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  • 要理解如何将取样后的数据还原回原函数,一定要先再默念一遍傅里叶大法:时域的乘积等于频域的卷积;频域的卷积等于时域的乘积;时域做傅里叶变换到频域;频域可以做傅里叶变换再返回时域;好了,有了上面两点。任...

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    一日夫妻百日恩,床头吵架床尾和。

    要理解如何将取样后的数据还原回原函数,一定要先再默念一遍傅里叶大法:

    • 时域的乘积等于频域的卷积;频域的卷积等于时域的乘积;
    • 时域做傅里叶变换到频域;频域可以做傅里叶反变换再返回时域;

    好了,有了上面两点。任你东南西北风,不管镜子碎成什么样,都可以复原。

    提取频域内的一个周期

    再把取样定理的一张图搬出来:

    8e1fc322fe5b4b296b2f86f535c5ffea.png
    使用一个理想低通滤波器提取一个带限函数的变换的一个周期
    • 为原函数,
      为原函数
      的傅里叶变换;
    • 为取样后函数,
      为取样后函数
      的傅里叶;
    • 为频域内的一个带通滤波器;
    • ,用带通滤波器又截取了
      的一个周期;

    (前提条件是这些步骤要满足2倍最大频率的采样定律)

    傅里叶反变换

    好了,如果我们知道

    ,那么如何求
    我相信大家都门清。傅里叶反变换回去就可以了。

    现在我们不知道

    ,不过我们知道
    啊,套用以下频率相乘等于时域卷积定理:

    这样,我们只要知道

    就好了。

    是一个
    函数

    卷积公式:

    得到

    完美!

    展开全文
  • 第四节 反函数的导数 基本初等函数的求导公式   一、 反函数的导数 法则5(反函数的求导法则)如果函数在区间内单调连续,且在该区间内处处有不等于0的导数,那么它的反函数在相应区间内也处处可导,即存在,...

    第四节  反函数的导数  基本初等函数的求导公式

     

    一、  反函数的导数

    法则5(反函数的求导法则)如果函数在区间内单调连续,且在该区间内处处有不等于0的导数,那么它的反函数在相应区间内也处处可导,即存在,并且

                        

    也可写为               

    或                      

    这个等式还可以简单地说成反函数的导数等于原来函数的导数的倒数.

    例1 求指数函数的导数.

    解 的反函数,函数在区间内单调连续,且,因此根据反函数的求导法则,可得,

    所以               

    即                

    特别地,当时,有       

    这表明,以为底的指数函数的导数就是它本身,这是以为底的指数函数的一个重要特性.

    例2 求函数+的导数.

      

          

    例3 推导幂函数(其中为任意实数)的求导公式.

      利用对数的性质,我们将函数写成指数形式

    则由复合函数的求导法则,有

    例4 求函数的导数

     当时,的反函数是

    而            

                  

    所以           

    即             

    同样可证:

       

                  

    例5 求函数的导数

     

    例6 求函数的导数

     

    =

     

    二、基本初等函数求导公式表

            下面我们分别列表给出基本初等函数的求导公式和函数的求导法则

     

     

     

    表2-1  基本初等函数的求导公式

    (1)

       (C为常数)

    (9)

    (2)

    (10)

    (3)

    (11)

    (4)

    (12)

    (5)

    (13)

    (6)

    (14)

    (7)

    (15)

    (8)

    (16)

    表2-2   求导法则

       (1)

     

    (5)

    ,则复合函数的求导法则为

    (2)

    (3)

    (4)

    (6)

    单调连续函数具有反函数,则

     

    例7 求下列函数的导数:

    (1) ;                 (2) ;

    (3)  ;            (4)  .

        解 (1) 

                

       (2) 

       (3) 

            

       (4) 

            

            

            

    例8 一物体的运动方程为(其中a和b为常数),求物体在时的速度.

        解  因为

            所以

                 

                 

                 

           当时,得

             

              

                                

    习题2-4

     

    1.     求下列函数的导数:

    (1) ;                     (2) ;

    (3) ;                        (4) ;

    (5) ;                        (6) ;   

    (7) ;                       (8) ;     

                 (9) ;                   (10) ;

    (11) ;                      (12) ;

    (13)  ;  (14) ;

    (15) ;                 (16) ;

                 (17) ;                     (18) ;

    (19) ;                  (20) 

        2. 求下列函数在给定点处的导数:

         (1)  , 在x=1 ;

         (2) , 在 .

    3. 求曲线上横坐标处的切线方程和法线方程.

    4. 曲线上哪一点的切线平行于x轴? 求这切线的方程.

    5. 已知质点上作简谐运动时的运动方程为其中A为振幅,T为周期,求在时质点的运动速度.


    from: http://www.shuxuecheng.com/gaosuzk/content/lljx/wzja/2/2-4.htm

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  • 之前对三角函数的理解仅局限于sin,cos,tan。但是目前遇到的都是些csc,sec,cot,arctan,arccos,arcsin。积分和求导还有一堆公式 最近看到了一个六边形记忆法,更加简便。

    之前对三角函数的理解仅局限于sin,cos,tan。但是目前遇到的都是些csc,sec,cot,arctan,arccos,arcsin。积分和求导还有一堆公式
    最近看到了一个六边形记忆法,更加简便。

    1.倒三角:
    sin²+cos²=1
    tan²+1=sec²
    1+cot²=csc²
    2.对角线倒数
    3.临点积
    tan*cos=sin
    sin*cot=cos
    4.求导:左三角导数正,右三角导数负
    上互换:
    sin'=cos
    cos'=-sin
    中下2:
    tan'=sec²
    cot'=-csc²
    下中下:
    sec'=tan*sec
    csc=-cot*csc
    5.求积分:
    sec积分:ln|sec+tan|+C
    csc积分:-ln|csc+cot|+C
    

    在这里插入图片描述

    1.三角函数及其倒数

    sin(x)和csc(x)

    在这里插入图片描述

    cos(x)和sec(x)

    在这里插入图片描述

    tan(x)和cot(x)

    在这里插入图片描述

    分析其特点:

    在这里插入图片描述
    这几个三角函数两两之间是倒数的关系。
    他们共同特点:
    1.在同一点处他们函数值相乘为1
    他们有共同交点在y=1和y=-1这两条直线上
    2.在同一区间他们同号。
    其中一个函数->0+,那么另一个函数->+无穷
    其中一个函数->0-,那么另一个函数->-无穷
    3.在y=1和y=-1处对应的x坐标记为a。
    在a的左右邻域他们增减性相反

    2.三角函数及其反函数

    sin(x)和arcsin(x)

    注:
    正弦函数y=sinx,x∈R因为在整个定义域上没有一一对应关系,所以不存在反函数。
    反正弦函数对这样一个函数y=sinx,x∈[-π/2,π/2]成立,这里截取的是正弦函数靠近原点的一个单调区间。y=arcsinx 的定义域:[-1,1],值域:[-π/2,π/2]
    在这里插入图片描述

    cos(x)和arccos(x)

    y=cosx,x∈R因为在整个定义域上没有一一对应关系,所以不存在反函数。
    arccos(x)对这样一个函数y=cosx,x∈[0,π]成立,这里截取的是余弦函数靠近原点的一个单调区间,arccosx 值域是 :[0,π],定义域[-1,1]。

    在这里插入图片描述

    tan(x)和arctan(x)

    注:
    由于正切函数y=tanx在定义域R上不具有一一对应的关系,所以不存在反函数。

    选取正切函数的一个单调区间。而由于正切函数在开区间(-π/2,π/2)中是单调连续的,因此,反正切函数是存在且唯一确定的。arctanx的值域是:(-π/2,π/2)。

    在这里插入图片描述

    分析其特点

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    他们的特点其实就是原函数和反函数的特点,
    关于y=x对称。函数与其反函数在其对应区间内单调性相同。

    3.python画图源代码

    画图及坐标配置请参考matplotlib官方网站:https://matplotlib.org/gallery/index.html

    import matplotlib.pyplot as plt
    plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] # 用来正常显示中文标签
    plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False # 用来正常显示负号
    
    #import pandas as pd
    import numpy as np
    from mpl_toolkits.axisartist.axislines import SubplotZero
    import numpy as np
    from matplotlib.ticker import MultipleLocator, FuncFormatter
    
    fig = plt.figure(1, (10, 6))
    
    ax = SubplotZero(fig, 1, 1, 1)
    fig.add_subplot(ax)
    
    """新建坐标轴"""
    ax.axis["xzero"].set_visible(True)
    #ax.axis["xzero"].label.set_text("新建y=0坐标")
    #ax.axis["xzero"].label.set_color('green')
    ax.axis['yzero'].set_visible(True)
    # ax.axis["yzero"].label.set_text("新建x=0坐标")
    
    # 新建一条y=2横坐标轴
    #ax.axis["新建1"] = ax.new_floating_axis(nth_coord=0, value=1,axis_direction="bottom")
    #ax.axis["新建1"].toggle(all=True)
    #ax.axis["新建1"].label.set_text("y = 1横坐标")
    #ax.axis["新建1"].label.set_color('blue')
    
    """坐标箭头"""
    ax.axis["xzero"].set_axisline_style("-|>")
    ax.axis["yzero"].set_axisline_style("-|>")
    
    
    """隐藏坐标轴"""
    # 方法一:隐藏上边及右边
    # ax.axis["right"].set_visible(False)
    # ax.axis["top"].set_visible(False)
    #方法二:可以一起写
    ax.axis["top",'right'].set_visible(False)
    # 方法三:利用 for in
    # for n in ["bottom", "top", "right"]:
    #  ax.axis[n].set_visible(False)
    
    
    
    
    x = np.arange(-2*np.pi, 2*np.pi, 0.01)
    def pi_formatter(x, pos):
        """ 
        将数值转换为以pi/4为单位的刻度文本 
        """
        m = np.round(x / (np.pi / 4))
        n = 4
        if m % 2 == 0: m, n = m / 2, n / 2
        if m % 2 == 0: m, n = m / 2, n / 2
        if m == 0:
            return "0"
        if m == 1 and n == 1:
            return "$\pi$"
        if n == 1:
            return r"$%d \pi$" % m
        if m == 1:
            return r"$\frac{\pi}{%d}$" % n
        return r"$\frac{%d \pi}{%d}$" % (m, n)
    
    
    # 设置两个坐标轴的范围
    plt.ylim(-3 , 3)
    plt.xlim(-2*np.pi, np.max(x))
    
    # 设置图的底边距
    plt.subplots_adjust(bottom=0.15)
    
    plt.grid()  # 开启网格
    
    # 主刻度为pi/4
    ax.xaxis.set_major_locator(MultipleLocator(np.pi / 4))
    
    # 主刻度文本用pi_formatter函数计算
    ax.xaxis.set_major_formatter(FuncFormatter(pi_formatter))
    
    # 副刻度为pi/20
    ax.xaxis.set_minor_locator(MultipleLocator(np.pi / 20))
    
    # 设置刻度文本的大小
    for tick in ax.xaxis.get_major_ticks():
        tick.label1.set_fontsize(16)
    
    """设置刻度
    ax.set_ylim(-3, 3)
    ax.set_yticks([-1,-0.5,0,0.5,1])
    ax.set_xlim([-5, 8])
    """
    
    # ax.set_xticks([-5,5,1])
    
    #设置网格样式
    ax.grid(True, linestyle='-.')
    
    '''
    
    ax.plot(x, 1/np.sin(x),color='lightskyblue', label="$csc(x)$")
    ax.plot(x, np.sin(x),color='red', label="$sin(x)$")
    
    ax.plot(x, np.cos(x),color='orange', label="$cos(x)$")
    ax.plot(x, 1/np.cos(x),color='green', label="$sec(x)$")
    
    
    ax.plot(x, np.sin(x)/np.cos(x),color='orange', label="$tan(x)$")
    ax.plot(x, np.cos(x)/np.sin(x),color='skyblue', label="$cot(x)$")
    
    '''
    
    
    ax.plot(x, x,color='black', label="$y=x$")
    
    x3 = np.arange(-np.pi/2, np.pi/2, 0.01)
    ax.plot(x, np.sin(x),color='red', label="$sin(x)$")
    ax.plot(x3, np.sin(x3),color='green', label="$sin(x),x∈[-π/2,π/2]$")
    ax.plot(np.sin(x3), x3 ,color='blue', label="$arcsin(x)$")
    
    x2 = np.arange(0, np.pi, 0.01)
    ax.plot(x, np.cos(x),color='green', label="$cos(x)$")
    ax.plot(x2, np.cos(x2),color='red', label="$cos(x),x∈[0,π]$")
    ax.plot(np.cos(x2), x2 ,color='brown', label="$arccos(x)$")
    '''
    x4=np.arange(-np.pi/2, np.pi/2, 0.01)
    ax.plot(x, np.tan(x),color='red', label="$tan(x)$")
    ax.plot(x4, np.tan(x4),color='green', label="$tan(x),x∈(-π/2,π/2)$")
    ax.plot(np.tan(x4), x4 ,color='blue', label="$arctan(x)$")
    '''
    plt.legend()
    plt.show()
    # 存为图像
    # fig.savefig('test.png')
    
    
    展开全文
  • 如图,矩形左下角O为坐标原点,A为x正轴上一点,C为y正轴上一点,比例函数的图像矩形OABC的边AB交于E点,BC交于D点。已知三角形ODE的面积为5,且线段BD长度为线段CD的一半,求比例函数xy=k的常数k。 我一...

    昨天下午,我正在看书,娃过来说“老爸,考你个数学题看你会不会啊”,我一想不过是九年级的数学题而已,岂能难的倒我,于是欣然答应。

    题目如下:

    如图,矩形左下角O为坐标原点,A为x正轴上一点,C为y正轴上一点,反比例函数的图像与矩形OABC的边AB交于E点,与BC交于D点。已知三角形ODE的面积为5,且线段BD长度为线段CD的一半,求反比例函数xy=k的常数k。

    我一看哈哈大笑,这题so easy啊,直接做辅助线OD、OE、DE,如图

    然后假设E点坐标为(x,y),那么D点坐标为(2x/3,3k/2x),三角形ODE的面积=梯形OABD的面积-三角形BDE的面积-三角形OAE的面积,计算如下:

    娃看了也哈哈大笑,说你这方法太笨了,数还这么难计算,很容易出错。看我们老师的方法,直接设B点坐标为(3m,3n),那么D点坐标为(2m,3n),E点坐标为(3m,2n),计算如下:

    然后根据E点可以知道3m与2n的乘积为k,也就是6mn=k=12。

    我:那不对,凭啥要定义B点坐标为(3m,3n)呢?

    娃:因为连接DE和矩形对角线CA,那么CA//DE,这两条直线平行。

    我:这有啥依据呢?

    娃:老师说可以先记住这个结论,下节课再证明。

    思考片刻后,我:不用下节课,看老爸给你证明一下看看。

    因为D和E是反比例函数xy=k上的点,所以D点横坐标乘以纵坐标应该等于E点横坐标乘以纵坐标,于是

    所以三角形BDE与三角形BCA相似,也就是说线段BE长度为线段AE的一半,可以设B点坐标为(3m,3n)。

    娃:太棒了,原来是这样啊。

    我:虽然可以证明,但我直觉不太像是这样,如果矩形OABC是任意形状,感觉DE可能不会和CA平行。

    娃:你不是会编程序吗,编程序画个图验证一下看看啊。

    5分钟后,有了下面这段代码:

     

    修改代码中m和n的值,使用不同的值得到运行结果如下:

    娃:厉害啊,只需要修改代码里的m、n、k就可以画出任意形状的反比例函数和矩形图像来验证这个问题。我想起来了,好像你写的那本《Python编程基础与案例集锦(中学版)》书里有和这个差不多的画图例题。

    我:是啊,这本书里还有很多算法例题呢,这本书还有本姊妹篇《中学生可以这样学Python》,两本书相辅相成、内容互相补充,绝对是中学信息技术老师和中学生学习、使用Python的好帮手。如果数学和物理老师会用Python的话,也可以给自己的课堂增色不少。

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空空如也

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函数与反函数的乘积