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  • 连续型随机变量单点概率为0以及不可能事件

    万次阅读 多人点赞 2016-05-14 16:47:07
    从定义以及理解上分析为什么连续型随机变量单点概率为0,进一步讨论零概率事件和不可能事件。

    从定义上分析

    对连续性随机变量 X ,我们刻画它使用的是概率分布函数F(x)和概率密度函数 f(x) ,两者互为积分和微分关系:

    F(x)=P(Xx)
    F(x)=xf(x)dx
    以下从定义出发证 P(X=x)=0

    • 从分布函数角度,对任意 x>0 ,有
      0P(X=x)P(xx<Xx)=F(x)F(xx)
      由于连续型随机变量的分布函数是连续函数,因此不等式两边取极限,令 x0+ ,即得证。注意,这对离散型随机变量是不适用的,因为其分布函数为右连续。对于离散型随机变量,其单点概率自然是有意义的。
    • 从概率密度函数角度,在一个点上积分没有意义,结果自然是0。

    理解上

    对于连续性随机变量,可取值范围是无限的,取一个固定值的概率相当于 1N ,而 N ,结果为0。这就好比在实数集随机地抓取,希望抓出来的是你要的那个数,在概率意义上,我们说这件事发生的概率为0。
    这里就有一个难理解的地方了,比如 X[0,1] X 明明是可以取到1的,现在你告诉我X取1的概率为0。回答这个问题就要注意取值空间的无限性、概率的统计定义以及一个事实:概率为0的事件不一定是不可能事件,是有可能发生的

    • 概率是数学世界里对事件发生可能性的一个统计意义上的定义,当面对无限取值空间时,单点概率无限小,我们认为其概率为0实际上是极限意义上的结果,这个过程是一种逼近而非真正等价

    • 而同时,对于真实世界里的概率事件,实际上并不存在一个真正意义上取值空间无限的连续型随机变量,比如受到我们的测量精度的制约,最后都相当于一个有限的离散型变量。像取单点这种概率世界里的零概率事件实际上相当于我们真实世界里的一个极小概率事件,而小概率事件是有可能发生的。只不过我们平时在处理问题的时候,把概率趋近于零的事件算作0概率事件,只是算作,不是绝对的是。

    • 追根溯源,问题的本质在于用数学语言描述概率现象时,这个过程只是近似而非真正等价


    结论

    • 对于连续型随机变量,讨论单点概率是没有意义的(结果为0),我们讨论的是随机变量落在一个区间的概率,且有
      P{aXb}=P{a<Xb}=P{aX<b}
      这也说明了我们为什么针对连续型随进变量引入了概率密度函数,概率密度的含义即随机变量在单位区间上的取值概率。(注意,概率密度值不同于概率值,是可以大于1的。在做贝叶斯分类器或是GMM时,我们用概率密度值代替了概率值,因此算出来的值大于1是非常有可能的。)
    • 连续性随机变量取固定值的概率为0,进一步,取有限个固定值的概率也为0。
    • 零概率事件不一定是不可能事件。当然要具体问题具体分析,特别是面对连续型随机变量时,要分清楚我们是否把概率无限趋近于0的事件算作成了零概率事件。对于离散型随机变量,零概率事件必然是不可能事件。
    • 同样的,概率为1的事件不一定是必然事件。比如 X[0,1] ,既然 X 取1的概率为0,那么0X<1的概率为1,但这一事件不一定必然发生,因为 X <script type="math/tex" id="MathJax-Element-49">X</script>还可能取到1。
    • 而反过来,不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1

    参考

    [1] 施雨,李耀武 《概率论与数理统计应用》
    [2] 零概率和不可能事件 http://wenku.baidu.com/view/470a49d7360cba1aa811da7b.html

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  • 目录 1 基本概念 ...3 连续型随机变量的概率分布 3.1均匀分布 3.1.1 概念 3.2 正态分布 3.2.1 概念 3.3指数分布 3.3.1 概念 3.3.2 举例 4 参考文献 1 基本概念 在之前的博文中,已经明...

    目录

     

    1 基本概念

    2 离散型随机变量的概率分布

    2.1 二项分布

    2.2 超几何分布 

    2.2.1 概念

    2.2.2 举例

    2.3 泊松分布 

    3 连续型随机变量的概率分布

    3.1 均匀分布 

    3.1.1 概念

    3.2 正态分布

    3.2.1 概念

    3.3  指数分布 

    3.3.1 概念

    3.3.2 举例

    4 参考文献


    1 基本概念

    在之前的博文中,已经明白了概率分布函数和概率密度函数。下面来讲解一下常见的离散型和连续型随机变量概率分布。

    在此之前,介绍几个基本概念:

    • 均值(期望值expected value):\mu=E(x)=\sum xp(x)
    • 方差(variance): \sigma^2=E[(x-\mu)^2]=\sum (x-\mu)^2p(x)
    • 标准差(standard deviation):\sigma =\sqrt {\sigma^2}

    其中,可以证明E[(x-\mu^2)]=E(x^2)-\mu^2

    2 离散型随机变量的概率分布

    2.1 二项分布

    如果进行n次不同的实验,每次试验完全相同并且只有两种可能的结果,这样的实验结果分布情况就是二项分布。最简单的比如投掷一枚硬币,不管进行多少次实验,实验结果都只有正面朝上或者反面朝上,这就是一个简单的二项分布。 

    二项分布概率分布:

    p(x)=C_{n}^{x} p^xq^{n-x} \space (x=0,1,2,3···,n)

    其中:n代表n次实验,x表示实验结果为T的次数,q是实验结果为T的概率,q=1-p,表示实验结果为F的概率。

    二项分布的 
    均值:\mu=np
    方差:\sigma^2=npq
    标准差:\sigma=\sqrt {npq}
    二项分布对于结果只有两种情况的随机事件有非常好的描述,属于日常生活中最常见、最简单的随机变量概率分布,在知道某种实验结果概率的情况下,能够很好推断实验次数后发生其中某一结果次数的概率。

    2.2 超几何分布 

    2.2.1 概念

    超几何分布和二项分布比较相似,二项分布每次实验完全一样,而超几何分布前一次的实验结果会影响后面的实验结果。简单地讲,二项分布抽取之后放回元素,而超几何分布是无放回的抽取。 
    超几何分布的概率分布,均值和方差

    p(x)=\frac{C_{r}^{x}C_{N-r}^{n-x}}{C_{N}^{n}}

    \mu=\frac{nr}{N}

    \sigma^2=\frac{r(N-r)n(N-n)}{N^2(N-1)}

    2.2.2 举例

    在一个口袋中装有30个球,其中有10个红球,其余为白球,这些球除颜色外完全相同。游戏者一次从中摸出5个球。摸到至少4个红球就中一等奖,那么获一等奖的概率是多少?

    解:由题意可见此问题归结为超几何分布模型。

    其中N = 30. r = 10. n = 5.

    P(一等奖)= P(X=4)+ P(X=5)

    由公式

     p(X=x)=\frac{C_{r}^{x}C_{N-r}^{n-x}}{C_{N}^{n}}

    ,x=0,1,2,...得:

     

     

    P(一等奖) = 106/3393

    2.3 泊松分布 

    2.3.1 概念

    泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。泊松分布适合于描述单位时间(或空间)内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数,电话交换机接到呼叫的次数,汽车站台的候客人数,机器出现的故障数,自然灾害发生的次数,一块产品上的缺陷数,显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。

    泊松分布的概率分布,均值和方差: 

    p(x)=\frac{\lambda^xe^{-\lambda}}{x!}\space (x=0,1,2,···)

    泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。

    \mu=\lambda

    \sigma^2=\lambda

    2.3.2 举例

    采用0.05J/㎡紫外线照射大肠杆菌时,每个基因组平均产生3个嘧啶二体。实际上每个基因组二体的分布是服从泊松分布的,将取如下形式: 

     

     

     

    ……

    3 连续型随机变量的概率分布

    3.1 均匀分布 

    3.1.1 概念

    均匀概率分布(uniform probability distribution)是指连续随机变量所有可能出现值出现概率都相同。 
    均匀分布 
    均匀分布的概率分布,均值,方差和标准差: 

    f(x)=\frac{1}{b-a}(a\leq x\leq b)

    均值:\mu=\frac{a+b}{2}

    方差:\sigma=\frac{(b-a)^2}{12}
    标准差:\sigma=\frac{b-a}{\sqrt {12}}

    如何求解均值和标准差:

    3.2 正态分布

    3.2.1 概念

    正态分布是统计学中常见的一种分布,表现为两边对称,是一种钟型的概率分布(bell curve),其概率密度图为:

    æ­£æåå¸

    概率密度函数为:

     

    其中,\mu是正态随机变量的均值; \sigma是标准差; \pi是圆周率,约等于3.1416··· ;e=2.71828⋅⋅⋅

    特别的,当\mu=0\sigma=1的正态分布,被称为标准正态分布(standard distribution),此时有:

     

    正态分布转化为标准正态分布: 
    正态分布x,均值是μ,标准差是σ,z定义为z=\frac{x-\mu }{\sigma}

    正态分布来近似二项分布 :
    当n足够大的时候,正态分布对于离散型二项分布能够很好地近似。 
    二项分布

    评价正态分布 :
    如何来确定数据是否正态分布,主要有以下几种方法: 
    1. 图形感受法:建立直方图或者枝干图,看图像的形状是否类似正态曲线,既土墩形或者钟形,并且两端对称。 
    2. 计算区间\bar x\pm s,\bar x\pm 2s,\bar x\pm 3s,看落在区间的百分比是否近似于68%,95%,100%。(切比雪夫法则和经验法则) 
    3. 求IQR和标准差s,计算IQR/s,如若是正态分布,则IQR/s≈1.3.
    4. 建立正态概率图,如果近似正态分布,点会落在一条直线上。 

    æ­£ææ¦çå¾

    3.3  指数分布 

    3.3.1 概念

    指数分布是描述泊松分布中事件发生时间间隔的概率分布。除了用于泊松过程的分析,还有许多其他应用,如以下场景:

    • 世界杯比赛中进球之间的时间间隔
    • 超市客户中心接到顾客来电之间的时间间隔
    • 流星雨发生的时间间隔
    • 机器发生故障之间的时间间隔
    • 癌症病人从确诊到死亡的时间间隔

    指数分布有如下的适用条件: 
    1. x是两个事件发生之间的时间间隔,并且x>0; 
    2. 事件之间是相互独立的; 
    3. 事件发生的频率是稳定的; 
    4. 两个事件不能发生在同一瞬间。

    这几个条件实质上也是使用泊松分布的前提条件。如果满足上述条件,则x是一个指数随机变量,x的分布是一个指数分布。如果不满足上述条件,那么需要使用Weibull分布或者gamma分布。

    指数分布只有一个参数,“λ”,λ是事件发生的频率,在不同的应用场景中可能有不同名称:

    • 事件频率
    • 到达频率
    • 死亡率
    • 故障率
    • 转变率
    • …………

    λ是单元时间内事件发生的次数,这里需要注意的是,单元时间可以是秒,分,小时等不同的单位,同时λ根据单元时间度量的不同,其数值也不一样。如单元时间为1小时,λ为6,则单元时间1分钟,λ为6/60=0.1

    指数分布的概率密度函数(probability density func,PDF)由λ和x(时间)构成:

    f(x)=\lambda e^{-\lambda x}

    均值:\mu=\frac{1}{\lambda}

    方差:\sigma^2=\frac{1}{\lambda}

    3.3.2 举例

    一个设备出现多次故障的时间间隔记录如下:

    23, 261, 87, 7, 120, 14, 62, 47, 225, 71, 246, 21, 42, 20, 5, 12, 120, 11, 3, 14, 71, 11, 14, 11, 16, 90, 1, 16, 52, 95

    根据上面数据,我们可以计算得到该设备发生故障的平均时间是59.6小时,即单位小时时间内发生故障事件的次数为λ=1/59.6=0.0168。 
    那么该设备在3天(72小时)内出现故障的概率是多大呢?即求P(x<72),这就需要计算指数分布的累积分布函数: 

    P(X<72)=\int_{0}^{72}\lambda e^{-\lambda x}dx=1-e^{-\lambda(72)}=1-e^{-0.0168*72}=0.7017
    也即该设备3天内出现故障的概率大于70%。


    4 参考文献

    【1】统计学:离散型和连续型随机变量的概率分布

    【2】指数分布

     

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  • 1.1、定义 1.2、性质 1.3、例 1.3.1、例1 1.3.2、例2 二、三种连续型随机变量 2.1、均匀分布 2.2、指数分布 2.3、正态分布

    一、连续型随机变量

    1.1、定义

    1.2、性质

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    1.3、例

    1.3.1、例1: 由概率密度函数f(x)计算分布函数F(x)

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    1.3.2、例2: 分布函数F(x) 求 概率密度函数f(x)

    注意: 此处密度函数开闭区间没有包含端点,因为连续性随机变量在某个点的分布是0,所以单独改变某个的密度函数,对分布函数没有影响。

    在这里插入图片描述

    1.3.3、例3

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    二、三种连续型随机变量

    2.1、均匀分布

    2.2.1、均匀分布的定义

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    2.1.2、性质: 均匀分布具有等可能性

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    2.1.3、均匀分布的分布函数

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    2.1.4、例

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    2.2、指数分布

    2.2.1、指数分布定义

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    2.2.2、性质: 指数分布具有无记忆性

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    2.2.3、例

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    2.2.4、指数分布用途

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    2.3、正态分布

    2.3.1、正态分布定义

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    拐点:
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    2.3.2、正态分布的概率计算

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    2.3.3、标准正态分布

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    2.3.4、性质

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    2.3.5、例

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    2.3.6、正态分布的标准化

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  • 2018.08.18-更新 概率分布用以表达随机变量取值的概率规律,根据随机变量所属类型的不同,概率分布...连续型随机变量:若随机变量X的分布函数F(X)可以表示为一个非负可积函数f(x)的积分,则称X为连续型随机变量,f...

    2018.08.18-更新

    概率分布用以表达随机变量取值的概率规律,根据随机变量所属类型的不同,概率分布取不同的表现形式

    离散型分布:二项分布、多项分布、伯努利分布、泊松分布

    连续型分布:均匀分布、正态分布、指数分布、伽玛分布、偏态分布、贝塔分布、威布尔分布、卡方分布、F分布

    连续型随机变量:若随机变量X的分布函数F(X)可以表示为一个非负可积函数f(x)的积分,则称X为连续型随机变量,f(x)称为x的概率密度函数,积分值为X的数学期望

    一.伯努利分布

    伯努利分布只有两种可能的结果,1-成功和0-失败,具有伯努利分布特征的随机变量X可以取值为1的概率为p,取值为0的概率1-p,其中成功和失败的概率不一定相等

    成功的概率=0.15,失败的概率=0.85,来自伯努利分布的随机变量X的期望值如为:E(X)=1*p+0*(1-p)=p;随机变量与二项分布的方差为:V(X)=E(X²)–[E(X)]² =p–p²

    二.均匀分布

    均匀分布所有可能结果n个数的发生概率是相等的,均匀分布变量X的概率密度函数([概率密度函数]概念是针对连续分布的,求积分即发生概率)为:

    均匀分布密度函数曲线的形状是一个矩形,这也是均匀分布又称为矩形分布的原因,a和b是参数。例子:花店每天销售的花束数量是均匀分布的,最多为40,最少为10,计算日销售量在15到30之间的概率(即密度函数曲线下的面积):(30-15)*(1/(40-10))=0.5。遵循均匀分布的变量X的期望和方差为:(a+b)/2、(b-a)^2/12

    三.二项分布

    二项分布的每一次尝试都是独立的,前一次投掷的结果不能决定或影响当前投掷的结果,只有两个可能结果并且重复n次的实验叫做二项式。二项分布的参数是n和p,其中n是试验的总数,p是每次试验成功的概率。n次独立重复事件发生k次的概率为:

    均值和方差:np、npq

    #R对应的函数形式,其他分布的函数同理
    dbinom(x, size, prob)	#每个点对应的概率密度值(即发生概率值)
    pbinom(x, size, prob)	#事件的累计概率值
    qbinom(p, size, prob)	#给出累计值(与p概率值匹配)的数字
    rbinom(n, size, prob)	#从样本产生概率生成所需数量的概率值

    四.多项分布

    多项分布是二项分布的推广扩展,在n次独立实验中每次只输出k种结果中的一个,且每种结果都有一个确定概率,多项分布给出在多种输出状态的情况下,关于成功次数的各种组合的概率

    举例投掷n次骰子,这个骰子共有6种结果输出,且1点出现概率为p1,2点出现概率p2,…多项分布给出了在n次试验中,骰子1点出现x1次,2点出现x2次,3点出现x3次,…,6点出现x6次。这个结果组合的概率公式为:

    xi为第i种状态输出结果的频度,根据多项分布的极大似然估计得

    五.正态分布

    正态分布的特征:1.分布的平均值、中位数和模式一致;2.分布曲线是钟形的,关于线x=μ对称;3.曲线下的总面积为1;4.两个正态分布之积仍为正态分布;5.两个独立且服从正态分布的随机变量的和服从正态分布

    若随机变量X服从位置参数\mu尺度参数\sigma ^2的概率分布(N(\mu,\sigma ^2)),且其概率密度函数为:

    正态曲线下横轴上一定区间的面积反映该区间的例数占总例数的百分比,或变量值落在该区间的概率

    “小概率事件”通常指发生概率小于5%的事件(认为在一次实验中几乎不可能发生),X落在3倍标准差以外的概率小于3%,在实际问题中常认为相应的事件不会发生,看作是随机变量X实际可能的取值区间(3\sigma法则)

    六.偏态分布

    偏态分布(特点是左右不对称,频数分布的高峰位于一侧,尾部向另一侧延伸)与正态分布相对,是连续随机变量概率分布的一种,可通过峰度和偏度的计算,衡量偏态程度

    正偏态分布(右偏分布):M>Me>Mo(平均数>中位数>众数)

    负偏态分布(左偏分布):M<Me<Mo(平均数<中位数<众数)

    分组下的众数(均值大于众数为右偏分布,均值小于众数为左偏分布):在组距分组的情况下,众数计算需考虑最大频数所在组相邻组的情况

    L最大频数所在组的下限值,d为最大频数所在组的组距,\Delta1为最大频数所在组频数与上组频数之差,\Delta2为最大频数所在组频数与下组频数之差

    七.泊松分布

    大量事件是有固定频率的。特点:可以预估这些事件的总数,但是没法知道具体的发生时间和发生地点。已知平均每小时出生3个婴儿,请问下一个小时,会出生几个?

    泊松分布的主要特点:

            泊松分布是个计数过程,通常用于模拟一个非连续事件在连续时间中的发生次数

           1.任何一个成功事件不能影响其它的成功事件(N(t+s)-N(t)增量之间互相独立)

           2.经过短时间间隔的成功概率必须等于经过长时间间隔的成功概率

           3.时间间隔趋向于无穷小的时候,一个时间间隔内的成功概率趋近零

           泊松分布即描述某段时间内,事件具体的发生频率。泊松分布的概率分布函数公式如下所示

    等号左边P表示概率,N表示某种函数关系,t表示时间,n表示数量,1小时内出生3个婴儿的概率,就表示为 P(N(1)=3)等号的右边,λ表示事件的频率(如平均每小时出生3个)

    \lambda t表示长度为t的时间间隔中的平均事件数(\lambda为事件的发生率),泊松分布的均值和方差均为\lambda t

    八.指数分布

    指数分布是独立事件发生的时间间隔。例如婴儿出生的时间间隔、来电的时间间隔、奶粉销售的时间间隔、网站访问的时间间隔

    指数分布的公式可以从泊松分布推断出来。如果下一个婴儿出生要间隔时间t,就等同于t之内没有任何婴儿出生

    反过来,事件在时间t之内发生的概率,就是1减去上面的值(即累计分布函数公式)

    指数分布的图形大体如下:随着间隔时间变长,时间的发生概率急剧下降,呈现指数式衰减

    九.伽玛分布

    Gamma分布即多个独立且相同分布的指数分布变量和的分布,即从头开始到第n次事件的发生时间

    ɼ(s,x)=gamma(s)-Γ(s,x)=pgamma(x,s)*gamma(s)
    Γ(s,x)=pgamma(x,s,lower=FALSE)*gamma(s)

    十.贝塔分布

    贝塔分布可以看作是一个描述概率p(定义在区间(0,1))的连续概率分布,当不知道某个具体事件的发生概率时,贝塔分布可以给出所有概率出现的可能性大小

    具体实例帮助理解概念:棒球击球率(batting average)-用一个运动员击中的球数除以击球的总数,我们一般认为0.266是正常水平的击球率,而如果击球率高达0.3就被认为是非常优秀的。现在有一个棒球运动员,希望能预测他在这一赛季中的棒球击球率是多少,但是如果这个棒球运动员只打了一次且命中,那么击球率是100%,这显然是不合理的,因为根据棒球的历史信息知道这个击球率应该是0.215到0.36之间才对。对于这个问题,可以用一个二项分布表示(一系列成功或失败),一个最好的方法来表示这些经验(即先验信息)就是用beta分布,表示在没有看到这个运动员打球之前就有了一个大概的范围。beta分布的定义域是(0,1)这就跟概率的范围是一样的

    将这些先验信息转换为beta分布的参数,知道一个击球率应该是平均0.27左右,而他的范围是0.21到0.35,那么根据这个信息,我们可以取α=81,β=219

    之所以取这两个参数是因为:

    beta分布的期望均值是α/(α+β)=81/(81+219)=0.27

    从图中可以看到这个分布主要落在了(0.2,0.35)间,这是从经验中得出的合理的范围

    beta分布的概率密度函数(体现了beta分布与gamma分布的关系)

    有了先验信息,现在考虑运动员只打一次球,那么他现在的数据就是”1击1中”。这时候就可以更新分布了,让这个曲线做一些移动去适应新信息。beta分布在数学上就给提供了这一性质,他与二项分布是共轭先验。共轭先验就是先验分布是beta分布,而后验分布同样是beta分布。结果很简单:

    beta(a+hits,b+misses)

    其中a和b是一开始的参数,在这里是81和219。在这一例子里a增加了1(击中了一次)。β没有增加(没有漏球)。这就是新的beta分布Beta(81+1,219),beta分布的概率密度函数曲线可能会变得更加陡峭或平稳

    十一.狄利克雷分布

    狄利克雷分布是beta分布在多项情况下的推广,也是多项分布的共轭先验分布,狄利克雷分布的概率密度函数如下

    十二.共轭先验分布

    共轭是选取一个函数作为似然函数的先验概率分布,使得后验分布函数和先验分布函数形式一致(Beta分布是二项式分布的共轭先验概率分布,而狄利克雷分布(Dirichlet分布)是多项式分布的共轭先验概率分布)

    贝叶斯规则:后验分布=似然函数*先验概率分布

    十三.威布尔分布

    又称韦氏分布或韦伯分布,是可靠性分析和寿命检验的理论基础,在可靠性工程中被广泛应用,尤其适用于机电类产品的磨损累计失效的分布形式,被广泛应用于各种寿命试验的数据处理。概率密度函数:

    其中,λ>0为比例参数,k>0是形状参数,当k=1时是指数分布,k=2时是瑞利分布

    k<1表示故障率随时间减小,如果有缺陷的物品早期失效,并且随着缺陷物品从总体中除去,故障率随时间降低,则发生这种情况
    k=1表示故障率随时间是恒定的,这表明随机外部事件正在导致死亡或失败
    k>1表示故障率随时间增加,如果存在[老化]过程,或者随时间推移更可能失败的部分,就会发生这种情况

    十四.卡方分布

    #非中心性参数(非负),ncp=λ(ncp=0与省略该参数使用的算法不同,ncp=0是在极端情况下给出一致的行为),但只能对σ^2=1时进行求解
    rchisq(n, df, ncp = 0)

    十五.F分布

    十六.分布之间的关系

    十七.分布之间的关系

    伯努利分布和二项分布的关系

    1.伯努利分布是二项分布的单次试验的特例,即单次二项分布试验

    2.二项分布和伯努利分布的每次试验都只有两个可能的结果

    3.二项分布每次试验都是互相独立的,每一次试验都可以看作一个伯努利分布

    泊松分布和二项分布的关系

    以下条件下,泊松分布是二项分布的极限形式

    1.试验次数非常大或者趋近无穷,即n→∞;

    2.每次试验的成功概率相同且趋近零,即p→0;

    3.np=λ是有限值

    正态分布和二项分布的关系&正态分布和泊松分布的关系

    以下条件下,正态分布是二项分布的一种极限形式:

    1.试验次数非常大或者趋近无穷,即n→∞;

    2.p和q都不是无穷小

    参数λ→∞的时候,正态分布是泊松分布的极限形式

    指数分布和泊松分布的关系

    如果随机事件的时间间隔服从参数为λ的指数分布,那么在时间周期t内事件发生的总次数服从泊松分布,相应的参数为λt

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空空如也

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单点连续型的随机变量