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  • 动态规划方法求解0-1背包问题

    千次阅读 2020-10-29 18:43:55
    如果你对动态规划方法求解0-1背包问题的思路不清晰,直接阅读代码并不是一个好的建议。 推荐一个B站up主的视频讲解: 0/1背包问题-动态规划 练习地址(B站视频配套的网址) #include<iostream> using namespace ...

    如果你对动态规划方法求解0-1背包问题的思路不清晰,直接阅读代码并不是一个好的建议。

    推荐一个B站up主的视频讲解:
    0/1背包问题-动态规划
    练习地址(B站视频配套的网址)

    #include<iostream>
    using namespace std;
    
    const int bagVolume = 6;//背包体积
    const int itemNumber = 4;//准备放入的物品数量
    const int rows = itemNumber + 1;//table表格的行:0,1,2,3,4  共5个数
    const int cols = bagVolume + 1;//table表格的列:0,1,2,3,4,5,6   共7个数
    
    void knapsack(int table[][cols], int weight[], int value[])
    {
        
        int wt, vl;//wt是weight,vl是value
        for (int i = 1; i < rows; i++)
        {
            wt = weight[i-1];
            vl = value[i-1];
            for (int j = 1; j < cols; j++)
            {   
                /*           
                if (wt > j)//如果weight大于当前的背包容量j,
                {
                    table[i][j] = table[i-1][j];//那么此物品放不进背包
                }
                else//如果weight小于当前的背包容量j,
                {   //那么,就判断(table[i-1][j-wt] + vl) 是不是大于 table[i-1][j]。如果大于,那么就table[i][j]=(table[i-1][j-wt] + vl);反之...
                    table[i][j] = (table[i-1][j-wt] + vl) > table[i-1][j] ? (table[i-1][j-wt] + vl) : table[i-1][j];
                }
                */
                //简化写法
                table[i][j] = wt > j ?  table[i-1][j] : ((table[i-1][j-wt] + vl) > table[i-1][j] ? (table[i-1][j-wt] + vl) : table[i-1][j]);
            }
        }
        cout<<"动态规划表:"<<endl;
        for (int i = 0; i < rows; i++)
        {
            for (int j = 0; j < cols; j++)
            {
                string str =  table[i][j] >= 10 ? "    " :  "     ";//如果是一位数就返回5个空格字符串,是两位数就返回4个空格字符串。
                cout<<table[i][j]<<str;
            }
            cout<<endl;
        }
        cout<<"放入背包的物品有:"<<endl;
        //打印放入背包的物品编号
        int j = bagVolume, sum_value=0;
        for (int i = itemNumber; i > 0; i--)
        {
            if (table[i][j] != table[i-1][j])
            {
                cout<<"【物品"<<i<<"】"<<endl;
                sum_value += value[i-1];
                j = j - weight[i-1];
            }
        }
        cout<<"背包中物品最大价值总和为:"<<sum_value<<endl;
    }
    
    int main()
    {
        int table[rows][cols] = {0};
        int weight[itemNumber] = {2,2,4,2};
        int value[itemNumber] = {8,5,10,3};
        knapsack(table, weight, value);
        return 0;
    }
    
    
    
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  • 动态规划求解步骤

    千次阅读 2014-11-30 13:48:09
    动态规划算法适合于求解最优化问题,通常可按下列步骤来设计动态规划算法: (1)分析最优解的性质,并刻画其最优子结构特征; (2)确定状态表示S(x1,x2,...)和状态递推方程,递归地定义最优值; (3)根据...

    动态规划算法适合于求解最优化问题,通常可按下列步骤来设计动态规划算法:


    (1)分析最优解的性质,并刻画其最优子结构特征;


    (2)确定状态表示S(x1,x2,...)和状态递推方程,递归地定义最优值;


    (3)根据状态转移顺序,以自底向上的方式计算出最优值;


    (4)根据计算最优值时得到的信息,构造最优解。


    第(1)步是基础,也是关键。在分析最优子结构性质时,子解分解和子解对应的子问题描述是关键。有两种子解分解方法:基于划分的方法和基于减一的方法。


    在第一种方法中,问题的最优解依据问题性质划分成两个或者多个子解,但是其划分位置无法事先确定;


    在第二种方法中,问题的最优解依据问题性质减缩规模,比如减去最优解的第一个分量,或者最后一个分量,得到规模减少一个单位的子解。得到子解后,分析和描述该子解对应的子问题,如果能证明该子解对应子问题的最优解,则该问题满足最优子结构性质,转入第(2);否则,该问题不能用动态规划求解。


    第(2)步是动态规划算法的核心,它是最优解的规划过程。状态表示本质上就是子问题的表示,形如,其中是描述子问题的求解目标,一般的直接定义为待求解问题的目标值。需要注意的是,对于有些问题来说,如果直接定义为原问题目标值,可能最优子结构性质不成立。此时,往往定义为某个中间目标值,比如最大上升子序列问题。在算法实现时,状态一般用一个k维的表格存储,动态规划过程就是表格操作过程。


    第(3)步体现了动态规划算法的执行过程。通俗地讲,动态规划是一个由易至难的求解过程;先求解最简单的子问题的解,然后利用简单子问题的解构造复杂一些的子问题的解,直至求解原问题的解。


    第(4)步是可选步骤,只有问题要求构造最优解时才需要。




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  • 动态规划算法求解0,1背包问题

    千次阅读 2015-05-11 21:14:05
    看看动态规划的四个步骤:对于动态规划算法,我们必须明确两个基本要素,这两个要素对于在设计求解具体问题的算法时,是否选择动态规划算法具有指导意义:

    首先我们来看看动态规划的四个步骤:

      1. 找出最优解的性质,并且刻画其结构特性;

      2. 递归的定义最优解;

      3. 以自底向上的方式刻画最优值;

      4. 根据计算最优值时候得到的信息,构造最优解

    其中改进的动态规划算法:备忘录法,是以自顶向下的方式刻画最优值,对于动态规划方法和备忘录方法,两者的使用情况如下:

        一般来讲,当一个问题的所有子问题都至少要解一次时,使用动态规划算法比使用备忘录方法好。此时,动态规划算法没有任何多余的计算。同时,对于许多问题,常常可以利用其规则的表格存取方式,减少动态规划算法的计算时间和空间需求。当子问题空间中的部分子问题可以不必求解时,使用备忘录方法则较为有利,因为从其控制结构可以看出,该方法只解那些确实需要求解的问题。

    对于动态规划算法,我们必须明确两个基本要素,这两个要素对于在设计求解具体问题的算法时,是否选择动态规划算法具有指导意义:

    1 算法有效性依赖于问题本身所具有的最优子结构性质:设计算法的第一步通常是要刻画最优解的结构。当问题的最优解包含了子问题的最优解时,称该问题具有最优子结构性质。问题的最优子结构性质提供了该问题可以使用动态规划算法求解的重要线索

    在矩阵连乘积最优次序问题中注意到,若A1A2...An的最优完全加括号方式在Ak和Ak+1之间断开,则由此可以确定的子链A1A2A3...Ak和Ak+1Ak+2...An的完全加括号方式也最优,即该问题具有最优子结构性质。在分析该问题的最优子结构性质时候,所使用的方法具有普遍性。首先假设由原问题导出的子问题的借不是最优解,然后在设法说明在这个假设下可以构造出比原问题最优解更好的解,从而导致矛盾。

           在动态规划算法中,利用问题的最优子结构性质,以自底向上的方式递归的从子问题的最优解逐渐构造出整个问题的最优解。算法考察的子问题的空间规模较小。例如在举证连乘积的最优计算次序问题中,子问题空间由矩阵链的所有不用的子链组成。所有不用的子链的个数为o(n*n),因而子问题的空间规模为o(n*n)

    2 可以用动态规划算法求解问题应该具备另一个基本要素是子问题的重叠性。在用递归算法自顶向下求解此问题时候,每次产生的子问题并不总是新问题,有些子问题被反复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质,对每一个子问题都只是求解一次,而后将其保存到一个表格中,当再次需要解此问题时,只是简单使用常数时间查看一下结果。通常,不同子问题个数随着问题大小呈多项式增长。因此使用动态规划算法通常只是需要多项式时间,从而获得较高的解题效率。

    下面是使用动态规划算法求解0,1背包问题的Java实现:

    package dynamic_planning;
    
    public class Package0_1 {
    
    	private int c;  //背包总容量
    	private int n;  //背包中物品数目
    	private int []v;  //背包中每个物品的价值,一定是一一对应的
    	private int []w;  //背包中每个物品的重量,一定是一一对应的
    	private int [][]m;  //动态规划求解时候所使用的空间
    	
    	public Package0_1(){
    		c=20;n=6;
    		v=new int[]{12,45,23,14,5,27};
    		w=new int[]{2,9,8,3,7,6};
    		m=new int[n][c];
    	}
    	
    	public Package0_1(int c,int n,int []v,int []w,int [][]m){
    		this.c=c;this.n=n;
    		this.v=v;this.w=w;
    		this.m=m;
    	}
    	
    	//自底向上求解子问题
    	public void knapsack(){
    		for(int i=0;i<n;i++)
    			m[i][0]=0;
    		for(int s=1;s<=n;s++){
    			for(int i=n-s;i>=0;i--){
    				for(int j=1;j<c;j++){
    					if(i==n-1){
    						if(j<w[i])
    							m[i][j]=0;
    						else if(j>=w[i])
    							m[i][j]=v[i];
    					}
    					else{
    						if(j<w[i])
    							m[i][j]=m[i+1][j];
    						else if(j>=w[i])
    							m[i][j]=m[i+1][j]>(m[i][j-w[i]]+v[i])?m[i+1][j]:(m[i][j-w[i]]+v[i]);
    					}
    				}
    			}
    		}
    	}
    	//循环求解0,1向量组,0代表相应位置不装入背包,1代表装入背包
    	public void traceBack(){
    		for(int k=1;k<=n;k++)
    			System.out.print(k+"  ");
    		System.out.println();
    		int j=c-1;
    		for(int i=0;i<n-1;i++){
    			if(m[i][j]==m[i+1][j])
    				System.out.print(0+"  ");
    			else{
    				System.out.print(1+"  ");
    				j-=w[i];
    			}
    		}
    		if(j>=w[n-1])
    			System.out.print(1);
    		else 
    			System.out.print(0);
    	}
    	
    	public static void main(String[] args) {
    		Package0_1 package0_1=new Package0_1();
    		package0_1.knapsack();
    		package0_1.traceBack();
    	}
    }
    
    
    
    


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  • 文章目录1.序2.动态规划的基本概念[^1]3.动态规划算法的基本思想[^2]4....这篇文章主要介绍动态规划算法的基本思想、使用动态规划算法求解问题的基本步骤、动态规划算法的两个基本要素以及一些经典的动态规划问题。...

    1.序

    近期笔者会写一些博客,与大家共同讨论一些经典的算法思想。这篇文章主要介绍动态规划算法的基本思想、使用动态规划算法求解问题的基本步骤、动态规划算法的两个基本要素以及一些经典的动态规划问题。

    2.动态规划的基本概念[^1]

    在学习动态规划之前,先思考这样一个问题:什么是动态规划?为什么叫动态规划?
    当读者在试图探索这个问题的时候,不可避免的要了解动态规划的产生背景。动态规划是由 Dynamic Programming 翻译过来的。动态规划的概念是由美国数学家R.E.Bellman等人提出的,应用于工程领域。
    动态规划是是求解多阶段决策过程(decision process)的最优化问题一种方法。

    所谓多阶段决策过程是指这样一类决策过程:它可以把一一个复杂问题按时间(或空间)分成若干个阶段,每个阶段都需要作出决策,
    以便得到过程的最优结局。由于在每阶段采取的决策是与时间有关的而且前一阶段采取的决策如何,不但与该阶段的经济效果有关,
    还影响以后各阶段的经济效果,可见这类多阶段决策问题是一个动态的问题,因此,处理的方法称为动态规划方法。然而,动态
    规划也可以处理一些本来与时间没有关系的静态模型,这只要在静态模型中人为地引入“时间”因素,分成时段,就可以把它看作
    是多阶段的动态模型,用动态规划方法去处理。
    

    简言之,多阶段决策过程是指这样的一类特殊的活动过程:问题可以按时间顺序分解成若干相互联系的阶段,在每一个阶段都要做出决策,全部过程的决策是一个决策序列。
    下面举例说明什么是多阶段决策问题。
    例1(最短路线问题)在线路网络图1中,从A至E有一批货物需要调运。图上所标数字为各节点之间的运输距离,为使总运费最少,必须找出一条由A至E总里程最短的路线。
    在这里插入图片描述

    图1

    为了找到由A至E的最短线路,可以将该问题分成A—B—C—D—E 4个阶段,在每个阶段都需要作出决策,即在A点需决策下一步到B1还是到B2或B3;同样,若到达第二阶段某个状态,比如B1 ,需决定走向C1还是C2 ;依次类推,可以看出:各个阶段的决策不同,由A至E的路线就不同,当 从某个阶段的某个状态出发作出一个决策,则这个决策不仅影响到下一个阶段的距离,而且直接影响后面各阶段的行进线路。所以这类问题要求在各个阶段选择一个恰当的决策,使这些决策序列所决定的一条路线对应的总路程最短。

    3.动态规划算法的基本思想[^2]

    动态规划算法与分治法类似,其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题。
    在这里插入图片描述

    图2

    但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。不同子问题的数目常常只有多项式量级。在用分治法求解时,有些子问题被重复计算了许多次。
    如果能够保存已解决的子问题的答案,而在需要时再找出已求得的答案,就可以避免大量重复计算,从而得到多项式时间算法。
    在这里插入图片描述

    图3

    4.动态规划的求解步骤[^2]

    a. 找出最优解的性质,并刻划其结构特征。
    b. 递归地定义最优值。
    c. 以自底向上的方式计算出最优值。
    d. 根据计算最优值时得到的信息,构造最优解

    5.动态规划算法的基本要素[^2]

    5.1 最优子结构

    • 矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优解。这种性质称为最优子结构性质
    • 在分析问题的最优子结构性质时,所用的方法具有普遍性:首先假设由问题的最优解导出的子问题的解不是最优的,然后再设法说明在这个假设下可构造出比原问题最优解更好的解,从而导致矛盾。
    • 利用问题的最优子结构性质,以自底向上的方式递归地从子问题的最优解逐步构造出整个问题的最优解。最优子结构是问题能用动态规划算法求解的前提。

    注意:同一个问题可以有多种方式刻划它的最优子结构,有些表示方法的求解速度更快(空间占用小,问题的维度低)

    5.2 重叠子问题

    • 递归算法求解问题时,每次产生的子问题并不总是新问题,有些子问题被反复计算多次。这种性质称为子问题的重叠性质。
    • 动态规划算法,对每一个子问题只解一次,而后将其解保存在一个表格中,当再次需要解此子问题时,只是简单地用常数时间查看一下结果。
    • 通常不同的子问题个数随问题的大小呈多项式增长。因此用动态规划算法只需要多项式时间,从而获得较高的解题效率。
      在这里插入图片描述
      图4

    6.一些经典的动态规划问题

    题目描述:
    给定一个字符串 s,找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 的最大长度为1000。

    示例 1:

    输入: "babad"
    输出: "bab"
    注意: "aba" 也是一个有效答案。
    

    示例 2:

    输入: "cbbd"
    输出: "bb"
    

    分析:
    一个问题要使用动态规划求解,一定要满足【最优子结构】,只有满足最优子结构,才能通过子问题的解 构造出 整个问题的解。

    在编码时,一般采用【备忘录】或 dp table来实现。
    最关键的要找出:该问题的递推关系式(状态转移方程)

    假设dp[i][j]=true,表示字符串s从s[i]到s[j]的子串为最长回文子串
    反之false.

    考虑 abcba 这个示例。如果我们已经知道 bca 是回文,那么要判断 abcba 是不是回文串,只需判断它的左首字母和右尾字母是否相等。这里左=右=a,因此abcba 是回文串

    从这里我们可以归纳出状态转移方程
    dp[i][j] = true
    前提是
    dp[i+1][j-1]为true,且 s[i] == s[j]

    #include <iostream>
    using namespace std;
    class MySolution {
    public:
        string longestPalindrome(string s) {
    
            int len = s.size();
            if (len < 2)
                return s;
            //bool dp[len][len];
            bool** dp;
            dp = new bool* [len];
            for (int i = 0; i < len; i++)
                dp[i] = new bool[len];//分配了len行len列的二维数组空间
        
            int max_len=1;//最大回文串长度
            int max_left;//最长回文串的起始位置
            for (int j = 0; j < len; j++)
            {
                for (int i = 0; i < j; i++)
                {
                    if (s[j] != s[i])
                        dp[i][j] = false;
                    else if (j - i < 3) // (j-1)-(i+1)+1< 2 即表明dp[i][j]是回文串
                        dp[i][j] = true;
                    else
                        dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];//s[i]==s[j]
                    if (j - i + 1 > max_len && dp[i][j])
                    {
                        max_len = j - i + 1;
                        max_left = i;
                    }
    
                }
            }
            return s.substr(max_left, max_len);
            // 用完要释放:
            for (int i = 0; i < len; i++)
            {
                delete[] dp[i]; 
                delete[]dp;
            }   
        }
    };
    int main()
    {
        MySolution sl;
        string s = sl.longestPalindrome("abcdedcabcdefggfedcba");
        cout << s << endl;
    }
    

    参考文献
    [1] 引用自百度文库https://wenku.baidu.com/view/c0f9fb156c175f0e7cd1377d.html
    [2]引用自老师的课件

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    千次阅读 多人点赞 2018-07-01 14:12:55
     按照这样的思路,填写过程表格,背包最大价值就是过程矩阵最后一个元素的值。最后倒推求出是哪些物品。   程序清单:   #include /*结构体 物品*/ struct Goods { int id; //物品编号 int ...
  • 动态规划求解矩阵连乘问题Java实现

    万次阅读 2015-05-11 20:44:02
    动态规划求解矩阵连乘问题Java实现,并且使用备忘录方法对动态规划算法改进
  • 动态规划表格法详细解析01背包问题

    千次阅读 2020-08-15 16:06:45
    3.8 0-1背包问题(Knapsack problem) 前言:麻烦转载注明出处哦。 3.8.1 问题描述 其中每种物品只有1件,存放哪些物品,才能使背包存放物品价值最高? 3.8.2 算法思路 假设背包空间只有1kg、2kg…5kg,假设可装物品...
  • 动态规划会将每个求解过的子问题的 解记录下来,这样下一次碰到同样的子问题时,就可以直接使用之前记录的结果。 在动态规划中,我们通常使用两种办法来求解:递推的自底向上办法(Bottom-up) 和递归的 自顶向下办法
  • (即待求解问题的描述、算法设计、算法描述、算法正确性证明、算法分析、算法实现与测试),在针对0-1背包问题求解的实践中理解动态规划 (Dynamic Programming, DP) 方法的思想、求解策略及步骤。 作为挑战:可以...
  • 3.5 最长公共子序列(LCS) 前言:图片是博主自己画的,转载请注明出处哦 3.5.1 问题描述 最长公共子序列(Longest Common Subseuence,LCS)问题:给定两个字符串,求解它们...根据动态规划的原则,问题分阶段,那么最开始
  • 其不同点在于分治法将分解出的子问题看成独立的存在,分别求解(公共子问题存在重复求解),而动态规划将子问题解保存到表格中,遇到公共子问题只需求解一次,以后可以中表格中查找子问题的解。 分治法求解问题...
  • 那么,如何应用动态规划求解呢?假设我们希望将oppa 变成apple, 那么求解过程其实就是将以下表格填满的过程,表格的右下角的值即为我们所求的值。我们用几张图来作一个形象的展示: 那么,这些表格应该怎么填写...
  • 利用Excel2007规划求解饲料配方表格的设计与使用
  • 动态规划求解距离字符串问题

    千次阅读 2008-04-21 16:39:00
     /*注意字符串的下标和表格的下标*/  temp[0] = GetCharDistance(A[i-1], B[j-1]) + distance[i-1][j-1];  temp[1] = GetCharDistance(A[i-1], ' ') + distance[i-1][j];  temp[2] = GetCharDistance(' ', B[j-1...
  • 这里写自定义目录标题欢迎使用Markdown编辑器新的改变功能快捷键合理的创建标题,有助于目录的生成如何改变文本的样式插入链接与图片如何插入一段漂亮的代码片生成一个适合你的列表创建一个表格设定内容居中、居左、...
  • 问题描述: 给定n个矩阵{A1,A2,…,An},...计算A[i:j]的最优次序所包含的计算矩阵子链A[i:k]和A[k+1:j]的次序也是最优的,即最优解包含着其子问题的最优解,具有最优子结构性质,所以可用动态规划求解。 代码实现...
  • 这里我们用它来举例学习动态规划方法。 先放结论:  动态规划是暴力递归的一种优化。要写出动态规划,首先要写出递归式,然后试着找出最优子结构与重叠子问题。 1.最优子结构就是一个问题的最优解
  • 动态规划(Dynamic Programming,简称DP),虽然抽象后进行求解的思路并不复杂,但具体的形式千差万别,找出问题的子结构以及通过子结构重新构造最优解的过程很难统一,并不像回溯法具有解决绝大多数问题的银弹...
  • 动态规划求解0-1背包问题: 问题:背包大小 w,物品个数 n,每个物品的重量与价值分别对应 w[i] 与 v[i],求放入背包中物品的总价值最大。 动态规划核心:计算并存储小问题的最优解,并将这些最优解组合成大问题的...
  • 三角形最短路径问题 问题描述:给出如图所示的三角形,从顶点开始,求出从顶点开始到最下...动态规划是针对一类求最优解的问题的算法, 其核心是将一个问题分解成为若干个子问题(这里对应下文的子问题使用条件)...
  • 动态规划的基本思想是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题,并将这些子问题的解保存起来,如果以后在求解较大子问题的时候需要用到这些子问题的解,就可以直接取出这些已经计算过的解而免去重复运算。...

空空如也

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动态规划表格求解