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  • 算法概念:大O表示法/小o表示法/Ω/Θ

    万次阅读 多人点赞 2015-04-24 16:34:40
    表示法使用大写字母O来表示(order),故称大O表示法。若规模为n的问题需要的时间与n成正比,则问题表示为O(n),即n阶。若需要的时间与n^2成正比,则问题表示为O(n^2),以此类推。 下面是算法的阶的定义。  
    如果算法A需要的时间与f(n)成正比,则算法A称为f(n)阶,表示为O(f(n))。函数f(n)称为算法的增率函数(growth-rate function)。该表示法使用大写字母O来表示(order),故称大O表示法。若规模为n的问题需要的时间与n成正比,则问题表示为O(n),即n阶。若需要的时间与n^2成正比,则问题表示为O(n^2),以此类推。
    
    下面是算法的阶的定义。
            若存在常量k和n0,使算法A在解决规模n>=n0的问题时,需要的问题单元不大于k*f(n),则算法A为f(n)阶,表示为O(f(n))。
            O(f(n))定义中的条件n>=n0正式阐明了问题规模足够大的概念,一般地,有很多k和n值可以满足这个定义。大O表示法的几个数学属性有助于简化算法分析。在讨论这些属性是要记住,O(f(n))意为f(n)阶,O并不是一个函数
           1)可忽略算法增率函数的低阶项。
           2)可忽略算法增率函数中高阶项的倍数常量。
           3)O(f(n))+O(g(n))=O(f(n)+g(n))可组合增率函数。

    对于任何数学函数,这三个记号可以用来度量其“渐近表现”,即当趋于无穷大时的阶的情况,这是算法分析中非常重要的概念。大家可以把它们分别想象成≤、≥和,分别估计了函数的渐近上界、渐近下界和准确界。诚然,渐近关系和确切大小关系是有区别的,但当问题规模很大时,忽略这种区别能大大降低算法分析的难度。

    下面我们就来具体定义这三种记号的表示。

    设函数f ( n )代表某一算法在输入大小为n的情况下的工作量(效率),则在n趋向很大的时候,我们将f (n)与另一行为已知的函数g(n)进行比较:

    1)如果0,则称f (n)在数量级上严格小于g(n),记为f (n)=o( g(n))。(小o表示法)

    2)如果正无穷,则称f (n)在数量级上严格大于g(n),记为f (n)=( ( g(n))。(?)

    3)如果c,这里c为非0常数,则称f (n)在数量级等于g(n),即f (n)和g(n)是同一个数量级的函数,记为:f (n)=Θ( g(n))。

    4)如果f (n)在数量级上小于或等于g(n),则记为f (n)=O( g(n))。(大O表示法)

    5)如果f(n)在数量级上大于或等于g(n),则记为f (n)=Ω( g(n))。

    这里我们假定f (n),g (n)是非负单调的,且极限存在。如果这个极限不存在,则无法对f (n)和g (n)进行比较。在进行此种计算时,一个经常用到的技术是洛必达(L'Hopital)法则。该法则由17世纪法国数学家Guillaume de L'Hopital发现(也有人认为是瑞士数学家Johann Bernoulli发现的)。该法则声称,两个函数的比率极限等于两个函数的导数的比率极限,这里当然假定两个函数的导数比率的极限存在,即有:


    有了这个定义,就可以对素性测试的两个算法进行比较了。

    ,符合第1个定义,因此这两个素性测试算法的效率差异是数量级的差异。

    在算法分析中,最常选取的g(n)有如下一些,见表2-1。

     


    一个值得提醒的问题是,根据定义,对于任意一个g (n)函数来说,可能存在很多个函数f (n),使得f (n)=O(g(n)),即O(g(n))表示的实际上是一个函数的集合,这里的等于也不是普通意义上的等于,而是说明f (n)是函数集合o(g(n))里的一员,即f (n)=O(g(n))并不意味着f (n)等于O(g(n))。等于号的这种使用令那些严谨的科学家非常不快甚至愤怒,但计算机界人士很喜欢这种马虎的表示。不过,我们在心里应该知道,f (n)=O(g(n))并不意味着f (n)≠O(g(n))。不然,我们就被自己骗了!

    等号在其他渐近表示中的使用也可以同样解释。


     
     
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  • 数列作为一种特殊函数,本教案通过日常生活引入数列的概念,发现数列的规律,找出数列可能的通项公式。
  • 谈谈大O表示法

    万次阅读 2019-05-03 10:20:42
    故在正式介绍大O表示法之前,我们先来看看算法优劣的两个指标:“时间复杂度”与“空间复杂度”。 一、时间复杂度 时间复杂度是指一个算法被执行所需要的计算工作量。它用来度量算法执行的时间长短。 ...

    阅读本文你将收获:

    • 时间复杂度的概念。
    • 空间复杂度的概念。
    • 大O表示法

    一个算法的优劣主要从算法的执行时间和所需要占用的存储空间两个方面来衡量。所对应的两个指标分别是“时间复杂度”与“空间复杂度”。

    故在正式介绍大O表示法之前,我们先来看看算法优劣的两个指标:“时间复杂度”与“空间复杂度”。

    一、时间复杂度

    时间复杂度是指一个算法被执行所需要的计算工作量。它用来度量算法执行的时间长短。

    时间复杂度常用大O表示法表示,且不包括这个函数的 “低阶项”“首项系数”

    算法的时间复杂度实质上是一个数学函数,它定量描述了该算法的运行时间。常用大O表示法表示。 记做:T(n) = O(f(n))

    二、空间复杂度

    空间复杂度是指一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度

    空间复杂度通常也用大O表示法表示。 记做:S(n)=O(f(n))。

    分析一个算法所占用的存储空间大小需要多方面考虑。

    比如, 对于递归算法来说,算法本身所占用的存储单元较少,但在运行时需要申请额外的堆栈,从而需要占用较多的临时工作单元。 对于非递归算法来说,算法本身所占用的存储单元较多,而在运行时占用的临时工作单元较少。

    三、大O表示法

    对于一个算法来说,时间复杂度与空间复杂度往往是互相影响的。追求较好的时间复杂度,往往空间复杂度会差一些。追求较好的空间复杂度,往往时间复杂度会差一些。

    算法的时间复杂度空间复杂度合称为算法的复杂度。而衡量算法复杂度需要用到大O表示法

    3.1 什么是大O表示法?

    定义:称一个函数g(n)O(f(n)),当且仅当存在常数c>0n0>=1时,对一切n>n0均有|g(n)|<=c|f(n)|成立,也称函数g(n)f(n)为界。记作g(n)=O(f(n))。(来源360百科)

    简单来说,大O表示法就是一个由n表示的函数(n代表输入量),通过不断扩大n的值,来渐进反应算法的复杂度。

    是不是有点难理解?接下来让我们看几个常见实例就会了然于心。

    3.2 大O表示法的几种常见实例

    下面从性能的角度,由高到低的介绍几种大O表示法常见实例:

    1) 常数级:O(1)

    O(1)表示该算法的执行时间(或执行时占用空间)总是为一个常量,不论输入的数据集是大是小。

    例如:取数组第一个元素的时间复杂度:

    def getFirstElement(arr):
        return arr[0]
    
    
    2) 对数级:O(log2n)

    O(log2n)表示每次循环,所要处理的数据量减半。

    例如:二分查找的时间复杂度。

    def binary_search(list, item):
        low = 0
        high = len(list) - 1
    
        while low <= high:
            mid = (low + high) / 2
            if list[mid] == item:
                return mid
            if list[mid] > item:
                high = mid - 1
            else:
                low = mid + 1
        return None
    
    
    3) 线性级:O(n)

    O(N)表示一个算法的性能会随着输入数据的大小变化而线性变化。

    例如:简单查找的时间复杂度。

    def easy_search(list, item):
        for index in range(len(list)):
            if list[index] == item:
                return index
        return None
    
    
    4) 线性对数级:O(nlog2n)

    O(nlog2n)表示一个算法的性能会随着输入数据的大小变化而线性对数级变化。

    例如:快速排序的时间复杂度。

    def quickSort(arr):
        if len(arr) < 2:
            return arr
        else:
            pivot = arr[0]
            less = [i for i in arr[1:] if i <= pivot]
            greater = [i for i in arr[1:] if i > pivot]
    
            return quickSort(less) + [pivot] + quickSort(greater)
    
    
    5) 平方级:O(n2)

    O(n2)表示一个算法的性能会随着输入数据的大小变化而发生平方级变化。

    举例:选择排序的时间复杂度。(典型的两层for循环遍历)

    def findSmallest(arr):
        smallest = arr[0]
        smallest_index = 0
        for i in range(1, len(arr)):
            if arr[i] < smallest:
                smallest = arr[i]
                smallest_index = i
        return smallest_index
    
    def selectionSort(arr):
        newArr = []
        for i in range(len(arr)):
            smallest = findSmallest(arr)
            newArr.append(arr.pop(smallest))
        return newArr
    
    
    6) 立方级:O(n3)

    O(n3)表示一个算法的性能会随着输入数据的大小变化而发生立法级变化。

    举例:三层for循环的遍历算法的时间复杂度。

    7) k次方级:O(nk)

    O(nk)表示一个算法的性能会随着输入数据的大小变化而发生k次方级变化。

    举例:k层for循环的遍历算法的时间复杂度。

    8) 指数级:O(2n)

    O(2n)表示一个算法的性能将会随着输入数据的每次增加而增大两倍。

    举例:斐波那契数列的时间复杂度。

    def Fibonacci(n):
        if(n>=2):
            return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2)
        else:
            return n
    
    
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  • 逻辑功能中简单概括得出的逻辑函数,往往不是最简表达式,根据这样的非最简式来实现电路,系统会过于复杂,成本过高,同时,电路运行的安全性和可靠性也无法得到保障。 为了降低系统成本,提高工作可靠性,应在不...

    数字电路的作用是用来表达一个现实的逻辑命题,实现逻辑功能。但是,从
    逻辑功能中简单概括得出的逻辑函数,往往不是最简表达式,根据这样的非最简式来实现电路,系统会过于复杂,成本过高,同时,电路运行的安全性和可靠性也无法得到保障。

    为了降低系统成本,提高工作可靠性,应在不改变逻辑功能的基础上,化简
    逻辑表达式,降低其规模,并进行相应变形,用更合理的函数式表达逻辑命题,以期用最少、最合理的门电路器件实现逻辑功能。

    逻辑函数的化简原则:

    • 逻辑电路所用的门最少
    • 每个门的输入端要少
    • 逻辑电路所用的级数要少
    • 逻辑电路能可靠地工作

    逻辑函数的化简:

    1. 公式化简法
    1. 卡诺图化简法

    逻辑函数的表示工具:

    1. 真值表
    2. 逻辑表达式
    3. 卡诺图
    4. 逻辑电路图
    5. 波形图

    公式化简法

    与或逻辑函数的公式法化简

    在这里插入图片描述公式化化简思路:

    • 有直接利用化简公式的结构,就直接化简
    • 若没有,就改变表达式结构,创造环境去化简(拆项、提取公因子)

    特殊技巧:

    • 反用多余项定律
    • 加0因子

    另外,化简结果可能不唯一,但最后结果的长度都是一样的

    5类逻辑函数之间的转换

    在这里插入图片描述
    方法结构图如下所示:
    在这里插入图片描述

    卡诺图化简法

    卡诺图的由来和原理

    对于一个给定了变量数目的逻辑函数,所有变量都参加相“与”的与项称为最小项,下面的ABC、AB C ‾ \overline{\text{C}} C A ‾ \overline{\text{A}} ABC、 AB ‾ \overline{\text{AB}} ABC都是最小项:

    F = f(A,B,C) = AB + A ‾ \overline{\text{A}} AC = AB(C+ C ‾ \overline{\text{C}} C) + A ‾ \overline{\text{A}} AC(B+ B ‾ \overline{\text{B}} B)
    = ABC + AB C ‾ \overline{\text{C}} C + A ‾ \overline{\text{A}} ABC + AB ‾ \overline{\text{AB}} ABC

    最简与或表达式拆项后得到的表达式的每个与项中,三输入变量均以原变量或者反变量形式,出现且仅出现一次。所以说,这 4 个与项都是该逻辑函数的最小项。

    • 最小项的特点:
      每个与项均包含了该逻辑函数的所有变量,且每个变量只能
      以原变量或反变量形式出现且仅出现一次。

    由此可知:

    • 1 变量逻辑函数 有 2 个最小项:
      A、 A ‾ \overline{\text{A}} A
    • 2 变量逻辑函数 有 4 个最小项:
      AB、 A ‾ \overline{\text{A}} AB、A B ‾ \overline{\text{B}} B AB ‾ \overline{\text{AB}} AB
    • 3 变量逻辑函数 有 8 个最小项:
      ABC、 A ‾ \overline{\text{A}} ABC、A B ‾ \overline{\text{B}} BC、AB C ‾ \overline{\text{C}} C AB ‾ \overline{\text{AB}} ABC、A BC ‾ \overline{\text{BC}} BC A ‾ \overline{\text{A}} AB C ‾ \overline{\text{C}} C ABC ‾ \overline{\text{ABC}} ABC

    n变量逻辑函数共有2”个最小项

    所谓“标准与或式”,就是用最小项相加 , 得到的与或表达式,也称为最
    小项标准式、“最小项之和”形式

    一个具体逻辑函数的标准与或式中,到底存在哪个最小项,要看表达
    式的具体情况

    标准与或式和真值表的联系

    逻辑函数F = AB + A ‾ \overline{\text{A}} AC的真值表:
    在这里插入图片描述
    由真值表可知,该逻辑函数共有 4 种输入组合,能使输出成立:
    001、011、110、111

    该逻辑函数的最简与或式和标准与或式分别为:

    F = AB + A ‾ \overline{\text{A}} AC
    = ABC + AB C ‾ \overline{\text{C}} C + A ‾ \overline{\text{A}} ABC + AB ‾ \overline{\text{AB}} ABC

    F 的标准与或式由 4 个最小项组成,用 0 表示反变量,1 表示原变量,则能使输出成立的 4 种输入组合,恰好和 4 个最小项一一对应。也就是说, 一个最小项就 对应着真值表上的 一行, 对应着一组确定的输入条件组合。

    真值表上,有 4 种输入组合能使输出为 1,就将这 4 种输入组合所对应的 4
    个最小项相或,从而得到逻辑函数的标准与或式。由此可知, 逻辑函数的真值表和标准与或式是严格对应的,都准确地表达了一个逻辑命题的功能 , 这就是最小项、标准与或式的逻辑含义。

    综上所述:

    • 标准与或式具有唯一性,和该逻辑函数的真值表严格对应 ,代表了逻辑函数的功能 ;
    • 一般式则具有多样性,代表了实现逻辑函数 的电形式的多样性。

    最小项的基本性质

    在这里插入图片描述

    • 在输入的任一种取值下,有且仅有一个最小项的值为1
    • 一个逻辑函数的任意两个最小项之积必为0
    • 一个逻辑函数的全体最小项之和必为1

    最小项的编号

    在这里插入图片描述

    卡诺图的结构规则

    卡诺图上的一个方格就对应着逻辑函数的一个最小项
    在这里插入图片描述

    • 同一个逻辑函数,真值表的输出部分有几个1 ,卡诺图方格内就要填几个1 ,都表示了有几个输入组合能够使输出成立;
    • 逻辑函数的输入变量个数确定了真值表的结构、卡诺图的结构。

    卡诺图的化简原理

    拿四输入卡诺图举例:
    在这里插入图片描述

    注意列写顺序: 00,01,11,10

    A ‾ \overline{\text{A}} AB C ‾ \overline{\text{C}} CD = m5

    在一个最小项标准中,所有跟这一与项逻辑相邻的,只有四种可能:

    • ABC ‾ \overline{\text{ABC}} ABCD = m1
    • A ‾ \overline{\text{A}} AB CD ‾ \overline{\text{CD}} CD = m4
    • A ‾ \overline{\text{A}} ABCD = m7
    • AB C ‾ \overline{\text{C}} CD = m13

    逻辑相邻的意思,就意味着四输入变量中,两个与项相对应,只有一个变量,原变量、反变量不同,剩余三个变量是相同的

    如果将以上五项标在图上:
    在这里插入图片描述
    类似的:
    AB ‾ \overline{\text{AB}} ABC D ‾ \overline{\text{D}} D = m2

    跟这一与项逻辑相邻的:

    • ABCD ‾ \overline{\text{ABCD}} ABCD = m0
    • AB ‾ \overline{\text{AB}} ABCD = m3
    • A ‾ \overline{\text{A}} ABC D ‾ \overline{\text{D}} D = m6
    • A B ‾ \overline{\text{B}} BC D ‾ \overline{\text{D}} D = m10

    在这里插入图片描述
    m0与m2是相邻的,所以整个卡诺图是左右相通的,就想个滚筒一样:
    在这里插入图片描述而一个五输入的卡诺图却是左右对称的:
    在这里插入图片描述
    跟某一项逻辑相邻的,有5种可能:
    在这里插入图片描述
    卡诺图能帮助我们更好地寻找逻辑相邻关系,但是到了五输入时,这一规则被打破了。也就是说,五变量以上的卡诺图就没有太多的使用意义

    与或逻辑函数的卡诺图法化简

    最小项合并规则

    在卡诺图中,凡是相邻的最小项,它们在逻辑上也是相邻的,逻辑相邻,就是指二个最小项中除一个变量的形式不同为互反变量外,其它都是相同的,因此它们可以合并成一个与项,消去其中互反变量

    两个相邻项的合并

    在这里插入图片描述
    首先先把相邻项圈起来,这个圈叫卡诺圈:
    在这里插入图片描述
    每一个卡诺圈表示可以进行一次 吸收定理1:
    二个最小项合并,消去一个互反变量,保留公共变量(两项变一项,谁变干掉谁)

    对于上面的两个圈:

    • A BC ‾ \overline{\text{BC}} BC + A B ‾ \overline{\text{B}} BC = A B ‾ \overline{\text{B}} B
    • A ‾ \overline{\text{A}} AB C ‾ \overline{\text{C}} C + AB C ‾ \overline{\text{C}} C = B C ‾ \overline{\text{C}} C

    再来看看下面这张卡诺图:

    在这里插入图片描述画出卡诺圈:
    在这里插入图片描述
    对这三个圈进行化简:

    • A ‾ \overline{\text{A}} AB C ‾ \overline{\text{C}} CD + AB C ‾ \overline{\text{C}} CD = B C ‾ \overline{\text{C}} CD
    • AB ‾ \overline{\text{AB}} ABCD + A B ‾ \overline{\text{B}} BCD = B ‾ \overline{\text{B}} BCD
    • A ‾ \overline{\text{A}} AB CD ‾ \overline{\text{CD}} CD + A ‾ \overline{\text{A}} ABC D ‾ \overline{\text{D}} D = A ‾ \overline{\text{A}} AB D ‾ \overline{\text{D}} D

    四个相邻项的合并

    刚刚的两个相邻项可以消去1个变量,这里的四个相邻项可以消去2个变量

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    八个相邻项的合并

    有了上面的基础,这里应该就可以知道,八个相邻项可以消3个变量

    在这里插入图片描述
    换句话说就是: 谁不变,就把谁留下

    奇葩相邻项

    看一下这两个圈:
    在这里插入图片描述
    注意!这样画圈是无法化简的!!!

    应该转换成2个两项圈和2个四项圈:
    在这里插入图片描述
    总结:

    • 2”个相邻最小项组成的卡诺圈合并,可以消去n个变量
    • 不存在包含非2"个最小项的卡诺圈
    • 看坐标化简,多项变一项,保留不变的,消去变化的。

    在这里插入图片描述

    用卡诺图表达待化简的逻辑函数

    步骤:

    1. 根据表达式中输入变量个数, 画出卡诺图的结构
    2. 表达式中包含什么样的最小项,在卡诺图对应的方格上填1 ,其余的填0或者不填,就得到了完整的卡诺图

    三种典型情况:

    1. 与或表达式
    2. 标准与或式(最小项标准式、最小项之和)
    3. 其他任何一般表达式

    与或表达式

    [例] F = A ‾ \overline{\text{A}} AB D ‾ \overline{\text{D}} D + AC

    确定为四输入卡诺图:
    在这里插入图片描述
    坐标1表示原变量、0表示反变量,按坐标规定,将与或式中的各个与项逐一填入卡诺图

    先看第一项 A ‾ \overline{\text{A}} AB D ‾ \overline{\text{D}} D,拆项后即 A ‾ \overline{\text{A}} AB D ‾ \overline{\text{D}} D(C+ C ‾ \overline{\text{C}} C):
    在这里插入图片描述
    再来看看第二项AC经过拆项后AC(B+ B ‾ \overline{\text{B}} B)(D+ D ‾ \overline{\text{D}} D):

    在这里插入图片描述

    标准与或式

    在这里插入图片描述即 F = m1 + m4 + m5 + … + m15

    最小项标准式中,最小项编号最大是15 ,说明是四输入逻辑函数,由此得到卡诺图的结构:
    在这里插入图片描述
    根据最小项的排列规律填入最小项:
    在这里插入图片描述

    其他一般表达式

    在这里插入图片描述有了上面的基础,这里很容易就能判断出是四输入:
    在这里插入图片描述
    变形后得到与或式:
    在这里插入图片描述
    填入卡诺图:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    再来看下一道例题:
    在这里插入图片描述这道题也再次证明了化简结果是不唯一的,但化简得长度是唯一的

    在这里插入图片描述对于下面这一题,我们可以找出 F=0的情况,再填入1:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    最终结果如下:
    在这里插入图片描述

    5类逻辑函数的卡诺图法化简

    在这里插入图片描述

    • 其实真正用到卡诺图法的是:
      与或式、或与式以及与或非式

    与非-与非式

    1. 用卡诺图表达出待化简函数,圈“1”得到最简与或式
    2. 与或式两次求反,摩根定律展开一层,得到最简与非-与非式。

    [例] F = AC ‾ \overline{\text{AC}} ACD + AB ‾ \overline{\text{AB}} ABD + A ‾ \overline{\text{A}} ABC + A C ‾ \overline{\text{C}} CD

    在这里插入图片描述

    或与式

    1. 用卡诺图表达出待化简逻辑函数
    2. 图上圈0, 并且,坐标0表示原变量 ,1表示反变量,变量相“或”得到每一个或项(反演定律)
    3. 最后再将所有的或项相“与",得到最简或与式

    [例] F = AC ‾ \overline{\text{AC}} ACD + AB ‾ \overline{\text{AB}} ABD + A ‾ \overline{\text{A}} ABC + A C ‾ \overline{\text{C}} CD

    在这里插入图片描述
    再来看另一题:
    在这里插入图片描述

    或非-或非式

    已知最简或与式,两次求反,再摩根定律展开一层,得到最简或非-或非式。

    在这里插入图片描述利用公式化两次取反:
    在这里插入图片描述

    与或非式

    1. 在卡诺图上圈"0”,求出反函数的最简与或式;
    2. 然后取反,不处理,就得到最简与或非式。

    在这里插入图片描述

    完整总结

    在这里插入图片描述

    具有约束关系的逻辑函数

    • 约束关系:
      输入变量的取值不是任意的,而是有条件的,并不是所有的输入组合都可以出现

    • 具有约束的变量:
      在实际应用中,某些现实条件限制了输入变量的取值,将具有限制关系的一组输入变量称为一组具有约束的变量

    • 具有约束的逻辑函数:
      由具有约束关系的输入变量所决定的逻辑函数,就称为具有约束的逻辑函数

    • 完全描述问题:
      n输入的逻辑函数的2的n次方种输入取值组合下的输出取值都是明确的,这样的逻辑函数就是完全描述问题,其功能与每一个最小项均有关

    • 非完全描述问题:
      具有约束的逻辑函数就是非完全描述问题,其功能只与能够出现的最小项有关

    • 约束项:
      不可能出现的最小项,自然谈不上输出是0还是1

    • 任意项:
      某些最小项出现时输出是1还是0均可,不影响逻辑电路的功能

    • 无关项:
      约束项和任意项统称为无关项,逻辑函数的功能都跟他们无关
      但并不是所有无关项都适合加入,有的无关项加入表达式后,反而会使表达式变得复杂。

    总结:

    • 具有约束关系时,首选卡诺图法化简,保证最简原则
    • 化简结果中要同时写上约束条件
    • 最好将约束条件也做相应化简

    例如,设计一个现实的逻辑电路,用一个指示灯来表示一架电梯的运行状态,从而能估计电梯日常使用频率。设计要求:当电梯在上升和下降时,指示灯点亮,表示电梯正在响应用户的使用要求;而当电梯悬停在某一层时,指示灯灭,表示电梯空闲。

    在这里插入图片描述

    不难发现:这是三条件、一结论的逻辑命题,设输入变量为 A 、 B 、 C ,分别表示电梯处于“上升”、“下降”和“悬停”,输出变量为 F ,表示指示灯点亮。在这个逻辑函数的八种输入取值组合中,能够使输出为 1 的组合只有两个,因此可以简单得到逻辑表达式:

    • F = A BC ‾ \overline{\text{BC}} BC + A ‾ \overline{\text{A}} AB C ‾ \overline{\text{C}} C

    同时,因为一些现实因素的限制,输入变量的某些取值组合永远不可能出现

    电梯是不可能同时一边上升、一边下降的,也不可能一边上升、一边停止,
    同样,也不可能既不上升、又不下降。也不停止。

    以此类推,逻辑函数有五种输入组合是永远不可能出现,自然谈不上在这些输入组合下,输出取值为:

    • ABC ‾ \overline{\text{ABC}} ABC = m0
    • A ‾ \overline{\text{A}} ABC = m3
    • A B ‾ \overline{\text{B}} BC = m5
    • AB C ‾ \overline{\text{C}} C = m6
    • ABC = m7

    这就是该命题所包含的约束关系

    此外,理论上还有一种情况,就是在输入变量的某些最小项出现(即对应的
    输入组合出现)时,输出函数值是 1 还是 0 均可,不影响逻辑电路的功能,这样的最小项称为任意项

    • 如果是约束项,则意味着不可能出现的最小项,那么谈不上输出是1 还是0
    • 如果是任意项,则输出无所谓 1 还是 0

    不论是约束项还是任意项,逻辑函数的功能都跟它们无关,因此, 约束项和任意项统称为无关项

    既然约束项和任意项最终对输出造成的影响是类似的,一般不对它们做过于
    绝对的区分,具有这种特点的逻辑函数统称为 具有无关项的逻辑函数,或者称为具有约束关系的逻辑函数,两者是一个概念

    约束关系的理解和表述

    • 约束关系的表述:
      约束表达式限制了什么样的输入组合出现,把它们总结起来,就是约束关系的语言表达。

    • 约束关系的数学化:
      将一个现实的逻辑约束所限制的输入组合用表达式总结出来。

    BC ‾ \overline{\text{BC}} BC = 0
    B、C不能同时为0

    BC = 0:
    B、C不能同时为1

    BC ‾ \overline{\text{BC}} BC = 1:
    B、C取值必为00
    B、C中不能有1

    B + C = 1:
    B、C不能同时为0

    波形图

    以时间为横轴,画出一个逻辑函数的输入、输出变量对应变化的波形,从而形成输入信号和输出信号的对应图形,即逻辑电路的波形图

    在这里插入图片描述

    波形图的整体分析法

    1.将3个输入波形的所有变化点标记出来,这也就是输出波形可能的变化点。

    2.以整体分析的方式画输出波形(似于真值表的列写过程,切忌从头到属地逐个片段画)

    F = A + BC

    在这里插入图片描述
    找出A和BC分别为1时的对应段,那么剩下的都是0:
    在这里插入图片描述

    组合逻辑电路分析和设计基础

    五个逻辑函数的表示工具

    1. 真值表
    2. 逻辑表达式
    3. 卡诺图
    4. 逻辑电路图
    5. 波形图

    各种表示工具的相互转化

    由逻辑表达式转换为其他工具

    在这里插入图片描述

    其他工具转化为逻辑表达式

    在这里插入图片描述

    真值表转化为电路图

    在这里插入图片描述

    电路图转化为真值表

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

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  • 我们只是将信将疑的用着,并不知道大O表示法的准确含义,今天博主李同学就想=查阅各方资料进行详细地讲解。 大O表示法的定义 根据Big O notation(大O表示法)维基百科的描述: 大O表示法的字母O是函数的增长率,也被...

    大O表示法的背景

    作为软件工程专业的学生,在我们学习数据结构的时候,总是会碰见对各种算法时间复杂度和空间复杂度的大O表示法的描述。我们只是将信将疑的用着,并不知道大O表示法的准确含义,今天博主李同学在查阅各方资料后进行详细地讲解。

    大O表示法的定义

    根据Big O notation(大O表示法)维基百科的描述:

    大O表示法的字母O是函数的增长率,也被称为函数的阶数,即字母O代表Order(阶数)。用大O符号描述函数通常只提供函数增长率的一个上界。
    设f是实或复值函数,g是实值函数,它们都定义在实正数的无界子集上,使得g(x)对于所有足够大的x都为正数,那么我们称:当x趋向于无穷大时,f(x)=O(g(x))。
    另外,对于所有足够大的x值,f(x)的绝对值最多是g(x)的正常数倍。即f(x) = O(g(x))有且仅有一个实数M和一个实数x0使得:对于所有x≥x0的x,|f(x)|≤Mg·(x)恒成立。

    在典型的用法中,O符号是渐近的,也就是说,它指的是非常大的x。因此,可以应用以下简化规则:如果f(x)是几个项的和,如果有一个增长率最大的项,它可以保留,其他项都可以省略。
    如果f(x)是几个因子的乘积,任何常数(乘积中不依赖于x的项)都可以省略。
    例如,让f(x) = 6x4 - 2x3 + 5,假设我们想要简化这个函数,用大O表示法来描述x趋于无穷时的增长率。这个函数是三项的和:6x4, 2x3和5。在这三项中,增长率最高的是指数最大的x,即6x4。现在我们可以应用第二个规则:6x4是6和x4的乘积,其中第一个因子不依赖于x,省略这个因子就得到了简化形式x4。因此,我们说f(x)是(x4)的Big O。数学上,我们可以写成f(x) = O(x4)可以用形式定义来确认这个计算:令f(x) = 6x4-2x3 + 5, g(x) = x4。应用一个正式定义,f(x) = O(x4)等于它的展开式|f(x)|≤MX4,其中M是一个常数。对于某些合适的x0和M以及所有的x >x0。为了证明这一点,令x0 = 1, M = 13。然后,对于所有的x > x0
    在这里插入图片描述
    因此,我们说:|6x4-2x3 + 5|≤13x4
    而这个表达式用大O表示法,可写成:(6x4-2x3 + 5)=O(x4)

    大O表示法与小o表示法的区别

    如果你上过高等数学的课程,你一定对小o表示法不陌生,下面是高阶无穷小,也就是小o表示法的定义:

    设为an和bn为两个序列的数,而且都是n趋近于无穷时的无穷小量。虽然它们在n趋近于无穷时都趋于零,但趋于零的速度是有区别的。
    可以用如下方式比较它们的速度:
    若对于任意正实数c>0,存在正整数N,在k>N时,使得ak<c·bk总是成立,则称:当n趋近于无穷时,an=o(bn),即an是bn的高阶无穷小。
    在上述定义中,也可以说无穷小量an的阶要比bn的要高,或者说an比bn更快地趋于零,尽管在此时“阶”或者“速度”本身其实都没有明确的定义。

    通过上述我对小o表示法的讲解后,我们再看看维基百科中对大O表示法与小o表示法区别的描述:

    符号名字描述公式定义
    在这里插入图片描述大O表示法f渐近地以g为界在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述小o表示法f渐近地被g控制公式定义

    由这个对比表格,我们可以清楚地知道:
    大O表示法f(n)=O(g(n))中的f(n)是g(n)的等阶无穷大或者是同阶无穷大。
    小O表示法f(n)=o(g(n))中的f(n)是g(n)的高阶无穷小。

    展开全文
  • 本章将在一元函数微分学的基础上,讨论多元函数的微分及其应用。讨论中,我们主要以二元函数为主,因为从一元函数到二元函数会产生许多新问题,而从二元函数到二元以上的函数则可以类推。 建议同学们在学习中,...

空空如也

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函数的概念及表示法