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  • (一)理性流体运动微分方程动量守恒) (二)理想流体沿流线伯努利方程(能量守恒) (三)理想流体沿流线伯努利方程的意义 (四)理想流体总流伯努利方程 (五)实际流体总流的伯努利方程 (六)伯努利方程...

    目录

    (一)理性流体运动微分方程(动量守恒)

    (二)理想流体沿流线伯努利方程(能量守恒)

    (三)理想流体沿流线伯努利方程的意义

    (四)理想流体总流伯努利方程

    (五)实际流体总流的伯努利方程

    (六)伯努利方程的推广

    (七)存在机械能输出和输入时总的伯努利方程


    (一)理性流体运动微分方程(动量守恒)

    理想流体微分方程也叫做欧拉运动微分方程。是牛顿第二定律在理想流体中的应用。

    表达式为:

    物理意义:理想流体微分方程表达了作用在单位质量流体上的力与流体运动加速度之间的关系,是流体动力学的基本方程,对于不可压缩和可压缩的流体均适用,也适用于所有的理想流体的运动。

    (二)理想流体沿流线伯努利方程(能量守恒)

    理想流体沿流线的伯努利方程如下所示:

    z_{1}+\frac{p_{1}}{\rho g}+\frac{v_{1}^{2}}{2g}=z_{2}+\frac{p_{2}}{\rho g}+\frac{v_{2}^{2}}{2g}

    适用范围

    • 理想不可压缩流体
    • 质量力只有重力
    • 稳定流动
    • 对于有旋流动,仅适用于同一条流线;对于无旋流动,整个流场都适用。

    (三)理想流体沿流线伯努利方程的意义

    z_{1}+\frac{p_{1}}{\rho g}+\frac{v_{1}^{2}}{2g}=z_{2}+\frac{p_{2}}{\rho g}+\frac{v_{2}^{2}}{2g}

    几何意义

    • z——称为位置水头;
    • \frac{p}{\rho g}——测压管高度,速度水头;
    • z+\frac{p}{\rho g}+\frac{v^{2}}{2g}——水力高度或总水头。

    压力能、动能、位能都是一种能量,他们之间可以相互转换。当流速变小时候,动能转变为压力能,压力能增加。

    对于理想流体恒定流动,三项的能量之和为一常数,表示任意一个流体微元运动过程中的位能、压力能和动能的总和保持不变。所以说理想流体,伯努利方程又是流体力学中的能量守恒定量。

    动能修正系数

    动能修正系数是过流断面流体流动的真实速度所表示的动能与过流断面平均速度所表示的动能之比,用字母α表示。

    即:\alpha =1+\frac{3}{v^{2}A}\int_{0}^{A}\Delta u^{2}dA>1

    上式说明过断流面平均速度计算得到的动能要小于用过断流面真实速度计算所得的动能。是因为断面上速度分布不均匀所引起的,不均匀性越大,α值越大。在实际中,由于流速水头本身所占的比例较小,所以一般取α=1。

    缓变流及其特征

    缓变流:值流线之间的夹角比较小,流线曲率半径比较大,流线几乎是一些平行直线的流动。

    在缓变流中,流体运动的直线加速度和离心加速度都很小,可以忽略由于速度的变化或者方向的变化所产生的惯性力。

    缓变过流断面:如果在流束的某一过流面上的流动为缓变流动,则称此断面为缓变过流断面。

    缓变过流具有以下两个特征

    • 缓变流动中,质量力只有重力。
    • 在同一缓变过流断面上,任何点上的静压水头都相等。

    (四)理想流体总流伯努利方程

    z_{1}+\frac{p_{1}}{\rho g}+\frac{\alpha_{1} v_{1}^{2}}{2g}=z_{2}+\frac{p_{2}}{\rho g}+\frac{\alpha _{2}v_{2}^{2}}{2g}

    适用条件

    理想不可压缩流体在重力场下的稳定缓变流动。

    (五)实际流体总流的伯努利方程

    实际流体总流的伯努利方程式:

    z_{1}+\frac{p_{1}}{\rho g}+\frac{\alpha_{1} v_{1}^{2}}{2g}=z_{2}+\frac{p_{2}}{\rho g}+\frac{\alpha _{2}v_{2}^{2}}{2g}+h_{f_{1-2}}

    适用条件

    • 理想不可压缩流体。
    • 作用在流体上的质量力只有重力。
    • 稳定流动。
    • 沿流程流量保持不变。
    • 所取的过流断面必须是缓变流断面。

    伯努利方程的使用注意事项

    • 与总流的连续性方程式联合使用。
    • 在选取过流断面时,一个过流断面应选在待求未知量所在的断面上,另一个过流断面需要选在已知量较多的断面上,且尽可能使两个断面只包含一个未知数;
    • 为了方便,基准面通常选在过流断面的最低的一个断面上,在同一个问题中,必须使用同一个基准面。
    • 选择的计算点,位置高度z和压力p必须在同一点上。压力可以用绝对压力,也可以使用相对压力,但是两个断面上所用的压力标准必须一致。
    • 所选择的过流断面必须满足缓变流动条件,但在两个缓变过流断面之间的流动,可以是缓变流动也可以是急变流动。
    • 方程中动能修正系数α≈1

    (六)伯努利方程的推广

    流体在流动过程中有分流和汇流。

    分流过程中有q_{1}=q_{2}+q_{3},断面1和2、断面1和3之间的伯努利方程为:

    z_{1}+\frac{p_{1}}{\rho g}+\frac{\alpha_{1} v_{1}^{2}}{2g}=z_{2}+\frac{p_{2}}{\rho g}+\frac{\alpha _{2}v_{2}^{2}}{2g}+h_{f_{1-2}}

    z_{1}+\frac{p_{1}}{\rho g}+\frac{\alpha_{1} v_{1}^{2}}{2g}=z_{3}+\frac{p_{3}}{\rho g}+\frac{\alpha _{3}v_{3}^{2}}{2g}+h_{f_{1-3}}

    在第一个式子和第二个式子两边分别乘以\rho gQ_{2},\rho gQ_{3}再相加,得到总能量守恒的伯努利方程:

    \rho gQ_{1}(z_{1}+\frac{p_{1}}{\gamma}+\frac{\alpha_{1} v_{1}^{2}}{2g})=\rho gQ_{2}(z_{2}+\frac{p_{2}}{\gamma}+\frac{\alpha _{2}v_{2}^{2}}{2g}+h_{f_{1-2}})+\rho gQ_{3}(z_{3}+\frac{p_{3}}{\gamma }+\frac{\alpha _{3}v_{3}^{2}}{2g}+h_{f_{1-3}})

    对于汇流情况,同理列出1、3和2、3的伯努利方程,得到总能量守恒的伯努利方程:

    \rho gQ_{1}(z_{1}+\frac{p_{1}}{\gamma}+\frac{\alpha _{1}v_{1}^{2}}{2g}-h_{f_{1-3}})+\rho gQ_{2}(z_{2}+\frac{p_{2}}{\gamma }+\frac{\alpha _{2}v_{2}^{2}}{2g}-h_{f_{2-3}})=\rho gQ_{3}(z_{3}+\frac{p_{3}}{\gamma}+\frac{\alpha_{3} v_{3}^{2}}{2g})

    (七)存在机械能输出和输入时总的伯努利方程

    沿着总流两过流断面间装有水泵、风机和水轮机等装置,流体流经水泵或者风机时候获得能量,流经水轮机时将失去能量。设流体获得或失去能量头为H,则总流伯努利方程为:

    z_{1}+\frac{p_{1}}{\rho g}+\frac{\alpha_{1} v_{1}^{2}}{2g}\pm H=z_{2}+\frac{p_{2}}{\rho g}+\frac{\alpha _{2}v_{2}^{2}}{2g}+h_{f}

    H前的正号表示获得的能量,负号表示失去的能量。

    以上内容大多来自网络。

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  • 2.66为守恒形式的动量方程。 教材截图来自 [1]何雅玲, 王勇, 李庆. 格子Boltzmann方法的理论及应用[M]. 科学出版社, 2009. Material derivative来自 [2]Timm Krüger, Kusumaatmaja H , Kuzmin A , et al. The ...

    在这里插入图片描述
    2.66为守恒形式的动量方程。

    教材截图来自
    [1]何雅玲, 王勇, 李庆. 格子Boltzmann方法的理论及应用[M]. 科学出版社, 2009.
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    Material derivative来自
    [2]Timm Krüger, Kusumaatmaja H , Kuzmin A , et al. The Lattice Boltzmann method : principles and practice[M]. 2017.
    在这里插入图片描述
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  • 电磁场的能量守恒和动量守恒

    千次阅读 2015-09-26 17:13:41
    麦克斯韦方程组⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∇⋅E=ρε0∇×E=−∂B∂t∇⋅B=0∇×B=μ0j\begin{cases} \nabla\cdot\mathbf E=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}\\ \nabla\times\mathbf E=-\dfrac{\partial B}{\...

    麦克斯韦方程组

    E=ρε0×E=BtB=0×B=μ0j

    (×E)=(Bt)=(B)t=0

    这说明前两个方程是合理、自洽的.但是

    (×B)=(μ0j)=μ0(ρt)

    结果并不总是等于 0 ,为此,Maxwell引入位移电流 jd,即

    ×B=μ0(j+jd)

    由此
    (×B)=[μ0(j+jd)]=μ0[jdρt]=μ0[jdε0(E)t]=0jdε0Et

    所以方程组修改为

    E=ρε0×E=BtB=0×B=μ0j+ε0μ0Et

    洛伦兹力方程

    宏观

    F=qE+qv×B

    微观
    f=ρE+j×B

    Maxwell方程组和洛伦兹力方程一起构成了经典电动力学的基础。

    能量守恒

    能量守恒的目标形式是

    WdτddtωdτSdσ=WdτddtωdτSdτW=dωdtS

    其中 W 是一定空间V内在合体能量增加率, ω 是电磁场能量密度, S 是能流密度.

    W=Ej=E(1μ0×Bε0Et)=1μ0E(×B)ε0EEt=1μ0[(E×B)+B(×E)]ε0EEt=1μ0(E×B)+1μ0B(×E)ε0EEt=1μ0(E×B)+1μ0B(Bt)ε0EEt=[1μ0(E×B)]12t[1μ0B2+ε0E2]

    比较一下理想形式,可以得到

    S=1μ0(E×B)ω=12(1μ0B2+ε0E2)

    动量守恒

    动量守恒的目标形式是

    fdτddtgdτT⃗ dσ=fdτddtgdτT⃗ dτf=dgdtT⃗ 

    其中 f 是一定空间 V 内在合体动能增加率,g是电磁场动量密度, T⃗  是动量流密度.

    f=ρE+j×B=ε0(E)E+(1μ0×Bε0Et)×B=ε0(E)E+1μ0(×B)×Bε0Et×B

    利用Maxwell方程组的另外两个方程
    0=1μ0(B)B+ε0(×E)×E+ε0Bt×E

    两式相加,得

    f=ε0[(E)E+(×E)×E]+1μ0[(B)B+(×B)×B]ε0[Et×BBt×E]

    因为
    (EE)=(E)E+(E)E(×E)×E=(E)E12E2

    所以
    (E)E+(×E)×E=(EE)12E2=(EE)12(E2I⃗ )=(EE12E2I⃗ )

    同理
    (B)B+(×B)×B=(BB12B2I⃗ )

    又有
    t(E×B)=Et×B+E×Bt=Et×BBt×E

    所以得到

    f=ε0t(E×B)(12(ε0E2I⃗ +1μ0B2I⃗ )ε0EE1μ0BB)

    比较一下理想形式,可以得到
    g=ε0E×BT⃗ =12(ε0E2I⃗ +1μ0B2I⃗ )ε0EE1μ0BB

    g=ε0μ0S=Sc2


    本篇主要参考俞允强《电动力学简明教程》

    展开全文
  • 动能公式:   动量公式:   动量守恒:   能量守恒:    根据这些规律可以得到下列方程组:     ...解该方程组,得到下面的公式: ...基本的动量守恒演示:

    动能公式:

     

    动量公式:

     

    动量守恒:

     

    能量守恒: 

     

    根据这些规律可以得到下列方程组:

     

     

    解该方程组,得到下面的公式:

     

     

    把这二个公式相减,可以得到:

    即:

    我们也经常利用这个公式简化运算

     

    基本的动量守恒演示:

    先给ball类添加一个质量"属性"

    一维单轴刚体碰撞测试:

    二维坐标上的刚体碰撞:

    先来看这张图,红球a以Va速度运动,蓝球b以Vb速度运动,二球的连线正好与x轴平行(即:水平对心碰撞),碰撞的过程可以理解为二球水平速度分量Vax,Vbx应用运量守恒与能力守恒的结果(y轴方向的速度不受影响!)

    但很多情况下,二球的连线并非总是与坐标轴平行,比如下面这样:

    思路:仍然利用坐标旋转,先将二个球反向旋转到连线水平位置,然后按常规方式处理,完事后再旋转回来。

    粘连问题:

    反复运行上面这段动画,偶尔可能会发现二个球最终粘在一起,无法分开了,造成这种原因的情况很多,下面的示意图分析了可能的形成原因之一

    解决思路:找出重叠部分,然后把二个小球同时反向移动适当距离,让二个球分开即可

    先来一段测试代码:验证一下是否有效

    水平拖动小球故意让它们重叠,然后点击“分开”按钮测试一下,ok,管用了!

    再回过头来解决运量守恒中的粘连问题:

    只要把EnterFrameHandler中的

    ?
    1
    2
    3
    4
    5
    //相对位置处理 
     
    xA+=vxAFinal; 
     
    xB+=vxBFinal; 

    换成:

    ?
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10
    11
    12
    13
    14
    15
    16
    17
    18
    19
    20
    21
    22
    //相对位置处理(同时要防止粘连)
    //xA+=vxAFinal;
    //xB+=vxBFinal;
    var sumRadius = ballA.radius + ballB.radius;
    var overlap: Number =sumRadius-Math.abs(xA-xB); //计算重叠部分
    //trace(overlap);
         
    //计算每个球所占重叠部分中的比例
    var aRadio: Number = ballA.radius/sumRadius;
    var bRadio: Number = ballB.radius/sumRadius;
         
    //分离判断
    if (overlap> 0 ){
         if (xA>xB){
             xA += overlap*aRadio;
             xB -= overlap*bRadio;
         }
         else {
             xA -= overlap*aRadio;
             xB += overlap*bRadio;
         }
    }

    最后老规矩:来一个群魔乱舞,把一堆球放在一块儿乱撞

    注:这段代码做了优化,把一些公用的部分提取出来封装成function了,同时对于粘连问题的解决,采用了更一种算法

    后记:弄懂了本文中的这些玩意儿有啥用呢?让我想想,或许...公司需要开发一款桌面台球游戏时,这东西就能派上用场吧.

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  • HDU 5066 Harry And Physical Teacher(物理 动量守恒 动能守恒)——BestCoder Round #14
  • 一维动量守恒

    2013-05-08 14:57:50
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  • 动量方程基本表达形式

    千次阅读 2020-07-19 15:39:12
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  • 流体动力学控制方程(详细推导)

    万次阅读 多人点赞 2018-07-06 18:16:00
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空空如也

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动量守恒方程和质量守恒方程