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  • 【OpenCV】图像几何变换:旋转,缩放,斜切

    万次阅读 多人点赞 2012-05-30 14:56:25
    几何变换 几何变换可以看成图像中物体(或像素)空间位置改变,或者说是像素的移动。 几何运算需要空间变换和灰度级差值两个步骤的算法,像素通过变换映射到新的坐标位置,新的位置可能是在几个像素之间,即不一定...

    几何变换

    几何变换可以看成图像中物体(或像素)空间位置改变,或者说是像素的移动。

    几何运算需要空间变换和灰度级差值两个步骤的算法,像素通过变换映射到新的坐标位置,新的位置可能是在几个像素之间,即不一定为整数坐标。这时就需要灰度级差值将映射的新坐标匹配到输出像素之间。最简单的插值方法是最近邻插值,就是令输出像素的灰度值等于映射最近的位置像素,该方法可能会产生锯齿。这种方法也叫零阶插值,相应比较复杂的还有一阶和高阶插值。

    插值算法感觉只要了解就可以了,图像处理中比较需要理解的还是空间变换。

    空间变换

    空间变换对应矩阵的仿射变换。一个坐标通过函数变换的新的坐标位置:

    所以在程序中我们可以使用一个2*3的数组结构来存储变换矩阵:

    以最简单的平移变换为例,平移(b1,b2)坐标可以表示为:

    因此,平移变换的变换矩阵及逆矩阵记为:

    缩放变换:将图像横坐标放大(或缩小)sx倍,纵坐标放大(或缩小)sy倍,变换矩阵及逆矩阵为:

    选择变换:图像绕原点逆时针旋转a角,其变换矩阵及逆矩阵(顺时针选择)为:

     

    OpenCV中的图像变换函数

    基本的放射变换函数:

     

    void cvWarpAffine( 
        const CvArr* src,//输入图像
        CvArr* dst, //输出图像
        const CvMat* map_matrix,   //2*3的变换矩阵
        int flags=CV_INTER_LINEAR+CV_WARP_FILL_OUTLIERS,   //插值方法的组合
        CvScalar fillval=cvScalarAll(0)   //用来填充边界外的值
    );

    另外一个比较类似的函数是cvGetQuadrangleSubPix:

     

     

    void cvGetQuadrangleSubPix( 
           const CvArr* src,  //输入图像 
           CvArr* dst,   // 提取的四边形
           const CvMat* map_matrix //2*3的变换矩阵
    );

    这个函数用以提取输入图像中的四边形,并通过map_matrix变换存储到dst中,与WarpAffine变换意义相同,

     

    即对应每个点的变换:

    WarpAffine与 GetQuadrangleSubPix 不同的在于cvWarpAffine 要求输入和输出图像具有同样的数据类型,有更大的资源开销(因此对小图像不太合适)而且输出图像的部分可以保留不变。而 cvGetQuadrangleSubPix 可以精确地从8位图像中提取四边形到浮点数缓存区中,具有比较小的系统开销,而且总是全部改变输出图像的内容。

     

    实践:图像旋转变换(原尺寸)

    首先用cvWarpAffine实验将图像逆时针旋转degree角度。

    //逆时针旋转图像degree角度(原尺寸)
    void rotateImage(IplImage* img, IplImage *img_rotate,int degree)
    {
    	//旋转中心为图像中心
    	CvPoint2D32f center;  
    	center.x=float (img->width/2.0+0.5);
    	center.y=float (img->height/2.0+0.5);
    	//计算二维旋转的仿射变换矩阵
    	float m[6];            
    	CvMat M = cvMat( 2, 3, CV_32F, m );
    	cv2DRotationMatrix( center, degree,1, &M);
    	//变换图像,并用黑色填充其余值
    	cvWarpAffine(img,img_rotate, &M,CV_INTER_LINEAR+CV_WARP_FILL_OUTLIERS,cvScalarAll(0) );
    }

    逆时针旋转30度结果:

    这里我们将新的图像还保留原来的图像尺寸。这样的效果显然不太好,我们通过计算相应放大图像尺寸。

     

    实践:图像旋转变换(保留原图内容,放大尺寸)

    需要计算新图的尺寸,示意图如下:

    所以新图size为(width*cos(a)+height*sin(a), height*cos(a)+width*sin(a))

    //旋转图像内容不变,尺寸相应变大
    IplImage* rotateImage1(IplImage* img,int degree){
    	double angle = degree  * CV_PI / 180.; // 弧度  
    	double a = sin(angle), b = cos(angle); 
    	int width = img->width;  
    	int height = img->height;  
    	int width_rotate= int(height * fabs(a) + width * fabs(b));  
    	int height_rotate=int(width * fabs(a) + height * fabs(b));  
    	//旋转数组map
    	// [ m0  m1  m2 ] ===>  [ A11  A12   b1 ]
    	// [ m3  m4  m5 ] ===>  [ A21  A22   b2 ]
    	float map[6];
    	CvMat map_matrix = cvMat(2, 3, CV_32F, map);  
    	// 旋转中心
    	CvPoint2D32f center = cvPoint2D32f(width / 2, height / 2);  
    	cv2DRotationMatrix(center, degree, 1.0, &map_matrix);  
    	map[2] += (width_rotate - width) / 2;  
    	map[5] += (height_rotate - height) / 2;  
    	IplImage* img_rotate = cvCreateImage(cvSize(width_rotate, height_rotate), 8, 3); 
    	//对图像做仿射变换
    	//CV_WARP_FILL_OUTLIERS - 填充所有输出图像的象素。
    	//如果部分象素落在输入图像的边界外,那么它们的值设定为 fillval.
    	//CV_WARP_INVERSE_MAP - 指定 map_matrix 是输出图像到输入图像的反变换,
    	cvWarpAffine( img,img_rotate, &map_matrix, CV_INTER_LINEAR | CV_WARP_FILL_OUTLIERS, cvScalarAll(0));  
    	return img_rotate;
    }

     

    实践:图像旋转变换(保留原图内容,放大尺寸)-2

    试一下用cvGetQuadrangleSubPix函数:

    //旋转图像内容不变,尺寸相应变大
    IplImage* rotateImage2(IplImage* img, int degree)  
    {  
    	double angle = degree  * CV_PI / 180.; 
    	double a = sin(angle), b = cos(angle); 
    	int width=img->width, height=img->height;
    	//旋转后的新图尺寸
    	int width_rotate= int(height * fabs(a) + width * fabs(b));  
    	int height_rotate=int(width * fabs(a) + height * fabs(b));  
    	IplImage* img_rotate = cvCreateImage(cvSize(width_rotate, height_rotate), img->depth, img->nChannels);  
    	cvZero(img_rotate);  
    	//保证原图可以任意角度旋转的最小尺寸
    	int tempLength = sqrt((double)width * width + (double)height *height) + 10;  
    	int tempX = (tempLength + 1) / 2 - width / 2;  
    	int tempY = (tempLength + 1) / 2 - height / 2;  
    	IplImage* temp = cvCreateImage(cvSize(tempLength, tempLength), img->depth, img->nChannels);  
    	cvZero(temp);  
    	//将原图复制到临时图像tmp中心
    	cvSetImageROI(temp, cvRect(tempX, tempY, width, height));  
    	cvCopy(img, temp, NULL);  
    	cvResetImageROI(temp);  
    	//旋转数组map
    	// [ m0  m1  m2 ] ===>  [ A11  A12   b1 ]
    	// [ m3  m4  m5 ] ===>  [ A21  A22   b2 ]
    	float m[6];  
    	int w = temp->width;  
    	int h = temp->height;  
    	m[0] = b;  
    	m[1] = a;  
    	m[3] = -m[1];  
    	m[4] = m[0];  
    	// 将旋转中心移至图像中间  
    	m[2] = w * 0.5f;  
    	m[5] = h * 0.5f;  
    	CvMat M = cvMat(2, 3, CV_32F, m);  
    	cvGetQuadrangleSubPix(temp, img_rotate, &M);  
    	cvReleaseImage(&temp);  
    	return img_rotate;
    }  

     

     

    实践:图像放射变换(通过三点确定变换矩阵)

    在OpenCV 2.3的参考手册中《opencv_tutorials》介绍了另一种确定变换矩阵的方法,通过三个点变换的几何关系映射实现变换。

    变换示意图如下:

    即通过三个点就可以确定一个变换矩阵。(矩形变换后一定为平行四边形)

    以下是基于OpenCV 2.3的代码(需至少2.0以上版本的支持)

    int main( )
    {
    	Point2f srcTri[3];
    	Point2f dstTri[3];
    	Mat rot_mat( 2, 3, CV_32FC1 );
    	Mat warp_mat( 2, 3, CV_32FC1 );
    	Mat src, warp_dst, warp_rotate_dst;
    	//读入图像
    	src = imread( "baboon.jpg", 1 );
    	warp_dst = Mat::zeros( src.rows, src.cols, src.type() );
    	// 用3个点确定A仿射变换
    	srcTri[0] = Point2f( 0,0 );
    	srcTri[1] = Point2f( src.cols - 1, 0 );
    	srcTri[2] = Point2f( 0, src.rows - 1 );
    	dstTri[0] = Point2f( src.cols*0.0, src.rows*0.33 );
    	dstTri[1] = Point2f( src.cols*0.85, src.rows*0.25 );
    	dstTri[2] = Point2f( src.cols*0.15, src.rows*0.7 );
    	warp_mat = getAffineTransform( srcTri, dstTri );
    	warpAffine( src, warp_dst, warp_mat, warp_dst.size() );
    	/// 旋转矩阵
    	Point center = Point( warp_dst.cols/2, warp_dst.rows/2 );
    	double angle = -50.0;
    	double scale = 0.6;
    	rot_mat = getRotationMatrix2D( center, angle, scale );
    	warpAffine( warp_dst, warp_rotate_dst, rot_mat, warp_dst.size() );
    	OpenCV 1.0的形式
    	//IplImage * img=cvLoadImage("baboon.jpg");
    	//IplImage *img_rotate=cvCloneImage(img);
    	//CvMat M =warp_mat;
    	//cvWarpAffine(img,img_rotate, &M,CV_INTER_LINEAR+CV_WARP_FILL_OUTLIERS,cvScalarAll(0) );
    	//cvShowImage("Wrap2",img_rotate);
    
    	namedWindow( "Source", CV_WINDOW_AUTOSIZE );
    	imshow( "Source", src );
    	namedWindow( "Wrap", CV_WINDOW_AUTOSIZE );
    	imshow( "Wrap", warp_dst );
    	namedWindow("Wrap+Rotate", CV_WINDOW_AUTOSIZE );
    	imshow( "Wrap+Rotate", warp_rotate_dst );
    	waitKey(0);
    	return 0;
    }

    变换结果:

     

    转载请注明出处:http://blog.csdn.net/xiaowei_cqu/article/details/7616044
    实验代码下载:https://github.com/xiaoweicqu/image-rotate/blob/master/main_rotate.cpp

    写在最后的一点点闲话

    之前一直用的2.1的版本,后来装了2.3,只是听说2.3很强大,但我刚开始学,用的也基础,完全没感觉出不同。直到今天忽然看到了2.3的手册,才发现从2.0开始函数和基本结构都有了很大的改变,而我一直还是用的1.0风格的函数(比如cvMat,cvLoadImage)。我的两个学习工具《Learnning OpenCV》和《OpenCV中文参考手册》都是基于1.0的,这也是我到今天才看到Mat,然后直接被惊艳到了。

    别人总结出来的东西能帮助我们在一开始迅速入门,但要学深,学精,终归还是要自己去努力挖的。

     

     

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  • 三维空间几何变换矩阵

    千次阅读 2018-11-26 10:02:38
    三维空间几何变换矩阵 标签: 矩阵变换 https://blog.csdn.net/piaoxuezhong/article/details/70171525 继之前的http://blog.csdn.net/piaoxuezhong/article/details/62430051绕轴旋转,这里汇总了一下三维空间中的...


    三维空间几何变换矩阵
    标签: 矩阵变换
    https://blog.csdn.net/piaoxuezhong/article/details/70171525
    继之前的http://blog.csdn.net/piaoxuezhong/article/details/62430051绕轴旋转,这里汇总了一下三维空间中的平移变换,比例变化,旋转变换等数学知识:

    基本三维几何变换

    1. 平移变换
      若空间平移量为(tx, ty, tz),则平移变换为
      在这里插入图片描述

    2. 比例变换
      相对坐标原点的比例变换
      一个点P=(x,y,z)相对于坐标原点的比例变换的矩阵可表示为

    3. 绕坐标轴旋转,这里只描述下变换矩阵:

    4.组合变换:

    1.物体绕平行于某一坐标轴的旋转变换。基本步骤:
    (1) 平移物体使旋转轴与所平行的坐标轴重合;
    (2) 沿着该坐标轴进行指定角度的旋转;
    (3) 平移物体使旋转轴移回到原位置。

    2.三维变换矩阵的功能分块

    (1)三维线性变换部分
    (2)三维平移变换部分
    (3)透视变换部分
    (4)整体比例因子

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  • 常用几何变换矩阵

    千次阅读 2015-04-24 21:33:06
    常用的几何变换矩阵:平移(translate),旋转(rotate),缩放(scale),以及简单的复合,如绕指定点旋转、缩放

    参考: http://wenku.baidu.com/view/193f8a8fbceb19e8b8f6baf6.html

     (Owed by: 春夜喜雨 http://blog.csdn.net/chunyexiyu 转载请标明来源)

     

    常用的几何变换矩阵:平移(translate),旋转(rotate),缩放(scale),以及简单的复合,如绕指定点旋转、缩放

    关于矩阵复合时的乘法参考 http://blog.csdn.net/chunyexiyu/article/details/44671737 - Matrix矩阵乘法

     

    二维变换矩阵:

     

    二维平移 vec(Tx, Ty)

    1       0       Tx

    0       1       Ty

    0       0       1

     

    二维旋转:

    cos@        -sin@        0

    sin@         cos@        0

    1       1       1

     

    二维放大

    Sx     0       0

    0       Sy     0

    0       0       1

     

    绕着顶点旋转(Xr, Yr)

    cos@        -sin@        Xr(1-cos@) + YrSin@

    sin@         cos@        Yr(1-cos@) – XrSin@

    0       0       1

    (变换步骤:平移到原点->旋转->平移恢复)

     

    绕指定点放大(Xr,Yr)

    Sx     0       Xr(1-Sx)

    0       Sy     Yr(1-Sy)

    0       0       1

    (变换步骤:平移到原点->缩放->平移恢复)

     

    三维变换矩阵:

    平移Vec(Tx, Ty, Tz)

    1       0       0       Tx

    0       1       0       Ty

    0       0       1       Tz

    0       0       0       1

     

    Z轴旋转

    cos@        -sin@        0       0

    sin@         cos@        0       0

    0       0       1       0

    0       0       0       1

     

    X轴旋转

    1       0       0       0

    0       cos@        -sin@        0

    0       sin@         cos@        0

    0       0       0       1

     

    Y轴旋转

    cos@        0       sin@         0

    0       1       0       0

    -sin@        0       cos@        0

    0       0       0       1

     

    一般绕指定点(Xr, Yr, Zr)的三维旋转变幻步骤

    1. 平移到原点

    2. 旋转到某一坐标轴X|Y|Z

    3. 绕坐标轴旋转

    4. 旋转恢得-2的逆矩阵处理

    5. 平移恢复-1的逆矩阵处理

    三维缩放

    Sx     0       0       0

    0       Sy     0       0

    0       0       Sz     0

    0       0       0       1

     

    绕任意点(Xr, Yr, Zr)为中心缩放

    Sx     0       0       Xr(1-Sx)

    0       Sy     0       Yr(1-Sy)

    0       0       Sz     Zr(1-Sz)

    0       0       0       1

    (步骤:平移到原点->缩放->平移恢复)

     

    错切,例如把一个矩阵错切为一个平行四边形

    x为依赖轴

    1       0       0       0

    b       1       0       0

    c       0       1       0

    0       0       0       1

    y为依赖轴

    1       a       0       0

    0       1       0       0

    0       c       1       0

    0       0       0       1

    z轴为依赖轴

    1       0       a       0

    0       1       b       0

    0       0       1       0

    0       0       0       1

    复合

    1       a1     a2     0

    b1     1       b2     0

    c1     c2     1       0

    0       0       0       1

     

    对应OpenGL的几何变换函数

    glTranslate/glRoate/glScale/glLoadIdentity/glLoadMatrix/glMarixMode

     

    (Owed by: 春夜喜雨 http://blog.csdn.net/chunyexiyu 转载请标明来源)

     

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  • OpenGL几何变换

    千次阅读 2015-09-29 21:44:09
    OpenGL几何变换  OpenGL中指定了顶点之后,但在屏幕上显示它们之前,会发生三种类型的变换:视图变换、模型变换和投影变换。OpenGL中一些变换术语如下表: 变换 用途 视图(Viewing) 指定观察者或照相机的位置 ...

    OpenGL几何变换

      OpenGL中指定了顶点之后,但在屏幕上显示它们之前,会发生三种类型的变换:视图变换、模型变换和投影变换。OpenGL中一些变换术语如下表:

    变换用途
    视图(Viewing)指定观察者或照相机的位置
    模型(Modeling)在场景中移动物体
    模型视图(Modelview)描述视图和模型变换的对偶性
    投影(Projection)改变可视区域的大小或重新设置它的形状
    视口(ViewPort)伪变换,只是对窗口上的最终输出进行缩放

      视图变换:用于确定场景的拍摄点,也就是在世界坐标系中确定Camera的过程,并将世界坐标系转换到Camera Space,观察方向直行z轴负方向。在进行任何其它变换之前必须先指定视图变换。

      模型变换:用于对模型及模型内部的待定物体进行操纵,可以对物体进行平移、旋转、缩放。

      模型视图对偶性:视图变换与模型变换的效果等同。

    &esmp; 投影变换:投影变换指定了一个完成的场景投影到屏幕上的最终图像。常见的投影类型有:正投影与透视投影。

      视口变换:将最终获得的二维图像映射到屏幕上的某个窗口。

      顶点变换管线(管线用于描述一种过程,它可能涉及到两个或更多个独特的阶段和步骤):源顶点数据->模型视图矩阵->经过变换的视觉坐标->投影矩阵->裁剪坐标->透视除法->经过规范化的设备坐标->视口变换->窗口坐标。

      相关的函数

    //平移,(x, y, z)平移向量
    glTranslatef(x, y, z);
    
    //旋转,angle旋转角度,(x, y, z)旋转轴
    glRotatef(angle, x, y, z);
    
    //缩放,(x, y, z)沿各个坐标轴方向的缩放比例
    glScalef(x, y, z);
    
    //把当前的矩阵设置为模型视图矩阵,并加载单位矩阵进行重置
    glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
    glLoadIdentity();
    
    //矩阵堆栈
    glGet(GL_MAX_MODELVIEW_STACK_DEPTH);//模型矩阵堆栈的最大深度
    glGet(GL_MAX_PROJECTION_STACK_DEPTH);//投影矩阵堆栈的最大深度
    glPushMatrix();//压入矩阵堆栈
    glPopMatrix();弹出矩阵堆栈
    
    //透视变换
    gluPerspective(GLdouble fovy, GLdouble aspect, GLdouble aNear, GLdouble aFar);
    //fovy:垂直方向的视野角度
    //aspect:宽度与高度的纵横比
    //aNear,aFar:近端和远端裁剪平面之间的距离
    
    //加载矩阵
    glLoadMatrixf(const GLfloat *matrix);//列主序加载矩阵
    glLoadTransposeMatrixf(const GLfloat *matrix);//行主序加载矩阵

      OpenGL的矩阵顺序为列主序的,即按列逐个遍历矩阵中的元素,如下:

    列主序的矩阵顺序:
                [I0, I4, I8, I12]
                [I1, I5, I9, I13]
                [I2, I6, I10, I14]
                [I3, I7, I11, I15]

    注意:OpenGL中常采用一维数组来组织二维矩阵,GLfloat matrix[16]。若采用二维数组表示二维矩阵,则矩阵数据在内存中是以行主序存储的。

    参考资料
    1. OpenGL SuperBible
    2. View Transform

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  • 图像处理中的几何变换

    千次阅读 2016-07-14 19:03:02
    几何变换 几何变换可以看成图像中物体(或像素)空间位置改变,或者说是像素的移动。 几何运算需要空间变换和灰度级差值两个步骤的算法,像素通过变换映射到新的坐标位置,新的位置可能是在几个像素之间,即不...
  • 第7章 二维几何变换 应用于对象几何描述并改变它的位置、方向或大小的操作称为几何变换(geometric transformation)。 几何变换有时也称为建模变换(modeling transformation),但有些图形系统将两者区分开来。...
  • 基本几何变换与图形剪裁现实

    千次阅读 2013-12-16 21:35:15
    1.基本几何变换:平移、比例、旋转、对称和错切等; 2.直线段的裁剪; 3. 多边形的裁剪。 二、设计思想 1.基本几何变换  基本几何变换:平移、比例、旋转、对称和错切等都是对应点的矩阵变换。 2.Liang-...
  • 几何变换,又称空间变换,是图形处理的一个方面,是各种图形处理算法的基础。它将一幅图像中的坐标位置映射到另一幅图像中的新坐标位置,其实质是改变像素的空间位置,估算新空间位置上的像素值。 几何变换不改变...
  • 图像几何变换:旋转,缩放,斜切

    千次阅读 2016-01-09 13:22:49
    几何变换 几何变换可以看成图像中物体(或像素)空间位置改变,或者说是像素的移动。 几何运算需要空间变换和灰度级差值两个步骤的算法,像素通过变换映射到新的坐标位置,新的位置可能是在几个像素之间,即...
  • 几何变换(二维、三维)

    千次阅读 2015-08-28 13:40:35
    几何变换 窗口区到视图区的坐标变换  实际的窗口区与视图区往往不一样大小,要在视图区正确地显示形体的,必须将其从窗口区变换到视图区。   比例关系,两者的变换公式为:   可以简单地将两者的关系...
  • 图像几何变换之平移

    千次阅读 2018-01-09 22:17:25
    图像的几何变换 一、引言 打开任意一个图像的编辑器,一般都可以进行对图像进行放大、缩小、旋转等操作,这类操作改变了原图中各区域的空间关系。对于这类操作,通常称为图像的几何变换。 完成一张图像的几何...
  • 文章目录前言一、几何变换是什么?1.引入库2.读入数据3.操作步骤4.显示结果结果展示总结 前言 随着当今世界的发展,计算机视觉技术的应用越来越广泛。伴随着硬件设备的不断升级,构造复杂的计算机视觉应用变得...
  • 实验二图像几何变换与插值 一 实验目的 巩固图像处理编程的步骤格式理解数据插值及图像几何变换的原理掌握图像几何变换的实现方法 二 实验内容 1 理解反向变换的实现思路 2 图像缩放及插值 Matlab取整命令floor, ...
  • 数字图像处理第五章数字图像处理---几何变换与图像标准(一)点变换(二)仿射变换(三)投影变换(四)应用于图像的几何变换(五)MATLAB 中的图像坐标系统5.1 输出图像位置5.2 控制输出网格(六)图像内插6.1 二维...
  • 数字图像处理第五章 几何变换与图像配准几何变换与图像配准1 点变换2 仿射变换3 投影变换4 应用于图像的几何变换5 MATLAB中的图像坐标系统5 图像内插 几何变换与图像配准 几何变换改变了图像中像素间的空间关系,...
  • Numpy和OpenCV中的图像几何变换

    千次阅读 2020-01-06 12:29:10
    上面的图像使它不言而喻什么是几何变换。它是一种应用广泛的图像处理技术。例如,在计算机图形学中有一个简单的用例,用于在较小或较大的屏幕上显示图形内容时简单地重新缩放图形内容。 它也可以应用于扭曲一个图像...
  • 接上文 计算机图形学 学习笔记(七):二维图形变换:平移,比例,旋转,坐标变换等通过三维图形变换,可由简单图形得到复杂图形,三维图形变化则分为三维几何变换和投影变换。6.1 三维图形几何变换三维物体的几何...
  • 图形学实验三 图形几何变换

    千次阅读 2018-11-30 14:58:05
    实验三 图形几何变换 实验类型:设计型 实验学时:2实验要求:必修 一、实验目的 理解掌握OpenGL二维平移、旋转、缩放变换的方法。 二、实验内容 1阅读实验原理,运行示范实验代码,掌握OpenGL程序平移、旋转...
  • 4 图像的几何变换 目录(一)图像的位置变换(二)图像的形状变换(三)图像的仿射变换 图像的几何变换 图像的几何变换包括了图像的形状变换和图像的位置变换。 图像的形状变换是指图像的放大、缩小与错切。 图像的...
  • 几何变换的形式1.1旋转变换2.变换中心2.1坐标系变换3.映射与插值 1.几何变换的形式 几何变换的一般形式如下: 式中的T即为变换矩阵,(v,w)是原坐标,(x,y)是变换后的坐标,不同的变换对应不同的矩阵,,一些常见的...

空空如也

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几何变换步骤