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  • 几个用于更精细判断敛散性的级数

    千次阅读 2016-11-05 12:45:51
    几个用于更精细判断敛散性的级数@(微积分)∑+∞n=11np,p>1时收敛;p≤1时发散\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^p}, p\gt 1时收敛; p\leq 1时发散∑+∞n=21n(lnn)p,p>1时收敛;p≤1时发散\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1...

    几个用于更精细判断敛散性的级数

    @(微积分)

    +n=11np,p>1p1

    +n=21n(lnn)p,p>1p1

    +n=31nlnn(lnlnn)p,p>1p1

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  • 级数

    千次阅读 2018-11-27 12:48:17
    文章目录一、复数项级数学习目标1、复数列的极限2、级数概念3、判断级数收敛二、幂级数学你目标是1、幂级数的概念2、收敛半径的求法3、幂级数的运算与性质三、泰勒级数 一、复数项级数 学习目标 会判断复数列的...

    一、复数项级数

    学习目标

    • 会判断复数列的极限
    • 会判别复级数的绝对收敛与收敛性

    1、复数列的极限

         定理:复数列 { α n \alpha_n αn} ( n = 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ) (n=1,2,···) (n=1,2,) 收敛于 α \alpha α 的充要条件是 lim ⁡ n → ∞ a n = a , lim ⁡ n → ∞ b n = b \lim_{n \to \infty}a_n=a,\lim_{n \to \infty }b_n=b nliman=a,nlimbn=b

    2、级数概念

        定理:级数 ∑ n = 1 ∞ α n \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\alpha_n} n=1αn 收敛的充要条件是级数 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n} n=1an ∑ n = 1 n b n \sum\limits_{n=1}^{n}{b_n} n=1nbn 都收敛。
        如果 ∑ n = 1 ∞ ∣ a n ∣ \sum\limits_{n=1}^{\infty}{|a_n|} n=1an 收敛,那么 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n} n=1an 也收敛
        如果 ∑ n = 1 ∞ ∣ a n ∣ \sum\limits_{n=1}^{\infty}{|a_n|} n=1an 收敛,那么称 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n} n=1an绝对收敛;非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数

    3、判断级数收敛

        比值判别法;根值判别法;比较判别法;莱布尼兹判别法。

    二、幂级数

    学习目标

    • 记住阿贝尔定理并会运用
    • 会求幂级数的收敛半径
    • 收敛幂级数的加减法、导数、积分

    1、幂级数的概念

        阿贝尔定理:如果级数 ∑ n = 0 ∞ c n z n \sum\limits_{n=0}^{\infty}{c_nz^n} n=0cnzn z = z 0 ( ≠ 0 ) z=z_0(\neq0) z=z0(̸=0) 收敛,那么对满足 ∣ z ∣ &lt; ∣ z 0 ∣ |z|&lt;|z_0| z<z0 z z z ,级数必绝对收敛. 如果在 z = z 0 z=z_0 z=z0 级数发散,那么对满足 ∣ z ∣ &gt; ∣ z 0 ∣ |z|&gt;|z_0| z>z0 z z z ,级数必发散。

    2、收敛半径的求法

        比值法:如果 lim ⁡ n → ∞ ∣ C n + 1 C n ∣ = λ ≠ 0 \lim_{n \to \infty}|\frac{C_{n+1}}{C_n}|=\lambda\neq 0 limnCnCn+1=λ̸=0 那么收敛半径 R = 1 λ R=\frac{1}{\lambda} R=λ1
        根植法:如果 lim ⁡ n → ∞ ∣ C n ∣ n = μ ≠ 0 \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{|C_n|}=\mu\neq0 limnnCn =μ̸=0,那么收敛半径 R = 1 μ R=\frac{1}{\mu} R=μ1

    3、幂级数的运算与性质

        逐项积分,逐项求导;

    三、泰勒级数

    学习目标

    • 记住泰勒级数展开定理
    • 记住几个重要的函数在原点处的泰勒展开式
    • 会用间接法求函数在某一点的泰勒展开式
    • 知道解析函数与幂级数展开的关系

          定理:设 f ( z ) f(z) f(z) 在区域 D D D 内解析, z 0 z_0 z0 D D D 内的一点, d d d z 0 z_0 z0 到边界上各点的最短路径,那么当 ∣ z − z 0 ∣ &lt; d |z-z_0|&lt;d zz0<d 时, f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( z 0 ) n ! ( z − z 0 ) n f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n f(z)=n=0n!f(n)(z0)(zz0)n成立,其中 n = 0 , 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ n=0,1,2,··· n=0,1,2,

    四、洛朗级数

    学习目标

    • 记住洛朗级数展开定理
    • 知道泰勒级数与洛朗级数的关系
    • 会用间接法函数在某一个圆环域的洛朗展开式

    1、洛朗展开式

        设 f ( z ) f(z) f(z) 在圆环域 R 1 &lt; ∣ z − z 0 ∣ &lt; R 2 R_1&lt;|z-z_0|&lt;R_2 R1<zz0<R2 内处处解析,那么 f ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n ( z − z 0 ) n f(z)=\sum\limits^{\infty}_{n=-\infty}c_n(z-z_0)^n f(z)=n=cn(zz0)n其中 c n = 1 2 π i ∮ c f ( ξ ) ( ξ − z 0 ) n + 1 d ξ . ( n = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ) c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_c\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}d\xi. (n=0,\pm1,\pm2,···) cn=2πi1c(ξz0)n+1f(ξ)dξ.(n=0,±1,±2,)
    经典例题:函数 f ( z ) = 1 ( z − 1 ) ( z − 2 ) f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)} f(z)=(z1)(z2)1 在圆环域
        1) 0 &lt; ∣ z ∣ &lt; 1 0&lt;|z|&lt;1 0<z<1
        2) 1 &lt; ∣ z ∣ &lt; 2 1&lt;|z|&lt;2 1<z<2
        3) 2 &lt; ∣ z ∣ &lt; + ∞ 2&lt;|z|&lt;+\infty 2<z<+
    解:
    先把 f ( z ) f(z) f(z) 用部分分式来表示 f ( z ) = 1 1 − z − 1 2 − z f(z)=\frac{1}{1-z}-\frac{1}{2-z} f(z)=1z12z1
    1)在 0 &lt; ∣ z ∣ &lt; 1 0&lt;|z|&lt;1 0<z<1 内,由于 ∣ z ∣ &lt; 1 |z|&lt;1 z<1,从而 ∣ z 2 ∣ &lt; 1 |\frac{z}{2}|&lt;1 2z<1.所以 1 1 − z = 1 + z + z 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + z n + ⋅ ⋅ ⋅         ( 4.1 ) \frac{1}{1-z}=1+z+z^2+···+z^n+···\ \ \ \ \ \ \ (4.1) 1z1=1+z+z2++zn+       (4.1) 1 2 − z = 1 2 1 1 − z 2 = 1 2 ( 1 + z 2 + z 2 2 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + z n 2 n + ⋅ ⋅ ⋅ )       ( 4.2 ) \frac{1}{2-z}=\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}=\frac{1}{2}(1+\frac{z}{2}+\frac{z^2}{2^2}+···+\frac{z^n}{2^n}+···)\ \ \ \ \ (4.2) 2z1=2112z1=21(1+2z+22z2++2nzn+)     (4.2)
    因此我们有 f ( z ) = ( 1 + z + z 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ) − 1 2 ( 1 + z 2 + z 2 4 + ⋅ ⋅ ⋅ ) = 1 2 + 3 4 z + 7 8 z 2 + ⋅ ⋅ ⋅ f(z)=(1+z+z^2+···)-\frac{1}{2}(1+\frac{z}{2}+\frac{z^2}{4}+···)=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}z+\frac{7}{8}z^2+··· f(z)=(1+z+z2+)21(1+2z+4z2+)=21+43z+87z2+
    2)在 1 &lt; ∣ z ∣ &lt; 2 1&lt;|z|&lt;2 1<z<2 内,由于 ∣ z ∣ &gt; 1 |z|&gt;1 z>1,所以 ( 4.1 ) (4.1) (4.1) 不成立,但此时 ∣ 1 z &lt; 1 ∣ |\frac{1}{z}&lt;1| z1<1 ,因此把 1 1 − z \frac{1}{1-z} 1z1 另行展开如下: 1 1 − z = − 1 z ⋅ 1 1 − 1 z = − 1 z ( 1 + 1 z 2 + ⋅ ⋅ ⋅ )      ( 4.3 ) \frac{1}{1-z}=-\frac{1}{z}·\frac{1}{1-\frac{1}{z}}=-\frac{1}{z}(1+\frac{1}{z^2}+···)\ \ \ \ (4.3) 1z1=z11z11=z1(1+z21+)    (4.3)

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  • 傅里叶级数

    2019-09-11 19:08:07
    于是简谐运动y的周期为较为复杂的周期运动,则常是几个简谐运动的叠加 由于简谐运动的周期为所以函数(2)的周期为T.对无穷多个简谐振动进行叠加就得到函数项级数级数(3)收敛,则它所描述的是更为一般的周期...

    三角级数·正交函数系

    最简单的周期运动,可用正弦函数

                                                                           y=A\sin (\omega x+\varphi ) (1)

    来描述,由(1)所表达的周期运动也称为简谐振动.由无穷多个简谐振动进行叠加就得到函数项级数

                                                                         A_0+\sum_{n=1}^{\infty }A_n\siin (n\omega x+\varphi _n)(2).

    若级数(2)收敛,则它所描述的是更为一般的周期运动现象.只讨论\omega=1的情形得

                                                                     \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)(3).

    它是由三角函数列(也称三角函数系)

                                                     1,\cos x , \sin x,\cos 2x, \sin 2x,...\cos nx,\sin nx,... (4)

    所产生的一般形式的三角级数.其中记A_0=\frac{a_0}{2},A_n\sin \varphi _n=a_n,A_n\cos \varphi_n=b_n,n=1,2,3,....

     

    若两个函数\varphi\psi在[a,b]上可积,且\int_{a}^{b}\varphi (x)\psi (x)dx=0,则称函数\varphi\psi在[a,b]上是正交的.由此,三角函数系(4)在[-\pi,\pi]上具有正交性,或称(4)是正交函数系.

    一致收敛判别定理

    若级数\frac{\left | a_0 \right |}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }(\left | a_n \right |+\left | b_n \right |)收敛,则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.

    在三角函数系(4)中,任何两个不相同的函数的乘积在[-\pi,\pi]的积都等于零,即

                                                                    \int_{-\pi }^{\pi }\cos nxdx=\int_{-\pi }^{\pi }\sin nxdx=0,

                                                                     \int_{-\pi }^{\pi }\cos mx\cos nxdx=0(m \neq n),

                                                                    \int_{-\pi }^{\pi }\sin mx\sin nxdx=0(m \neq n),

                                                                     \int_{-\pi }^{\pi }\cos mx\sin nxdx=0.

    在三角函数系(4)中任何一个函数的平方在[-\pi,\pi]上的积分都不等于零,即

                                                                     \int_{-\pi }^{\pi }\cos ^{2}nxdx=\int_{-\pi }^{\pi }\sin ^{2}nxdx=\pi ,

                                                                     \int_{-\pi }^{\pi }1^{2}dx=2\pi .

    棣莫弗公式                                               (\cos \theta +i\sin \theta)^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta .

    2 \pi为周期的傅里叶级数

    若在整个数轴上

                                                                    f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)(5)

    且等式右边级数一致收敛,则有如下关系式:

                                                                  a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx , n=0,1,2,...(6a)

                                                                  b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx , n=1,2,...(6b)

    一般地说,若f是以2 \pi为周期且在[-\pi,\pi]上可积的函数,则a_n,b_n称为函数f(关于三角函数系)的傅里叶系数,三角级数(5)称为f(关于三角函数系)的傅里叶级数,记作

                                                                   f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)(7)

    上式中,符号"~"仅表示三角级数是由f(x)所生成的,并不意味着级数就等于f(x)也不意味着级数是否收敛. 

    傅里叶级数收敛定理

    2 \pi为周期的函数f在[-\pi,\pi]上按段光滑,则在每一点x\in [-\pi ,\pi],f的傅里叶级数(7)收敛于f在点x的左、右极限的算术平均值,即

                                                                 \frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)

    其中a_0,b_0为f的傅里叶系数.

    下面先对定理中的某些概念作解释,然后举例说明如何运用这个定理把函数展开成傅里叶级数.

    我们知道,若f的导函数在[a,b]上光滑.但若定义在[a,b]上除了至多有有限个第一类间断点的函数f的导函数在[a,b]上除了至多有限个点外都存在且连续,且在这有限个点上导函数f'的左、右极限存在,则称f在[a,b]上按段光滑.

    根据上述定义,若函数f在[a,b]上按段光滑,则有如下重要性质:

    1.f在[a,b]上可积.

    2.在[a,b]上每一点都存在f(x\pm 0),且有

                                                                   \lim_{t\to 0^{+}}\frac{f(x+t)-f(x-0)}{t}=f'(x+0),

                                                                   \lim_{t\to 0^{+}}\frac{f(x-t)-f(x-0)}{-t}=f'(x-0).

    3.补充定义f'在[a,b]上那些至多有限个不存在点上的值后(仍记为f'),f'在[a,b]上可积.

    从几何图形上讲,在区间[a,b]上按段光滑函数,是由有限个光滑弧段所组成,它至多有有限个第一类间断点和角点.

    推论  若f是以2 \pi为周期的连续函数,且在[-\pi,\pi]上按段光滑,则f的傅里叶级数在(-\infty ,+\infty )上收敛于f.

    根据收敛定理的假设,f是以2 \pi为周期的函数,所以系数公式(6)中的积分区间[-\pi,\pi]可以改为长度为2 \pi的任何区间,而不影响a_n,b_n的值:

                                                                 a_n=\frac{1}{\pi}\int_{c}^{c+2\pi }f(x)\cos nxdx , n=0,1,2,...\\ b_n=\frac{1}{\pi}\int_{c }^{c+2\pi}f(x)\cos nxdx , n=1,2,...(6')

    其中c为任何实数.

    注意:在具体讨论函数的傅里叶级数展开式时,常只给出函数f在(-\pi,\pi](或[-\pi,\pi))上的表达式,但应理解为它是定义在整个数轴上以2 \pi为周期的函数.即在(-\pi,\pi]以外的部分按函数在(-\pi,\pi]上的对应关系作周期延拓.如f为(-\pi,\pi]上的解析表达式,那么周期延拓后的函数为

                                                                   \hat{f}(x)=\left\{\begin{matrix} f(x),x\in (-\pi ,\pi],\\ f(x-2k\pi),x\in ((2k-1)\pi ,(2k+1)\pi ],k=\pm 1,\pm 2,...\end{matirx}\right

    因此我们说函数f的傅里叶级数就是指函数\hat{f}的傅里叶级数.

     

     

     

     

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  • 正弦级数和余弦级数

    2021-04-17 16:00:27
    当然,该级数在物理中也有重要作用,它表示n相同振子的合振幅。在我们的数学分析教材中,通常是将级数乘上一项sinθ2,然后利用积化和差公式完成。诚然,如果仅限在实数范围内考虑,这有可能是唯一的推导技巧的。...

    在数学分析的级数理论中,有一类常见的题目,其中涉及到
    cosθ+cos2θ+⋯+cosnθ(1)


    sinθ+sin2θ+⋯+sinnθ(2)

    之类的正弦或者余弦级数的求和,主要是证明该和式有界。而为了证明这一点,通常是把和式的通项求出来。当然,该级数在物理中也有重要作用,它表示n个相同振子的合振幅。在我们的数学分析教材中,通常是将级数乘上一项sinθ2,然后利用积化和差公式完成。诚然,如果仅限在实数范围内考虑,这有可能是唯一的推导技巧的。但是这样推导的运算过程本身不简单,而且也不利于记忆,在大二的时候我就为此感到很痛苦。前几天在看费曼的书的时候,想到了一种利用复数的推导技巧。很奇怪,这个技巧是如此简单——写出来显得这篇文章都有点水了——可是我以前居然一直没留意到!看来功力尚浅,需多多修炼呀。
    有时候,一次性计算更多的东西,往往比单一计算一部分更加快捷,让我们同时来考虑(1)和(2),我们计算
    cosθ+cos2θ+⋯+cosnθ+i(sinθ+sin2θ+⋯+sinnθ)

    利用欧拉公式,上式也就是
    eiθ+e2iθ+⋯+eniθ

    这只是等比级数求和!易得
    eiθ(eniθ−1eiθ−1)=e(n+1)iθ/2(eniθ/2−e−niθ/2eiθ/2−e−iθ/2)

    括号里的结果也就是
    sinnθ2sinθ2

    所以总的结果也就是
    (cos(n+1)θ2+isin(n+1)θ2)sinnθ2sinθ2

    根据实部和虚部相等的原则,就有
    cosθ+cos2θ+⋯+cosnθ=cos(n+1)θ2sinnθ2sinθ2


    sinθ+sin2θ+⋯+sinnθ=sin(n+1)θ2sinnθ2sinθ2
    整个过程多么简洁,几乎一气呵成。里边也不是什么精湛神秘的技巧,所以特别奇怪,怎么我现在才注意到?

    类似地,也可以得出
    cos(ω+θ)+cos(ω+2θ)+⋯+cos(ω+nθ)

    的求和公式(仅仅是多乘了一个相位因子~~)

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  • 一些算法分析中的常用级数

    千次阅读 2018-05-28 09:30:20
    1.幂方级数:比幂次高出一阶 幂次为1时也就是我们常说的算术级数。 证明: 2.几何级数:与末项同阶 3.调和级数、对数级数: 4.一些收敛级数: ...
  • 级数的图形理解

    千次阅读 2014-04-13 21:34:43
    不过这么说也仅仅是一概念,不能在脑海里出图啊,俗话说有图才有真相,下面我就用图来阐述一下这两个级数到底在干什么。     泰勒展式的目的其实十分明确:在某一点附近,用多项式函数去逼近(近似代替)...
  • 常见函数的级数展开及推导

    千次阅读 多人点赞 2020-09-19 19:39:18
    常见函数的幂级数(泰勒级数)展开与推导。
  • 泰勒级数定义及相关展开式

    千次阅读 2013-10-26 21:56:13
    泰勒级数、欧拉公式、三角函数 ...泰勒级数的定义: ...若函数f(x)在点的某一临域内具有直到(n+1)阶导数,则在该...这个级数称为麦克劳林级数。函数f(x)的麦克劳林级数是x的幂级数,那么这种展开是唯一的,
  • 傅里叶级数的通俗理解

    千次阅读 多人点赞 2016-10-11 16:15:27
    【学渣告诉你】到底神马是傅里叶...作为一KB到极点的前T大垫纸系的学渣男孩纸,尼玛学傅里叶级数/变换的时候纯粹桑不起啊!!!!本日志的参考文献为:陈宇航:《傅里叶级数的几何意义 – 巧妙记忆公式的方法》http
  • 一尺之棰,日取其半,万世不竭。——庄子 本节讨论从数项级数出发,讨论无穷级数基本思想方法、定理。
  • 关于的无穷级数的一点总结

    千次阅读 2015-01-16 10:44:14
    现在从接触无穷级数到现在一共差不多2个星期了,一直没有很正视他,但是今天做题的时候突然发现自己在这个方面还有很多不懂的地方。...关于级数,我们有几个要关注的地方,一个是收敛性,另外一个就是如果收敛 那
  • 本文从最容易的十进制展开,一线贯通数列、级数、幂级数、函数项级数。强烈建议你读本鸡的拙作“菜鸡速通微积分:数列极限定义和极限法则,一例子的事“。下面就是这故事的另一版本。别废话,来啊。一、从十...
  • 对傅里叶函数以及级数的理解

    千次阅读 多人点赞 2018-04-09 21:29:50
    比如傅里叶级数,在时域是一周期且连续的函数,而在频域是一非周期离散的函数。这句话比较绕嘴,实在看着费事可以干脆回忆第一章的图片。 而在我们接下去要讲的傅里叶变换,则是将一时域非周期的连续信号,...
  • 泰勒级数的物理意义

    2020-07-31 21:10:23
    怎样的体验?高等数学干吗要研究级数问题?>>>>是为了把简单的问题弄复杂来表明自己的高深? No,是为了把各种简单的问题/复杂的问题,他们的求解过程用一种通用的方...
  • 内容摘要:1.傅里叶级数的计算 2. 傅里叶级数的逐点收敛性 3. 傅里叶级数的其他收敛性
  • 真正理解傅里叶级数和傅里叶变换

    万次阅读 多人点赞 2018-10-27 22:01:38
    真正理解傅里叶级数和傅里叶变换 记得上大学的时候的机械振动还有工程测试利用的傅立叶变化,当时感觉云里雾里的,感觉好难,也就没有去搞,浑水摸鱼也就过来了,然后现在到了研究生阶段,发现傅立叶变换呀,卷积呀...

空空如也

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