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  • 函数微与可导关系

    千次阅读 2019-07-17 22:51:55
  •  即设y=f(x)是一个单变量函数, 如果y在x=x0处存在导数y′=f′(x),则称y在x=x[0]处可导。  如果一个函数在x0处可导,那么它一定在x0处是连续函数函数可导定义: (1)设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时...

    1、可导

         即设y=f(x)是一个单变量函数, 如果y在x=x0处存在导数y′=f′(x),则称y在x=x[0]处可导。

         如果一个函数在x0处可导,那么它一定在x0处是连续函数。

    函数可导定义:

    (1)设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若 [f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在, 则称f(x)在x0处可导。

    (2)若对于区间(a,b)上任意一点(m,f(m))均可导,则称f(x)在(a,b)上可导。

    连续函数可导条件函数在该点的左右偏导数都存在且相等。

            即就是一个函数在某一点求极限,如果极限存在,则为可导,若所得导数等于函数在该点的函数值,则函数为连续可导函数,否则为不连续可导函数


    2、连续

         函数连续必须同时满足三个条件:函数在x0处有定义;x->x0极限limf(x)存在;x->x0时limf(x)=f(x0)

         定理有:函数可导必然连续;不连续必然不可导。


    3、可微
            定义:设函数y= f(x),若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx)
    其中A与Δx无关,则称函数f(x)在点x可微,并称AΔx为函数f(x)在点x的微分,记作dy,即dy=A×Δx

    当x= x0时,则记作dy∣x=x0.

    可微条件:
           必要条件: 若函数在某点可微,则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。
           充分条件: 若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在,且均在这点连续,则该函数在这点可微。

    4、可积函数定义

    如果f(x)在[a,b]上的定积分存在,我们就说f(x)在[a,b]上可积。即f(x)是[a,b]上的可积函数。

    函数可积的充分条件

    定理1设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积。

    定理2设f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个第一类间断点,则f(x)在[a,b]上可积。

    定理3设f(x)在区间[a,b]上单调有界,则f(x)在[a,b]上可积。

    可积的必要条件:

    被积函数在闭区间上有界。

    总结:
    对于一元函数:
    函数连续 不一定 可导   例如y=|x|
     可导  一定  连续           即连续是可导的必要不充分条件,可导是连续的充分不必要条件
    函数可导必然可微
        可微必可导               即可导是可微的必要充分条件

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  • 与连续的关系:可微与可导是一样的; 可积与连续的关系:可积不一定连续,连续必定可积; 可导与可积的关系:可一般可积,可积推不出一定可;   这个就不多说了。。。   下面是多元函数关系   先...

    结论(一元函数范畴内)

    可导与连续的关系:可导必连续,连续不一定可导;
    可微与连续的关系:可微与可导是一样的;
    可积与连续的关系:可积不一定连续,连续必定可积;
    可导与可积的关系:可导一般可积,可积推不出一定可导;

     

    这个就不多说了。。。

     

    下面是多元函数的关系

     

    先上图

    很显然函数连续,可导,可微和偏导数连续的关系可以从图中看出

    函数连续不一定的函数可微(例子:y=|x|)

    函数连续不一定函数可导  (例子:y=|x|当x=0时 y不可导)

    函数可导不一定连续

    可导指的是偏导数存在,即沿x轴,y轴方向的导数存在(注意只有两个方向),但是二元函数的连续性是从各个方向,以任何形式来取极限的,所以从这个方面来讲,多元函数可导不一定能保证其连续,如果是可微就可以推出连续,因为可微就考察了所有方向.

     

    函数可导不一定可微 这个记住就好

    详细可以看:https://blog.csdn.net/weixin_40054912/article/details/79501962

    函数可微不一定偏导数连续

    (例: 首先,
        Df(0,0)/Dx = lim(x→0) [f(x,0) - f(0,0)]/x = lim(x→0) xsin(1/x^2) = 0,
        Df(0,0)/Dy = lim(y→0) [f(x,0) - f(0,0)]/y = lim(y→0) ysin(1/y^2) = 0,
    其次,记 ρ = √(x^2 + y^2),则
        {f(x,y) - f(0,0) - [Df(0,0)/Dx]Δx - [Df(0,0)/Dy]Δy}/ρ
          = ρsin(1/ρ^2) →0 (ρ → 0),
    根据全微分的定义,得知函数 f 在 (0,0) 可微.但 Df(x,y)/Dx 和 Df(x,y)/Dy 在 (0,0) 不连续(留给你).

     

     

     

     

     

     

     

     

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  • 多元函数可导,连续,可微关系

    万次阅读 2020-06-20 02:04:28
    数的存在只能保证坐标轴平行的方向上函数的极限值等于函数值(仅仅是坐标轴平行的方向),但是连续是指函数以任何方向趋近于某一定点,二元函数本身是一个平面型的,趋于某一定点是从四面八方的,而平行于坐标...

    首先博主总结一下:偏导连续=>可微=>偏导存在=>连续
    以下为原文内容:

    以二元函数为代表解释他们之间的关系。

    1>可导不一定连续,连续不一定可导。

    对于二元函数而言:可导是指的是两个偏导数存在,偏导数是把某一自变量看作一个常数时的导数。偏导数的存在只能保证与坐标轴平行的方向上函数的极限值等于函数值(仅仅是坐标轴平行的方向),但是连续是指函数以任何方向趋近于某一定点,二元函数本身是一个平面型的,趋于某一定点是从四面八方的,而平行于坐标轴仅仅是其中的一种情况,所以可导不一定连续,同时也不能保证函数在这一点有极限,因为可以想象一下某一立体三维图形平行于坐标轴的切线上的极限值并不能代表整个图形的极值。至于连续不一定可导可以借鉴一元函数,如若平行于坐标轴方向的函数导数不存在(二元函数连续),也就是偏导数不存在。

    2>可微必连续,可微必可导。反之不成立。

    可微的性质最强,若二元函数的某一点可微,说明过该点任意垂直于XY平面的切平面与该二元曲平面的交线函数在该点连续且在该点的导函数存在,全微分是二元函数所有性质的综合,所以可微必连续,也必可导,但反之,连续与偏导数存在仅仅是可微的部分条件,所以不能通过连续与可导来断定可微。

    引用博客https://blog.csdn.net/weixin_40054912/article/details/79501962中的两幅立体图可很好理解一些疑问。

    f(x,y)于x=0,及y=0的切平面的交线都是坐标轴,这两条直线在(0,0)点满足连续可导。(图1)

    但是f(x,y)与y=x的切平面的交线是一个像y=|x|的函数图像,连续但是在(0,0)点不可导。(图2)所以在(0,0)点不可微。

    3>一阶偏导数连续是可微的充分条件

    以下用可微的定义进行证明

    至于为什么可微不一定连续可以稍微借鉴以下一元函数中的存在含有第二类间断点(震荡间断点)的导函数。

    震荡虽然是间断的但是我们可以把他考虑成一种特殊的连续,当函数具有这种“连续”的极限情况,我们就可以得到可微但是偏导不连续的曲面。

    例如函数f(x,y)=x2sin(1/x)+y2sin(1/y).个人感觉了解即可,没必要深究。
    ————————————————
    版权声明:本文为CSDN博主「k_ys」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    原文链接:https://blog.csdn.net/qq_36942291/article/details/93379545

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  • 为什么偏数连续,函数可微

    万次阅读 多人点赞 2018-10-23 17:50:27
    如果函数 的偏数 、 在点 连续,那么函数在该点可微。 下面来解释这个结论,并且减弱这个结论的条件。 先简单阐述下“连续”、“偏数”、“可微”的意义,后面要用到。如果非常熟悉了,可以直接跳到最后...
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  • 多元函数连续、可导与可微关系

    千次阅读 2020-02-21 18:34:50
  • 注:多元函数的偏数在一点连续是指, 偏数在该点的某个邻域内存在,于是偏数在这个邻域内有定义,而且这个偏导函数在该点连续。理解这一点,才能理解后面的充分条件。
  • 本文意图探讨这些关系的本质联系。
  • 设二元函数 为定义在点集 上的函数。...注:二元函数连续性的定义一元函数连续性的定义有所不同,在一元函数的连续性的定义中,要求函数 必须在 的某一邻域 上有定义,并且要求的是 ,当 时, ,则称函...
  • 注:一阶偏数存在不够,必须要连续
  • 复习内容 科目 内容 补充 时间 数学 第五章 多元函数微分学 第一节:重极限 连续 偏 全微分 第二节: 偏全微分的计算 第三节: 极值最值
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  • 本文全面叙述多元函数的连续性、偏数、方向导数及橄性之间的关系。并通过实例澄清一些模糊看法。
  • 连续,那么函数在该点可微。 下面来解释这个结论,并且减弱这个结论的条件。 先简单阐述下“连续”、“偏数”、“可微”的意义,后面要用到。如果非常熟悉了,可以直接跳到最后一节“偏数连续推出可微”。 1 ...
  • 注:多元函数的偏数在一点连续是指, 偏数在该点的某个邻域内存在,于是偏数在这个邻域内有定义,而且这个偏导函数在该...基于以上两点,推导出了,此函数可导但是不可微,因为再原点不存在高阶无穷小。 为什么
  • 函数的连续性,偏数存在性之间的关系
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  • (偏)导函数连续,可微(偏),连续
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  • 而偏连续则是更强的条件,即偏存在且连续可以推出多元函数连续,反之不。 下面来分析,首先大家需要了解这些定义都是人定义出来的,可以反映多元函数的部分特征。所以,只要掌握了这些定义的意义就可以看出其...
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  • 极限、可导可微关系梳理

    千次阅读 2020-09-07 09:37:54
    一定可,可也一定可,可微与可导互为充要条件 将图中可和可的位置调换,极限存在未必可,可则极限一定存在,极限存在是可的必要不充分条件; 三者含义 极限存在:f(x)在x的某种趋向下,函数值...
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  • 多元函数可微可连续的关系

    千次阅读 2020-04-28 19:17:27
    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-1NcLEK9g-1589038349553)(https://imgblog.csdnimg.cn/20200428191639413.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,...
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  • n阶导函数存在n阶可导的区别

    千次阅读 2014-08-04 12:40:00
    1.f(x)n阶导函数存在 <=======> f(n)(x)存在 指的是在某个区间内有定义 2.f(x)n阶可导根据题意可以有两种不同的解释:  ①.题目中说的是在某点即在x=x0处n阶可导,指的是f(n)(x0)存在。  ②.题目直接说...
  • 多元函数可微性知识点总结

    万次阅读 2020-05-10 16:17:38
    这节的知识点也挺多,主要就是可微和偏数存在的关系数:z=f(x,y),z对x或者y的偏数就是把另一个当做常数求导,还算简单 判断可微性: 必要条件: 可以写成偏数都存在,且可以写成dz=fxdx+fydydz=f_xdx+f_...

空空如也

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