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  • 什么偏导数连续,函数可微

    万次阅读 多人点赞 2018-10-23 17:50:27
    如果非常熟悉了,可以直接跳到最后一节“偏导数连续推出可微”。 1 连续的含义 通俗来说,用笔作画,不提笔画出来的曲线就是连续的: 1.1 没有缝隙 我们对连续的函数曲线的直观感受是没...

    多变量微积分里面有这么一个结论:

    如果函数z=f(x,y) 的偏导数\frac{\partial z}{\partial x} 、\frac{\partial z}{\partial y} 在点(x_0,y_0) 连续,那么函数在该点可微。

    下面来解释这个结论,并且减弱这个结论的条件。

    先简单阐述下“连续”、“偏导数”、“可微”的意义,后面要用到。如果非常熟悉了,可以直接跳到最后一节“偏导数连续推出可微”。

    1 连续的含义

    通俗来说,用笔作画,不提笔画出来的曲线就是连续的:

    1.1 没有缝隙

    我们对连续的函数曲线的直观感受是没有缝隙:

    如果把曲线看作一条道路的话,那么不管是蚂蚁、人还是自行车,都有能力从左边走到右边:

    而不连续的曲线会有断裂:

    蚂蚁通过能力太差,就没有办法跨过裂缝:

    1.2 另一层含义

    从代数上我们可以看到另外一层含义。假设f(x_0) 附近某点为f(x_0+\Delta x) ,根据连续的性质有:

    \lim_{\Delta x\to 0}f(x_0+\Delta x)=f(x_0)

    利用极限的性质可以得到:

    \lim_{\Delta x\to 0}f(x_0+\Delta x)=f(x_0)\implies f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+\underbrace{o(\Delta x)}_{代表非常小的值}

    因此上式表明,f(x_0) 与附近f(x_0+\Delta x) 的值相差非常小,这层含义也是没有“缝隙”的另外一种阐述。

    2 可微的含义

    2.1 单变量函数的微分

    一元的情况下,在(x_0,f(x_0)) 点可微指的是,在(x_0,f(x_0)) 点附近可以用直线来近似曲线,这根直线就是切线:

    距离(x_0,f(x_0)) 越近,这种近似越好,体现为切线和曲线之间的相差越来越小:

    \Delta x=x-x_0 ,那么x_0 附近曲线与直线的近似可以表示为:

    \underbrace{f(x_0+\Delta x)}_{曲线}\quad=\quad\underbrace{f(x_0)+f'(x_0)\Delta x}_{切线}\quad+\quad\underbrace{o(\Delta x)}_{代表非常小的值}

    2.2 多变量函数的微分

    多元的情况下,就要复杂一些。关于下面内容,想了解更详细的可以参看:

    2.2.1 偏导数

    首先要对偏导数有所了解。多变量的函数f(x,y) 可以是三维空间中的曲面

    平面y=t,t\in\mathbb{R} 是一系列平面,它们与曲面交于一条条曲线:

    很显然,点在这些曲线上运动,y 是不会变化的,只有x 会变化:

    偏导数\frac{\partial f}{\partial x} 所求的也就是在这些曲线上运动的点的速度(变化率),对于(x_0,y_0,f(x_0,y_0)) 点,知道它的偏导数就可以得到这条曲线在此点的线性近似,也就是这条曲线的切线,或者称为偏微分:

    这种近似关系可以表示为:

    \underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0)}_{曲线}\quad=\quad\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x}_{切线}\quad+\quad\underbrace{o(\Delta x)}_{代表非常小的值}

    同样的道理,偏导数\frac{\partial f}{\partial y} 描述的是只有y 值变化的曲线上的点的速度,假设这样的曲线为f_y(x,y) ,其切线与之的近似关系可以表示为::

    \underbrace{f(x_0,y_0+\Delta y)}_{曲线}\quad=\quad\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y}_{切线}\quad+\quad\underbrace{o(\Delta y)}_{代表非常小的值}

    2.2.2 微分

    多变量的函数f(x,y) 在(x_0,y_0,f(x_0,y_0)) 点的微分,指的是在(x_0,y_0,f(x_0,y_0)) 点找到一个平面来近似曲面,这就是切平面:

    切平面与曲面的近似可以表示为:

    \underbrace{f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)}_{曲面}\quad=\quad\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y}_{平面}\quad+\quad\underbrace{o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})}_{代表非常小的值}

    上面出现了o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}) ,这是因为此点的邻域是一个平面(下面用圆来表示这个平面,实际上这个圆可以任意大小):

    此圆的半径可以表示为:

    r=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}

    2.3 微分与偏微分的关系

    很显然,过(x_0,y_0,f(x_0,y_0)) 点,并不是只有x,y 方向的曲线(两个方向的曲线的切线就是偏微分):

    还有无数别的方向的曲线(随便画了两条):

    这些曲线的切线(假如有的话)要在同一个平面,这个平面就是切平面,才叫做可微(详情参考之前给出的参考文章)。

    而偏微分只是无数切线中的两条,所以:

    偏导数存在\mathrel{\rlap{\hskip .5em/}}\Longrightarrow 可微

    比如f(x,y)= \frac{x y}{\sqrt{x^2+y^2}} 就是偏导数存在,但是不可微。它的图像是:

    (0,0,0) 点,f(x,y) 与x=0,y=0 的交线是下面红色的直线,分别与x 轴和y 轴重叠:

    因此,在(0,0,0) 点的偏微分就是x 轴和y 轴。但是f(x,y) 与y=x 的交线是:

    (0,0,0) 点形成了一个尖点:

    很显然此曲线的切线不存在(此曲线的左右切线由方向导数决定)。因此f(x,y) 在(0,0,0) 点不可微(具体细节也请参看参考文章)。

    3 偏导数连续推出可微

    前面说了很多,就是为了得到下面这个表格:

    \begin{array}{c|c}    \hline    \quad 连续 \quad&\quad f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+o(\Delta x)\quad\\    \hline    \quad 偏导数 \quad&\quad f(x_0+\Delta x,y_0)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+o(\Delta x)\quad\\    \quad \quad&\quad f(x_0,y_0+\Delta y)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+o(\Delta y)\quad\\    \hline    \quad 多元可微 \quad&\quad f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})\quad\\    \hline\end{array}

    下面讲解涉及的三维图像太复杂,不容易看清,所以把三维图像画到二维中,应该不会影响理解。

    先给出A 、B 、C 、D 四个点,把它们的三维坐标也标出来:

    A 点的偏导数连续,分别为:

    \frac{\partial f}{\partial x}\quad \frac{\partial f}{\partial y}

    A 出发,运动到B ,很显然只有x 方向有变化:

    因此B 点的值为:

    \underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0)}_{B点}=\underbrace{f(x_0,y_0)}_{A点}+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+o(\Delta x)

    继续往上走到C 点:

    因为偏导数连续,所以附近的偏导数也是存在的,假设B 的偏导数为\frac{\partial f}{\partial y_b} ,那么可得:

    \begin{aligned}\underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)}_{C点}    &=\underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0)}_{B点}+\frac{\partial f}{\partial y_b}\Delta y+o(\Delta y)\\    \\    &=\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+o(\Delta x)}_{B点}+\frac{\partial f}{\partial y_b}\Delta y+o(\Delta y)    \\    &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y_b}\Delta y+o(\Delta x)+o(\Delta y)\end{aligned}

    这里就是关键了,因为偏导数连续,所以A 、B 偏导数差不多,有:

    \underbrace{\frac{\partial f}{\partial y_b}}_{B点偏导}=\underbrace{\frac{\partial f}{\partial y}}_{A点偏导}+o(\Delta x)

    因此上式可以改写为:

    \begin{aligned}f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)    &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\underbrace{\frac{\partial f}{\partial y_1}}_{\frac{\partial f}{\partial y}+o(\Delta x)}\Delta y+o(\Delta x)+o(\Delta y)\\    \\    &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+\underbrace{o(\Delta x)\Delta y+o(\Delta x)+o(\Delta y)}_{等价于o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})}\\    \\    &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})\\\end{aligned}

    至此,得到了A 点可微的结论(上面的等价性没有证明,在一些《数学分析》书籍中,可微采用的是类似的定义)。

    如果仔细看上面的证明,会发现只用到了\frac{\partial f}{\partial y} 连续,因此条件可以减弱一些:

    如果函数z=f(x,y) 的偏导数\frac{\partial z}{\partial x} 、\frac{\partial z}{\partial y} 在点(x_0,y_0) 及其邻域存在,偏导数其中之一在邻域内连续,那么函数在该点可微。

    最新版本可以参见: 为什么偏导数连续,函数就可微?

    展开全文
  • 给出了二元函数可微的一个充分条件。由于证明过程中避开了通常各种教材使用的Lagrange中值定理,而采用的是函数极限与无穷小量的关系式,得到较弱条件下的可微定理。
  • 文章目录前言理解一元函数微分理解二元函数微分与全微分总结 ...一元函数f(x)在x = a可微,即指f(x)在x = a点的切线g(x)距离实际值 f(a) 即x = a附近的实际值足够接近,以至于当x无限趋近于a时,可以用g(x)来拟合f(x)

    前言

    • 在准备数学竞赛时,对多元函数微分学部分的基础概念一直存有困惑,从学数分期间至今一直没有解决,希望趁着竞赛的机会彻底弄明白这些数学概念的具体意义
    • 本人非数学专业学生,下文重在理解而非严谨证明

    理解一元函数微分

    请注意,下文的趋近是一个过程,而不是一个状态

    • 一元函数f(x)在x = a可微,即指f(x)在x = a点的切线g(x)距离实际值 f(a) 即x = a附近的实际值足够接近,以至于当x无限趋近于a时,可以用g(x)来拟合f(x)的实际值
    • 同理,二元函数f(x, y)在(a, b)可微,即指f(x, y)在(a, b)点的切面g(x, y)距离实际值 f(a, b) 即(a, b)附近的实际值足够接近,以至于当(x, y)无限趋近于(a, b)时,可以用g(x, y)来拟合f(x, y)的实际值
    • 当我们在证明一个函数可微时,关键是从定义出发,证明可微的本质,即对于一元函数而言,证明该点的切线与该点及其附近的实际值足够接近,以至于该切线可以拟合该点,二元函数同理
    • 那么,如何衡量足够接近
    • 数学上的方式是:对于一元函数,若x无限趋近于x = a点时,x = a处的切线g(x)与实际值f(x)的差值是x变化量的高阶无穷小,则说明g(x)与f(x)足够接近,可以用切线拟合实际值,即

    f ( x ) = g ( x ) + o ( Δ x ) f(x) = g(x) + o(\Delta x) f(x)=g(x)+o(Δx)

    • 设g(x)的斜率为f’(a)。由于我们考察的是x = a以及该点附近的拟合情况,故 Δ x \Delta x Δx应当是在x=a附近的变化量。即在x在x = a附近变化时,|f(x)的变化量 - g(x)的变化量|应当是x的变化量的高阶无穷小

    f ( x ) − f ( a ) = f ′ ( a ) Δ x + o ( Δ x ) f(x) - f(a) = f'(a)\Delta x + o(\Delta x) f(x)f(a)=f(a)Δx+o(Δx)

    注意,此时导数是假想出来的,可微才存在导数(斜率)。此处尚未证明可微。

    l i m Δ x − > 0 f ( x ) − f ( a ) Δ x lim_{\Delta x -> 0} \frac {f(x) - f(a)}{\Delta x} limΔx>0Δxf(x)f(a)
    = f ′ ( x ) + l i m Δ x − > 0 o ( Δ x ) / Δ x = f'(x) + lim_{\Delta x -> 0} o(\Delta x)/\Delta x =f(x)+limΔx>0o(Δx)/Δx

    • 易知,上述等式中等式右端最后一项为0与可微是充要条件。
    • 通过该等式既证明了可微,又求出了导数值(极限存在,极限值)
      在这里插入图片描述
    • 上图中,dx dy表示拟合值, Δ x , Δ y \Delta x, \Delta y Δx,Δy表示实际值,可微的本质就是 ∣ Δ y − d y ∣ |\Delta y - dy| Δydy d x = Δ x dx = \Delta x dx=Δx的高阶无穷小

    理解二元函数微分与全微分

    • 首先,如何描述一个三维坐标轴中的平面
    • 给定一个平面中的某一点 (x0, y0, z0) ,以及该面的一个法向量 (A,B,C),则该面可以用 面上的任意一条向量和该法向量垂直 这样的数学含义来描述,即

    ( A , B , C ) ⋅ ( x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) (A, B, C) · (x-x_0, y-y_0, z-z_0) (A,B,C)(xx0,yy0,zz0)
    = A Δ x + B Δ y + C Δ z = 0 = A\Delta x + B\Delta y + C\Delta z = 0 =AΔx+BΔy+CΔz=0

    注意这里是点乘运算,(x, y, z)是平面上的任意一点

    • 根据前文描述的二元函数微分的本质,在(x0, y0)及其附近,可以用该点的切面拟合实际值,也就是需要该点及其附近的实际值与拟合值的差值是自变量变化量的高阶无穷小,即

    o ( ( Δ x 2 + Δ y 2 ) 1 / 2 ) o((\Delta x^2 + \Delta y^2)^{1/2}) o((Δx2+Δy2)1/2)

    • 那么,如何得到该点的切面方程呢?
    • 容易证明(略),两个向量:

    v 1 = ( 1 , 0 , δ z δ x ∣ x 0 , y 0 ) v1 = (1, 0, \frac {\delta z}{\delta x}|_{x0, y0}) v1=(1,0,δxδzx0,y0)
    v 2 = ( 0 , 1 , δ z δ y ∣ x 0 , y 0 ) v2 = (0, 1, \frac {\delta z}{\delta y}|_{x0, y0}) v2=(0,1,δyδzx0,y0)

    • 两个向量所确定的面是该点的切面
    • 根据线性代数的相关技巧(略),与两个向量同时垂直的法向量应当是:

    v 3 = ( δ z δ x ∣ x 0 , y 0 , δ z δ y ∣ x 0 , y 0 , − 1 ) v3 = (\frac {\delta z}{\delta x}|_{x0, y0}, \frac {\delta z}{\delta y}|_{x0, y0}, -1) v3=(δxδzx0,y0,δyδzx0,y0,1)

    • 从对一元函数可微的讨论中我们知道, Δ y \Delta y Δy是实际值的变化量,而 d y dy dy是拟合值的变化量,实际值和拟合值可以相等。切面是f(x, y)的拟合工具,故对切面的描述应该使用拟合值对应的符号,即:

    v 3 ⋅ ( d x , d y , d z ) = 0 v3 · (dx, dy, dz) = 0 v3(dx,dy,dz)=0
    δ z δ x d x + δ z δ y d y − d z = 0 \frac {\delta z}{\delta x}dx + \frac {\delta z}{\delta y}dy - dz = 0 δxδzdx+δyδzdydz=0
    δ z δ x d x + δ z δ y d y = d z \frac {\delta z}{\delta x}dx + \frac {\delta z}{\delta y}dy = dz δxδzdx+δyδzdy=dz

    • 其中,若认为z是曲面上在该点附近的实际值,z’是在切面上该点附近的拟合值,则 Δ z = z − z 0 , d z = z ′ − z 0 \Delta z = z-z_0, dz = z' - z_0 Δz=zz0,dz=zz0
    • 除此之外,易知, d x = Δ x , d y = Δ y dx = \Delta x, dy = \Delta y dx=Δx,dy=Δy
    • 很好,现在我们已经得到切面方程了,这个方程和全微分方程一模一样,但它不一定就是全微分方程。如果它不满足我们上述描述的可微的实质,那么它就不是全微分方程,即全微分方程不存在,该二元函数不可微,则该切面方程只是一个长得和全微分方程一模一样的切面方程而已。
    • 那么f(x, y)是否可微呢?我们需要证明最重要的一点:

    Δ z − d z = o ( ( Δ x 2 + Δ y 2 ) 1 / 2 ) \Delta z - dz = o((\Delta x^2 + \Delta y^2)^{1/2}) Δzdz=o((Δx2+Δy2)1/2)

    这里不再继续写极限描述了,证明高阶无穷小即可

    在这里插入图片描述
    Δ z = δ z δ x Δ x + δ z δ y Δ y + o ( ( Δ x 2 + Δ y 2 ) 1 / 2 ) \Delta z = \frac {\delta z}{\delta x}\Delta x + \frac {\delta z}{\delta y}\Delta y + o((\Delta x^2 + \Delta y^2)^{1/2}) Δz=δxδzΔx+δyδzΔy+o((Δx2+Δy2)1/2)

    总结

    • 可微的实质很重要,竞赛中会遇到一些证明二元函数可微的题目。关键是要正确理解证明可微就是证明差值是自变量变化量的高阶无穷小
    • 下一篇文章将继续解析如何理解方向导数与梯度?
    展开全文
  • 多变量积分里面有这么一个结论: 如果函数 的偏导数 、 在点 连续,那么函数在该点可微。 下面来解释这个结论,并且...如果非常熟悉了,可以直接跳到最后一节“偏导数连续推出可微”。 1 连续...

    多变量微积分里面有这么一个结论:

    如果函数z=f(x,y) 的偏导数\frac{\partial z}{\partial x} 、\frac{\partial z}{\partial y} 在点(x_0,y_0) 连续,那么函数在该点可微。

    下面来解释这个结论,并且减弱这个结论的条件。

    先简单阐述下“连续”、“偏导数”、“可微”的意义,后面要用到。如果非常熟悉了,可以直接跳到最后一节“偏导数连续推出可微”。

    1 连续的含义

    通俗来说,用笔作画,不提笔画出来的曲线就是连续的:

    1.1 没有缝隙

    我们对连续的函数曲线的直观感受是没有缝隙:

    如果把曲线看作一条道路的话,那么不管是蚂蚁、人还是自行车,都有能力从左边走到右边:

    而不连续的曲线会有断裂:

    蚂蚁通过能力太差,就没有办法跨过裂缝:

    1.2 另一层含义

    从代数上我们可以看到另外一层含义。假设f(x_0) 附近某点为f(x_0+\Delta x) ,根据连续的性质有:

    \lim_{\Delta x\to 0}f(x_0+\Delta x)=f(x_0)

    利用极限的性质可以得到:

    \lim_{\Delta x\to 0}f(x_0+\Delta x)=f(x_0)\implies f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+\underbrace{o(\Delta x)}_{代表非常小的值}

    因此上式表明,f(x_0) 与附近f(x_0+\Delta x) 的值相差非常小,这层含义也是没有“缝隙”的另外一种阐述。

    2 可微的含义

    2.1 单变量函数的微分

    一元的情况下,在(x_0,f(x_0)) 点可微指的是,在(x_0,f(x_0)) 点附近可以用直线来近似曲线,这根直线就是切线:

    距离(x_0,f(x_0)) 越近,这种近似越好,体现为切线和曲线之间的相差越来越小:

    \Delta x=x-x_0 ,那么x_0 附近曲线与直线的近似可以表示为:

    \underbrace{f(x_0+\Delta x)}_{曲线}\quad=\quad\underbrace{f(x_0)+f'(x_0)\Delta x}_{切线}\quad+\quad\underbrace{o(\Delta x)}_{代表非常小的值}

    2.2 多变量函数的微分

    多元的情况下,就要复杂一些。关于下面内容,想了解更详细的可以参看:

    2.2.1 偏导数

    首先要对偏导数有所了解。多变量的函数f(x,y) 可以是三维空间中的曲面

    平面y=t,t\in\mathbb{R} 是一系列平面,它们与曲面交于一条条曲线:

    很显然,点在这些曲线上运动,y 是不会变化的,只有x 会变化:

    偏导数\frac{\partial f}{\partial x} 所求的也就是在这些曲线上运动的点的速度(变化率),对于(x_0,y_0,f(x_0,y_0)) 点,知道它的偏导数就可以得到这条曲线在此点的线性近似,也就是这条曲线的切线,或者称为偏微分:

    这种近似关系可以表示为:

    \underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0)}_{曲线}\quad=\quad\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x}_{切线}\quad+\quad\underbrace{o(\Delta x)}_{代表非常小的值}

    同样的道理,偏导数\frac{\partial f}{\partial y} 描述的是只有y 值变化的曲线上的点的速度,假设这样的曲线为f_y(x,y) ,其切线与之的近似关系可以表示为::

    \underbrace{f(x_0,y_0+\Delta y)}_{曲线}\quad=\quad\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y}_{切线}\quad+\quad\underbrace{o(\Delta y)}_{代表非常小的值}

    2.2.2 微分

    多变量的函数f(x,y) 在(x_0,y_0,f(x_0,y_0)) 点的微分,指的是在(x_0,y_0,f(x_0,y_0)) 点找到一个平面来近似曲面,这就是切平面:

    切平面与曲面的近似可以表示为:

    \underbrace{f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)}_{曲面}\quad=\quad\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y}_{平面}\quad+\quad\underbrace{o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})}_{代表非常小的值}

    上面出现了o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}) ,这是因为此点的邻域是一个平面(下面用圆来表示这个平面,实际上这个圆可以任意大小):

    此圆的半径可以表示为:

    r=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}

    2.3 微分与偏微分的关系

    很显然,过(x_0,y_0,f(x_0,y_0)) 点,并不是只有x,y 方向的曲线(两个方向的曲线的切线就是偏微分):

    还有无数别的方向的曲线(随便画了两条):

    这些曲线的切线(假如有的话)要在同一个平面,这个平面就是切平面,才叫做可微(详情参考之前给出的参考文章)。

    而偏微分只是无数切线中的两条,所以:

    偏导数存在\mathrel{\rlap{\hskip .5em/}}\Longrightarrow 可微

    比如f(x,y)= \frac{x y}{\sqrt{x^2+y^2}} 就是偏导数存在,但是不可微。它的图像是:

    (0,0,0) 点,f(x,y) 与x=0,y=0 的交线是下面红色的直线,分别与x 轴和y 轴重叠:

    因此,在(0,0,0) 点的偏微分就是x 轴和y 轴。但是f(x,y) 与y=x 的交线是:

    (0,0,0) 点形成了一个尖点:

    很显然此曲线的切线不存在(此曲线的左右切线由方向导数决定)。因此f(x,y) 在(0,0,0) 点不可微(具体细节也请参看参考文章)。

    3 偏导数连续推出可微

    前面说了很多,就是为了得到下面这个表格:

    \begin{array}{c|c}    \hline    \quad 连续 \quad&\quad f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+o(\Delta x)\quad\\    \hline    \quad 偏导数 \quad&\quad f(x_0+\Delta x,y_0)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+o(\Delta x)\quad\\    \quad \quad&\quad f(x_0,y_0+\Delta y)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+o(\Delta y)\quad\\    \hline    \quad 多元可微 \quad&\quad f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})\quad\\    \hline\end{array}

    下面讲解涉及的三维图像太复杂,不容易看清,所以把三维图像画到二维中,应该不会影响理解。

    先给出A 、B 、C 、D 四个点,把它们的三维坐标也标出来:

    A 点的偏导数连续,分别为:

    \frac{\partial f}{\partial x}\quad \frac{\partial f}{\partial y}

    A 出发,运动到B ,很显然只有x 方向有变化:

    因此B 点的值为:

    \underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0)}_{B点}=\underbrace{f(x_0,y_0)}_{A点}+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+o(\Delta x)

    继续往上走到C 点:

    因为偏导数连续,所以附近的偏导数也是存在的

    假设B 的偏导数为\frac{\partial f}{\partial y_b} ,那么可得:

    \begin{aligned}\underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)}_{C点}    &=\underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0)}_{B点}+\frac{\partial f}{\partial y_b}\Delta y+o(\Delta y)\\    \\    &=\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+o(\Delta x)}_{B点}+\frac{\partial f}{\partial y_b}\Delta y+o(\Delta y)    \\    &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y_b}\Delta y+o(\Delta x)+o(\Delta y)\end{aligned}

    这里就是关键了,因为偏导数连续,所以A 、B 偏导数差不多,有:

    \underbrace{\frac{\partial f}{\partial y_b}}_{B点偏导}=\underbrace{\frac{\partial f}{\partial y}}_{A点偏导}+o(\Delta x)

    因此上式可以改写为:

    \begin{aligned}f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)    &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\underbrace{\frac{\partial f}{\partial y_1}}_{\frac{\partial f}{\partial y}+o(\Delta x)}\Delta y+o(\Delta x)+o(\Delta y)\\    \\    &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+\underbrace{o(\Delta x)\Delta y+o(\Delta x)+o(\Delta y)}_{等价于o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})}\\    \\    &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})\\\end{aligned}

    至此,得到了A 点可微的结论(上面的等价性没有证明,在一些《数学分析》书籍中,可微采用的是类似的定义)。

    注:亦可以利用二元函数中值定理证明,但不管采用哪种证明方法,连续作为条件的作用正是将x+Δx处的偏导转化为x处的偏导,从而化为全微分的线性主部

    如果仔细看上面的证明,会发现只用到了\frac{\partial f}{\partial y} 连续,因此条件可以减弱一些:

    如果函数z=f(x,y) 的偏导数\frac{\partial z}{\partial x} 、\frac{\partial z}{\partial y} 在点(x_0,y_0) 及其邻域存在,偏导数其中之一在邻域内连续,那么函数在该点可微。
    由此就可以理解这样一句话,

    函数在一点可微,在这点偏导数不一定连续

    经典的分段函数反例中,函数偏导在(0,0)点周围剧烈"震荡"但是"振幅很小",有多小呢?小到甚至是Δx的高阶无穷小,由此就不在依赖于偏导数,所以偏导数甚至可以不存在!

    最新版本可以参见: 为什么偏导数连续,函数就可微?

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  • 多元函数可导,连续,可微的关系

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    可微=>偏导存在=>连续 以下为原文内容: 以二元函数为代表解释他们之间的关系。 1>导不一定连续,连续不一定导。 对于二元函数而言:导是指的是两个偏导数存在,偏导数是把某一自变量看作一个常数时...

    首先博主总结一下:偏导连续=>可微=>偏导存在=>连续
    以下为原文内容:

    以二元函数为代表解释他们之间的关系。

    1>可导不一定连续,连续不一定可导。

    对于二元函数而言:可导是指的是两个偏导数存在,偏导数是把某一自变量看作一个常数时的导数。偏导数的存在只能保证与坐标轴平行的方向上函数的极限值等于函数值(仅仅是坐标轴平行的方向),但是连续是指函数以任何方向趋近于某一定点,二元函数本身是一个平面型的,趋于某一定点是从四面八方的,而平行于坐标轴仅仅是其中的一种情况,所以可导不一定连续,同时也不能保证函数在这一点有极限,因为可以想象一下某一立体三维图形平行于坐标轴的切线上的极限值并不能代表整个图形的极值。至于连续不一定可导可以借鉴一元函数,如若平行于坐标轴方向的函数导数不存在(二元函数连续),也就是偏导数不存在。

    2>可微必连续,可微必可导。反之不成立。

    可微的性质最强,若二元函数的某一点可微,说明过该点任意垂直于XY平面的切平面与该二元曲平面的交线函数在该点连续且在该点的导函数存在,全微分是二元函数所有性质的综合,所以可微必连续,也必可导,但反之,连续与偏导数存在仅仅是可微的部分条件,所以不能通过连续与可导来断定可微。

    引用博客https://blog.csdn.net/weixin_40054912/article/details/79501962中的两幅立体图可很好理解一些疑问。

    f(x,y)于x=0,及y=0的切平面的交线都是坐标轴,这两条直线在(0,0)点满足连续可导。(图1)

    但是f(x,y)与y=x的切平面的交线是一个像y=|x|的函数图像,连续但是在(0,0)点不可导。(图2)所以在(0,0)点不可微。

    3>一阶偏导数连续是可微的充分条件

    以下用可微的定义进行证明

    至于为什么可微不一定连续可以稍微借鉴以下一元函数中的存在含有第二类间断点(震荡间断点)的导函数。

    震荡虽然是间断的但是我们可以把他考虑成一种特殊的连续,当函数具有这种“连续”的极限情况,我们就可以得到可微但是偏导不连续的曲面。

    例如函数f(x,y)=x2sin(1/x)+y2sin(1/y).个人感觉了解即可,没必要深究。
    ————————————————
    版权声明:本文为CSDN博主「k_ys」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    原文链接:https://blog.csdn.net/qq_36942291/article/details/93379545

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