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  • 1、计算几何是什么? 计算几何研究的对象是几何图形。对于图像的研究一般都是先建立坐标系,把图形转换成函数,然后用插值和逼近的数学方法,特别是用样条函数作为...在任意维度中,由两点P0、P1定义的直线参数方...

    1、计算几何是什么?

    计算几何研究的对象是几何图形。对于图像的研究一般都是先建立坐标系,把图形转换成函数,然后用插值和逼近的数学方法,特别是用样条函数作为工具来分析图形。
    然而这些方法过多地依赖于坐标系的选取,缺乏几何不变性,特别是用来解决某些大挠度曲线及曲线的奇异点等问题时,有一定的局限性。

    2、计算几何理论中过两点的一条直线的表达式是如何描述的?

    在任意维度中,由两点P0、P1定义的直线参数方程式,当参数s为实数且u=P1-P0为直线的方向向量时可以表示为P(s) = P0 + s (P1-P0) = P0 + su
    在这里插入图片描述
    当P(s)是有限线段P0P1上的一个点且0<s<1时,用表达式P(0)=P0, P(1)=P1,s = d(P0,P(s)) / d(P0,P1). 更进一步, 如果s<0,P(s)在线段P0之外,如果if s>1,P(s) 在线段P1的外侧。

    3、凸集是什么? 直线是凸集吗?是仿射集吗?

    凸集
    在凸几何中,凸集(convex set)是在凸组合下闭合的仿射空间的子集。更具体地说,在欧氏空间中,凸集是对于集合内的每一对点,连接该对点的直线段上的每个点也在该集合内。
    令S是实数上的向量空间,或者更一般地,是在某个有序域上,这包括欧几里德空间。如果对于C中的所有x和y,并且在区间(0,1)中的所有t,点(1-t)x+ty也属于C,则S中的集合C被称为凸。换句话说,连接x和y的线段上的每个点都在C中。这意味着实际或复杂拓扑向量空间中的凸集是路径连接的。此外,如果除了端点之外的连接x和y的线段上的每个点都在C的内部,则C是严格凸起的。
    比如说,立方体是凸集,但是任何中空的或具有凹痕的例如月牙形都不是凸集。

    仿射
    仿射定义:对于集合Cϵ{R^n},如果通过集合C中任意两个不同点之间的直线仍在集合C中,则称集合C为仿射(affine)。
    也就是说,C包括了在C中任意两点的线性组合直线是仿射集而所有的仿射集都是凸集。根据定义,仿射集是组合的直线在仿射集内,那么直线肯定在集合内,所以是凸集。

    4、三维空间中的一个平面,如何表达?
    平面方程:Ax+By+Cz+D=0 (参数,A,B,C,D是描述平面空间特征的常数)
    平面方程可用于判定空间中一点与对象的多边形面片的相对位置关系,对任意点(x,y,z)。如果不在参数为A,B,C,D的平面上,则Ax+By+Cz+D不等于0;如果 Ax+By+Cz+D<0,则(x,y,z)在平面;Ax+By+Cz+D>0,则(x,y,z)在平面前方
    对于平面方程 Ax+By+Cz+D=0,法向量表示此平面的空间方向,法向量与平面垂直
    且以(A,B,C)为其坐标分量,法向量从平面内部指向外部

    5、更高维度的“超平面”,如何表达?

    超平面H是从n维空间到n-1维空间的一个映射子空间,它有一个n维向量和一个实数定义。因为是子空间,所以超平面一定过原点。
    通常,R2(二维空间)中的点集 i = (x,y)满足等式 (点集 i 实际为一条直线):ax + 1/by + c = 0 (1)

    其中,a,b,c为标量;a,1/b至少有一个不为0。我们假设 b 不为0。那么 y = -abx - cb
    使用换元法,令 t = x,(显然,t 为标量) 则点集 i (x,y) 可以表示成 i (x,y) = ( t, -abt - cb) = t (1, -ab) + (0, -cb)这条直线实际上就是过 (0, -cb) 点,方向为 (1, -ab) 的直线 L。

    令向量 n = (a,1/b),则 (1)可以表示成n* i + c = 0 (2)
    假设在直线 L 上取一点 p0(x0,y0),显然,n* p0 + c = 0,那么 c = -n* p0。

    将 (2)改写,可得 n* i-n* p0 = 0 ,即可 n* (i - p0 ) = 0。
    因为 n 和(i - p0 ) 均是向量,(i - p0 ) 在直线 L 上, 所以,n 垂直直线L ,即n为直线L 的法向量。我们可以得到那些与p的差向量与 n 向量正交的点,就是点集 i (x,y).

    给定向量空间 Rn 中的一个点 P 和一个非零向量n ,满足 n * (i - p)= 0则称点集 i 为通过点p 的超平面,向量 n为通过超平面的法向量。按照这个定义,虽然当维度大于3才可以成为“超”平面,但是你仍然可以认为,一条直线是 R2 空间内的超平面,一个平面是 R3 空间内的超平面 。Rn 空间的超平面是Rn 空间内的一个 n - 1 维的仿射子空间。

    6、凸函数定义?如何判别一个函数是凸函数?

    凸函数:
    对于一元函数 f(x) ,如果对于任意 t ϵ[0,1 ]均满足:f(tx1+(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t)f(x2),则称f(x)为凸函数(convex function)。
    如果对于任意 t ϵ(0,1)均满足:f(tx1+(1−t)x2)<tf(x1)+(1−t)f(x2),则称f(x)为严格凸函数(convex function)。

    从几何上直观地理解凸函数的特点,凸函数的割线在函数曲线的上方,如图所示:
    在这里插入图片描述
    由上面的公式,可以推广到多元函数。在数据科学的模型求解中,如果优化的目标函数是凸函数,则局部极小值就是全局最小值。这也意味着我们求得的模型是全局最优的,不会陷入到局部最优值。例如支持向量机的目标函数||w||2/2就是一个凸函数。

    判别函数是否为凸函数
    对于一元函数f(x),我们可以通过其二阶导数f′′(x) 的符号来判断。如果函数的二阶导数总是非负,即f′′(x)≥0 ,则f(x)是凸函数。

    对于多元函数f(X),我们可以通过其Hessian矩阵(Hessian矩阵是由多元函数的二阶导数组成的方阵)的正定性来判断。如果Hessian矩阵是半正定矩阵,则是f(X)凸函数。

    7、什么是凸规划?如何判别一个规划问题是凸规划问题。举例说明?

    凸规划
    最优化问题的目标函数为凸函数,不等式约束函数也为凸函数,等式约束函数是仿射的,则称该最优化问题为凸规划。凸规划的可行域为凸集。
    若最优化问题的目标函数为凸函数,不等式约束函数也为凸函数,等式约束函数是仿射的,则称该最优化问题为凸规划。凸规划的可行域为凸集,因而凸规划的局部最优解就是它的全局最优解。当凸规划的目标函数为严格凸函数时,若存在最优解,则这个最优解一定是唯一的最优解。

    举例

    例子1:如下非线性规划是否为凸规划
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    例子2:验证下列(MP)是凸规划在这里插入图片描述
    解:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    由上述四个式子可证为凸规划。

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  • 优化定义 最小二乘问题定义 线性规划定义

    凸优化定义
    凸优化定义

    最小二乘问题定义

    最小二乘问题

    线性规划定义

    线性规划

    符号

    中译本

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  • 凸函数、凸规划定义及学习

    千次阅读 2020-04-22 16:47:43
    凸规划的数学定义如下所示: 7.2、如何判别一个规划问题是凸规划问题 凸规划有三点附加条件: (1)目标函数f(x)f(x)必须是凸函数; (2)不等式约束函数gi(x)gi​(x)必须是凸函数,不等式gi(x)≤0gi​(x)≤0组成的...

    1、计算几何是研究什么的?

    计算几何研究的对象是几何图形。早期人们对于图像的研究一般都是先建立坐标系,把图形转换成函数,然后用插值和逼近的数学方法,特别是用样条函数作为工具来分析图形,取得了可喜的成功。然而,这些方法过多地依赖于坐标系的选取,缺乏几何不变性,特别是用来解决某些大挠度曲线及曲线的奇异点等问题时,有一定的局限性。

    2、计算几何理论中过两点的一条直线的表达式,是如何描述的?
    通过以下公式模型进行对平面几何形象化的描述:
    我们假设有两个点:A(x1,y1)、B(x2,y2)
    那么这两个点确定的直线方程我们假设如下:
    Ax+By+C=0
    那么其中A为:y2−y1
    其中B为:x2−x1
    最后可得出常数c的结果:C=−Ax1−By1=x2y1−x1y2
    python代码如下:

    def LineMake(X,Y):
        a = B[1]-A[1]
        b = A[0]-B[0]
        c = B[0] * A[1] - A[0] * B[1]
        l="确定的直线方程为:"+str(a)+"x+"+str(b)+"y+"+str(c)+"=0"
        return l
    }
    

    3.1、凸集是什么?
    在凸几何中,凸集(convex set)是在凸组合下闭合的仿射空间的子集。更具体地说,在欧氏空间中,凸集是对于集合内的每一对点,连接该对点的直线段上的每个点也在该集合内。例如,立方体是凸集,但是任何中空的或具有凹痕的例如月牙形都不是凸集。
    特别的,凸集,实数R上(或复数C上)的向量空间中,如果集合S中任两点的连线上的点都在S内,则称集合S为凸集。
    3.2、直线是凸集吗?

    凸集是单点或一条不间断的线(包括直线、射线、线段);二、三维空间中的凸集就是直观上凸的图形。(例如:在二维中有扇面、圆、椭圆等,在三维中有实心球体等;多数情况下,两个凸集的交集也是凸集,空集也是凸集)
    **3.3、直线是仿射集吗?**
    非空间射集M的维数定义为,上述子空间L的维数。空集的维数定义为-1。维数分别为0、1,以及2的仿射集为点、直线和平
    面。R"中n-.维点仿射集称为超平面。
    **4、三维空间中的一个平面,如何表达**
    三维空间中的平面主要通过建立公式模型来解答,例如
    我们假设三维的直线方程为:
    								Ax+By+Cz+D=0
    
    显而易见,我们需要的求解的便是其中的A、B、C、D的未知参量
    那么我们如何求解其中的未知参量呢?便要通过特定的求解方法啦!
    求解未知参量A、B、C、D的方法:
        最原始的解法是根据已知的三个点,建立3个联合方程组,来消元
        高斯消元法
        克莱姆法则(适用于变量和方程数目相等)
    **5、更高维度的“超平面”,如何表达?**
    1、什么是超平面?
    超平面的数学定义是这样的:超平面H是从n维空间到n-1维空间的一个映射子空间,它有一个n维向量和一个实数定义。因为是子空间,所以超平面一定过原点。
    2、高维度超平面的表达
    在数学中,超平面(Hyperplane)是n维欧氏空间中余维度等于1的线性子空间。这是平面中的直线、空间中的平面之推广。设F为域其中
    ![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/20200422163711893.png)超平面H是从n维空间到n-1维空间的一个映射子空间,它有一个n维向量和一个实数定义。设d是n维欧式空间R中的一个非零向量,a是实数,则R中满足条件dX=a的点X所组成的集合称为R中的一张超平面。
    **6.1、什么是“凸函数”定义?**
    任意两点的函数值的连线上的点都在曲线的上方,我们成为凸函数。数学模型如下:
    ![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/20200422163850410.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDYwNjYzOA==,size_16,color_FFFFFF,t_70)
    **6.2、什么是Hessen矩阵?**
    Hessian Matrix(黑塞矩阵、海森矩阵、海瑟矩阵、海塞矩阵 etc.),它是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵,用以描述函数的局部曲率。黑塞矩阵最早于19世纪由德国数学家Ludwig Otto Hesse提出,并以其名字命名。黑塞矩阵常用于牛顿法解决优化问题。
    ![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/20200422163938712.png)
    **6.3、 如何判别一个函数是凸函数?**
    1、一元函数的判别
    对于一元函数f(x)f(x),我们可以通过其二阶导数f′′(x)f″(x) 的符号来判断。如果函数的二阶导数总是非负,即f′′(x)≥0f″(x)≥0 ,则f(x)f(x)是凸函数
    2、多元函数的判别
    对于多元函数f(X)f(X),我们可以通过其Hessian矩阵(Hessian矩阵是由多元函数的二阶导数组成的方阵)的正定性来判断。如果Hessian矩阵是半正定矩阵,则是f(X)f(X)凸函数
    
    **6.4、f(x)=x^3 函数是凸函数吗?**
    该数学模型图的python代码如下所示:
    ```python
    import matplotlib.pyplot as plt
    import numpy as np
    x=np.array([])
    y=np.array([])
    for i in range(-50,51,1):
        x=np.insert(x,len(x),i)
        y=np.insert(y,len(y),x[len(y)]**3)
    h=1000*x
    plt.plot(x,y)
    plt.plot(x,h)
    plt.grid()
    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel('f(x)')
    plt.title('f(x)-y')
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述
    由图可以看出来直线y=1000x去截去该函数时,直线上的所有点,不都在曲线的上方,因此,该公式模型不是凸函数。
    7.1、什么是“凸规划”?
    凸规划的数学定义如下所示:
    设f(x)f(x)及gi(x),i=1,...,mgi​(x),i=1,...,m均为RnRn上的凸函数,则称最优化问题为凸规划。7.2、如何判别一个规划问题是凸规划问题
    凸规划有三点附加条件:
    (1)目标函数f(x)f(x)必须是凸函数;
    (2)不等式约束函数gi(x)gi​(x)必须是凸函数,不等式gi(x)≤0gi​(x)≤0组成的区域为凸集;
    (3)等式约束函数hj(x)=aTjx−bjhj​(x)=ajT​x−bj​必须是仿射的(即线性函数和常函数的和函数)。
    因此我们得出以下结论:凸规划的可行域是凸集。因为每个约束条件的点集都是凸集,它们的交集也是凸集。
    7.3、验证下图例题是凸规划
    例题:
    在这里插入图片描述判断该例题的python代码如下:

    import matplotlib.pyplot as plt
    from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
    import numpy as np
    x1=np.array([])
    x2=np.array([])
    x3=np.array([])
    for i in range(-100,100,1):
        x1=np.insert(x1,len(x1),i)
        x2=np.insert(x2,len(x2),i)
        x3=np.insert(x3,len(x3),i)
    h=2*x1**2+x2**2+2*x3**2+x1*x3-x1*x2+x1+2*x2
    h1=x1**2+x2**2-x3
    h2=x1+x2+x3*2-16
    h3=-x1-x1+x3
    ax=plt.figure().add_subplot(111,projection='3d')
    ax.scatter(x1,x2,h,c='r',marker='o')
    ax.plot(x1,x2,h1)
    ax.plot(x1,x2,h2)
    ax.plot(x1,x2,h3)
    ax.set_xlabel('x1')
    ax.set_ylabel('x2')
    ax.set_zlabel("fx")
    plt.show()
    
    

    结果显示:
    在这里插入图片描述由此可以直接看出该方程为凸规划。

    展开全文
  • 文章目录1、计算几何是研究什么的?2、计算几何理论中(或凸集中)过两点的一条直线的表达式,是如何描述的?与初中数学中那些直线方程有什么差异?有什么好处?3、凸集是什么?...7、什么是“凸规划”...

    1、计算几何是研究什么的?

    计算几何(computational geometry),是研究几何模型和数据处理的学科,探讨几何形体的计算机表示。分析和综合,研究如何灵活、有效的建立几何形体的数学模型以及在计算机中更好地存储和管理这些模型数据。

    2、计算几何理论中(或凸集中)过两点的一条直线的表达式,是如何描述的?与初中数学中那些直线方程有什么差异?有什么好处?

    ①描述:对于集合内任意两点 x 1 , x 2 ∈ C x_1,x_2\in C x1,x2C,和满足 0 ≤ θ ≤ 1 0 \leq \theta \leq 1 0θ1,都有 θ x 1 + ( 1 − θ ) x 2 ∈ C \theta x_1+(1-\theta)x_2\in C θx1+(1θ)x2C

    ②初中直线方程:一般式:Ax+By+C=0,点斜式:y-y0=k(x-x0),截距式:x/a+y/b=1等。

    ③差异与好处:凸集中x_1、x_2为n维空间的两个点

    3、凸集是什么? 直线是凸集吗?是仿射集吗?

    ①在凸几何中,凸集(convex set)是在凸组合下闭合的仿射空间的子集。更具体地说,在欧氏空间中,凸集是对于集合内的每一对点,连接该对点的直线段上的每个点也在该集合内。

    ②一个集合C是仿射集,若对任意的 x 1 , x 2 ∈ C x_1,x_2\in C x1,x2C θ ∈ R \theta\in R θR,则连接x_1,x_2的直线也在这个集合内。如直线是一个仿射集,线段不是仿射集,二维空间是一个仿射集,二维空间中一个正方形不是仿射集,所以直线是仿射集。根据定义,可以知道仿射集都是凸集,所以直线是凸集。

    4、三维空间中的一个平面,如何表达?

    三维平面有两种表达式:
    ①一般式:Ax+By+Cz+D=0

    ②点法式(给出平面的一个法向量):(x0,y0,z0)+k(x1,y1,z1)

    5、更高维度的“超平面”,如何表达?

    超平面H是从n维空间到n-1维空间的一个映射子空间,它有一个n维向量和一个实数定义。因为是子空间,所以超平面一定过原点。

    给定向量空间 Rn 中的一个点 P 和一个非零向量n ,满足n * (i - p)= 0,
    则称点集 i 为通过点p 的超平面,向量 n为通过超平面的法向量。按照这个定义,虽然当维度大于3才可以成为“超”平面,但是你仍然可以认为,一条直线是 R2 空间内的超平面,一个平面是 R3 空间内的超平面 。Rn 空间的超平面是Rn 空间内的一个 n - 1 维的仿射子空间。

    6、什么是“凸函数”定义?什么是Hessen矩阵? 如何判别一个函数是凸函数?f(x)=x^3 函数是凸函数吗?

    ①凸函数:设 R n ⊇ D R^n\supseteq D RnD是非空凸集,f(x):S→R,若对任意的 x , y ∈ D x,y\in D x,yD,及任意的 α ∈ [ 0 , 1 ] α\in[0,1] α[0,1],都有:f(αx+(1-α)y)≤αf(x)+(1-α)f(y),则称函数f(x)为D上的凸函数。凸函数的割线在函数曲线的上方,如下图所示:

    ②Hessen矩阵:黑塞矩阵(Hessian Matrix),又译作海森矩阵、海瑟矩阵、海塞矩阵等,是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵,描述了函数的局部曲率。黑塞矩阵常用于牛顿法解决优化问题,利用黑塞矩阵可判定多元函数的极值问题。在工程实际问题的优化设计中,所列的目标函数往往很复杂,为了使问题简化,常常将目标函数在某点邻域展开成泰勒多项式来逼近原函数,此时函数在某点泰勒展开式的矩阵形式中会涉及到黑塞矩阵。

    ③如何判断:
    对于一元函数f(x),我们可以通过其二阶导数f′′(x) 的符号来判断。如果函数的二阶导数总是非负,即f′′(x)≥0 ,则f(x)是凸函数
    对于多元函数f(X),我们可以通过其Hessian矩阵(Hessian矩阵是由多元函数的二阶导数组成的方阵)的正定性来判断,如果Hessian矩阵是半正定矩阵,则是f(X)凸函数。

    ④判断f(x)=x^3 函数是否为凸函数:f′′(x)=6x,当x≥0时,f′′(x)≥0,则f(x)是凸函数;当x≤0时,f′′(x)≤0,则f(x)不是凸函数

    7、什么是“凸规划”?如何判别一个规划问题是凸规划问题。举例说明?

    ①凸规划:最优化问题的目标函数为凸函数,不等式约束函数也为凸函数,等式约束函数是仿射的,则称该最优化问题为凸规划。凸规划的可行域为凸集,因而凸规划的局部最优解就是它的全局最优解。当凸规划的目标函数为严格凸函数时,若存在最优解,则这个最优解一定是唯一的最优解。

    ②如何判断:设 R n ⊇ D R^n\supseteq D RnD是凸集,f(x)为D上的凸函数,则称规划问题min f(x), x ∈   D x\in\ D x D为凸规划问题

    ③举例:如下图所示:

    8、验证凸规划举例说明

    ①例题如下:

    { m i n f ( X ) = x 1 2 + x 2 2 − 4 x 1 + 4 g 1 ( X ) = − x 1 + x 2 − 2 ≤ 0 g 2 ( X ) = + x 1 2 − x 2 + 1 ≤ 0 x 1 , x 2 ≥ 0 \begin{cases} min f(X)=x_1^2+x_2^2-4x_1+4\\\\ g1(X)=-x_1+x_2-2≤0 \\\\ g2(X)=+x_1^2-x_2+1≤0 \\\\ x_1,x_2≥0 \end{cases} minf(X)=x12+x224x1+4g1(X)=x1+x220g2(X)=+x12x2+10x1,x20
    ②做法如下:

    9、总结

    写完这篇博客,让我重新梳理了一遍这些知识,对这些知识的理解更加透彻,对以后的学习有更大的帮助。以上就是所有内容,End,谢谢!

    10、参考文献

    https://blog.csdn.net/denghecsdn/article/details/77313758
    https://www.jianshu.com/p/e74eb43960a1
    https://www.jianshu.com/p/82a44414a1e7

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  • 运筹系列23:凸规划求解包cvxopt

    千次阅读 2019-04-09 14:59:52
    在机器学习问题中,我们常常需要对多优化问题进行求解,用一般的线性规划求解器没有办法求解了。cvxopt是一个可靠的求解包,安装方法如下: pip install cvxopt 1.2 使用说明 优化器:使用op(目标函数,约束条件)...
  • 对于双重问题,可接受性定价被制定为可通过软件CVXOPT解决的纪律程序。 前向启动选项用于说明在凹形失真minmaxvar下由正期望定义的可接受性的过程。 对流动资产进行重新定价需要使用所采取的措施,并且这些措施...
  • 函数的定义、性质以及判别

    万次阅读 多人点赞 2014-03-23 20:36:54
    函数有很好的极值性质,这使其在非线性规划中占有重要的地位。凹函数与函数相似,函数具有全局极小值,凹函数具有全局极大值。因为两者很方便进行转换,我们以函数为例作介绍。 1. 函数的定义  要定义...
  • 凸规划和非凸规划 仿射集=》仿射组合(泛化)/仿射包 直线是仿射集,线段不是:任意连接任意两点的直线也在原集合中; 线性方程c={x∣Ax=b}c=\{x|Ax=b\}c={x∣Ax=b}的解集是一个仿射集合。反之任意仿射集合可以...
  • 优化问题:基础定义

    千次阅读 2018-12-02 22:09:01
    优化问题 “一旦将一个实际问题表述为优化问题,大体上意味着相应问题已经得到彻底解决,这是非的优化问题所不具有的性质。”——《&amp;amp;lt;优化&amp;amp;gt;译者序》 1 什么是优化 什么是...

空空如也

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