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  • 关于无穷级数收敛充要条件的猜想: ∫1+∞f(x)=c(c为常数)\int_1^{+\infty}f(x)=c \quad (c为常数)∫1+∞​f(x)=c(c为常数) 灵感: 1. 积分判别法(正项级数) 2. 数列收敛的基本性质(数列级数的前N项与数列级数...

    关于无穷级数收敛的充要条件的猜想:
    ∫ 1 + ∞ f ( x ) = c ( c 为 常 数 ) \int_1^{+\infty}f(x)=c \quad (c为常数) 1+f(x)=c(c)
    灵感:

    1. 积分判别法(正项级数)
    2. 数列收敛的基本性质(数列级数的前N项与数列级数的敛散性无关)

    一、积分判别法的定义:若单调递减的函数f(x)在[1,+ ∞ \infty )上非负,则级数 ∑ n = 1 ∞ f ( n ) \sum_{n=1}^{\infty}f(n) n=1f(n)与反常积分 ∫ 1 + ∞ f ( x ) d x \int_1^{+\infty}f(x)dx 1+f(x)dx具有相同的敛散性。
    同理,若单调递增的函数f(x)在[1,+ ∞ \infty )上非正,则级数 ∑ n = 1 ∞ f ( n ) \sum_{n=1}^{\infty}f(n) n=1f(n)与反常积分 ∫ 1 + ∞ f ( x ) d x \int_1^{+\infty}f(x)dx 1+f(x)dx具有相同的敛散性。
    根据微积分基本定理, ∫ 1 + ∞ f ( x ) = lim ⁡ a → + ∞ F ( a ) − F ( 1 ) \int_1^{+\infty}f(x)={\lim\limits_{a \to +\infty}}F(a)-F(1) 1+f(x)=a+limF(a)F(1)
    故级数 ∑ n = 1 ∞ f ( n ) \sum_{n=1}^{\infty}f(n) n=1f(n)的敛散性取决于 lim ⁡ a → + ∞ F ( a ) {\lim\limits_{a \to +\infty}}F(a) a+limF(a)是否收敛,即 lim ⁡ a → + ∞ F ( a ) {\lim\limits_{a \to +\infty}}F(a) a+limF(a)是否存在。
    lim ⁡ a → + ∞ F ( a ) = b {\lim\limits_{a \to +\infty}}F(a)=b a+limF(a)=b, 则 ∫ 1 + ∞ f ( x ) = lim ⁡ a → + ∞ F ( a ) − F ( 1 ) = b − F ( 1 ) = c \int_1^{+\infty}f(x)={\lim\limits_{a \to +\infty}}F(a)-F(1)= b-F(1)=c\quad 1+f(x)=a+limF(a)F(1)=bF(1)=c (其中,c为常数)

    二、 ∫ 1 + ∞ f ( x ) = ∫ 1 N f ( x ) d x + ∫ N + ∞ f ( x ) d x \int_1^{+\infty}f(x)=\int_1^N{f(x)dx}+\int_N^{+\infty}f(x)dx 1+f(x)=1Nf(x)dx+N+f(x)dx,若确定一个N,使得f(x)在 [ N , + ∞ ) [N,{+\infty}) [N,+)上为非负单调递减函数(或为非正单调递增函数),则仍可以使用积分判别法判断级数 ∑ n = 1 ∞ f ( n ) \sum_{n=1}^{\infty}f(n) n=1f(n)的敛散性。

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  • 研究了p-adic数域上实值函数可积的充要条件。在引入与实分析类似的幅度概念之后,证明了区间[ap,bp]上有界实值函数f(x)可积的几个充分必要条件:(1)当λ→0时,S和s同时收敛于同一极限I;(2)?εp,σp,可...
  • 给出了函数列局部一致收敛充要条件,并对其局部广义一致收敛、局部亚一致收敛条件进行了刻划.
  • 文章目录函数列及其一致收敛性极限函数的定义收敛域的定义一致收敛的定义(充要条件①)不一致收敛的定义(充要条件函数列一致收敛的柯西准则(充要条件②)函数列一致收敛的柯西准则(充要条件③)函数项级数及其...

    函数列及其一致收敛性

    极限函数

    lim ⁡ n → + ∞ f n ( x ) = f ( x ) , x ∈ D \lim\limits_{n\to+\infty}f_n(x)=f(x),x\in D n+limfn(x)=f(x),xD ε − N \varepsilon-N εN定义为:

    • 对每个固定的 x ∈ D x\in D xD
    • ∀ ε > 0 , \forall\varepsilon>0, ε>0,总存在 N ( ε , x ) > 0 N(\varepsilon,x)>0 N(ε,x)>0(注意!这里的N与 ε 和 x 两 个 量 有 关 哦 ! \varepsilon和x两个量有关哦! εx)
    • 使得,当 n > N 时 , 总 有 n>N时,总有 n>N ∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ < ε |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon fn(x)f(x)<ε

    收敛域

    使得 { f n } \{f_n\} {fn}收敛的全体收敛点集合称为 { f n } \{f_n\} {fn}收敛域

    那什么叫收敛点嘞?
    很简单.

    • 假设 { f n } \{f_n\} {fn}是定义在 E E E上的函数列(n=1,2,…)
    • 有一点 x 0 ∈ E x_0\in E x0E,代入上述函数列有 f 1 ( x 0 ) , . . . , f n ( x 0 ) , . . . (1) f_1(x_0),...,f_n(x_0),...\tag{1} f1(x0),...,fn(x0),...(1)
    • 若数列(1)收敛,那么就称函数列在 x 0 x_0 x0点收敛, x 0 x_0 x0点称为函数列的收敛点
    • { f n } \{f_n\} {fn}在数集 D ⊂ E D\subset E DE的每一点都收敛,则称 { f n } \{f_n\} {fn}在数集D上收敛
    • 此时D上的每一点 x x x都有数列 { f n } \{f_n\} {fn}的一个极限值与之对应,所以就得到了极限函数 f ( x ) f(x) f(x),可以发现上面极限函数的定义域就是 D D D,求极限函数首先要保证定义域中的每一点都是函数列的收敛点

    一致收敛的定义(充要条件①)

    • 函数列 { f n } \{f_n\} {fn}与函数 f f f定义在同一数集 D D D
    • ∀ ε > 0 , 总 存 在 N ( ε ) ∈ N ∗ , 当 n > N 时 , \forall\varepsilon>0,总存在N(\varepsilon)\in N^*,当n>N时, ε>0,N(ε)N,n>N 对 ∀ x ∈ D 对\forall x\in D xD 都有 ∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ < ε |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon fn(x)f(x)<ε则称函数列 { f n } \{f_n\} {fn} D D D上一致收敛于 f f f,记作 f n ( x ) ⇉ f ( x ) ( n → ∞ ) , x ∈ D f_n(x)\rightrightarrows f(x)(n\to\infty),x\in D fn(x)f(x)(n),xD
      注意!
    • 由以上定义可以看出 { f n } \{f_n\} {fn}在D上一致收敛 ⇒ \Rightarrow { f n } \{f_n\} {fn}在D上每一点都收敛
    • 但是, { f n } \{f_n\} {fn}在D上每一点都收敛 ⇏ \nRightarrow { f n } \{f_n\} {fn}在D上一致收敛

    不一致收敛的定义(充要条件)

    函数列 { f n } \{f_n\} {fn} D D D上不一致收敛于 f ⇔ f\Leftrightarrow f

    • ∃ ε 0 > 0 \exist\varepsilon_0>0 ε0>0 , 在 D 上 都 ∃ 一 点 x ′ ( N ) ,在D上都\exist一点 x'(N) ,Dx(N)和正整数 n ′ ( N ) > N n'(N)>N n(N)>N,使得 ∣ f n ′ ( x ′ ) − f ( x ′ ) ∣ ≥ ε 0 |f_{n'}(x')-f(x')|\ge\varepsilon_0 fn(x)f(x)ε0

    函数列一致收敛的柯西准则(充要条件②)

    { f n } \{f_n\} {fn}在D上一致收敛 ⇔ \Leftrightarrow

    • ∀ ε > 0 , ∃ N > 0 , 当 n , m > N 时 , 对 ∀ x ∈ D , 都 有 \forall\varepsilon>0,\exist N>0,当n,m>N时,对\forall x\in D,都有 ε>0,N>0,n,m>NxD ∣ f n ( x ) − f m ( x ) ∣ < ε |f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon fn(x)fm(x)<ε

    函数列一致收敛的柯西准则(充要条件③)

    lim ⁡ n → ∞ s u p x ∈ D ∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ = 0 \lim\limits_{n\to\infty}\mathop{sup}\limits_{x\in D}|f_n(x)-f(x)|=0 nlimxDsupfn(x)f(x)=0

    推论:不一致收敛的充要条件2

    存在 { x n } ⊂ D \{x_n\}\subset D {xn}D,使得 { f n ( x n ) − f ( x n ) } 不 收 敛 于 0 \{f_n(x_n)-f(x_n)\}不收敛于0 {fn(xn)f(xn)}0

    内闭一致收敛的定义

    • { f n } , f \{f_n\},f {fn},f都定义在区间 I I I
    • ∀ 闭 区 间 [ a , b ] ⊂ I \forall闭区间[a,b]\subset I [a,b]I
    • { f n } \{f_n\} {fn} [ a , b ] 上 一 致 收 敛 于 f [a,b]上一致收敛于f [a,b]f,则称 { f n } 在 I \{f_n\}在I {fn}I内闭一致收敛于 f f f
    • 注意!若这里的 I I I是闭区间,则内闭一致收敛与一致收敛是等价的

    函数项级数及其一致收敛性

    函数项级数收敛域

    首先,介绍收敛点的定义:

    • { u n } \{u_n\} {un}是定义在 E E E上函数列,其函数项级数为 u 1 ( x ) + u 2 ( x ) + . . . + u n ( x ) + . . . , x ∈ E (2) u_1(x)+u_2(x)+...+u_n(x)+...,x\in E\tag{2} u1(x)+u2(x)+...+un(x)+...,xE(2)
    • S n = ∑ k = 1 n u k ( x ) , x ∈ E , n = 1 , . . . S_n=\sum_{k=1}^nu_k(x),x\in E,n=1,... Sn=k=1nuk(x),xE,n=1,...称为函数项级数的部分和函数列
    • x 0 ∈ E , S n ( x 0 ) = ∑ k = 1 n u k ( x 0 ) x_0\in E,S_n(x_0)=\sum\limits_{k=1}^nu_k(x_0) x0E,Sn(x0)=k=1nuk(x0)收敛 ⇒ \Rightarrow x 0 x_0 x0是级数的 收敛点

    若级数在E的某个子集D上每点都收敛 ⇒ \Rightarrow 称级数在D上收敛;
    若D是全体收敛点的集合 ⇒ \Rightarrow D为级数的收敛域

    和函数

    S ( x ) = u 1 ( x ) + u 2 ( x ) + . . . + u n ( x ) + . . . S(x)=u_1(x)+u_2(x)+...+u_n(x)+... S(x)=u1(x)+u2(x)+...+un(x)+... x ∈ D x\in D xD且有 lim ⁡ n → ∞ S n ( x ) = S ( x ) \lim\limits_{n\to\infty}S_n(x)=S(x) nlimSn(x)=S(x)级数(2)的收敛性就看它的部分和函数列的收敛性啦!

    级数的(内闭)一致收敛

    • { S n ( x ) } 是 函 数 列 ∑ u n ( x ) \{S_n(x)\}是函数列\sum u_n(x) {Sn(x)}un(x)的部分和函数列
    • { S n ( x ) } \{S_n(x)\} {Sn(x)}在数集 D D D上一致收敛于 S ( x ) S(x) S(x) ⇒ \Rightarrow 则称 ∑ u n \sum u_n un D D D上一致收敛于 S ( x ) S(x) S(x)
    • ∑ u n ( x ) \sum u_n(x) un(x) ∀ 闭 区 间 [ a , b ] ⊂ I \forall闭区间[a,b]\subset I [a,b]I上一致收敛 ⇒ \Rightarrow 则称 ∑ u n \sum u_n un I I I上内闭一致收敛于 S ( x ) S(x) S(x)

    一致收敛的柯西准则(充要条件)

    ∑ u n ( x ) \sum u_n(x) un(x)在数集 D D D上一致收敛 ⇔ \Leftrightarrow

    • ∀ ε > 0 , 总 ∃ N ∈ N ∗ , 当 n > N 时 , 对 ∀ x ∈ D 和 一 切 正 整 数 p , 都 有 \forall\varepsilon>0,总\exist N\in N^*,当n>N时,对\forall x\in D和一切正整数p,都有 ε>0,NN,n>NxDp ∣ S n + p − S n ( x ) ∣ < ε |S_{n+p}-S_n(x)|<\varepsilon Sn+pSn(x)<ε ∣ u n + 1 ( x ) + . . . + u n + p ( x ) ∣ < ε |u_{n+1}(x)+...+u_{n+p}(x)|<\varepsilon un+1(x)+...+un+p(x)<ε

    推论(级数一致收敛的必要条件)

    ∑ u n ( x ) \sum u_n(x) un(x)在D上一致收敛 ⇒ \Rightarrow { u n ( x ) } 在 D 上 一 致 收 敛 于 0 \{u_n(x)\}在D上一致收敛于0 {un(x)}D0

    余项充要条件

    • R n ( x ) = S ( x ) − S n ( x ) R_n(x)=S(x)-S_n(x) Rn(x)=S(x)Sn(x)称为函数列级数 ∑ u n \sum u_n un的余项
    • ∑ u n ( x ) \sum u_n(x) un(x) D D D上一致收敛于 S ( x ) S(x) S(x) ⇔ \Leftrightarrow lim ⁡ n → ∞ s u p x ∈ D ∣ R n ( x ) ∣ \lim\limits_{n\to\infty}\mathop{sup}\limits_{x\in D}|R_n(x)| nlimxDsupRn(x) = lim ⁡ n → ∞ s u p x ∈ D ∣ S ( x ) − S n ( x ) ∣ = 0 =\lim\limits_{n\to\infty}\mathop{sup}\limits_{x\in D}|S(x)-S_n(x)|=0 =nlimxDsupS(x)Sn(x)=0

    函数级数一致收敛判别方法

    魏尔斯特拉斯判别法(M判别法/优级数判别法)

    • ∑ u n ( x ) 定 义 在 D 上 \sum u_n(x)定义在D上 un(x)D
    • ∑ M n 为 \sum M_n为 Mn①收敛的②正项级数
    • ∀ x ∈ D \forall x\in D xD,有 ∣ u n ( x ) ∣ ≤ M n , n = 1 , 2 , . . . |u_n(x)|\le M_n,n=1,2,... un(x)Mn,n=1,2,...
      则称 ∑ u n ( x ) \sum u_n(x) un(x) D D D上一致收敛,且称 ∑ M n \sum M_n Mn ∑ u n ( x ) \sum u_n(x) un(x)的优级数

    阿贝尔判别法

    • ∑ u n ( x ) 在 区 间 I 上 一 致 收 敛 \sum u_n(x)在区间I上一致收敛 un(x)I
    • ∀ x ∈ I , { v n ( x ) } \forall x\in I,\{v_n(x)\} xI,{vn(x)}单调且一致有界

    则级数 ∑ u n ( x ) v n ( x ) \sum u_n(x)v_n(x) un(x)vn(x) I I I上一致收敛

    一致有界的定义

    • 对于定义在 I I I上的函数列 { v n ( x ) } \{v_n(x)\} {vn(x)}
    • ∃ M > 0 , 对 所 有 x ∈ D , 都 有 \exist M>0,对所有x\in D,都有 M>0,xD, ∣ f n ( x ) ∣ ≤ M |f_n(x)|\le M fn(x)M

    则称 { v n ( x ) } \{v_n(x)\} {vn(x)}在D上一致有界

    狄屎判别法

    • ∑ u n ( x ) \sum u_n(x) un(x)的部分和数列 U n ( x ) = ∑ k = 1 n u k ( x ) U_n(x)=\sum\limits_{k=1}^nu_k(x) Un(x)=k=1nuk(x) I I I上一致有界
    • ∀ x ∈ I , { v n ( x ) } 单 调 + ⇉ 0 \forall x\in I,\{v_n(x)\}单调+\rightrightarrows0 xI,{vn(x)}+0

    ∑ u n ( x ) v n ( x ) \sum u_n(x)v_n(x) un(x)vn(x) I I I上一致收敛

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  • 证明几乎处处收敛的可积函数列在极限函数未知是否可积的情况下,积分与极限交换的充要条件函数列在S∞上积分等度收敛;证明可积函数列依测度收敛的情况下,积分与极限交换的充要条件函数列在[a,b ]上积分等度收敛
  • 利用区间值函数级数、模糊数的序关系和分解定理讨论了复模糊值函数级数收敛性与发散性,给出了复模糊值函数级数收敛、一致收敛、绝对收敛充要条件,并得到了复模糊值函数级数收敛的线性及复模糊值函数级数收敛、发散...
  • 做题也看清是数列收敛函数级数收敛。 点态收敛 这个就是一致收敛的普通情况,在某一个点收敛。 给定xxx,在nnn趋于无穷时∣fn(x)−f(x)∣<e|f_{n}(x)-f(x)|<e∣fn​(x)−f(x)∣<e. 一致收敛 这个判定比较...

    毫无疑问,这个要记的东西巨多。我总结了一下,以后忘了还能来看。
    做题也要看清到底是函数列收敛还是函数项级数收敛
    函数项级数相当于函数列的和。

    函数项数列的收敛

    1. 要先求极限函数。极限函数 f ( x ) = lim ⁡ n → ∞ f n ( x ) f(x)=\lim_{n\to \infty}f_n(x) f(x)=nlimfn(x)
    2. 然后看到底是一致收敛还是点态收敛。

    一致收敛和点态收敛的区别就在于到底先确定 n n n还是先确定 x x x.
    一致收敛是先确定 n n n,对任意 x x x都收敛。点态收敛是先确定 x x x,对任意 n n n都收敛。

    点态收敛

    给定 x 0 x_0 x0,对任意小的 ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ>0 lim ⁡ n → ∞ ∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ < ϵ \lim_{n\to \infty}|f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon nlimfn(x)f(x)<ϵ.

    一致收敛

    1.定义:对任意正数 ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ>0,存在某一个正数 N N N,对任意 n n n,满足 n > N n>N n>N,任意的 x x x都满足 f n ( x ) f_{n}(x) fn(x)收敛到 f ( x ) f(x) f(x)。注意的是 N N N x x x的顺序,一定要小心,先确定 N N N再确定 x x x
    2.充要条件: sup ⁡ ∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ = 0 \sup|f_{n}(x)-f(x)|=0 supfn(x)f(x)=0,当 n n n足够大时。这个比较有用。
    上界指的是 n n n作为常数时,取 x x x的值可能要求导。
    如果不是0就不一致收敛。
    3.柯西准则:对任意 x x x,存在 N N N,任意 n > m > N n>m>N n>m>N,都有 ∣ f n ( x ) − f m ( x ) ∣ < e |f_{n}(x)-f_{m}(x)|<e fn(x)fm(x)<e
    这个也是挺有用的,真的不行可以救场

    函数项级数的一致收敛

    1.定义:和函数的数列一致收敛(如果可以求出和数列就用这个,再加上函数项数列收敛的方法)
    2.柯西准则:有点用
    3.优级数判别法:其实一致收敛就是收敛和x取值无关,如果能够放缩成一个与x无关的又收敛的级数,那肯定是一致收敛。
    有用。
    4.阿贝尔判别法:级数一致收敛,数列单调有界
    5.狄利克雷判别法:级数一致有界(不管x取值都有界),数列单调(如果是正项级数第一个条件就能说明一致收敛了)
    6.小技巧,遇到 x n f ( x ) \frac{x^n}{f(x)} f(x)xn之类有指数,但是x是负的。。。不好直接放缩,那就把x弄成 ( x − 1 ) n − 1 n f ( x ) (\frac{x}{-1})^n\frac{-1^n}{f(x)} (1x)nf(x)1n可以放缩或者狄利克雷这种了。
    就是把x放成一个常数
    7.该列项时还是要列项。。。

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  • 设{Xm,n;m,n ≥1}为两个下标的独立同分布的随机序列,公共分布函数F(x)绝对连续。记Y(l)(m,n; k)为{Xm,n;m,n ≥1}的第k个上极值之第l个二次极值。给出了Y(l)(m,n;...k)的规范化密度函数收敛的充分条件
  • 定义于点$x_0$的邻域内的函数$f(x)$在该点处为解析的充分必要条件是: 1.它在这一点的某一邻域内无穷次可微. 2.有这样的正数$\delta,M$存在,使得对于区间$(x_0-\delta,x_0+\delta)$中的任意$x$与对于任意...

    定义于点$x_0$的邻域内的函数$f(x)$在该点处为解析的充分必要条件是:

     


    1.它在这一点的某一邻域内无穷次可微.


    2.有这样的正数$\delta,M$存在,使得对于区间$(x_0-\delta,x_0+\delta)$中的任意$x$与对于任意自然数$k$,成立不等式


    \begin{equation}
    | f^{(k)}(x)| <M \frac{k!}{\delta^{k}}
    \end{equation}

     

     

     


    $\Leftarrow:$我们来看$f(x)$在区间$(x_0-\delta,x_0+\delta)$内的展开:


    \begin{equation}
    \label{eq:1.38}
    f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\cdots
    \end{equation}

    我们验证该级数为绝对收敛的,只用验证下面的级数是绝对收敛的.


    \begin{equation}
    \label{eq:1.56}
    |f(x_0)|+|\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)|+|\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2|+\cdots+|\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n|+\cdots
    \end{equation}


    这是很容易的,因为

    \begin{equation}
    \label{eq:1.58}
    |\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n|<|\frac{\frac{Mn!}{\delta^n}}{n!}(x-x_0)^n|=M|\frac{x-x_0}{\delta}|^n
    \end{equation}

    \begin{equation}
    |\frac{x-x_0}{\delta}|<1
    \end{equation}
    因此\ref{eq:1.38}绝对收敛.

     

    $\Rightarrow$:我们知道,$\forall x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)$,
    \begin{equation}
    \label{eq:10.57}
    \sum_{i=1}^{\infty}|\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i|<M-1
    \end{equation}
    其中$M$是一个大于1的正实数.由于$x$在$(x-\delta,x+\delta)$内的任意性,因此我们有

    \begin{equation}
    \label{eq:11.02}
    \sum_{i=1}^{\infty}|\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}\delta^i|< M
    \end{equation}

    把它变得好看一点即
    \begin{equation}
    \label{eq:11.28}
    |\frac{f^{(1)}(x_0)}{1!}\delta^1|+|\frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}\delta^{2}|+\cdots<M
    \end{equation}

    \begin{equation}
    \label{eq:11.31}
    |\frac{f^{(N)}(x_0)}{N!}\delta^N|<M
    \end{equation}



    \begin{equation}
    |f^{(N)}(x_0)|< \frac{M N!}{\delta^N}
    \end{equation}
    由于导函数连续,因此当$\delta$足够小时,$f^{(N)}(x)$与$f^{(N)}(x_0)$足够近,此时$$|f^{(N)}(x)|<\frac{MN!}{\delta^N}$$证毕.

    转载于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2012/11/13/3827711.html

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  • 瑕积分的收敛判别和性质

    千次阅读 2019-08-18 09:52:26
    文章目录收敛充要条件非负函数瑕积分收敛判别定理11.6(比较原则)推论1(与无穷同)若选用的比较对象是$\int_a^b\frac{dx}{(x-a)^p}\Rightarrow$柯西判别法推论2(柯西判别)推论3(柯西判别)一般瑕积分狄屎判别法...
  • 多元函数

    2020-06-13 10:19:11
    只是必要条件,而非充要条件 多变量情况下,需根据二阶偏导数构成的海森矩阵的正定性判断是否属于极值点 二元函数的全微分 切平面近似表示 方向导数 & 梯度 偏导数 --任意方向变化率–> 方向导数(用于搜索...
  • 无穷积分收敛的定义and性质

    千次阅读 2019-08-14 10:59:12
    文章目录定理11.1(无穷收敛充要条件)性质2无穷收敛充要条件2性质3 定理11.1(无穷收敛充要条件) ∫a+∞f(x)dx\int_a^{+\infty}f(x)dx∫a+∞​f(x)dx收敛⇔\Leftrightarrow⇔ ∀ε&gt;0,∃G≥a,只要u1,u2&gt;...
  • 文章目录1 一致收敛性2 一致收敛函数列与函数项级数的性质 1 一致收敛性 2 一致收敛函数列与函数项级数的性质
  • 反常积分的性质与收敛判别

    千次阅读 多人点赞 2019-05-12 23:31:27
    无穷积分收敛充要条件是:只要便有 柯西准则: 瑕积分(瑕点为a)收敛充要条件是:只要总有 性质1(线性性): 若与都收敛,为任意常数,则也收敛,且 性质1...
  • 函数列和函数项级数

    2021-05-17 10:50:09
    一、函数列和函数项级数的收敛性质 1.1 函数列和函数项级数的定义 ​ 函数列指的是 {Sn(x)}\{S_n(x)\}{Sn​(x)} 这样的序列,等价于数列,而函数项级数指的是将函数列{un(x)}\{u_n(x)\}{un​(x)}进行累加得到的 ∑un...
  • 函数的幂级数展开

    千次阅读 2019-09-16 19:25:02
    文章目录定理14.11 可展开成泰勒级数的充要条件泰勒展开式(幂级数展开式)初等函数的幂级数展开式 定理14.11 可展开成泰勒级数的充要条件 fff在x0x_0x0​处具有任意阶导数 fff在区间(x0−r,x0+r)(x_0-r,x_0+r)...
  • 3 可测函数

    2019-09-12 15:15:16
    文章目录3.1 可测函数的概念与基本性质3.2 可测函数列的收敛3.3 可测函数与连续函数定理3.13 Lusin定理 3.1 可测函数的概念与基本性质 3.2 可测函数列的收敛 3.3 可测函数与连续函数 定理3.13 Lusin定理 若...
  • 每日数学-函数1

    2018-08-02 17:35:43
    =k2则有上届k2,函数在定义域内有界的充要条件是在定义域中既有上界又有下界 2.函数单调性  在函数定义域中的任意两个数x1,x2,若x1&lt;x2时总有f(x1)&lt;f(x2),那么说f(x)在这个区间上是增函数。  ...
  • 函数

    千次阅读 2019-03-28 20:34:01
    是核函数充要条件是矩阵 半正定,此时相当于对输入空间向特征空间进行了 隐式 的 映射。对于上面的映射 ,令 ,于是 ,进而 。 定理3 :设 是 的一个紧子集(闭合且有界子集), 为 上的对称函数,如果它在...
  • 函数项级数一致收敛性及其应用.pdf2016年12月 山东师范大学学报(自然科学版) Dec.2016ofJo哪al No册al V01.31第31卷第4期 Sh粕dong UIlive鹅ity(NaturalScie...
  • 生成函数

    千次阅读 2019-04-01 21:59:18
    转载请注明 目录 转载请注明 1.前言 2.必要知识 2.1形式幂级数 2.1.1概念 2.1.2特点 ...3.生成函数 ...3.1普通型母函数 ...3.1.2常见普通型母函数 3.1.3定理一 3.1.4例子 3.2指数型母函数 ...
  • 按照继承性,可求性,收敛性原则定义[a,b]上几乎处处连续的本性函数的积分,引进一致局部可积与无穷断度点上积分一致收敛概念,给出函数可积的充要条件
  • 函数极限连续 函数 知识点: 函数的概念和基本形态 ...f是一映射是有反函数充要条件 x对应的函数值的反函数,即:f-1(f(x)) == x 基本初等函数:幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三
  • Stieltjes积分,研究了Henstock- Stieltjes积分的性质,给出了Henstock-Stieltjes积分可积的充要条件,并得到了Henstock- Stieltjes积分的收敛定理,最后证明了向量值函数在闭区间上关于实值右连续函数是Pettis可积...

空空如也

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函数收敛的充要条件