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  • 多元函数泰勒展开式

    万次阅读 2018-05-18 15:33:33
    多元函数泰勒展开式 本博客整理自:...为了使问题简化,通常将目标函数在某点附近展开为泰勒(Taylor)多项式来逼近原函数。 把泰勒展开式写成矩阵的形式: 其中:...

    多元函数的泰勒展开式

          本博客整理自:http://blog.csdn.net/red_stone1/article/details/70260070。并在一些地方做出修改。

          实际优化问题的目标函数往往比较复杂。为了使问题简化,通常将目标函数在某点附近展开为泰勒(Taylor)多项式来逼近原函数。

          

          把泰勒展开式写成矩阵的形式:


          其中:


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  • 泰勒公式(泰勒展开式)通俗+本质详解

    万次阅读 多人点赞 2019-03-03 12:54:53
    泰勒公式,也称泰勒展开式。是用一个函数在某点的信息,描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑,已知函数在某一点的各阶导数值的情况下,泰勒公式可以利用这些导数值来做系数,构建一个多项式近似函数,求得这...

     

    比较通俗地讲解一下泰勒公式是什么。

    泰勒公式,也称泰勒展开式。是用一个函数在某点的信息,描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下,泰勒公式可以利用这些导数值来做系数,构建一个多项式近似函数,求得在这一点的邻域中的值

    所以泰勒公式是做什么用的?

    简单来讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数(即尽量使多项式函数图像拟合给定的函数图像),注意,逼近的时候一定是从函数图像上的某个点展开。如果一个非常复杂函数,想求其某点的值,直接求无法实现,这时候可以使用泰勒公式去近似的求该值,这是泰勒公式的应用之一。泰勒公式在机器学习中主要应用于梯度迭代。

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    1. 问题的提出 

    多项式   是最简单的一类初等函数。关于多项式,由于它本身的运算仅是有限项加减法和乘法,所以在数值计算方面,多项式是人们乐于使用的工具。因此我们经常用多项式来近似表达函数。这也是为什么泰勒公式选择多项式函数去近似表达给定的函数。

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    2. 近似计算举例

    初等数学已经了解到一些函数如: 的一些重要性质,但是初等数学不曾回答怎样来计算它们,以 f(x) = \small \cos x 的近似计算为例:

    ①. 一次(线性)逼近                                                                             

    利用微分近似计算公式 f(x) \small \approx f(\small x_{0}) + {f}'(\small x_{0})(x - \small x_{0}) (该式由导数/微分的极限表达公式转换得到),对 \small x_{0} = 0 附近的 f(x) 的线性逼近为: f(x) \small \approx f(0) + {f}'(0) x , 所以 f(x) = \small \cos x \small \approx 1,所以 f(x) 在 \small x_{0} = 0 附近的线性逼近函数 P_{1}(x) = 1,如下图:

    线性逼近优点:形式简单,计算方便;缺点:离原点O越远,近似度越差。  

    ②. 二次逼近     

    二次多项式 逼近 f(x) = \small \cos x ,我们期望:    

    \small P_{2}\left ( 0 \right ) = \small f\left ( 0 \right ) = \small \cos 0 = 1 = \small a_{0}  ( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的函数值相等 );

    \small {P_{2}}'\left ( 0 \right ) = \small f{}'\left ( 0 \right ) = \small \sin 0 = 0 = \small a_{1}  ( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的斜率相等 );  

    \small {P_{2}}''\left ( 0 \right ) = \small {f}''\left ( 0 \right ) = \small -\cos 0 = -1,所以 \small a_{2} = \small -\frac{1}{2}  ( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的曲率相等 ); 

     所以 \small \cos x \small \approx \small P_{2}\left ( x \right ) = 1 - \small \frac{x^{2}}{2},如下图:

    二次逼近要比线性逼近好得多,但局限于 [ \small -\frac{\pi }{2}\small \frac{\pi }{2} ] 内,该范围外,图像明显差异很大。为什么我们期望两个函数在某一点的函数值 、一阶导数值、二阶导数值相等?因为这些值表达了函数(图像)最基本和最主要的性质,这些性质逼近即可以使得两个函数逼近(由上面函数图像可以直观地看出来)

    ③. 八次逼近 

     八次多项式   逼近 f(x) = \small \cos x ,我们期望:     

     \small P_{8}\left (0 \right ) = f\left ( 0 \right ) ,求出  \small a_{0} = 1   ( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的函数值相等 );       

     \small {P_{8}}'\left ( 0 \right ) = {f\left ( 0 \right )}',求出 \small a_{1} = 0   ( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的斜率相等 );

     .... .... ....          

     \small {P_{8}}^{(8)}\left ( 0 \right ) = f^{(8)}(0),求出 \small a_{8} = \frac{1}{8!}  ( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的曲率相等 );                                               

    所以    ,如下图:

    \small P_{8}\left ( x \right ) (绿色图像) 比 \small P_{2}\left ( x \right ) (蓝色图像) 更大范围内更接近余弦函数 (红色图像)   

    由上述3次不同程度的函数逼近可以看出:对于精确度要求较高且需要估计误差的时候,必须用高次多项式来近似表达函数,同时给出误差公式 。

    以上就是利用多项式函数去逼近给定函数的一个过程。

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    3. 泰勒公式的推导

    由此引出一个问题:给定一个函数 \small f\left ( x \right ) ,要找一个在指定点 \small x_{0} 附近与 \small f\left ( x \right ) 很近似的多项式函数 \small P\left ( x \right ),记为:         

      使得  \small f\left ( x \right ) \small \approx  \small P_{n}\left ( x \right ) 并且使得两者误差 \small R_{n}\left ( x \right ) = f\left ( x \right ) - P_{n}\left ( x \right ) 可估计。所以要找的多项式应该满足什么条件,误差是什么?

    从几何上看,\small y = f\left ( x \right )\small y = P_{n}\left ( x \right ) 代表两条曲线,如下图:

           

    使它们在 \small x_{0} 附近很靠近,很明显:

    1. 首先要求两曲线在 \small \left ( x_{0},f\left ( x_{0} \right ) \right ) 点相交,即  \small P_{n}\left ( x_{0} \right ) = f\left ( x_{0} \right )             

    2. 如果要靠得更近,还要求两曲线在  \small \left ( x_{0},f\left ( x_{0} \right ) \right ) 点相切,(由图像可以直观看出,相交 [ 棕色和红色图像 ] 和 相切 [ 绿色和红色图像 ],两曲线在 \small x_{0} 附近的靠近情况明显差异很大,相切更接近),即 \small {P_{n}}'\left ( x_{0} \right ) = {f}'\left ( x_{0} \right )                                                

    3. 如果还要靠得更近,还要求曲线在  \small \left ( x_{0},f\left ( x_{0} \right ) \right ) 点弯曲方向相同,(如上图,弯曲方向相反 [ 绿色和红色图像 ];弯曲方向相同[ 蓝色和红色图像 ],明显在离 \small x_{0} 很远的地方,弯曲方向相同两函数的差异更小一点),即 \small {P_{n}}''\left ( x_{0} \right ) = {f}''\left ( x_{0} \right ) ,进而可推想:若在 \small \left ( x_{0},f\left ( x_{0} \right ) \right ) 附近有 \small {P_{n}}'\left ( x_{0} \right ) = {f}'\left ( x_{0} \right )\small {P_{n}}''\left ( x_{0} \right ) = {f}''\left ( x_{0} \right ) \small \cdots \cdots \cdots  \small P_{n}^{\left ( n \right )}\left ( x_{0} \right ) = f^{n}\left ( x_{0} \right ),近似程度越来越好。

    综上所述,所要找的多项式应满足下列条件:

                  

    解释一下上面的转换时如何做的,以上面第三行的二阶导数为例: 

    第一个箭头的转换:将 \small P_{n}\left ( x \right ) 求二阶导函数后将 \small x_{0} 带入,求得 \small {P_{n}}''\left ( x_{0} \right ) = 2!a_{2} 

    第二个箭头的转换:所以 \small {f}''\left ( x_{0} \right ) = 2!a_{2},所以 \small a_{2} = \frac{1}{2!}{f}''\left ( x_{0} \right ) 

    多项式函数   中的系数 \small a 可以全部由 \small f\left ( x \right ) 表示,则得到: 

    其中误差为  \small R_{n} \left ( x \right ) = f\left (x \right ) - P_{n}\left ( x \right )。 因为是用多项式函数去无限逼近给定的函数,所以两者之间肯定存在一丢丢的误差。

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    4. 泰勒公式的定义

    所以我们就得到了泰勒公式的定义:

    如果函数 \small f\left ( x \right ) 在含 \small x_{0} 的某个开区间  \small \left ( a,b \right )  内具有直到  \small \left ( n+1 \right ) 阶导数,则对  \small \forall x \in \left ( a,b \right ) ,有  

       

    其中余项 (即误差)  \small R_{n}\left ( x \right ) = \frac{f^{\left ( n+1 \right )}(\xi )}{\left ( n+1 \right )!}(x-x_{0})^{n+1} , \xi 在 \small x_{0} 与 x 之间。 泰勒公式的余项表达方式有好几种,前面这种表是方法称为n阶泰勒展开式的拉格朗日余项。拉格朗日余项即是n阶泰勒公式又多展开了一阶,n变为n+1。注意,这里的余项即为误差,因为使用多项式函数在某点展开,逼近给定函数,最后肯定会有一丢丢的误差,我们称之为余项。

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    5. 扩展 —— 麦克劳林公式

    是泰勒公式的一种特殊情况:即当 \small x_{0} = 0 时的泰勒公式。所以将 \small x_{0} = 0 带入公式,即得:

    几个常见的初等函数的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式:

     佩亚诺余项为    \small \left ( x-x_{0} \right )^{n} 的高阶无穷小 :                                  

                                                                 

     

     

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  • 多项式函数在某一点处的泰勒展开

    千次阅读 2012-10-29 23:18:00
    求它$x=x_0$处的泰勒展开. 解:不断地求导以及赋值,可知$p(x)$$x=0$处的泰勒展开为\begin{equation}\label{eq:11111}p(0)+\frac{p(0)'}{1!}x+\frac{p(0)''}{2!}x^2+\cdots+\frac{p(0)^{(n)...

    已知多项式$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$.求它在$x=x_0$处的泰勒展开.


    解:不断地求导以及赋值,可知$p(x)$在$x=0$处的泰勒展开为\begin{equation}\label{eq:11111}p(0)+\frac{p(0)'}{1!}x+\frac{p(0)''}{2!}x^2+\cdots+\frac{p(0)^{(n)}}{n!}x^n\end{equation}

     


    下面寻求$p(x)$在$x=x_0$处的泰勒展开.采用的方法是带余除法.设$n\geq 1$((n=0)的情况没意思).则$$p(x)=q_0(x)(x-x_0)+b_0$$
    (q_0(x)是一个多项式,且它的次数肯定不小于0)

    假若此时$q_0(x)$的次数等于0,则停止操作.否则

    $$q_0(x)=q_1(x)(x-x_0)+b_1$$

    $$p(x)=q_1(x)(x-x_0)^2+b_1(x-x_0)+b_0$$

    再看$q_1(x)$,假若$q_1(x)$的次数等于0,则停止操作,否则

    $$q_1(x)=q_2(x)(x-x_0)+b_2$$


    $$p(x)=q_2(x)(x-x_0)^3+b_2(x-x_0)^2+b_1(x-x_0)+b_0$$

    这样子一直下去,我们知道$q_0(x),q_1(x),q_2(x),\cdots$的次数是递减的,因此迟早会停止.所以$p(x)$能表述成如下:
    $$a_n(x-x_0)^n+a_{n-1}(x-x_0)^{n-1}+\cdots+a_1(x-x_0)+a_0$$
    而且由带余除法中$b_0,b_1,\cdots$的唯一性,我们能得到$a_n,a_{n-1},\cdots,a_1,a_0$的唯一性.

     

    然后求导,赋值.求0次导,再令$x=x_0$,可得$a_0=p(x_0)$.求1次导,再令$x=x_0$,可得$a_1=p'(x_0)$.求2次导,再令$x=x_0$,可得$a_2=\frac{p^{(2)}(x_0)}{2!}$……这样子依次求出各系数.

     

    注1:以上用带余除法做其实显得麻烦了,其实只用\ref{eq:11111}平移一下就可以得到结果了.

     

     

     

    注2:Elementary methods in number theory 中(如下)的整数的m-adic表示类似于多项式的泰勒展开.他们的基本原理其实都是一样的.

     

     

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2012/10/29/3828221.html

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  • 多元函数泰勒(Taylor)展开式

    万次阅读 多人点赞 2017-04-20 15:17:22
    多元函数泰勒展开式实际优化问题的目标函数往往比较...一元函数在点xkx_k处的泰勒展开式为: f(x)=f(xk)+(x−xk)f′(xk)+12!(x−xk)2f′′(xk)+onf(x) = f(x_k)+(x-x_k)f'(x_k)+\frac{1}{2!}(x-x_k)^2f''(x_k)+o^n

    红色石头的个人网站:redstonewill.com

    实际优化问题的目标函数往往比较复杂。为了使问题简化,通常将目标函数在某点附近展开为泰勒(Taylor)多项式来逼近原函数。

    • 一元函数在点 xk x k 处的泰勒展开式为:

      f(x)=f(xk)+(xxk)f(xk)+12!(xxk)2f′′(xk)+on f ( x ) = f ( x k ) + ( x − x k ) f ′ ( x k ) + 1 2 ! ( x − x k ) 2 f ″ ( x k ) + o n

    • 二元函数在点 (xk,yk) ( x k , y k ) 处的泰勒展开式为:

      f(x,y)=f(xk,yk)+(xxk)fx(xk,yk)+(yyk)fy(xk,yk)+12!(xxk)2f′′xx(xk,yk)+12!(xxk)(yyk)f′′xy(xk,yk)+12!(xxk)(yyk)f′′yx(xk,yk)+12!(yyk)2f′′yy(xk,yk)+on f ( x , y ) = f ( x k , y k ) + ( x − x k ) f x ′ ( x k , y k ) + ( y − y k ) f y ′ ( x k , y k ) + 1 2 ! ( x − x k ) 2 f x x ″ ( x k , y k ) + 1 2 ! ( x − x k ) ( y − y k ) f x y ″ ( x k , y k ) + 1 2 ! ( x − x k ) ( y − y k ) f y x ″ ( x k , y k ) + 1 2 ! ( y − y k ) 2 f y y ″ ( x k , y k ) + o n

    • 多元函数(n)在点 xk x k 处的泰勒展开式为:

      f(x1,x2,,xn)=f(x1k,x2k,,xnk)+i=1n(xixik)fxi(x1k,x2k,,xnk)+12!i,j=1n(xixik)(xjxjk)f′′ij(x1k,x2k,,xnk)+on f ( x 1 , x 2 , … , x n ) = f ( x k 1 , x k 2 , … , x k n ) + ∑ i = 1 n ( x i − x k i ) f x i ′ ( x k 1 , x k 2 , … , x k n ) + 1 2 ! ∑ i , j = 1 n ( x i − x k i ) ( x j − x k j ) f i j ″ ( x k 1 , x k 2 , … , x k n ) + o n

    • 把Taylor展开式写成矩阵的形式:

    f(x)=f(xk)+[f(xk)]T(xxk)+12![xxk]TH(xk)[xxk]+on f ( x ) = f ( x k ) + [ ∇ f ( x k ) ] T ( x − x k ) + 1 2 ! [ x − x k ] T H ( x k ) [ x − x k ] + o n

    其中:

    H(xk)=2f(xk)x212f(xk)x2x12f(xk)xnx12f(xk)x1x22f(xk)x222f(xk)xnx22f(xk)x1xn2f(xk)x2xn2f(xk)x2n H ( x k ) = [ ∂ 2 f ( x k ) ∂ x 1 2 ∂ 2 f ( x k ) ∂ x 1 ∂ x 2 ⋯ ∂ 2 f ( x k ) ∂ x 1 ∂ x n ∂ 2 f ( x k ) ∂ x 2 ∂ x 1 ∂ 2 f ( x k ) ∂ x 2 2 ⋯ ∂ 2 f ( x k ) ∂ x 2 ∂ x n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ 2 f ( x k ) ∂ x n ∂ x 1 ∂ 2 f ( x k ) ∂ x n ∂ x 2 ⋯ ∂ 2 f ( x k ) ∂ x n 2 ]


    这里写图片描述

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  • 泰勒展开式

    万次阅读 2019-05-17 09:04:51
    数学中,泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话,已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下,泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值...
  • 函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在点 x0x_0x0​ 处可导,则在点 x0x_0x0​ 的邻域内,可以用下表示原函数值 f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+o(x−x0),   x→x0f(x) = f(x_0)+f'(x_0)(x - x_0) + o(x - ...
  • 泰勒展开式的理解

    2018-09-30 17:12:00
    泰勒展开还是很好理解的,我就我以前学习高数时候根据看课本的理解的这里大概讲一下吧。 实际应用中对于具有复杂形式的函数我们常常希望用较为简单的函数形式表示他,那多项式就是这种简单的形式。 首先还是先...
  • 【转载】泰勒展开式

    2018-09-14 20:35:00
    泰勒展开式对于利用FPGA实现算法来说非常实用,可以将除法等对硬件不友好的运算转变为乘加操作。特此转载以下博文,原文标题及链接为:泰勒展开式 - guoxiang - 博客园 ...
  • 多元函数的泰勒展开(Taylor series expansion) 实际优化问题的目标函数往往比较复杂。为了使问题简化,通常将目标函数点...①一元函数在点处的泰勒展开式为: ②二元函数在点处的泰勒展开式为: ...
  • 泰勒展开式及其推导

    千次阅读 2020-03-18 09:49:15
    泰勒级数用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话,已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下,泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。 ——百度...
  • 泰勒展开式的推导

    千次阅读 2017-09-23 10:11:55
    泰勒展开式的推导
  • 机器学习笔记1—泰勒展开式和牛顿法

    万次阅读 多人点赞 2015-10-29 20:11:56
    机器学习笔记1—泰勒展开式和牛顿法写前面:自学机器学习的菜鸟一枚,希望通过记录博客的形式来记录自己一点点的进步~ 下面都是学习过程中自己的一些思考和学习,希望大神们批评指正。1.1 泰勒展开式1.1.1泰勒...
  • 浅显易懂——泰勒展开式

    万次阅读 多人点赞 2019-04-01 18:44:26
    第一次见到泰勒展开式的时候,我是崩溃的。泰勒公式长这样: 好奇泰勒是怎么想出来的,我想,得尽量还原公式发明的过程才能很好的理解它。 首先得问一个问题:泰勒当年为什么要发明这条公式? 因为当时数学界对...
  • 泰勒公式推导及多元泰勒展开式

    万次阅读 多人点赞 2018-08-30 10:06:52
    数学中,泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话,已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下,泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的...
  • 泰勒展开必须展开到无穷项(就是为什么下面条件中要求的任意阶导数必须存在),...那么f(x)就能精确相等的泰勒展开成如下子: ,其中n趋于无穷大 严格展开成了上面的无穷项求和形式了,因此我们可以得到下面...
  • 烦人的泰勒展开式

    2019-04-04 09:56:42
    这里说一下我理解的为什么要用泰勒展开式吧: 对于一些复杂函数我们没有办法去直接求导或者一些函数我们根本不知道它的图像是长什么样子的,但是我们又需要用到这个函数,然后泰勒就想出来了一个方法,让这些函...
  • 20、泰勒展开式

    2017-06-09 11:16:00
    泰勒展开式 1、求出e^x一项小于0.001  源程序代码如下: /* 2017年6月9日11:07:45 功能:求出e^x一项小于0.001 */ #include "stdio.h" #define M 0.001 double e_Toly(int i, int Num); //...

空空如也

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函数在某点的泰勒展开式