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  • 我们在学习阶跃信号与冲激信号之前,我们首先要知道什么是奇异信号? 什么是奇异信号? 解释:函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函数。而我们下面所要介绍的...

    我们在学习阶跃信号与冲激信号之前,我们首先要知道什么是奇异信号?

    •  什么是奇异信号?

    解释:函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函数。而我们下面所要介绍的单位斜变信号、单位冲激信号、单位阶跃信号、冲击偶信号都属于奇异信号。

    • 什么是单位斜变信号?

    解释:斜变信号又称为斜坡信号或斜升信号。这是指从某一时刻开始随时间正比例增长的信号。如果增长的变化率是 1 ,就称为单位斜变信号。

    其表达式为:R(t) = \left\{\begin{matrix} 0 & t<0 \\ t& t\geqslant 0 \end{matrix}\right.,波形为:

    当信号 R(t) 延迟 t0 个单位时,我们可以得出下图所示的波形,在这里我们对信号的移位不称为移位,称为信号延迟了 t0 个单位。 

    则延迟的信号表达式为:R(t-t_{0}) = \left\{\begin{matrix} 0 & t<t_{0} \\ t-t_{0}& t\geqslant t_{0} \end{matrix}\right.,波形为:

    •  什么是单位阶跃信号?

    解释:单位阶跃信号的表达式为:u(t)=\left\{\begin{matrix} 0 &(t<0) \\ 1 & (t>0) \end{matrix}\right.,对于在跳变点 t=0 处而言,函数值未定义,或在 t=0 处规定函数值为 u(0) = 1/2 。

    其波形如下图所示:

    当信号 u(t) 延迟 t0 个单位时,我们可以得出下图所示的波形,其延迟之后的表达式为u(t-t_{0}) = \left\{\begin{matrix} 0 & t<t_{0} \\ 1& t > t_{0} \end{matrix}\right.    , t0>0 :

    我们在该们课中,也会经常见到另一种用阶跃信号所构成的信号,其被称为门函数,又被称为矩形窗函数。其表达式为:

    其波形为:

    单位阶跃信号还被用来表示另外一种函数,被称为符号函数,写作 sgn(t)  定义如下所示:sgn(t) = \left\{\begin{matrix} 1 & t>0 \\ -1& t < 0 \end{matrix}\right.

    符号函数又可以被阶跃函数来表示:sgn(t) = 2u(t) - 1

    •  什么是单位冲激信号?

    解释:冲激函数可由不同的方式来定义,它是一个“面积”等于1的理想化了的窄脉冲。也就是说,这个脉冲的幅度等于它的宽度的倒数。当这个脉冲的宽度愈来愈小时,它的幅度就愈来愈大。当它的宽度按照数学上极限法则趋近于零时,那么它的幅度就趋近于无限大,这样的一个脉冲就是“单位冲激函数”。在实际工程中,像“单位冲激函数”这样的信号是不存在的,至多也就是近似而已。

    我们通过对矩形脉冲信号推导可以得到冲激信号。设矩形脉冲信号的表达式为:

    其波形为:

     当我们将 \tau \rightarrow 0 时,保持其面积为 1 ,则脉宽将降低,脉冲高度将趋于无穷大,此极限情况即为单位冲激函数。

    则其表达式可以表示为: 

    波形图为: 

     对于冲激函数而言,只有在 t=0 点有一“冲激”,在 t=0 点以外各处,函数值都是零。

    上面是由矩形脉冲函数来对冲激函数进行定义的,也可以用另外的函数来进行定义,下面是所用的函数对冲激函数进行定义:

     但是对于抽样信号而言,当 K 越大时,函数的振幅也就越大,且离开原点时函数振荡越快,衰减越迅速。

    下面分别表示了各个脉冲信号演变为冲激函数:

     当然,还有一种是狄拉克函数对冲激函数定义:

    冲激函数为偶函数。 

     

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    1、位于原点的单位冲激的傅里叶变换:

    在这里插入图片描述

    2、位于t=t_0的一个冲激的傅里叶变换:

    在这里插入图片描述

    3、周期冲激串的傅里叶变换:

    周期冲激串:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    由傅里叶变换对定义可得f(t)的FT为F(u),则在点t求值后函数是F(t),F(t)的FT为f(-u);
    在这里插入图片描述
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    冲激串函数可表示为一个傅里叶级数
    在这里插入图片描述
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    求和是线性过程,得到和的傅里叶变换与求各个分量的傅里叶变换之和是相同的。
    在这里插入图片描述
    由此我们可以得出,周期为△T的冲激串的傅里叶变换还是冲激串,其周期为1/△T

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  • 第2章 计算机控制系统中信号转换和处理4.doc计算机控制系统中信号转换和处理——Shannon采样定理采样过程及其数字描述采样定理与信号复现仿真例计算机控制系统中的信号转换和处理——Shannon采样定理 采样过程及其...

    第2章 计算机控制系统中信号转换和处理4.doc

    计算机控制系统中信号转换和处理——Shannon采样定理采样过程及其数字描述采样定理与信号复现仿真例

    计算机控制系统中的信号转换和处理——Shannon采样定理 采样过程及其数学描述图1 采样的物理过程采样的物理过程说明:工程上,只考虑有始信号,即t≧0。物理开关的闭合时间是一个有限区间τ,τ可以很小,但决不可能为零,即τ>0,这是因为①物理开关的开关需要时间,②开关所控制的物理电路存在有限电参数,因而具有时间常数,τ是使采样稳定所必需的。“保持”在这里仅仅是ADC的量化和编码过程所要求的,它并不需要在Ts区间一直保持,τ1只需要维持到ADC编码结束即可。量化之后成为时间离散,幅值也离散的信号,DD

    ADC的实际采样过程

    编码之后才真正成为时间离散的数字信号,DD采样的数学模型(数学过程) 应当注意所谓数学过程只是物理过程的一种人为数学抽象,它只是在一定的意义上表征了物理过程中各量的数学关系、决非等同。

    调制信号:f(t),t∈(-∞,+∞) ——被采样信号

    图2 采样的数学过程

    载波:已调信号:说明:Fourier变换的(象)原函数的定义域是(-∞,+∞),因此这里讨论的f(t),亦然,这与工业实时控制的情况不符。单位冲激函数(最好不要称为单位脉冲函数,以免和δ(k)混淆)只是一种数学抽象,物理上是不存在的。这里只是借用其一些特殊的数学性质,以导出一些有用的结果。当然f *(t)是不存在的。下面,我们将会分析f *(t)的有关特性,已导出Shannon采样定理。问题在于如何把抽象的f *(t)与实际的f *(k)在工程上统一起来。

    物理过程与数学过程的统一物理上,对 f (t)采样得到f *(k),是一个数值序列。往往简记为f (k)考虑到采样间隔T和零阶保持器(ZOH),在kT采样间隔上的“冲量”为“T f (k) ”数学上,对 f (t)采样得到f *(t),是一个冲激序列,在kT采样点上的 “冲量” 为 “f (k) ”

    二者冲量值差一个常数增益“T”,但是后者容易使用数学工具,得出一般性结论——证明 Shannon 采样定理。时域信号和频域信号的对应关系根据傅里叶级数和傅里叶变换可以分别画出以下四种情况的示意图:时域连续非周期—— 频域非周期连续时域连续周期性—— 频域非周期离散时域离散非周期—— 频域周期性连续——实时动态控制的情况时域离散周期性—— 频域周期性离散 采样定理与信号复现采样定理(Shannon)采样定理:为了不失真地由其(离散)采样点信息恢复原被采样连续信号,采样频率应该不小于连续信号频谱中最高频率的2倍。即?s≧2?m这里假设(符合一般情况)F(j?)具有有限频谱宽度,即:|F(j?)|=0,当?>?m时。工业控制信号的频谱一般都具有近似正态分布曲线的形状,边带频率?m的确定应根据工程控制的指标要求而定,如无线通信经常用-3dB 带宽(70.7%),按此定义,显然信号很难复原。一般可定义为 -20dB(10%)带宽,或-26dB(5%)带宽。在数字载波通信中,或其他特殊情况下,可能具有近似矩形频谱或有限离散频谱。理想门函数滤波器与采样原信号的复现按照采样定理,如果满足?s≥2?m,则采样点信息对原信号是全息的。其复原器为理想门函数滤波器。

    图3 示意图a)证明Shannon采样定理,b)用零阶保持器近似理想门函数滤波器但是,理想门函数滤波器仅是一个数学模型,(其冲激响应是反时间因果律的)在物理上无法实现。故信号复现的“质量”如何,应该首先关注我们能不能、以及如何来在物理上近似模拟这样一个效果等效的滤波门函数。零阶保持器(ZOH)如何近似为理想门函数最现实、因而也是最常用的一种方式是ZOH,其幅频特性和相频特性如上图。上图中比较:?s=2?c1?s=4?c2?s=8?c3可见?s相对越大,滤波函数对于主频谱越接近理想门函数,同时边频谱越是集中在滤波函数全衰减点附近,即?=±n?s,n=±1,2……各点附近,几乎被全衰减。显而易见,ZOH具有常值纯滞后。其滞后时间为Ts=2π/?s,当有?s>>?m时,在频带?≤?m内最大相移为Ts?m=2π?m/?s<<2π,甚至可以忽略不计。?s如何确定应当注意到,Shannon采样定理的证明有如下前提:Shannon采样定理所面对的是无始无终的被采样信号f(t),即t∈(-∞,+∞),因而“复原”被采样信号f(t)时,在当前t时刻之前和之后都有无穷多个采样点可用。f(t)具有有限频带宽度,即,|F(j?)|=0,当?>?m时。“复原器”是一个理想门函数滤波器。

    但是,对于工业实时控制系统的信号,受如下限制:工业实时控制系统

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  • 以单位冲激信号δ(t)作激励,系统产生的零状态响应称为“单位冲激响应”或简称为“冲激响应”。以h(t)表示。 以单位阶跃信号u(t)作激励,系统产生的零状态响应称为“单位阶跃响应”或简称为“阶跃响应”。以g(t)...

           以单位冲激信号δ(t)作激励,系统产生的零状态响应称为“单位冲激响应”或简称为“冲激响应”。以h(t)表示。
           以单位阶跃信号u(t)作激励,系统产生的零状态响应称为“单位阶跃响应”或简称为“阶跃响应”。以g(t)表示。

           举个具体的例子,比如对电容施加一个幅值很大,时间很短的电压,使电容器在短时间内迅速充电,就近似于对电容器施加一个冲激信号,然后电容通过电阻回路进行放电,就相当于冲激响应。

           信号分解的一种重要方式是把待研究的信号分解为许多冲激信号的基本单元之和!!!即单位冲激信号δ(t)是信号的基本组成元,那么单位冲激响应h(t)就是响应信号的基本组成元!!!

           系统方程形式如下:

                         C_0\frac{d^nr(t)}{dt^n}+C_1\frac{d^{n-1}r(t)}{dt^{n-1}}+...+C_{n-1}\frac{dr(t)}{dt}+C_nr(t)=E_0\frac{d^me(t)}{dt^m}+E_1\frac{d^{m-1}e(t)}{dt^{m-1}}+...+E_(m-1)\frac{de(t)}{dt}+E_me(t)

           在给定e(t)为单位冲激响应δ(t)的条件下,求出r(t),即为冲激响应h(t)。

           根据定义,δ(t)及其各阶导数在t>0时都等于零。所以,上式右端在t>0时恒等于0,因此,冲激响应h(t)应与齐次解的形式相同,如果特征值包括n个重根,则

                                 h(t)=\sum_{k=1}^nA_ke^{\alpha_kt}

           即,δ(t)信号的加入,在t=0时刻引起了系统的能量储存,而在t=0_+以后,系统的外加激励不复存在,只有冲激引入的能量存储作用,这样,就把冲激信号源转换为非零的初始条件,响应形式必然与零输入响应相同(相当于求齐次解)。

          知道了这些,在把δ(t)函数和h(t)的形式带入系统方程,匹配各阶项的系数求解即可。

       (注:δ函数及δ函数与其他函数的乘积δ(t)*f(t)有特殊的求导法则,具体可查!!!)

         

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冲激信号转换