精华内容
下载资源
问答
  • 基本初等函数求导公式微分公式.(C ) ' 0 ( x ) ' x 1 (ax)' ax lna (e x ) ' e x dC 0 d ( x ) x 1dx d(ax) ax lnxdx d (e x ) e x dx
  • 定理 (1) 带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式 设 f(x) 在点 x0 的某个邻域内 n+1 阶导数存在,则对该邻域内的任意点 x ,有 (2) 带佩亚诺余项的 n 阶泰勒公式 ...重要函数的麦克劳林展开式 ...

    定理

    (1) 带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式

    设 f(x) 在点 x0 的某个邻域内 n+1 阶导数存在,则对该邻域内的任意点 x ,有

    \\\\f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\cdot\cdot\cdot+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+\frac{f^{(n+1)}(\varepsilon )}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}\\\\\varepsilon \in (x,x_{0})

     

    (2) 带佩亚诺余项的 n 阶泰勒公式

    设 f(x) 在点 x0 处 n 阶导数存在,则存在 x0 的一个邻域,对于该邻域中的任一个点,有

    \\\\f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\cdot\cdot\cdot+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+o((x-x_{0})^{n})

     

    (注:x0=0 时的泰勒公式称为麦克劳林公式)

     

    重要函数的麦克劳林展开式

    e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\cdot\cdot\cdot+\frac{x^{n}}{n!}+o(x^{n})

    sinx=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}\cdot\cdot\cdot+(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1})

    cosx=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+\cdot\cdot\cdot+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})

    \frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdot\cdot\cdot+x^{n}+o(x^{n})\quad |x|<1

    \frac{1}{1+x}=1-x+x^{2}-\cdot\cdot\cdot+(-1)^{n}x^{n}+o(x^{n})\quad |x|<1

    ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\cdot\cdot\cdot+(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n}+o(x^{n})

    (1+x)^{a}=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^{2}+\cdot\cdot\cdot+\frac{a(a-1)\cdot\cdot\cdot(a-n+1)}{n!}x^{n}+o(x^{n})

     

     

     

    展开全文
  • 导数公式

    导数公式

     

    (x^{\alpha })'=\alpha x^{\alpha-1}

    (a^{x})'=a^{x}lna\quad (a>0,a\neq 1)

    (e^{x})'=e^{x}

    (log_{a}x)'=\frac{1}{xlna}\quad(a>0,a\neq 1)

    (lnx)'=\frac{1}{x}

     

    (sinx)'=cosx

    (cosx)'=-sinx

    (tanx)'=sec^{2}x

    (cotx)'=-csc^{2}x

    (secx)'=secxtanx

    (cscx)'=-cscxcotx

     

    (arcsinx)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}

    (arccosx)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
    (arctanx)'=\frac{1}{1+x^{2}}

    (arccotx)'=-\frac{1}{1+x^{2}}

    [ln(x+\sqrt{x^{2}+1})]'=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}

    [ln(x+\sqrt{x^{2}-1})]'=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}

    展开全文
  • 史上最全的数学微积分公式 三角函数 定理
  • 文章目录前言多元函数微分学 前言 本笔记不涉及基础知识,重点在于分析考研数学的出题角度和对应策略。笔记随着做题的增多,不定时更新。且为了提高效率,用表线性梳理的形式代替思维导图,望谅解。 如有缺漏错误,...

    前言

    本笔记不涉及基础知识,重点在于分析考研数学的出题角度和对应策略。笔记随着做题的增多,不定时更新。且为了提高效率,用表线性梳理的形式代替思维导图,望谅解。

    如有缺漏错误,欢迎补充指正!

    多元函数微分学

    出题角度大概分为三个类型:

    1. 对多元函数微分各个概念的掌握
    2. 对多元微分计算的掌握
    3. 极值与最值

    (一)概念掌握

    与一元函数微分学相同,学习多元函数微分学将沿着函数→极限→连续→偏导数→可导性→可微性脉络进行学习。出题角度也是从这里面挑一个到多个进行考察。

    既然是考查对概念的掌握,所以多为存在性题目,考察的点也多为零点,需要利用各概念的定义进行求解。

    1)讨论二重极限

    极限形式全部是分数形式,对,我还没有遇到其它形式。但是,有时候(比如判断可微时),可自己构造简单的二元函数,对选项进行排除。

    计算二重极限的思路:

    1. 首先判断二重极限是否存在,利用不同路径判断极限不同或不存在。
    2. 若判断出不存在,结束。如果第一步不能判断出不存在,继续求解。
    3. 有界变量和无穷小量之积为无穷小量。
    4. 夹逼原理,利用基本不等式和带有绝对值的基本不等式放缩。
    5. 转化或看作一元函数极限,利用一元函数极限方法求解。

    2)讨论二元函数连续性

    讨论某一点(95%为零点)连续性,利用定义,即二重极限在该否存在且等于该点的函数值和求解二重极限,即可解出。

    3)讨论二元函数偏导数

    讨论某一点(95%为零点)对于x,y的偏导数是否存在,利用定义,求解一元函数极限,即可解出。

    讨论某一点的偏导数是否连续,求出偏导,再讨论偏导数的连续性。

    4)讨论二元函数可导性

    可导性和偏导数联系紧密,判断可导即判断两个一阶偏导数是否存在。

    另外,在多元函数中,可导不一定连续,连续不一定可导,与一元函数中“可导一定连续,连续不一定可导”有差别。

    连续定义中的极限为二重极限,即x,y可以从任意方向逼近所要求的点。而可导的定义只要求了对x的偏导和对y的偏导,在其它方向没有要求,所以可导不一定连续

    对于“连续不一定可导”可参照一元函数的方法,将z = |x|视为二元函数,在(0,0)处,对x的偏导不存在,z在(0,0)处不可导。z在(0,0)处的二重极限为0,函数值为0,z在(0,0)处连续。

    5)讨论二元函数可微性

    可微性是概念中较难重点的一部分,讨论多元函数的可微性,有必要条件充分条件,但是没有充要条件。讨论可微性主要靠多元函数可微的定义
    必要条件: 两个一阶偏导数在(x,y)处存在。
    充要条件: 两个一阶偏导数(x,y)处连续。
    定义:
    在这里插入图片描述

    (二)多元函数微分计算

    1)具体复合导数

    • 偏导数就把多元函数看作一元函数求解。
    • 如果是特定点的高阶偏导,可以在适当的阶段带入非微分变量具体值,简化计算。
    • 同一函数的两个混合偏导数如果在点(x,y)都连续,那么混合偏导数相等。这是一个很常用的结论,经常在全微分证明题中使用。
    • 在全微分中,可以用第三点求解待定系数。

    2)由偏导数或微分求原函数

    • 逐步求积分,结合题中所给的条件求解。
    • 唯一需要注意的一点是求积分时,如果对y求积分,积分后的常数项应为φ(x)。

    3)抽象多元函数

    • 间接变量和直接变量直接给出的情况,分析变量之间的关系,画出树形图,利用树形图和链式法则求偏导。
    • 间接变量和直接变量没有直接给出的情况,分析各变量之间的关系,必要时交换直接和间接变量或改写原函数中的u,v。一般来说,如果偏导数中对ξ,η变量进行微分,ξ,η应是树形图中的叶节点。
    • 因为是抽象微分,常常与微分方程相联系。
    • 抽象利用求偏微分公式,与题目中提供的条件一起,证明某些结论(难点)。

    4)多元隐函数

    如果F(x,y)=0能确定y是x的函数,那么称这种方式表示的函数是隐函数,多元函数类似。

    隐函数求偏导主要有以下三种方式:

    1. 利用隐函数求导公式(简洁但容易漏变量之间的关系,只适用于 F ( x , y , z ) = 0 {F(x,y,z) = 0} F(x,y,z)=0形式,且求解形式不涉及第4个变量,比如 d y d x \frac{dy}{dx} dxdy d z d x \frac{dz}{dx} dxdz)
    2. 方程两段求导,解出所求偏导数(同上,适用于 u = f ( x , y , z ) {u = f(x,y,z)} u=f(x,y,z) F ( x , y , z ) = 0 {F(x,y,z) = 0} F(x,y,z)=0形式,求解形式一般涉及等号左边的变量,比如 d u d x \frac{du}{dx} dxdu
    3. 利用微分形式不变性,方程两端微分(相对麻烦但不容易漏掉条件,适用于 u = f ( x , y , z ) {u = f(x,y,z)} u=f(x,y,z) F ( x , y , z ) = 0 {F(x,y,z) = 0} F(x,y,z)=0形式.,求解形式一般涉及等号左边的变量,比如 d u d x \frac{du}{dx} dxdu

    使用哪一种方式与搞清楚各变量是否相关相比显得不是很重要。

    1. 如果一个等式中只涉及两个变量,那么必定相关。比如 f ( x , y ) = 0 {f(x,y) = 0} f(x,y)=0, f {f} f x x x求导为 f f f 1 ′ + f 2 ′ d x d y _{1}^{'}+f_{2}^{'}\frac{dx}{dy} 1+f2dydx.
    2. 同理,涉及三个变量的两个等式,可以确定任意变量对其它变量的一元函数。
    3. 如果变量和等式继续增多,一般性方法便是画复合函数中的树形图,帮助理解。
    4. 在抽象函数中,变量之间是否相关同样取决于题目中所要求的量。比如函数x+y+z+u = 0,如果题目中给的是 u = f ( x , y , z ) {u = f(x,y,z)} u=f(x,y,z),求 d u du du,那么x,y,z就没有相关关系,u分别与x,y,z有相关关系;如果题目中给的是 z = f ( x , y , u ) {z = f(x,y,u)} z=f(x,y,u),求 d z dz dz,这种情况下x,y,u就没有相关关系,z分别与x,y,u有相关关系。

    (三)极值与最值

    1)求解无条件极值

    求多元函数无条件极值的步骤比较固定,且函数为二元函数且类似 z = z ( x , y ) , z = f ( x , y ) z= z(x,y),z =f(x,y) z=z(x,y),z=f(x,y)形式,可能为复合函数或隐函数。

    z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)为例

    1. f x ′ = 0 , f y ′ = 0 f_{x}^{'} = 0,f_{y}^{'} = 0 fx=0,fy=0,求得所有驻点
    2. 对每个驻点求出二阶偏导数 A = f x x ′ ′ , B = f x y ′ ′ , C = f y y ′ ′ A = f_{xx}^{''} ,B = f_{xy}^{''} ,C = f_{yy}^{''} A=fxx,B=fxy,C=fyy
    3. 利用极值的充分条件,通过 A C − B 2 AC-B^2 ACB2的正负和 A A A的正负判断驻点是否为极值(只适用于二元函数)
    4. 如果 A C − B 2 = 0 AC-B^2=0 ACB2=0,则利用极值的定义判断是否为极值

    2)判断特定点是否为极值点

    这种题型涉及极限多元极值的定义,利用极限可构造 f ( x , y ) = 表 达 式 + o ( p ) f(x,y) = 表达式 + o(p) f(x,y)=+o(p)形式,帮助判断。

    3)条件极值最值问题(拉格朗日乘数法) (重点)

    a. 直接求条件最值

    利用拉格朗日乘数法

    b. 解析几何直接求条件最值
    1. 求出所有可能极值点(驻点和一阶偏导不存在的点)的函数值
    2. 求出有界闭区域边界上的最值
    3. 第一步第二步的所有值进行比较,最大的值即为最大值,最小即为最小值
    c. 条件极值应用题(多为解析几何问题)

    确定目标函数,将题目中的条件与最值上靠,只要建立起函数与条件函数,接下来就是用拉格朗日乘数法求最值。如果解只有一个,并且问题本身允许极值存在,那么所求最值就在这个唯一可能取得极值的点上取得。

    d. 条件极值证明题(最灵活、最难)

    利用拉格朗日乘数法证明不等式,难点在于证明不等式有多种方法,思考的时候不会一开始就想到条件极值。另外就是目标函数和条件函数也需自己构造。

    关于条件极值的应用题和证明题还比较生疏,包括上一节常微分方程的应用题,需要进行专题复习。

    展开全文
  • 高阶微分公式 若: y = f ( x ) : R n → R , k y = f(\mathbf{x}): \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R, k 阶可, n , k ∈ N , n , k ≥ 1 , n, k \in \mathbb N, n, k \ge 1, 则: ∀ k ∈ N , k ...

    设:
    m,nN,m,n1,
    Dj=xj
    Djn=(xj)n=nxnj
    DimDjn=(xi)m(xj)n=m+nxmixnj

    高阶微分公式

    若: y=f(x):RnR,k 阶可微, n,kN,n,k1,
    则:

    kN,k1,dky=j=1n(dxjDj)ky

    证明:

    k=1 时显然成立。
    k 时成立,
    (nj=1xj)k=1n1,,nknkj=1xnj 可得:

    dk+1y=d(dky)=d{[nj=1(dxjDj)]ky}=

    =d[1n1,,nknkj=1(dxnjDnj)y]

    =1n1,,nkn(kj=1dxnj)d(kj=1Dnj)y

    =1n1,,nkn(kj=1dxnj)[1nk+1ndxnk+1Dnk+1(kj=1Dnj)y]

    =1n1,,nkn(kj=1dxnj)(1nk+1ndxnk+1Dnk+1kj=1Dnjy)

    =1n1,,nk+1n(kj=1dxnj)(dxnk+1Dnk+1kj=1Dnjy)

    =1n1,,nk+1n(k+1j=1dxnj)(k+1j=1Dnjy)

    =1n1,,nk+1nk+1j=1(dxnjDnj)y

    =[nj=1(dxjDj)]k+1y

    Taylor公式

    f(x1,,xn) 在点 x 的邻域 U 上有 k+1 阶连续偏导数, kN,k1, 则: x=x+ΔxU,θ(0,1),
    Δy=ki=11i![nj=1(ΔxjDj)]if(x)+1(k+1)![nj=1(ΔxjDj)]k+1f(x+θΔx)

    证明:

    φ(t)=f(x+tΔx),t[0,1],
    则由数学归纳法(证明在后面)可得:
    iN,i1, f(x) 在点 (x+tΔx) i 阶连续偏导数,则:
    φ(i)(t)=[nj=1(ΔxjDj)]if(x+tΔx),(*)
    于是 φ(t) [0,1] k 阶连续偏导数, 在 (0,1) k+1 阶导数,
    由 Taylor 公式, θ(0,1),
    Δy=f(x+Δx)f(x)
    =φ(1)φ(0)=ki=11i!φ(i)(0)+1(k+1)!φ(k+1)(θ)
    ki=11i![nj=1(ΔxjDj)]if(x)+1(k+1)![nj=1(ΔxjDj)]k+1f(x+θΔx)

    (*) 的证明:

    多元复合函数的求导法则 i=1 时显然成立。
    i=k 时成立,则 i=k+1 时:
    (nj=1xj)k=1n1,,nknkj=1xnj 可得:

    φ(k+1)(t)=ddt(φ(k)(t))

    =ddt[nj=1(ΔxjDj)]kf(x+tΔx)

    =ddt[1n1,,nknkj=1(ΔxnjDnj)f(x+tΔx)]

    =1n1,,nknddt[kj=1(ΔxnjDnj)f(x+tΔx)]

    =1n1,,nknddt[(kj=1Δxnj)(kj=1Dnj)f(x+tΔx)]

    =1n1,,nkn(kj=1Δxnj)ddt[kj=1Dnjf(x+tΔx)]

    =1n1,,nkn(kj=1Δxnj)1nk+1n(Δxnk+1Dnk+1)[kj=1Dnjf(x+tΔx)]

    =1n1,,nk+1n(kj=1Δxnj)Δxnk+1Dnk+1kj=1Dnjf(x+tΔx)

    =1n1,,nk+1n(k+1j=1Δxnj)(k+1j=1Dnj)f(x+tΔx)

    =1n1,,nk+1nk+1j=1(ΔxnjDnj)f(x+tΔx)

    =[nj=1(ΔxjDj)]k+1f(x+tΔx)

    推论

    df(x)0f(x) 是常量。

    证明:

    1) : df(x)0xjf(x)=0,jN,1jn,
    由Taylor公式,
    Δy=[nj=1(ΔxjDj)]f(x+θΔx)
    =nj=1Δxjxjf(x+θΔx)
    =0
    f(x) 是常量。
    2) : f(x) 是常量 df(x)0

    展开全文
  • 包含常用函数积分公式,用时方便查询; 请自行验证其正确性,本人仅提供资料共享。
  • 微积分:常用公式微分方程、级数

    万次阅读 多人点赞 2016-08-13 17:03:32
    基本初等函数求导公式函数的和、差、积、商的求导法则反函数求导法则复合函数求导法则皮皮blog二、基本积分表 皮皮blog常用凑微分公式[常用的求导和定积分公式(完美)]分部积分不定积分的分部积分设 及 是两个关于 的...
  • §8.4 多元函数求导法则 【定理】若函数及都在点可导; 函数在对应点具有连续偏导数, 则复合函数在点可导,且其导数为  (1) 证明:设获得增量,这时的对应增量为,函数的对应增量为。 据假定,函数在点具有连续偏导数,...
  • 微积分(六)——一元函数微分

    千次阅读 2020-08-07 16:21:53
    (一)一元函数微分学基础 这一部分只会讨论什么是导数与微分,以及它们的计算。也是一元函数微分学最基础的部分。 1)讨论导数与微分的概念 给出函数判断导数是否存在: 利用导数的定义判断在某一点导数是否存在,...
  • 微分积分、三角函数、数学公式大全

    万次阅读 多人点赞 2018-10-25 20:35:05
    https://blog.csdn.net/nantongcjq/article/details/78987467   一、极限公式 (系数不为0的情况)   二、重要公式   三、下列常用等价无穷小...五、基本导数公式 ...七、基本初等函数的n阶导数公式 ...
  • 导数公式、微分公式和积分公式大全 感谢观看 期待关注 知乎:叄贰壹 简书:带只拖鞋去流浪 关注我,带你一起写bug warning :未经授权,不得转载 有问题的小伙伴请在下方留言,喜欢就点个赞吧 ...
  • 从一元微分到多元微分,主要把握这两点差异:一是导数变偏导数,二是叠加。...循着这个原则,我们来看一下多元函数的Taylor公式展开。 一、Taylor’s theorem in 1D   先来回顾一下一元函数
  • 文章目录任务详解:1....【第二章 微积分】2.2泰勒公式函数极值定积分 在线LaTeX公式编辑器 任务详解: 这节课主要介绍了泰勒公式函数的凹凸性,函数的极值,不定积分,定积分等知识点。 掌握目标: 1、了解...
  • 总结了高等数学微积分常用公式,适合快速查阅。包括常用: 一、基本导数公式 二、导数的四则运算法则及常用法则 三、高阶导数的运算法则 四、基本初等函数的n阶导数公式 五、微分公式微分运算法则 六、微分运算...
  • §8.5 隐函数的求导公式 一、二元方程所确定的隐函数的情形 由二元方程可确定一个一元的隐函数,将之代入原方程,得到一个恒等式 对恒等式两边关于变量求导,左边是多元复合函数,它对变量的导数为 右边的导数...
  • 微分积分公式大全

    万次阅读 多人点赞 2019-05-02 11:29:39
    1 极限公式 (系数不为0的情况) 2 下列常用等价无穷小关系(x->...9 基本积分公式 10 下列常用凑微分公式 11 补充下面几个积分公式 12 分部积分法公式 13 第二换元积分法中的三角换元公式 14 特殊角的...
  • 0. 反函数基本认识 互为反函数之反函数的相互性:g(x)g(x) 是 f(x)f(x) 的反函数,则 f(x)f(x) 也是 g(x...1. 反函数导数公式MORE RULES FOR DERIVATIVES如果函数 g(x)g(x) 是 f(x)f(x) 的反函数,那么就有:dgdx=1df(g
  • 例:求的导 由公式可得到 用链式法则可算出 (此处可将替换为 ...但是这种计算过程很繁琐,而隐函数微分可以直接对整个公式直接求导即: 又因 所以得到得答案与上方传统链式法则计算得到的结果是一致的。 ...
  • 积分定义引出几乎处处绝对连续函数概念,证明牛顿莱布尼兹公式成立的充要条件。
  • 微积分公式

    2018-03-21 13:45:27
    微积分直观地说,对于一个给定的正实值...基本初等函数求导公式函数的和、差、积、商的求导法则反函数求导法则复合函数求导法则皮皮blog二、基本积分表 皮皮blog常用凑微分公式[常用的求导和定积分公式(完美)]分...
  • 莱布尼兹公式 常见函数高阶导数公式
  • 总结了一元函数微分,积分基本的公式,应用方法。常见微积分问题的解答思路。
  • 对大学高数公式比较完整的总结,希望给大家带来帮助,大家互相学习学习~~
  • 微积分常用公式

    万次阅读 多人点赞 2021-01-12 03:12:28
    七、基本积分公式 八、补充积分公式 九、下列常用凑微分公式 十、分部积分法公式 十一、第二换元积分法中的三角换元公式 十二、重要公式 十三、下列常用等价无穷小关系 十四、三角函数公式 十五、几种常见...
  • 函数微分

    2020-10-10 22:13:53
    一 概述 二 基本初等函数微分公式函数和,差,积,商的微分法则 四 复合函数微分法则 参考资料:高等数学上册 函数微分
  • 导数公式、微分公式和积分公式的比较,将同类函数的导数、微分积分公式放在一起,一目了然,加强理解和记忆。
  • 考研 微积分公式 方便记忆导数 函数 积分幂函数

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 28,086
精华内容 11,234
关键字:

函数微分公式