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  • 设椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,点P(x0,y0)在椭圆上,则过点P的椭圆的切线方程为(x·x0)/a^2 + (y·y0)/b^2=1在实际应用中,只需将对应的x0,y0代入即可得到椭圆在某一个具体点的切线方程。扩展资料利用解析几何的...

    设椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,点P(x0,y0)在椭圆上,则过点P的椭圆的切线方程为(x·x0)/a^2 + (y·y0)/b^2=1

    在实际应用中,只需将对应的x0,y0代入即可得到椭圆在某一个具体点的切线方程。

    扩展资料

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    利用解析几何的方法求椭圆的切线方程的步骤为:

    设C:((x^2)/(a^2))+((y^2)/(b^2))=1-----式1;

    (a^2)-(b^2)=(c^2);

    F1(-c,0);F2(c,0);P(xp,yp)

    AB:(y-yp)=k(x-xp)=>y=kx+(yp-kxp);令m=yp-kxp=>AB:y=kx+m-----式2;

    联立式1和式2消去y得:((k^2)+((b^2)/(a^2)))(x^2)+2kmx+((m^2)-(b^2))=0;

    因为直线AB切椭圆C于点P,所以上式只有唯一解,则:

    4((km)^2)-4((k^2)+((b^2)/(a^2)))((m^2)-(b^2))=0=>m^2=((ak)^2)+(b^2);

    m^2=(yp-kxp)^2=((yp)^2)+((kxp)^2)-2kxpyp=((ak)^2)+(b^2);

    =>((a^2)-(xp^2))(k^2)+2xpypk+((b^2)-(yp^2));

    由根的判别式得:4((xpyp)^2)-4((a^2)-(xp^2))((b^2)-(yp^2))=0;

    所以k值有唯一解:k=(-2xpyp)/(2((a^2)-(xp^2)))=-xpyp/((a^2)-(xp^2));

    由式1得:(a^2)-(xp^2)=(ayp/b)^2=>k=-(xp(b^2))/(yp(a^2));

    m=yp-kxp=(((ypa)^2)+((xpb)^2))/(yp(a^2))=((ab)^2)/(yp(a^2))=(b^2)/yp;

    设A0F1、B0F2分别过F1、F2垂直AB于A0、B0;

    A0F1:(y-0)=(-1/k)(x+c)=>x+ky+c=0-----式3;

    联立式2和式3消去y得:x=-(km+c)/((k^2)+1);

    联立式2和式3消去x得:y= (m-kc)/((k^2)+1);

    则:A0:(-(km+c)/((k^2)+1),(m-kc)/((k^2)+1))

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  • 不学无数长按二维码识别下载本文电子稿导数的几何意义研究函数切线问题不学无数长按二维码识别下载本文电子稿01高三2020年高考真题汇编(立体几何)||2020全国高考(全国卷I,II,III)立体几何真题汇编【高三】||高三提优...

    不学无数

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    导数的几何意义研究函数切线问题

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  • 切线方程与数列

    2017-11-21 19:20:00
    例1【2016•德州模拟】 函数\(y=x^2(x>0)\)的图像在点\((a_k,a_k^2)\)处的切线\(x\)轴交点的横坐标为\(a_{k+1}\), ...分析:由\(f'(x)=2x\)得,在点\((a_k,a_k^2)\)处的切线方程为\(y-a_k^2=2a_k(x-a...

    例1【2016•德州模拟】

    函数\(y=x^2(x>0)\)的图像在点\((a_k,a_k^2)\)处的切线与\(x\)轴交点的横坐标为\(a_{k+1}\)

    其中 \(k\in N*\),若\(a_1=16\),则\(a_1+a_3+a_5\)的值是________.

    分析:由\(f'(x)=2x\)得,在点\((a_k,a_k^2)\)处的切线方程为\(y-a_k^2=2a_k(x-a_k)(k\in N*)\)

    \(y=0\),得到切线方程与\(x\)轴的交点的横坐标为\(x=\cfrac{a_k}{2}\)

    \(a_{k+1}=\cfrac{a_k}{2}\),即\(\cfrac{a_{k+1}}{a_k}=\cfrac{1}{2}\)

    故数列\(\{a_k\}\)是首项为\(a_1=16\),公比为\(\cfrac{1}{2}\)的等比数列,

    \(a_1+a_3+a_5=16+16\cdot (\cfrac{1}{2})^2+16\cdot (\cfrac{1}{2})^4=21\)

    总结:1、求在点处的切线方程;2、等比数列

    例2【】

    对正整数\(n\),设曲线\(y=(2-x)x^n\)\(x=3\)处的切线与\(y\)轴交点的纵坐标为\(a_n\),则数列\(\{\cfrac{a_n}{n+2}\}\)的前\(n\)项和为________。

    分析:由于\(y=(2-x)x^n\),则\(y'=-x^n+n(2-x)x^{n-1}\)

    \(y'|_{x=3}=-3^n-n3^{n-1}=-3^{n-1}(n+3)\)

    故切线方程为\(y+3^n=-3^{n-1}(n+3)(x-3)\)

    \(x=0\),得到切线与\(y\)轴的交点的纵坐标为\(a_n=(n+2)3^n\)

    \(\cfrac{a_n}{n+2}=3^n\),为等比数列,

    故数列\(\{\cfrac{a_n}{n+2}\}\)的前\(n\)项和为\(S_n=\cfrac{3(1-3^n)}{1-3}=\cfrac{3^{n+1}-3}{2}\)

    例3【】

    对正整数\(n\),设曲线\(y=(1-x)x^n\)\(x=2\)处的切线与\(y\)轴交点的纵坐标为\(a_n\),则数列\(\{\cfrac{a_n}{n+1}\}\)的前\(n\)项和\(T_n\)为________。

    提示:\(T_n=2^{n+1}-2\),仿上例完成。

    分析:\(y=f(x)=x^n(1-x)=x^n-x^{n+1}\),则\(f'(x)=nx^{n-1}-(n+1)x^n\)

    \(k=f'(2)=n2^{n-1}-(n+1)2^n=n2^{n-1}-(n+1)2^{n-1}\cdot 2=n2^{n-1}-(2n+2)2^{n-1}=2^{n-1}(n-2n-2)=-(n+2)\cdot 2^n\)

    又切点为\((2,-2^n)\),则切线方程为\(y-(-2^n)=-(n+2)2^n(x-2)\)

    \(x=0\),得到切线与\(y\)轴交点的纵坐标\(y=(n+1)2^n=a_n\)

    \(b_n=\cfrac{a_n}{n+1}=2^n\),数列\(\cfrac{a_n}{n+1}\)的前\(n\)项和为\(T_n=2+2^2+2^3+\cdots+2^n=\cfrac{2(2^n-1)}{2-1}=2^{n+1}-2\)

    例4【2015\(\cdot\)高考安徽卷】

    \(n\in N^*\)\(x_n\)是曲线\(y=x^{2n+2}+1\)在点\((1,2)\)处的切线与\(x\)轴交点的横坐标。

    (1)、求数列\(\{x_n\}\)的通项公式。

    分析:\(y'=(x^{2n+2}+1)'=(2n+2)x^{2n+1}\)

    则曲线\(y=x^{2n+2}+1\)在点\((1,2)\)处的切线斜率为\(2n+2\)

    从而切线方程为\(y-2=(2n+2)(x-1)\),令\(y=0\)

    解得切线与\(x\)轴交点的横坐标\(x_n=1-\cfrac{1}{n+1}=\cfrac{n}{n+1}\)

    所以数列\(\{x_n\}\)的通项公式为\(x_n=\cfrac{n}{n+1}\)

    (2)、记\(T_n=x_1^2x_3^2\cdots x_{2n-1}^2\),证明:\(T_n\ge \cfrac{1}{4n}\)

    分析:由题设和(1)中的计算结果可知,

    \(T_n=x_1^2x_3^2\cdots x_{2n-1}^2=(\cfrac{1}{2})^2\cdot (\cfrac{3}{4})^2\cdots (\cfrac{2n-1}{2n})^2\)

    \(n=1\)时,\(T_1=\cfrac{1}{4}\)

    \(n\ge 2\)时,由于\(x_{2n-1}^2=(\cfrac{2n-1}{2n})^2=\cfrac{(2n-1)^2}{(2n)^2}\)

    \(>\cfrac{(2n-1)^2-1}{(2n)^2}=\cfrac{2n-2}{2n}=\cfrac{n-1}{n}\)

    \(x_1^2=(\cfrac{1}{2})^2\)

    \(x_3^2> \cfrac{1}{2}\)

    \(x_5^2> \cfrac{2}{3}\)

    \(\cdots\)

    \(x_{2n-3}^2> \cfrac{n-2}{n-1}\)

    \(x_{2n-1}^2> \cfrac{n-1}{n}\)

    所以,\(T_n>(\cfrac{1}{2})^2\times \cfrac{1}{2}\times \cfrac{2}{3}\times \cdots \times \cfrac{n-2}{n-1}\times\cfrac{n-1}{n}=\cfrac{1}{4n}\)

    综上可知,对任意的\(n\in N^*\),均有\(T_n\ge \cfrac{1}{4n}\)

    例5【2019\(\cdot\)高三理科数学资料用题】

    对于每一个正整数\(n\),设曲线\(y=x^{n+1}\)在点\((1,1)\)处的切线与\(x\)轴的交点的横坐标为\(x_n\),令\(a_n=lgx_n\),则\(a_1+a_2+\cdots+a_{99}\)=_____________。

    分析:\(y'=(n+1)x^n\),则曲线在点\((1,1)\)处的切线的斜率为\(k=n+1\)

    则切线方程为\(y-1=(n+1)(x-1)\)

    \(y=0\),得到\(x_n=\cfrac{n}{n+1}\)

    \(a_n=lgx_n=lg\cfrac{n}{n+1}\)

    所以\(a_1+a_2+\cdots+a_{99}=lg(\cfrac{1}{2}\times \cfrac{2}{3}\times\cfrac{3}{4}\times\cdots\times\cfrac{99}{100})\)

    \(=lg \cfrac{1}{100}=-2\)

    转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/7874937.html

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  • 切线方程和法线方程

    万次阅读 2018-01-12 23:36:48
    函数y=f(x)y = f(x)在点x0x_0处的导数f′(x0)f'(x_0)在几何上表示曲线y=f(x)y = f(x)在点M(x0,f(x0))M(x_0, f(x_0))处的切线的斜率,即f′(x0)=tanαf'(x_0) = \tan \alpha其中α\alpha是切线的倾角. 根据导数的...

    函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数 f(x0) 在几何上表示曲线 y=f(x) 在点 M(x0,f(x0)) 处的切线的斜率,即

    f(x0)=tanα
    其中 α 是切线的倾角.

    根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程,可知曲线 y=f(x) 在点 M(x0,y0) 处的切线方程

    yy0=f(x0)(xx0)

    过切线

    M(x0,y0)
    且与切线垂直的直线叫做曲线 y=f(x) 在点 M 处的法线.如果f(x0)0,法线的斜率为 1f(x0) ,从而 法线方程
    yy0=1f(x0)(xx0)

    切线斜率法线斜率相乘等于 1

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  • 对于某些问题,一次导数也无法解决,比如变速直线运动的速度v(t)是位置函数s(t)对时间的导数: v = ds/dt 而加速度a又是速度v对时间t的变化率,即 a = dv/dt 想求出a,必须先求出v,再对v求导: a = d(ds/dt)...
  • 切线方程

    万次阅读 2019-11-19 22:46:45
    切线方程是研究切线以及切线的斜率方程,涉及几何、代数、物理向量、量子力学等内容。是关于几何图形的切线坐标向量关系的研究。分析方法有向量法和解析法。 定义 切线方程是研究切线以及切线的斜率方程。 方程...
  • 识别二维码下载材料【答案】识别二维码下载材料01高三高三专题||...||专题:含参数导数的专题问题高三||【专题】导数的几何意义研究函数切线问题2020年高考真题汇编(立体几何)||2020全国高考(全国卷I,II,III)立体...
  • 轨迹方程就是几何轨迹对应的代数描述。中文名轨迹方程概括几何轨迹对应的代数描述及求法轨迹方程定义编辑符合一定条件的动点所形成的图形,或者说,符合一定条件的点的全体所组成的集合,叫做满足该条件的点的轨迹...
  • 识别二维码,下载材料材料内容:适合范围:01高三【高三】||专题:导数在研究函数单调性中的应用【高三】||专题:含参数导数的专题问题高三||【专题】导数的几何意义研究函数切线问题2020年高考真题汇编(立体几何)|...
  • 方程,线性方程和二次方程都比较好求解,其他非线性方程就比较困难,那怎么去求呢? 求根如果可以还是交给计算机吧。 ----- alexwang 对方程进行恒等变形 大概估计初始值是1.5,1.5设为初值...
  • C语言 一元三次方程 二分法 切线

    千次阅读 2018-04-05 22:20:30
    这其中也有别的原因的,高中时候也研究过一元三次方程,但是当时绞尽脑汁也没有想出求解的办法,只是找出了三个根之间的关系,于是很不甘心,之后虽然也百度到了解答,但是由于步骤太过复杂冗长导致完全看不进去,...
  • 不学无数高三复习三角函数专题训练长按二维码识别下载电子稿(下载问题,下方留言)高三复习三角函数专题训练专题训练不学无数高三复习三角函数专题训练长按二维码识别下载电子稿(下载问题,下方留言)【历次试卷下载...
  • 线性回归(Linear regression)是利用回归方程(函数)对一个或多个自变量(特征值)和因变量(目标值)之间关系进行建模的一种分析方式。 特点:只有一个自变量的情况称为单变量回归,多于一个自变量情况的叫做多元回归 ...
  • 函数表示两个变量和之间的对应关系,其特点是:等号左端是因变量,而右端是含有自变量的表达式。用这种方式表示的函数叫做显函数。 2、隐函数的概念 在二元方程中,当取区间内的任一值时,相应地总有满足该方程的...
  • 目标:理解求方程近似解的二分法、简单迭代法和牛顿迭代法,学会MATLAB内部函数roots、sovle、fsolve、fzero求解方程,并用之解决实际问题。 求方程近似解的简单方法 不存在解析解的方程就需要结合具体方程函数...
  • 中学数学函数(参数、极坐标)和方程曲线绘制软件。特点:操作简单,接近书写,运算快速,对图象的完全控制,可转换为元文件和位图文件。在数学学习和教学上非常实用。
  • 用牛顿切线法求解非线性方程的近似解 注意初始值x0的选定很重要 Explain Code #include using namespace std; typedef long long ll; double x = 1.0;///初始值(自行调整) double eps = 0.00005;///误差(自行调整...
  • 函数的可导性连续性之间的关系4.平面曲线的切线和法线5.四则运算法则6.基本导数微分表7.复合函数,反函数,隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法8.常用高阶导数公式9.微分中值定理,泰勒公式10.洛必达法则11....
  • DAY 4. 这世上总要有个明白人,...这种方程里面y是x的函数,但是不显性。 例题1 设 y=y(x),y2−2xy+9=0y = y(x), y^2 - 2xy +9 = 0y=y(x),y2−2xy+9=0 求 dydx\frac{d_y}{d_x}dx​dy​​ 解:方程两边同时对x求导得 2y
  • 下面给出了两种方法求解非线性方程零点的程序,即求解: f(x)=0 f(x)=0f(x)=0...迭代公式为mk=ak+0.618(bk−ak)m_{k}=a_{k}+0.618\left(b_{k}-a_{k}\right)mk​=ak​+0.618(bk​−ak​)若f(ak)f(a_k)f(ak​)f(mk)f
  • 想必单独论及“ 梯度、Hessian矩阵、平面方程的法线以及函数导数”等四个基本概念的时候,绝大部分人都能够很容易地谈个一二三,基本没有问题。 其实在应用的时候,这几个概念经常被混淆,本文试图把这几个概念...
  • 1. 问题引入——很多现实问题的解决归结于求解方程方程的根又称函数的零点) 2. 五次及五次以上的代数方程不存在一般形式的根式解 3. 求方程的根分为两种情形:求精确根及近似根;近似根的求解方法——...

空空如也

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函数与切线方程的关系