾”分布和“二八定律”反映的就是这一特性;介数在一定程度上反映了网络中单个节点和边的重要性。

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    KaTeX数学公式

    您可以使用渲染LaTeX数学表达式 KaTeX:

    Gamma公式展示 Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! ∀ n ∈ N \Gamma(n) = (n-1)!\quad\forall n\in\mathbb N Γ(n)=(n1)!nN 是通过欧拉积分

    Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t &ThinSpace; . \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt\,. Γ(z)=0tz1etdt.

    你可以找到更多关于的信息 LaTeX 数学表达式here.

    新的甘特图功能,丰富你的文章

    Mon 06 Mon 13 Mon 20 已完成 进行中 计划一 计划二 现有任务 Adding GANTT diagram functionality to mermaid
    • 关于 甘特图 语法,参考 这儿,

    UML 图表

    可以使用UML图表进行渲染。 Mermaid. 例如下面产生的一个序列图::

    张三 李四 王五 你好!李四, 最近怎么样? 你最近怎么样,王五? 我很好,谢谢! 我很好,谢谢! 李四想了很长时间, 文字太长了 不适合放在一行. 打量着王五... 很好... 王五, 你怎么样? 张三 李四 王五

    这将产生一个流程图。:

    链接
    长方形
    圆角长方形
    菱形
    • 关于 Mermaid 语法,参考 这儿,

    FLowchart流程图

    我们依旧会支持flowchart的流程图:

    Created with Raphaël 2.2.0 开始 我的操作 确认? 结束 yes no
    • 关于 Flowchart流程图 语法,参考 这儿.

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    1. mermaid语法说明 ↩︎

    2. 注脚的解释 ↩︎

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  • 介绍了一些典型复杂网络建模的演化博弈模型,主要研究动态网络上的群体行为,它们都体现出网络中引入一定的空间拓扑结构会对主体策略行为产生显著影响,论述了规则格子和无标度网络结构分别对囚徒困境博弈和雪堆...
  • 社区结构是复杂网络的重要特性之一, 基于模块度的复杂网络社区发现问题是一个NP难度的组合优化问题, 常用启发式算法求解. 最近出现的Jaya算法是求解连续优化问题的一种简单有效的元启发式方法. 本文在遵循Jaya算法按...
  • 复杂网络概述

    千次阅读 2017-11-28 09:47:46
    复杂网络概述 1研究背景 通信网络、电力网络、生物网络、和社会网络等分别是通信科学、电力科学、生命科学、和社会学等不同学科的研究对象,而复杂网络理论所要研究的则是各种看上去互不相同的复杂网络之间的共性...

    复杂网络概述

    1研究背景

    通信网络、电力网络、生物网络、和社会网络等分别是通信科学、电力科学、生命科学、和社会学等不同学科的研究对象,而复杂网络理论所要研究的则是各种看上去互不相同的复杂网络之间的共性和处理它们的普适方法。对这些极其复杂的交互作用网络的结构和动力学的理解已成为21世纪生命科学的关键性研究课题和挑战之一。

    复杂网络之所以复杂,不仅在于网络规模的巨大,网络结构的复杂,而且网络在时间、空间上都具有动态的复杂性,网络行为也具有复杂性。


    2 定义

    许多真实系统都可以用网络的形式加以描述,一个典型的网络是由许多节点与链接节点之间的边 组成的。节点代表系统中的个体,边则表示节点之间的作用关系。

    如WWW网络可以看成是网页之间通过超链接构成的网络;Internet网络可以看作不同的计算机通过光缆链接构成的网络;科学家合作网络可以看作不同的科学家合作关系构成的网络;基因调控网络可以看作是不同的基因通过调控与被调控关系构成的网络。


    3 研究方面

    复杂网络的研究大致可以描述为三个密切相关但又依次深入的方面:

    1)  大量的真实网络的实证研究,分析真实网络的统计特性

    2)  构建符合真实网络统计性质的网络演化模型,研究网络的形成机制和内在机理

    3)  研究网络上的动力学行为,如网络的鲁棒性和同步能力,网络的拥塞及网络上的传播行为等。

    4 复杂网络相关概念


    4.1社区结构

    定义:整个网络是由若干个“社区”或“组”构成的,每个社区内部的结点间的连接相对非常紧密,各个社区之间的连接相对来说却比较稀疏[1][2]。

    实例:如社会网络中的社区代表根据兴趣和背景而形成的真实的社会团体;引文网络中的社区代表针对同一主题的相关论文;万维网中的社区就是讨论相关主题的若干网站[3];而生物化学网络或者电子电路中的网络社区可以是某一类功能单元[4][5]。

    算法:

    社区结构的算法分为以下两大类:

    1)             是基于图论的算法,比如K-L算法[6]、谱平分法[7][8]、随机游走算法[9]和派系过滤算法[10][11]等;近几年从其他不同的角度又提出了基于电阻网络性质的算法[14]、基于信息论的算法[15]、基于PCA的算法[16]和最大化模块度[17]的算法[18-23]等。

    2)             层次聚类算法,如基于相似度度量的凝聚算法[2]和基于边介数度量的分裂算法[1][12][13]等。最近,Doreian和Mrvar提出了一种利用局部搜索划分符号网络社区结构的算法[24], Bo Yang等提出一种基于代理的启发式划分符号网络社区结构的算法(FEC)[25]。


    4.2拓扑势

    拓扑势的概念初步刻画了节点在拓扑位置上局域影响的作用。

    刻画了在不同拓扑位置上节点产生的局域影响作用,能细分复杂网络中节点的重要性排序;建立了度和介数等衡量参数之外的重要指标,能合理有效地分析静态网络的一些特性[28][29]

    的概念来描述复杂网络节点所具备的主体性和影响的局域性,通过对实际复杂系统时变特性的研究,克服网络统计指标下实际物理意义缺失的问题。随着时间变化,节点的主体性及其局域影响性会根据现实网络变化的特征改变节点属性和影响半径,从而揭示出现实网络的功能和行为方面的。


    4.3节点质量

    节点质量m作为节点对于连接作用的基础,反应了节点的主体性行为力,体现不同节点主体行为力之间的差异


    5复杂网络相关规律

    5.1复杂网络的传播动力学

    临界值理论只考虑了传播的最终稳态,传播动力学研究传播过程中出现的如震荡等动态行为。对传播过程会产生影响的因素包括:时滞,非线性摩擦等阻碍因素。在传播方程中引入这些参数,对于不同的参数的取值,可能出现混沌、稳定、分岔等不同传播过程。


    5.2复杂网络统计力学

    复杂网络的研究[30][31][32]表明,技术系统中的因特网、电力网和交通网等,社会系统中的人际关系网、科学家合作网和引文网等,以及生物系统中的神经网、新陈代谢网和蛋白质相互作用网等,这些看似毫不相干、形态各异的复杂网络却都具有某些相通的拓扑性质甚至都受某些简单规则所驱动自组织形成,而且它们所表现出来的鲁棒性、模块性等与随机网络有着很大差别


    5.3动态网络系统

    个体(agent):网络中很多独立,但是又具有相互作用的基本单元组成。

    个体自身也是一个系统,有自己的状态演化规律,而且它们之间还存在着相互作用。在网络建模方法中,将个体用节点来表示,若两个个体之间存在相互作用,就表示在它们的节点之间连一条线,这样形成网络[33]

    动态网络系统中,节点的状态和拓扑都是动态演化的,节点的状态和网络的拓扑之间可能是相互影响的,并且系统在整体层面上往往会展示出各种各样的集体行为[34][35]这方面研究目前在系统具有什么样的集体动力学行为、如何干预或者控制这样的系统等作出了大量的研究。动态网路的经典模型为Boid模型[36][37]Vicsek模型[38]等,利用动态系统研究的网络演化,可以引入线性和非线性作用等不同作用模式,但是目前在揭示网络拓扑演化规律方面不是很理想。

    动态网络系统研究的另一个思路为引入博弈论思想,将每一个节点抽象为博弈中的经济人,用来理解各种复杂系统中合作和竞争关系的演化以及合作产生的条件[39][40]。基于复杂网络的博弈与合作进化研究会使人们对各种实际复杂网络上的竞争与合作行为有更深的认识,但是同样其模型的适应性和结论的可靠性验证等方面还有大量问题需要解决。


    5.4复杂网络的演化

    随着小世界特性[26]无标度特性[27]的发现,吸收了非线性科学和近现代物理学的丰富思想后,网络科学在网络结构、功能和性质等研究上得到了快速发展。但是,网络研究中单纯的统计指标(如度、介数和接进度等)与抽象的建模方法(如拓扑、加权、演化和博弈模型等),均不能很好地刻画实际网络的节点主体性影响局域性

    并且,现实世界中的网络复杂多变,节点本身以及节点之间的关系大都随着时间变化,不应忽略节点的主体性和相互影响建立模型,且实际网络中节点不是静止的、固化的,而是演化的、动态的,具有鲜明的主体性不同的主体行为力体现了节点在网络功能和行为中的所起到的不同作用。进一步说,结点之间本质上是通过边相互产生微妙的影响,这种局域影响性在网络性质和行为方面的刻画上不可或缺。

    当网络的拓扑结构变化时间间隔大于节点质量的变化时间间隔时,认为在短时间间隔内节点的质量相对固定不变。

    针对具体载体而言,图书在线销售网可以发现当前最有影响力的图书、读者社团等。图书在线销售网络中,能发现读者热点的转移、热销类图书的涌现和长盛不衰的名著等知识。

    动态的、变化的主体性的度量是一个和时间t有关的质量函数m(t),进一步考虑拓扑时变和质量时变的刻度可比较的情况,能以较好地体现节点的主体性变化在主体行为力上的表现,对于具有不确定性的主体行为力可以使用云模型进行刻画。

    推广应用:

    对于通信网络的节点主体性来说,若将质量定义为交换局接受到的呼叫量(符合泊松分布)、路由器转发的数据量(具有重尾和幂率等规律,亦可类比于排队模型中不同的顾客到达模型)或者传感器节点的功耗衰减模型等,有望解决结点的动态模型与网络拓扑影响如何结合的问题。

    影响的局域性在势的定义中已经有所反映,因为影响是通过边传播的,是局域的、衰减的,因此拓扑对于节点主体行为力在影响连接的作用过程中也起到了至关重要的作用。通过本模型能够较好地结合起这些在实际网络建模中必须考虑的因素,进而发现出符合实际情况的知识。


    5.5复杂网络节点的主体性演化

    主体性的演化对于网络结构的影响是多方面的,这种影响最终通过节点之间的连接(度的数目邻居节点的选择)形成的拓扑来体现。

    重要研究点:网络抱团特征的变化和骨干网的反演特征

    针对具体载体的背景下,如图书在线网络,则可发现读者群体的兴趣转移、重要图书内容领域转移等;南部妇女活动网可以发现参加者社会活动倾向性的转移;网络流量中可以发现负载较重的网络节点在不同时段中是如何转移的,骨干节点之间的连接强度随着时间是如何转移的;传感器网络的功率优化规划中则可以发现随着节点的功率衰减,网络不同时刻的抱团与骨干节点的最佳选择。

    1)网络抱团特征研究

    现有社团挖掘算法缺点:

    社团挖掘算法完全是按照拓扑结构进行划分的,拓扑结构是对现实世界中的复杂系统利用点和线所进行的最本体的抽象,依照拓扑结构来划分社团的唯一合理物理意义就在于模块度社团内部连接密度大,社团间连接密度小),或者模块度的变形表述加权等)。这种社团挖掘没有充分考虑代表节点主体性的质量m在社团形成过程中重要的局域影响作用

    为网络加入节点质量,利用势的概念来定量刻画节点间相互影响在形成抱团结构时的作用,将可提高社团挖掘的质量和可信度,使得抱团的物理意义更加明确,在网络演化过程中的报团变化特征更加准确。

    具体包括考察给定m(t)的条件下:社团数目的变化(图书所集中热点领域数目的变化);节点vi处于何种位置(或者势值位序),其倾向于保留在社团Ck中抑或相反;社团Ck规模的变化(哪一方会有更多图书支持)。

    选择哪一种物理性质作为节点的质量,与最终需要挖掘的知识强相关。将考察根据已知的节点质量符合某一种特定分布的前提条件,生成节点质量的估计值的方法,进而用此估计值来指导社团的挖掘以及演化模式的发现

    2)骨干网反演特征研究

    演化过程中的偏好依附性和网络骨干节点具有重要联系,各节点偏好依附网络骨干节点抱团,成为同一社区成员,骨干节点形成骨干网。

    骨干网在演化中应该起到决定网络基本统计特征的“种子”作用,挖掘出的骨干网依照某种方式演化(偏好依附方式)能够得到和原来网络非常一致的统计特征,即根据此骨干节点形成的网络能够模拟“反演”出与原来网络具有很大相似统计特性的网络

    边势差(边两端节点的拓扑势差):刻画骨干网演化特征的方法。网络中任意一条边两端节点的势值差,其值的大小反映了此边两端节点重要性差异的程度。

    “边势差最小”原理:某一节点所有边中“边势差最小”的边反映了这条边两个端点在网络中具有最接近的重要性。

    从拓扑势最大的节点开始,通过边势差最小的边逐步向外扩散,直至两个节点间的边 同时为“边势差最小”停止,得到第一个最重要的骨干节点集。再依次寻找 势值较大节点(前提是未在上步中出现的节点)的骨干节点。最终全网络的骨干成员是由这些依次挖掘得到的骨干节点的集合。

    通过骨干成员检测可以实现图书推荐,与销售排名相比较,可以在兴趣热点转移、时间转移等方面得到更加深入与切合实际意义的知识。


    6复杂网络建模

    目前复杂网络拓扑建模有两种极端做法:

    1) 试图让模型能够再现实际网络尽可能多的各种拓扑性质

    特点:这类模型通常包含很多假设和参数,使得模型既难以理解又缺少解释或预测能力,而且缺乏拓扑性质到物理背景之间映射的有力解释。

    2) 各种虚拟的概念模型

    特点:这类模型几乎没有考虑实际网络的任何具体特征或物理性质,具有较大理论价值,但难以实际应用。

    关键问题:基于对实际网络的理解,找到上述两个极端之间的合适的平衡。复杂网络建模的研究重点,不在于纯图形学研究,也不是泛指所有网络,而在于通过刻画这些特性来揭示研究载体的实际物理规律

    复杂网络建模必须考虑实际网络表现出的物理性质。在复杂网络的研究中,很多研究载体共同表现出了以下四个显著特性:

    1) 节点主体性。

    每个节点都是具有独立行为的主体,表现出不同的活力和不确定性。主体性是节点自身用以互相连接形成边的能量、质量和信息等状态的刻画;在主体性基础上任意两个互连的节点之间形成了影响,在网络的演化、传播和同步等方面起到了根本的决定作用;

    2) 节点间相互影响的局域性

    节点既影响周围的节点,又被周围节点影响,随距离增大影响减小,不存在集中统一的控制。

    3) 拓扑结构的不均匀性

    网络中的一些节点会呈现一定的抱团特性,度的分布呈现幂律特征等。

    4) 在网络不确定的演化过程中,节点增长表现出了偏好依附性

    不均匀性是实际网络形成的客观现象;在不均匀的度分布基础上的偏好依附进一步解释了网络拓扑形成的过程。


    7复杂网络实验验证

    载体:阐述复杂网络建模的方法的实验验证示例作用。

    通过载体的研究,可用于初步验证节点主体性和影响局域性建模的基本方法。不同载体的选择对于网络科学的研究具有重要意义。

    列举几种不同领域的载体:

    1图书在线销售网络。以网站在线销售的图书为节点,任意两个结点之间只要同时购买的顾客数达到了一定的数量,则在此结点之间连上一条边。


    2)网络科学里大量引用的经典载体,诸如Zachary俱乐部网和南部妇女政治活动网[49]等。

    ZACHARY空手道俱乐部成员关系网络

    【简介】Zachary空手道俱乐部成员关系网络是复杂网络、社会学分析等领域中最常用的一个小型检测网络之一。从1970到1972年,WayneZachary用三年时间观察了美国一所大学空手道俱乐部成员间的社会关系,并构造出了社会关系网(Zachary’skarate club network)。网络中的每个节点分别表示某一个俱乐部成员,节点间的连接表示两个成员经常一起出现在俱乐部活动(如空手道训练、俱乐部聚会等)之外的其他场合,即在俱乐部之外他们可以被称为朋友。调查过程中,该俱乐部因为主管John A.(节点34)与教练Mr.Hi(节点1)之间的争执而分裂成2个各自为核心的小俱乐部,不同颜色与形状的节点代表分裂后的小俱乐部成员。规模:34个节点,78条边

    在基本原理和方法的研究基础上将其进一步推广到通信网络的流量建模与规划无线传感器网络的功率优化等应用问题的解决方案中。


    8复杂网络的控制问题

    利用元标度网络结构的非均匀性,有针对地对网络中的少数关键节点施加反馈控制,就可以将规模庞大的复杂动态网络稳定到平衡点,获得很高的控制效率。


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  • 复杂网络】自学笔记整理

    千次阅读 多人点赞 2020-06-29 17:15:45
    一、复杂系统与复杂网络 1.研究目的        复杂网络是研究复杂系统的一种角度和方法,它主要关注系统中个体相互关联的作用。(一种拓扑结构) 2.当今应用    &...

    一、复杂系统与复杂网络

    1.研究目的
    复杂网络是研究复杂系统的一种角度和方法,它主要关注系统中个体相互关联的作用。(一种拓扑结构
    2.当今应用
    通过分析社交网络之间的关系,确定人们在社会中的社会关系,比如我们用复杂网络分析恐怖分子的多层社会网络,进而得到追踪他们的线索,以此方便警方抓捕。
    3.发展背景
    (1)计算机技术的飞速发展
    (2)网络普适性的发现
    (3)理论研究的发展
    4.关心问题
    (1)如何定量刻画复杂网络?
    (2)网络如何实现发展?
    (3)网络特定结构的后果是什么?
    5.复杂网络的结构及特点
    (1)规则网络
    一般情况下,集聚系数较大,平均最短路径较长。
    (2)随机网络
    当p不小时,集聚系数较小,平均最短路径较短。
    (3)小世界网络
    (4)无标度网络
    一般情况下,分成呈幂律分布。
    6.顶点重要性度量
    (1)度:你有几个朋友 (度是个体指标,分布是整体指标)
    (2)集聚系数:你的朋友之间,他们还是不是朋友
    (3)介数:整个网络中,通过你的最短路径有多少
    (4)接近中心性:你是否位于网络中心
    扩展:
    (5)谷歌PageRank:通过扩散行为,建立了从全局刻画重要性的指标,它是一个迭代过程
    7.顶点度的匹配关系
    (1)同向匹配:高度的顶点与高度的顶点相连接(社会网络)
    (2)反向匹配:高度的顶点与低度的顶点相连接

    二、复杂性思维——北师大教授张江课程

    课时一 什么是复杂性思维

    1.研究复杂系统的目的:用来做计算机模拟。
    2.“时间之箭”和 “因果箭头”
    前者表示任何事物的演化都有一个方向性,后者表示有因必有果,有果必有因。
    3.区块链
    定义:它是一个分布式的存储系统,不需要中心控制者,全部由机器控制管理。
    4.技术奇点
    定义:它表示机器发展到超越人类认知的时间点。
    5.复杂系统
    关键点:
    (1)系统中个体数有一定的数量级(一般10^2以上)
    (2)系统中的个体具有紧密的联系
    6.复杂性科学
    关键点:
    (1)统一性 :统一的观点看待不同学科
    (2)涌现:整体大于部分之和

    课时二 系统科学简史与现代复杂系统科学

    1.小世界现象
    表现:任何地球上的两个人都可以通过最多6个人相互联系起来。
    2.无标度现象
    表现:任何网络都存在不平等的现象(幂律分布)。
    3.PageRank算法
    中心思想:实现按从大到小的顺序得到搜索后网站的排序,常用于搜索引擎中。
    4.产品空间(Product Space)
    具体表现:
    (1)附加价值越高的产品会集中在中心位置,附加价值越低的产品会集中在边缘位置。
    (2)发展迅速的国家,在映射到产品空间的图后,其位置会随时间从边缘逐渐移动到中心位置。
    5.复杂系统中的物理学
    定义:复杂系统中的物理学与广义上的物理学不同,它主要使用到的物理学的研究方法
    6.列维飞行
    定义:列维飞行是从分布角度上讲,大部分情况在小范围内流动,也有一小部分情况会流动到较远位置的一种运动模式。另外,它也是动物和人的普遍游走规律。
    7.系统科学的发展规律:由数据驱动得到一些发现规律。
    8.复杂性科学的核心问题:回答什么是生命。

    课时三 蜂群思维与涌现

    1.自然界中复杂系统:蜂群、蚁群、鸟群、鱼群
    ①针对蜂群如何确定最短路径这个问题
    (1)生物学角度:蚁群根据信息素浓度大小确定最短路径
    (2)计算机角度:可以通过计算机模拟方式确定最短路径
    ②鸟群的飞行规则(没有随机数,但有随机性)
    (1)靠近 (2)对齐 (3)避免碰撞
    2.群集系统的特点
    (1)由许多单元组织而成
    (2)每个个体按照简单的规则行事
    (3)个体之间具有一定的自治性
    (4)单元之间相互连接
    (5)没有强制的中心控制
    3.如何运用群集思维
    (1)建立隐喻
    (2)保证交互
    (3)激活个体
    (4)减少干预

    课时四 涌现与关于“马姨”的讨论

    1.涌现与斑图
    涌现:人的心理和外在的事物发生的某种共振沟通。
    斑图(Pattern):由系统的时空构型形成的整体模式。
    2.涌现的分类
    (1)强涌现:“我”的存在。
    (2)弱涌现:自然界普遍现象的存在。
    3.涌现与因果倒置


    注:强涌现发生时,因果箭头开始发生颠倒。

    课时五 群体模拟与Netlogo

    1.计算机模拟:虚拟世界中的空间(数据)与时间(算法、程序)的互动。
    2.Netlogo:用来的模拟复杂系统的软件
    (1)模拟小球运动
    初始化设置:每次点击setup会出现50个随机小球

    to setup
       clear-all
       create-turtles 50[
           setxy random-xcor random-ycor
       ]
       set-default-shape turtles "circle"
    end
    

    让小球运动起来

    to go
       ask turtles[
           forward 1
       ]
    end
    

    让小球像虫子一样运动

    to go
       ask turtles[
           if random-float 1 < 0.5[
               set heading random 360
           ]
           forward 1
       ]
    end
    

    (2)模拟生命游戏
    新的对象:Patch
    对象属性:patches-own[]
    ask patches:对所有的patch对象循环
    ask turtles:对所有的turtle对象循环
    补:patch对象与turtle对象的不同:前者不需要创建,后者需要创建。
    (3)基本思想

    在这里插入图片描述

    课时六 元胞自动机

    1.元胞自动机组成
    空间:格点
    时间:CPU时钟
    物理:规则
    注:生命游戏(Game of Life)是一个二维的元胞自动机。
    2.冯诺依曼贡献
    (1)创建了冯诺依曼结构
    (2)创立了博弈论
    (3)量子计算的奠基人
    3.二维元胞自动机的邻域
    (1)冯诺依曼型领域:上下左右4个邻居
    (2)摩尔性邻域:8个邻居
    4.火灾模型
    特点:遍历所有格点
    neighbors:冯诺依曼邻居
    numbers:摩尔型邻居
    density(森林密度):density越大,火灾传播速度越快。
    在这里插入图片描述

    5.沙堆模型
    特点:二维的元胞自动机;属于冯诺依曼邻居;有五种状态
    自组织临界
    (1)崩塌会产生级联效应
    (2)崩塌的时空呈现幂律分布
    (3)系统自发组织进入临界态

    课时七 元胞自动机扩展

    1.投票模型
    特点:随机元胞自动机
    结果:最后只有一种观点
    2.其他元胞自动机
    (1)四角格 (2)三角格 (3)六角格
    3.一维元胞自动机(最基础)
    特点:每个格子的左右两侧半径为r内的方格为其邻居
    基础元胞自动机:r=1,状态为2
    可能的规则数:2^8=256
    4.一维元胞自动机的运行
    按照时间先后顺序上下排列,得到一张二维图
    在这里插入图片描述
    5.一维元胞自动机的应用:奏乐
    6.混沌边缘
    λ:用来衡量元胞自动机运行后的混沌状态
    扩展:
    如何得到复杂——让系统运行在混沌的边缘

    三、网络科学导论

    第一章 引论

    1.复杂网络相关应用

    随着信息技术的飞速发展,当今社会越来越多的现象会涉及到复杂网络相关应用。
    举例:社交网络、搜索引擎

    2.Internet的拓扑结构

    原因:为预测和提高Internet的性能,特此引入Internet的拓扑结构
    具体形式:(1)IP层次 (2)路由器层次 (3)自治系统层次
    表现:随时间的推移,IPv4中的IP地址和AS数量逐渐增加

    3.WWW

    表现:万维网地位的提高以及发展,与搜索引擎的迅速发展密不可分,而搜索引擎属于复杂网络的一个应用领域,因此可见,研究复杂网络有所重要。

    4.金融网络和经济网络

    背景:经济全球化的大势,给世界上各个国家带来诸多机遇和挑战。提高国际地位的关键,在于成为相对应网络中的关键节点
    表现:在产品空间(Product Space) 相关知识中,我们可以了解到附加价值越高的产品会集中在中心位置,附加价值越低的产品会集中在边缘位置,类比于全球的金融网络和经济网络,我们会发现位于网络中心位置的往往是传播能力强的发达国家。

    在这里插入图片描述

    5.社会网络

    背景:六度分离理论的提出
    发展:为探究六度分离理论的正确性,科学家们进行了Internet上的小世界实验,进而提出了弱连带和强连带的概念。
    弱连带与强连带的示意图

    6.网络科学的研究目的与研究内容

    研究目的:网络科学所要研究的是各种复杂网络之间的共性和处理他们的普适方法
    研究内容:网络科学着眼于复杂网络的定量与定性特征的科学理解。
    (1)发现 (2)建模 (3)分析 (4)设计
    在这里插入图片描述
    网络系统的复杂性主要体现在:
    (1)结构复杂性
    (2)节点复杂性
    (3)结构与节点之间的相互影响
    (4)网络之间的相互影响(不同领域网络之间相互作用)

    第二章 网络与图

    1.图的引入

    图:用抽象的点和线表示各种实际网络。
    图的拓扑性质:主要与网络中结点个数哪些节点有边直接相连相关。
    好处:研究抽象的图,我们可以通过比较不同网络拓扑性质的异同点来建立网络拓扑性质的有效算法。

    2.图的类型

    (1)加权有向图 (加权和有向指的是
    (2)加权无向图
    (3)无权有向图
    (4)无权无向图

    3.简单图

    类型:没有重边和闭环的无权无向图
    假设边数为M,顶点数为N,则无向图中边数与顶点数的关系为:

    极端情形:
    (1)空图 (2)完全图
    假设边数为M,顶点数为N,则有向图中边数与顶点数的关系为:
    在这里插入图片描述

    4.图的计算机表示

    (1)邻接矩阵(稠密图)
    (2)邻接表(稀疏图)
    (3)三元组(加权有向图)

    5.共引与文献耦合

    共同点:都属于有向网络到无向网络的对偶方法
    (1)共引:有向网络中节点i和j的共引数(Cij)定义为同时有出边指向节点i和节点j的节点数
    在这里插入图片描述特殊情况:Cii表示节点i的入度
    转换到无向网络:基于共引矩阵,一个有向网络对应的无向网络定义为:如果Cij>0,那么节点i和j之间就有一个边。
    (2)文献耦合:有向网络中节点i和j的文献耦合(Cij)定义为两个节点同时指向其他节点的数量
    在这里插入图片描述
    结论:共引程度反映的是两篇文章同时被多少篇其他文章引用;文献耦合程度反映的是两篇文章引用了多少篇相同的参考文献。

    6.路径与连通性

    简单路径:各个顶点都互不相同的路径是简单的。
    判断网络是否连通
    (1)当且仅当I+A+A2+…+AN-1是正矩阵,即所有元素都是正的。
    (2)当且仅当邻接矩阵是不可约的。

    7.Menger定理(门杰定理)

    点形式:所需去除的顶点的最少数目等于连接两个顶点的独立的简单路径的最大数目。->点割集
    边形式:所需去除的边的最少数目等于连接两个顶点不相交的简单路径的最大数目。 ->边割集

    8.最小生成树

    Prim算法:适合计算边稠密的网络的最小生成树。
    Kruskal算法:适合计算边稀疏的网络的最小生成树。

    9.二分图

    定义:图中的每条边的两个节点分别属于顶点集的两个子集中。
    在这里插入图片描述
    二分图的匹配:设G=(X,E,Y)为二分图,F为边集E的一个子集。如果F中任意两条边都没有公共端点,就称F为图G的一个匹配。

    第三章 网络基本拓扑性质

    1.网络稠密性与稀疏性

    网络的密度ρ在这里插入图片描述
    注:M表示网络中的实际边数,分母表示具有N个节点的网络中可能存在的最大边数。
    网络稠密:当N趋于无穷时,ρ为非零常数,表示网络是稠密的;
    网络稀疏:当N趋于无穷时,ρ为0,表示网络是稀疏的。

    2.平均路径长度与直径

    节点i与j之间的距离:连接这两个节点的最短路径上的边的数目。
    在无向无权图中:
    平均路径长度:任意两个节点之间的距离的平均值。
    注意:一个含有N个节点和M条边的网络的平均路径长度可以用时间量级为O(MN)的广度优先搜索算法来确定。
    直径:网络中任意两个节点之间的距离最大值称为网络的直径。

    3.聚类系数(Clustering Coefficient)

    (1)无向无权图情形
    定义:表示一个节点的邻居之间有边的个数与所有邻居之间都有边个数的比值。
    在这里插入图片描述
    注:其中Ei表示节点的邻居实际存在边的个数,若一个节点有0个或1个邻居节点,那么聚类系数Ci=0。
    三元组定义:
    在这里插入图片描述
    一个网络的聚类系数:网络中所有节点聚类系数的平均值。
    (2)有向有权图情形
    在这里插入图片描述

    4.度分布与幂律分布

    度分布定义:指网络中一个随机选择的节点度为k的概率。
    均匀网络:正态分布、泊松分布
    长尾分布:幂律分布
    幂律分布公式:
    在这里插入图片描述
    其中γ为幂指数,一般取2-3.
    :幂律网络和无标度网络不能说它们是等价的,一般只有幂指数较小的幂律网络才能说是无标度网络。

    第四章 度相关性与社团结构

    1.度相关性

    定义:又称为网络的二阶度分布特性。
    平均度:K = 2M/N
    度分布:P(k) = n(k) / N,其中n(k)表示度为k的节点个数,即如果随机选择一个节点i,那么节点的度为k的概率为P(k)。

    2.联合概率分布

    定义:联合概率P(j,k)定义为网络中随机选取的一条边的两个端点的度分别为j和k的概率,即为网络中度为j的节点和度为k的节点之间存在的边数占网络总边数的比例。
    公式
    在这里插入图片描述
    性质
    (1)对称性 (2)归一化 (3)余度分布

    第五章 节点重要性与相似性

    1.无向网络节点重要性指标

    (1)度中心性(Degree Centrality,DC)
    定义:一个节点的度越大,意味着该节点在网络中越重要。
    公式:度中心值(DC)
    在这里插入图片描述
    (2)介数中心性(Betweenness Centrality,BC)
    定义:表示经过该边或该点的最短路径的数量。
    公式:边介数/点介数(BC)
    在这里插入图片描述
    (3)接近中心性(Closeness Centrality,CC)
    定义:若一个点到其他所有点的平均距离为d,则接近中心性为1/d(d的倒数)。
    公式:接近数(CC)
    在这里插入图片描述
    (4)k壳与k核
    k壳分解:按度数递增k从0开始,依次去除掉图中度为k的节点,最后剩下的节点即为最重要的节点。
    优点:k壳分解相比度中心性的优点在于,可以排除一些度很大但并不是最重要的节点。
    在这里插入图片描述
    (5)特征向量中心性(Eigenvector centrality,EC)
    基本思想:一个节点的重要性既取决于其邻居节点的数量,也取决于其邻居节点的重要性
    公式:特征向量中心性
    在这里插入图片描述

    2.HITS算法

    基本思想:每个网页的重要性有两个刻画指标——权威性枢纽性。其中一个网页的权威值由指向这个网页的所有页面的枢纽值确定,而一个网页的枢纽值由该网页指向的所有页面的权威值决定。
    枢纽值 ——> 权威值
    快速理解:举一个例子,一篇具有创新性的文章被很多人引用,那么这篇文章可以说具有权威性;一篇综述概况总结很多高权威的论点,那么这篇综述可以说具有枢纽性。

    3.PageRank算法

    基本思想:WWW上一个页面的重要性取决于指向它的其他页面的数量和质量,根据网页PR值的大小确定页面的重要程度。
    计算公式:
    在这里插入图片描述
    ​其中,Bu是所有链接到网页u的网页集合,网页v是属于集合Bu的一个网页,L(v)则是网页v的对外链接数(即出度).
    步骤
    (1)给每个网页一个PR值。
    (2)通过(投票)算法不断迭代,直至达到平稳分布为止。
    补充:网络中PR值的总和为1。

    4.链路预测

    (1)链路预测
    定义:它是指如何通过已知的各种信息预测给定网络中尚不存在连边的两个节点之间产生连接的可能性。
    基本假设:如果两个节点的相似性越大,那么两个节点之间有链接的可能性越大。
    应用:朋友推荐
    (2)衡量指标

    • AUC:测试集中的边的分数值比随机选择的一个不存在的边的分数值高的概率。
      在这里插入图片描述
    • Precision:只考虑排在前L位的边是否预测准确,即前L个预测边中预测准确的比例。
      在这里插入图片描述

    5.节点相似性指标

    (1)基于局部信息的相似性指标
    典型代表:共同邻居(CN)
    (2)基于全局信息的相似性指标
    典型代表:局部路径指标(LP)——在共同邻居的基础上,考虑了三阶邻居的影响。
    (3)基于随机游走的相似性指标

    第六章 随机网络模型

    1.全局耦合网络

    定义:如果一个网络中的任意两个节点之间都有边直接相连,那么就称该网络为一个全局耦合网络。
    局限性:大型实际网络都是稀疏的,边数目最多有O(n)。
    聚类系数:1

    2.最近邻耦合网络

    定义:如果在一个网络中,每一个节点只和它周围的邻居节点相连,那么就称该网络为最近邻耦合网络。
    特征:网络的拓扑结构是由节点之间的相对位置决定的,随着节点位置的变化网络拓扑结构可能发生切换。
    特点:聚类系数较高,但平均路径长度较大。

    3.星形耦合网络

    定义:它有一个中心点,其余的N-1个点都只与这个中心点连接,而它们彼此之间不连接。
    聚类系数:0

    4.ER随机图模型

    (1)具有固定边数的ER随机图模型 G(N,M)
    定义:N个节点的图中,在任意两个节点之间添加M条边,其中选择的是两个不同的没有边连接的节点对。
    (2)具有固定连边概率的ER随机图模型 G(N,p)
    定义:把N个节点中任意两个不同的节点之间有一条边的概率固定为p,生成随机数r(0-1之间),若r<p,则在两个节点之间添加边。
    特点:具有较小的平均路径长度,但没有高聚类特性。

    第七章 小世界网络模型

    1.WS小世界模型

    构建方法:在规则网络中添加一些随机性(随机重连),通过调节重连概率p实现WS小世界模型的构建。
    在这里插入图片描述
    区分WS小世界网络模型与ER随机图模型:
    节点的度不同:在WS小世界模型中,每个节点的度至少为K/2,而ER随机图模型任意节点的度没有限制。
    在这里插入图片描述
    分析结论:当重连概率p较小时,网络的聚类系数较高和平均路径长度较小。

    2.NW小世界模型

    构建方法:通过用“随机化加边”代替“随机化重连”得到的模型,相当于在最近耦合网络中叠加一个一定边数的随机图,当p较小且N很大时,可近似等价于WS小世界网络模型。
    在这里插入图片描述

    第八章 无标度网络模型

    1.鲁棒性

    定义:对于给定的网络,如果在移走少量节点后网络中的绝大部分节点是连通的,那么就称该网络的连通性对节点故障具有鲁棒性。

    2.随机网络和无标度网络鲁棒性的比较

    (1)无标度网络
    无标度网络对随机节点故障具有较高的鲁棒性
    无标度网络对蓄意攻击具有高度的脆弱性
    原因: 无标度网络的网络度分布具有极端非均匀性,即绝大多数节点的度较小,只有一小部分节点的度较大。
    (2)随机网络
    随机网络对随机节点故障具有高度的脆弱性

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