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  • 除了这些传统的因素分析方法,我们在阅读文献时也能常常遇到“单因素回归分析”这样的说法,例如我们在之前推送的《如何理解回归模型中的“调整”和“独立作用”》一文中所引用的研究实例。表1. 因素(Unvariat.....

    单因素分析,顾名思义就是分析单一因素在组间的差异,例如我们最常用到的t检验、卡方检验、方差分析等等,通过这些传统的单因素分析方法,我们可以简单直接地观察到两组或多组之间均数或者率的分布差异。

    除了这些传统的单因素分析方法,我们在阅读文献时也能常常遇到“单因素回归分析”这样的说法,例如我们在之前推送的《如何理解回归模型中的“调整”和“独立作用”》一文中所引用的研究实例。

    表1. 单因素(Unvariate)Cox风险回归

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    如表1所示,作者在展示Multivariate analysis(多因素分析)结果之前,还展示了Univariate Cox hazard analysis(单因素Cox回归分析)的结果,其计算所得的HR值被描述为Unadjusted HR。那么,这个单因素回归分析又到底是什么鬼?

    其实不难理解,单因素回归分析就是在构建回归模型时,只纳入一个因素进入到回归模型中进行拟合,其理论上也应该属于单因素分析的范畴,只不过是用到了稍微高级一点的回归方法而已。

    可是它和传统的单因素分析之间又有什么区别和联系呢?善于观察和学习的小伙伴们会发现,单因素回归分析与我们常用的传统的单因素分析方法,如t检验、方差分析和卡方检验等方法,它们之间在一定程度上其实是等价的,下面我们来向大家揭示一下这些神奇的等价关系,有兴趣的小伙伴可以自行推导哈。

    t检验 vs 单因素线性回归

    在线性回归中,对于模型整体回归效应的检验方法为方差分析,对于模型偏回归系数的检验方法为t检验。其实在简单线性回归,即单因素线性回归中,如果我们以分组变量作为自变量,待检验的变量作为因变量来构建回归模型,就会发现模型所得的偏回归系数估计值及其标准误,与因变量在两组之间差值的均值和标准误是相等的,且模型对于偏回归系数进行检验所得的t值和P值,也与两组之间t检验的t值和P值是一致的。

    怎么样,不相信?那我们用一组数据来检验一下,如表2和表3所示。(感兴趣的小伙伴可以向小咖索要本文所用到的数据示例哈)

    t检验结果显示SYNTAX指标在两组人群中的差值均值为1.724,标准误为0.873,95% CI为(0.008,3.440),检验统计量t值为1.947,P值为0.049。

    表2. t检验结果

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    单因素线性回归结果显示偏回归系数(β)为1.724,标准误(SE)为0.873,95% CI为(0.008,3.440),检验统计量t值=β/SE,即1.947,P值为0.049,其结果与t检验的结果是一致的,有没有感觉很神奇呢!

    表3. 单因素线性回归分析结果

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    有兴趣的同学可以根据偏回归系数(β)的计算公式及t检验的计算公式进行推导(小咖亲测,可以根据公式推导出来),这样可以加深我们对t检验和线性回归的认识和理解。

    (SPSS操作教程:两个样本均数比较的t检验;多重线性回归)

    方差分析 vs 单因素线性回归

    同样,方差分析与单因素线性回归的结果在一定程度上也是一致的。在方差分析中,由于分组变量一般超过2组,因此在进行单因素线性回归时我们需要先把分组变量转换为哑变量,然后将该哑变量作为自变量带入模型,待检验的变量作为因变量来构建回归模型。

    我们前面已经提到对于线性回归模型整体效应的检验方法为方差分析,其实该方差分析的结果与单因素分析中的方差分析的结果是一致的,并且在模型中各个哑变量的偏回归系数估计值,与方差分析中各组与参照组差值的均值也是相等的。

    如果还是不信,我们再用数据验证一下,如表4和表5所示。

    结果显示,两种方法输出的ANOVA表格的结果是一致的。在方差分析中,以第1组为参照组,第2组和第3组分别和第1组相比,其均值的差值分别为-3.944和-3.873。

    表4. 方差分析结果

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    对应的单因素线性回归中,设第1组为参照组,第2组和第3组哑变量的偏回归系数估计值也分别为-3.944和-3.873,结果是等同的。

    表5. 单因素线性回归分析结果

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    (SPSS操作教程:单因素方差分析;多重线性回归)

    卡方检验 vs 单因素logistic回归

    不仅仅单因素线性回归的结果与t检验、方差分析的结果是一致的,单因素logistic回归的结果和卡方检验的结果也是等价的。在logistic回归中,对于整个模型和回归系数的检验采用的是似然比检验(LR)、Wald检验及Score检验,三者输出的统计量均服从卡方分布。

    不难发现,Score检验的χ2值等于采用卡方检验所求得的Pearson χ2值,同样似然比检验的结果等于卡方检验中的似然比χ2值。

    这回总该信了吧,我们再用数据来检验一下我们的想法,如表6和表7所示。

    结果显示,卡方检验中的Pearson χ2=6.579,P=0.010,logistic回归中Score检验的统计量也为6.579,P=0.010;卡方检验中的似然比χ2=6.443,P=0.011,logistic回归的Omnibus Tests of Model Coefficients表格中,即似然比检验的χ2也为6.443,P=0.011;两者的卡方值和P值都是一致的。

    在卡方检验中风险估计值OR=1.916,95%CI为1.160-3.165,logistic回归估计的OR也为1.916,95%CI为1.160-3.165,两者也是相等的。怎么样,是不是感觉眼前一亮呢?

    表6. 卡方检验的结果

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    表7. logistic回归的结果

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    (SPSS操作教程:卡方检验;二分类Logistic回归)

    既然上面的结果这么完美,单因素回归分析和t检验、方差分析、卡方检验等传统的单因素分析方法的结果是等价的,那么到底应该选用哪种方法更好呢?

    我们在阅读文献时常会发现,有的文章中仅用了传统的单因素分析方法,有的文章仅用了单因素回归分析,还有的文章在做完传统单因素分析后,又继续用单因素回归得出一个Unadjusted OR值,既然两种方法的结果实际上都是等价的,那为什么还要做两次单因素分析呢?

    小咖认为,可以从下面几个角度去考虑(纯属小咖个人想法,欢迎大家修正和补充):

    1. 从统计分析的角度上讲,对于传统的单因素分析方法,其结果展示相对简单,它们仅能提示组间均值或率的分布差异有无统计学显著性;而采用单因素回归分析,除了定性的展示组间差异外,还可以提供更为丰富的信息,比如偏回归系数(β)的估计值、效应估计值(OR、RR值)等等,这些统计指标能够在一定程度上反映该指标的效应大小和可信区间。

    2. 对于回归分析来说,先做单因素回归,再做多因素回归,这种分析思路展现了从单独一个因素到控制多个混杂因素的变化过程。此时,单因素回归分析的结果对于变量的筛选就显得很有意义,我们可以根据前后偏回归系数或者OR值的变化,来协助判断是否需要将其纳入到多因素回归中进行调整和控制。这种筛选变量的原则我们会在后续的文章中进行重点讨论,敬请期待。

    3. 当然,我们在学习统计的时候,书本上对于传统的单因素分析方法以及回归分析方法的讲解往往都是各成一章,老师们也很少去介绍这些方法之间的联系,可能就会误导很多人单纯地认为回归分析比传统的单因素分析要高级一些,但并没有真正认识到它们之间还有这样不可思议的等价关系。

    书本上没讲到的东西,今天的文章也算是给大家扫个盲吧,如果以后在阅读文献时再次遇到Univariate regression analysis或者Unadjusted OR这类的词语,就应该知道是怎么回事了吧。

    参考文献:

    [1] Atherosclerosis. 2011 Sep;218(1):163-7

    [2] 医学案例统计分析与SAS应用(冯国双主编)

    1.单因素分析和多因素分析的结果不一致,怎么办?

    2.单因素分析,到底有没有必要做?

    3.“先做单因素,有意义的做多因素”,这种思路对吗?

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  • 7.1 单因素方差分析 7.1.1 方差分析概念 7.1.2 单因素方差分析的数据结构 例7.1.1三种治疗方案对降血糖的疗效比较 7.1.3 单因素方差分析模型 7.2 双因素方差分析 7.2.2 双因素方差分析的数据结构 ...多元线性回归分析

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    目   录

    7.1 单因素方差分析

    7.1.1 方差分析概念

    7.1.2 单因素方差分析的数据结构

    例7.1.1  三种治疗方案对降血糖的疗效比较

    7.1.3 单因素方差分析模型

    定理7.1.1 总变异 = 组间变异 + 组内变异

    例7.1.1 Matlab求解

    7.2 双因素方差分析

    7.2.1 问题引入

    7.2.2 双因素方差分析的数据结构

    7.2.3 因素方差分析模型

    1. 无交互作用的双因素方差分析模型

    2. 有交互作用的双因素方差分析模型

    7.3 一元线性回归分析

    7.3.1 回归分析的概念

    相关关系的类型

    7.3.2 一元线性回归模型

    1.回归参数的估计

    2.回归模型的显著性检验

    3.回归参数的显著性检验

    7.3.3 一元线性回归分析应用

    7.4 多元线性回归分析

    7.4.1 多元线性回归模型

    多元线性回归分析内容

    7.4.2 回归参数的估计

    7.4.3 回归方程的拟合优度

    7.4.4 显著性检验

    1.模型的显著性检验

    2. 偏回归系数的显著性检验

    7.4.5 共线性诊断

    7.5 牙膏价格问题

    7.5.1 问题描述

    7.5.2 问题分析

    7.5.3 模型假设与符号

    7.5.4 模型建立与求解

    1.牙膏价格差对销售量影响模型

    2.广告费用对销售量影响模型

    3.牙膏价格差与广告费用对销售量影响模型

    4.模型改进

    7.5.5 结果分析

    7.6 方差分析与回归分析的SPSS实现

    7.6.1 SPSS软件概述

    1 SPSS版本与安装

    2 SPSS界面

    3 SPSS特点

    4 SPSS数据

    7.6.2 SPSS与方差分析

    1 单因素方差分析

    2 双因素方差分析

    7.6.3 SPSS与回归分析 

    SPSS回归分析过程

    牙膏价格问题的回归分析


    数学方法解决实际问题,应用数学方法、概念:应用 -> 理论 -> 研究


    常用数据分析统计方法:方差分析、回归分析、主成分分析、因子分析、聚类分析、判别分析...


    历年赛题方法(全国赛):

    • 2010B 上海世博会影响力的定量评估
    • 2012A 葡萄酒的评价(回归分析、关联性分析)
    • 2013A 车道被占用对城市道路通行能力的影响(回归分析)
    • 2017B “拍照赚钱”的任务定价(回归分析、聚类分析)

    主要内容:方差分析、回归分析

    1. 单因素方差分析
    2. 多因素方差分析
    3. 一元回归分析
    4. 多元回归分析

    7.1 单因素方差分析

    数据分析   统计模型:方差分析模型、回归分析模型、主成分分析模型、聚类分析模型、因子分析模型

    7.1.1 方差分析概念

    • 在工农业生产和科学研究中,经常遇到这样的问题:影响产品产量、质量的因素很多,我们需要了解在这众多的因素中,哪些因素对影响产品产量、质量有显著影响。为此,要先做试验,然后对测试的结果进行分析。方差分析(Analysis of Variance,简称ANOVA)就是分析测试结果的一种方法。                主要是多组实验数据比较所采用的方法
    • 方差分析是检验多组样本均值间的差异是否具有统计意义的一种方法。

    例如,医学界研究几种药物对某种疾病的疗效;农业研究土壤、肥料、日照时间等因素对某种农作物产量的影响;不同饲料对牲畜体重增长的效果等都可以使用方差分析方法去解决。

    7.1.2 单因素方差分析的数据结构

    • 若指标观测值X只受一个因素A的影响,检验A在取不同的状态或水平时,对指标值X的影响称为单因素试验
    • 观测值X称为因变量(响应变量),是连续型的数值变量。
    • 因素(Factor)A是影响因变量变化的客观条件。

    设因素A有r个水平,每个水平下重复观测n次(n:重复数),则观测数据为如下形式

       \overline{x_{i}}:第i行的平均值;\overline{x}:整个实验数据的算数平均值(总均值)

    例7.1.1  三种治疗方案对降血糖的疗效比较

    例7.1.1 某医生研究一种四类降糖新药的疗效,按完全随机设计方案治疗糖尿病患者,治疗一月后,记录下每名受试者血糖下降值,资料见下表,问三种治疗方案对降血糖的疗效是否相同?【No,第1组疗效显著高于另外两组!】

    每一组,18名受试验者。3个剂量水平,每个剂量水平 重复观测 18次(n=18)。比较均值!

    7.1.3 单因素方差分析模型

    • 方差分析是从总体上判断多组数据平均数(r≥3)之间的差异是否显著。
    • 方差分析将全部数据看成是一个整体,分析构成变量的变异原因,进而计算不同变异来源的总体方差的估值。然后进行F检验,判断各样本的总体平均数是否有显著差异。若差异显著,再对平均数进行两两之间的比较。

    假设检验:分析数据之间差异是否显著。

       i:代表水平;j:代表重复数

    x_{ij} = \mu _{i} + \varepsilon _{ij} : 观测值 = 治疗方案 + 随机因素

    \mu _{i} :反映第x种(x = 1\2\3)治疗方案的平均治疗水平。

     H0:原假设;各个水平下的均值相同

    H0:先假定不同水平下的均值是相等的;三种治疗方案之间是没有差异的。-> 利用 数据分析 进行检验(类似于 反证法)

    单因素方差分析法是将样本总偏差的平方和分解成两个平方和(因子平方和误差平方和),通过这两个平方和之间的比较,导出假设检验的统计量和拒绝域。

    总偏差平方和:所有数据的偏差平方和。(求和:每个观测值与总均值之间的差的平方。)

    因子平方和:比较各个水平(行)下,数据之间的差异。xi:第i个水平下的样本均值。每个水平下的均值与总均值的偏差平方和。

    误差平方和:各个组内的偏差平方和。每一行数据内部的偏差平方和。主要与 随机误差 有关。

    自由度:自由取值的变量个数。

    定理7.1.1 总变异 = 组间变异 + 组内变异

    ST:所有数据之间的差异(xij之间的差异越大,ST就越大)。

    x_{ij} = \mu _{i} + \varepsilon _{ij} :\mu _{i} (组间变异\不同治疗方案) + \varepsilon _{ij}(组内变异)

    H0:原假设(\mu _{1} = \mu _{2} = \mu _{3} = ... = \mu _{r}

    用“均方和”进行比较:消除自由度的影响。MSA、MSE进行比较:观察SA、SE哪个引起的误差偏大。

    如果,因子平方和 所占的比例较大:各个因子之间的差异较大;

    如果,误差平方和 所占的比例较大:数据之间的差异,主要由随机误差引起。

    数据量越多,随机因素多占的比例越大,ST越大,∴ 用均方和进行比较。

    F(f_{A}, f_{E}) :F分布(第一自由度, 第二自由度)

    第一自由度:(r-1)、(水平数-1)          第二自由度:(n-r)、(样本观测值的个数-水平数)

    H0不合理:SA占的比例越大,F越大,越拒绝原假设。

    一般,r ≥ 3   《概率论与数理统计》

    拒绝原假设(各个水平下的均值相等):各个水平下的均值 有 显著差异。P值越小(小于α)(α一般为0.05)

    例7.1.1 Matlab求解

    % 例7.1.1
    x = xlsread('C:\Users\lwx\Desktop\chapter7.xlsx','Sheet1','A1:C18') % 读取数据
    % 每个水平(列)下 观测值、重复数都是一样的 单因素误差分析:重复数一样的数据容易分析处理
    [p,table,stats] = anova1(x)

    图1:方差分析表        图2:均值盒形图    箱形图    红线:反映平均血糖下降值(第1个下降值最高)     

        

    n:[18 18 18]:样本量          s:残差均方           残差自由度:51       means:均值比较

    三列数据:三组治疗方案的治疗效果;18个测试者;行数:重复数。

    7.2 双因素方差分析

    7.2.1 问题引入

    在实际应用中,指标值(因变量)往往受多个不同因素的影响。不仅这些因素会影响指标值,而且这些因素的不同水平交叉也会影响指标值。统计学中把多个因素不同水平交叉对指标值的影响称为交互作用。在多因素方差分析中,交互作用作为一个新因素来处理。 这里介绍两个因素的方差分析,亦称为双因素方差分析

    7.2.2 双因素方差分析的数据结构

    • 假设在观测指标X的试验中,有两个变化因素A和B。因素A有r个水平,记作A1 ,A2 ,…,Ar;因素B有k个水平,记作B1 ,B2 ,…,Bk;则A 与B的不同水平组合A_{i}B_{j}(i=1,2,…,r;j=1,2,…,k)共有rk个,每个 水平组合称为一个处理,每个处理作m次试验(亦可1次试验),得rkm个观测值x_{ij},双因素的有重复(无重复)观测数据表7.2.2。

       交叉项:重复观测数

    A1、B1水平下,有m个观测值。

    7.2.3 因素方差分析模型

    1. 无交互作用的双因素方差分析模型

    在双因素方差分析中,若不考虑两因素的交互作用效应,数据可采用无重复观测

       类似于 单因素方差分析

    x11...xrk:交叉水平下的观测值。

    \overline{x_{i.}}:第i行的算数平均(代表因素A的各个水平下的样本平均值)

    \overline{x_{.j}}:第j列的算数平均(代表因素B的各个水平下的样本平均值,因素B的第j个水平下 数据的算数平均);

    \overline{x}:所有数据的算数平均(总算数平均值)。

     A_{i}:第i个水平下

    在无交互作用下,分析因素A,B的不同水平对试验结果是否有显著影响,即为检验如下假设是否成立:

     检验两组假设:假设因素A下,不同水平下的均值没有差异;假设因素B...

    类似单因素方差分析数据的处理,在上述定义下,无交互作用双因素方差分析模型中的平方和分解如下。

     m=1的情况。

    SA:不同行数据之间的差异,因素A的不同水平之间的差异;SB:不同列数据之间的差异。SE:随机误差平方和。

    检验两组假设:假设因素A下,不同水平下的均值没有差异;假设因素B...   -->   构造两个检验统计量。

     无交互作用的双因素方差分析

    在Matlab中进行双因素方差分析,采用命令

    [p, table, stats] = anova2(x,reps)

    reps:试验数据(每个交叉水平下)重复次数,缺省时为1。

    % 例7.2.1
    x = [365,350,343,340,323;345,368,363,330,333;
        358,232,353,343,308;288,280,298,260,298]'; % 不转置 也行
    [p,table,stats] = anova2(x)

      此图,表格数据有误。看matlab运行图,即可。

    P值越大,越不拒绝原假设。

    2. 有交互作用的双因素方差分析模型

    在数据分析种,不一定存在交互作用,但是可以通过数据处理来识别有没有交互作用。

    交叉水平下的重复数 m。l:交叉水平下的重复数。

    \overline{x_{i.}}:第i行的算数平均(代表因素A的各个水平下的样本平均值)

    \overline{x_{.j}}:第j列的算数平均(代表因素B的各个水平下的样本平均值,因素B的第j个水平下 数据的算数平均);

    \overline{x_{ij}}:因素A、B交叉水平下的平均值。

    存在交互作用的情况下,双因素方差分析需要检验如下假设

    原假设 H03:假设不存在交互作用。

    有交互作用的双因素方差分析

     重复观测、交互作用影响

    拒绝原假设(各个水平下的均值相等):各个水平下的均值 有 显著差异。P值越小(小于α)(α一般为0.05)

    P值大,不拒绝 原假设。

    % 例7.2.2
    x = [26,19;24,20;27,23;25,22;25,21;
        20,18;17,17;22,13;21,16;17,12];
    [p,table,stats] = anova2(x,5) % 5:每个交叉水平下的重复数

    7.3 一元线性回归分析

     在应用问题研究当中,如果涉及到变量与变量之间的分析,可以借助回归分析来进行研究。

    7.3.1 回归分析的概念

    研究变量间的关系常有两种。

    • 确定性关系函数关系

    如圆面积与圆半径的关系;价格一定时,商品销售额与销售量的关系等。

    • 相关关系

    如父亲与子女身高的关系;收入水平与受教育程度间的关系等。

    变量间的相关关系不能用完全确切的函数形式表示,但在平均意义下 有一定的定量关系表达式。研究总体(总体规律)

    相关关系的类型

       不相关:无明显相关关系

    回归分析(Regression Analysis)就是研究变量间的相关关系的统计方法,是英国生物学家兼统计学家高尔顿在研究父代与子代身高关系时得到的分析方法。

    通过对客观事物中变量的大量观察或试验获得的数据,寻找隐藏在数据背后的相关关系,并给出它们的表达形式——回归函数的估计。

    回归分析主要用于研究指标的估计和预测。

    通过数据分析,得到 回归表达式(回归函数),对变量进行估计、预测。

    设变量y与x(一维或多维)间有相关关系,称x为自变量(解释变量),y为因变量(被解释变量)。

    若x为一般变量,在获得x取值后,设y 的取值为一随机变量,可表示为

                                           y = f(x) + ε

    上式称为一般回归模型,其中ε称为随机误差项,一般假设 ε~N(0, \sigma ^{2})。正态分布

    7.3.2 一元线性回归模型

     r_{xy}:反映 x组数据与y组数据的线性相关程度。

    r_{xy} 越大,线性相关程度越强。            |r_{xy}| ≤ 1              

    一元线性回归分析内容

    (1)回归参数\beta _{0},\beta _{1},\sigma ^{2}的估计

    (2)回归模型的显著性检验

    (3)回归参数的显著性检验

    1.回归参数的估计

    yi:观测值          最小二乘法(参数估计、数据拟合)             \beta _{0}+\beta _{1}x_{i} :yi的回归值

     (7.3.3) 求导式

     \overline{x} , \overline{y}:x、y数据的样本均值

    2.回归模型的显著性检验

    在模型假定下,可以证明

    对模型(7.3.2)的显著性提出假设

          H0 : 回归方程不显著,H1 : 回归方程显著

    如果回归方程显著,意味着SSE应该比较小,F值应该比较大,所以在显著水平α下,当 F\geq F_{\alpha } (1,n-2)时,拒绝原假设,认为回归方程显著。

    3.回归参数的显著性检验

     t^2 = F

    MATLAB进行回归分析的命令为 regress,其调用方式为 [b,bint,r,rint,stats] = regress(y, x) ,其输出结果为

    • b :回归方程的系数
    • bint:回归方程系数的95%置信区间
    • r: 回归方程的残差
    • rint:残差的95%置信区间
    • stats: 可决系数R^{2}、模型检验F值、模型检验P值

    7.3.3 一元线性回归分析应用

    例7.3.1 为研究销售收入与广告费用支出之间的关系,某医药管理部门随机抽取20家药品生产企业,得到它们的年销售收入和广告费用支出(万元)的数据如下表。分析销售收入与广告费用之间的关系。

    分析 由表(1)可得模型检验F值为116.3958,P值非常小,即模型是显著的;由表(2)可得模型的决定系数R^{2} = 0.866067,接近于1,说明模型拟合效果较好;由表(3)可得回归方程的系数\beta _{0} = 274.5502,\beta _{1} = 5.1308,且参数\beta _{1}检验的P值较小,显著非零,则回归方程为

    根据得到的回归方程可进行因变量y的估计和预测。

    7.4 多元线性回归分析

    研究多个变量之间相关性的常用统计方法:多元线性回归分析。

    7.4.1 多元线性回归模型

    实际应用中影响因变量变化的因素往往有多个,例如产出受各种投入要素(资本、劳动力、技术等)的影响;销售额受价格和广告费投入等的影响。      研究 多个变量 影响 因变量的情况。

    回归模型中自变量(解释变量)个数为两个及两个以上时,即为多元回归模型

    多元线性回归模型的一般形式为

     (p=1:一元线性回归模型)

    • \beta _{1}\beta _{2},...,\beta _{p} 称为 偏回归系数              \beta _{0} :辅助作用,根据实际问题分析,选择是否保留。
    • β_{i}\beta _{i} 表示假定其他变量不变,当 xi 每变动一个单位时,y 的平均变动值。 

    多元线性回归分析内容

    1. 回归参数的估计
    2. 回归方程的拟合优度
    3. 显著性检验
    4. 共线性诊断

    7.4.2 回归参数的估计

    x_{np} :第p个自变量的观测值。

    yi的值 由 自变量xi的线性回归值、随机误差 \varepsilon_{i} 的值 所构成。

    Y:因变量构成的列向量;\beta:回归参数向量;\varepsilon:随机误差项构成的向量。

     偏导数 = 0

    7.4.3 回归方程的拟合优度

    7.4.4 显著性检验

    多元线性回归分析的显著性检验包括模型的显著性检验和各偏回归系数的显著性检验。

    1.模型的显著性检验

    2. 偏回归系数的显著性检验

    关于模型的显著性检验 不拒绝 原假设 时,模型是不显著的,此时 不必做 偏回归系数的显著性检验。

    7.4.5 共线性诊断

    多元线性回归分析中,要求回归模型(7.4.1)中自变量之间线性无关。若有两个或两个以上的自变量彼此相关,称模型存在多重共线性

    多重共线性产生的问题

    (1)可能会使回归的结果造成混乱,甚至会把分析引入歧途;

    (2)可能对参数估计值的正负号产生影响,特别是各回归系数的正负号有可能同预期的正负号相反 。

    检测多重共线性的最简单的一种办法是计算模型中各对自变量之间的相关系数,并对各相关系数进行显著性检验。若有一个或多个相关系数显著,就表示模型中所用的自变量之间相关,存在着多重共线性。

    如果出现下列情况,暗示存在多重共线性。(存在多重共线性,需要对模型进行修正)

    • 模型中各对自变量之间显著相关;
    • 当模型的线性关系检验(F检验)显著时,几乎所有回归系数的t检验却不显著;
    • 回归系数的正负号与预期的相反。

    7.5 牙膏价格问题

    7.5.1 问题描述

    某大型牙膏制造企业为了更好地拓展产品市场,有效地管理库存,公司董事会要求销售部门根据市场调查,找出公司生产的牙膏销 售量与销售价格、广告投入等因素之间的关系,从而预测出在不同价格和广告费用下的销售量。表7.5.1是30个销售周期(4周为1销售周期)中收集到的资料。试根据这些数据建立一个数学模型,分析牙膏的销售量与其它因素的关系,为制定价格策略和广告投入提供决策依据。

    7.5.2 问题分析

    1.牙膏价格与销售量

    由于牙膏是小件生活必需品,对大多数顾客来说,在购买同类产品的牙膏时更多地会在意不同品牌中间的价格差异,而不是他们的 价格本身。因此在研究各个因素对销售量的影响时,用价格差代替公司销售价格更为合适。

    通过分析其他厂家牙膏价格与本公司牙膏价格差对销售量的影响关系,建立价格差与销售量的相关模型。

    2.广告费用与销售量

    通过分析广告费用对销售量的影响关系,建立广告费用与销售 量的相关模型。

    7.5.3 模型假设与符号

    实际中,由于影响牙膏销售量的因素有很多,根据问题分析和相关数据,提出假设:

    (1)假设牙膏销售量主要受价格差和广告费用影响,即其它因素对销售量的影响归入随机误差。

    (2)令 y~本公司牙膏销售量;x_{1}~其它厂家牙膏价格与本公司牙膏价格差;x_{2}~本公司广告费用。x_{1}x_{2}对y的影响、建立模型。

    7.5.4 模型建立与求解

    1.牙膏价格差对销售量影响模型

     正相关的线性关系

    2.广告费用对销售量影响模型

       勉强接受:线性关系

    建立模型:多尝试,以合理性为前提,越简单越好。

    3.牙膏价格差与广告费用对销售量影响模型

    由(7.5.1)和(7.5.2),将常数项合并,随机误差项合并,且不考虑牙膏价格差与广告费用对销售量的交叉影响。可得牙膏价格差与广告 费用对销售量影响模型

                                     

    由数据进行回归分析,见表7.5.2

                                        

    4.模型改进

     只考虑 线性关系

    由表7.5.3回归结果可得,修正可决系数为0.874,模型显著性检验的p值为0,模型是显著的。并且各回归参数均显著非0,说明模型 有效,得到牙膏价格差与广告费用对销售量影响模型为

                                                         

    7.5.5 结果分析

                                                         

    由模型(7.5.5)可知,提高本公司牙膏价格,将会减少本公司牙膏销售量,例如,广告费不变时,本公司牙膏价格比其它厂家平均价格 提高1元,估计销售量将会减少约1.468百万支。

    另一方面,一定程度上,增加广告费用将会提高销售量,但过 度增加广告费用就会增加成本。

    根据模型(7.5.5),只要给定了x_{1}x_{2},代入就可以对销售量进行估计和预测,还可以进行一定的置信度下的区间预测。如当x_{1}=0.2,x_{2}=6.5时,可以计算得到销售量的预测值约为8.379(百万支),其95%的预测区间为[7.874, 8.863]。

    在公司管理中,这个预测上限可以用来作为公司的生产和库存数量;而这个预测下限可以用来较好地把握公司的现金流,因为到时至少有7.874百万支牙膏可以有把握的卖出去,可以回来相应的销售款。

    若考虑牙膏价格差与广告费用两个因素间可能会有交互作用,可以将二者的乘积x_{1}x_{2}来表示这个作用对销售量的影响,对原来的模型进行改进,

       

    同理,可对模型7.5.6进行回归分析,研究模型的有效性和显著性(略)。

    7.6 方差分析与回归分析的SPSS实现

    数据统计分析:Matlab、R、SPSS

    7.6.1 SPSS软件概述

    1 SPSS版本与安装

    SPSS的版本每年更新,当前最新为SPSS26.0,较新版本都有中文版,这里以2013年的SPSS22.0中文版为例介绍其安装及应用。

     数学建模【SPSS 下载、安装】

    2 SPSS界面

    SPSS的主要界面 有 数据编辑窗口 和 结果输出窗口。

    SPSS软件在其基本界面上集成了数据录入、转换、检索、统计分析、作图、制表及编辑等功能;采用类似EXCEL表格的方式输入与管理数据,数据接口较为通用,能方便的从其他数据库中读入数据。

    数据编辑窗口:标题栏、菜单栏、工具栏、状态栏、数据视图、变量视图

    控制菜单图标、窗口名称、窗口控制图标、窗口控制按钮

    变量视图

    3 SPSS特点

    • (1)囊括了各种成熟的统计方法与模型,为统计分析用户提供了全方位的统计学算法,为各种研究提供了相应的统计学方法。
    • (2)提供了各种数据准备与数据整理技术。
    • (3)自由灵活的表格功能。
    • (4)各种常用的统计学图形。

    SPSS最突出的特点就是操作界面极为友好,输出结果美观漂亮。SPSS是第一个采用人机交互界面的统计软件,非常容易学习和使用。

    SPSS软件基本操作可通过点击鼠标来完成,有一定统计基础且熟悉Windows一般操作的应用者参考它的帮助系统 基本上 可以自学使用;除了数据录入及部分命令程序等少数输入工作需要使用键盘键入外,对于常见的统计分析方法完全可以通过对“菜单”、“对话框”的操作完成,无需编程。

    4 SPSS数据

    SPSS能够与常用的数据文件格式互交。                  Excel文件

    SPSS数据文件中,变量有三种的基本类型:数值型、字符型和日期型。

    SPSS的文件类型:

    (1)数据文件:拓展名为.sav

    (2)结果文件:拓展名为.spv

    (3)图形文件:拓展名为.cht

    (4)语法文件:拓展名为.sps

    7.6.2 SPSS与方差分析

    【例7.1.1、例7.2.2 Excel文件:链接:https://pan.baidu.com/s/1PLXyYCelCfOGgMPbl7T2AA   提取码:zjxs】

    1 单因素方差分析

    生成数据:1、导入数据;2、手工录入

    54条数据:因变量(血糖下降值)记为A,分组变量(3个组别)记为g。Excel表中,第一行为变量名。

       

      数据视图
    变量视图

    单因素方差分析

      

       

    多重比较:将 各个水平下的均值 进行比较。Tukey:针对重复次数一样的多重比较。显著性水平 默认 0.05。

    左边:输出列表;右边:输出结果(概括性描述)。

    表2:方差极性检验(显著性-P值:0.871)   表3:方差分析表(因子平方和、误差平方和;总平方和)

     只要P值小于0.05,就认为 是有 显著差异的。

    根据多重比较的结果,进行分类得到的分类表。

      

    均值图                      1、2之间,有显著差异;2、3无显著差异。

    2 双因素方差分析

    【例7.1.1、例7.2.2 Excel文件:链接:https://pan.baidu.com/s/1PLXyYCelCfOGgMPbl7T2AA   提取码:zjxs】 

    双因素并且考虑交互作用的方差分析:将分析数据作为因变量指标;将时段、路段两个因素 建立 两个分组变量。

    将Excel表中的数据,导入SPSS。

       

    选择 “模型”:

        

       

    绘图

      -> 点击“添加”  ->   

    事后多重比较

    选项

        

      

        

        

    7.6.3 SPSS与回归分析 

    SPSS回归分析过程

    牙膏价格问题的回归分析

       

       

          

       

    表1:自变量、因变量、标准差...描述结果;表2:相关系数矩阵表---研究共线性;

    模型汇总统计量计算 Model Summary;ANOVA:回归分析的方差分析表;

    coefficients:回归系数估计

    不考虑x2(将x2从模型中去除!)

      

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  • 前面,我们讲了logistic回归,单因素logistic回归分析。今天,我们来讲解一个数据分析的全过程,即所谓的单因素和多因素分析。案例:分析有生育障碍的妇女进行注射HCG后卵巢反应的影响因素,研究收集的参与者数据有...

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    前面,我们讲了logistic回归,单因素logistic回归分析。今天,我们来讲解一个数据分析的全过程,即所谓的单因素和多因素分析。

    案例:

    分析有生育障碍的妇女进行注射HCG后卵巢反应的影响因素,研究收集的参与者数据有高反应和正常反应共336名。按照传统的统计学分析方法,先单因素分析再多因素分析,此处涉及数据隐私,仅放部分数据。

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    [分析]

    以卵巢反应为分组变量,分析的因素有:年龄、吸烟史、不孕类型、妊娠史、BMI、初潮年龄、平均月经周期、不孕持续时间、窦卵泡计数、黄体生成素、MC3雌二醇、MC3孕酮、MC3卵泡刺激素、卵巢反应其中吸烟史、不孕类型和妊娠史为分类资料,其他为连续型资料。

    1 单因素分析

    连续型资料按资料的分布采用t检验或秩和检验,分类资料按数据的类型有卡方检验、秩和检验和秩相关等,详见列联表详解。此研究数据均为无序分类资料,因此仅采用卡方检验或fisher检验即可。

    1.1 对连续的数据进行正态检验,正态的数据采用t检验,偏态的数据采用秩和检验

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    1.2 对分类的资料进行卡方检验

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    注:“-”为采用fisher检验

    2 多因素分析

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    可以看出,当因素分析时,仅窦卵泡计数有模型,有统计学意义。因此,我们可以选择换一种回归方式进行logistic回归,此处选择逐步回归(因为只进入了一个因素,因此无论是逐步,向前或向后等方法,结果是一样)。

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    解释为,窦卵泡每增加一个,发生卵巢高反应的可能增加0.898倍(OR=1.898,95%CI:1.655-2.176)。

    今天就分析到这里,我们下期再见!

    — THE END —

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  • 因素Logistic回归分析结果表明,穿刺次数,定位方法和维持频率是肿瘤患者外周置入中心导管相关血流感染的危险因素,风险几率分别为8.762、9.253和10.324。 结论:对于植入外周中心导管的肿瘤患者,在严格的无菌...
  • 回归分析

    千次阅读 2016-07-19 19:47:06
    本文解释了回归分析的内涵及其优势,重点总结了应该掌握的线性回归、逻辑回归、多项式回归、逐步回归、岭回归、套索回归、ElasticNet回归等七种最常用的回归技术及其关键要素,最后介绍了选择正确的回归模型的关键...

    回归分析是建模和分析数据的重要工具。本文解释了回归分析的内涵及其优势,重点总结了应该掌握的线性回归、逻辑回归、多项式回归、逐步回归、岭回归、套索回归、ElasticNet回归等七种最常用的回归技术及其关键要素,最后介绍了选择正确的回归模型的关键因素。

    什么是回归分析?

    回归分析是一种预测性的建模技术,它研究的是因变量(目标)和自变量(预测器)之间的关系。这种技术通常用于预测分析,时间序列模型以及发现变量之间的因果关系。例如,司机的鲁莽驾驶与道路交通事故数量之间的关系,最好的研究方法就是回归。

    回归分析是建模和分析数据的重要工具。在这里,我们使用曲线/线来拟合这些数据点,在这种方式下,从曲线或线到数据点的距离差异最小。我会在接下来的部分详细解释这一点。

    我们为什么使用回归分析?

    如上所述,回归分析估计了两个或多个变量之间的关系。下面,让我们举一个简单的例子来理解它:

    比如说,在当前的经济条件下,你要估计一家公司的销售额增长情况。现在,你有公司最新的数据,这些数据显示出销售额增长大约是经济增长的2.5倍。那么使用回归分析,我们就可以根据当前和过去的信息来预测未来公司的销售情况。

    使用回归分析的好处良多。具体如下:

    它表明自变量和因变量之间的显著关系;
    它表明多个自变量对一个因变量的影响强度。

    回归分析也允许我们去比较那些衡量不同尺度的变量之间的相互影响,如价格变动与促销活动数量之间联系。这些有利于帮助市场研究人员,数据分析人员以及数据科学家排除并估计出一组最佳的变量,用来构建预测模型。

    我们有多少种回归技术?

    有各种各样的回归技术用于预测。这些技术主要有三个度量(自变量的个数,因变量的类型以及回归线的形状)。我们将在下面的部分详细讨论它们。

    对于那些有创意的人,如果你觉得有必要使用上面这些参数的一个组合,你甚至可以创造出一个没有被使用过的回归模型。但在你开始之前,先了解如下最常用的回归方法:

    1. Linear Regression线性回归

    它是最为人熟知的建模技术之一。线性回归通常是人们在学习预测模型时首选的技术之一。在这种技术中,因变量是连续的,自变量可以是连续的也可以是离散的,回归线的性质是线性的。

    线性回归使用最佳的拟合直线(也就是回归线)在因变量(Y)和一个或多个自变量(X)之间建立一种关系。

    用一个方程式来表示它,即Y=a+b*X + e,其中a表示截距,b表示直线的斜率,e是误差项。这个方程可以根据给定的预测变量(s)来预测目标变量的值。

    一元线性回归和多元线性回归的区别在于,多元线性回归有(>1)个自变量,而一元线性回归通常只有1个自变量。现在的问题是“我们如何得到一个最佳的拟合线呢?”。

    如何获得最佳拟合线(a和b的值)?

    这个问题可以使用最小二乘法轻松地完成。最小二乘法也是用于拟合回归线最常用的方法。对于观测数据,它通过最小化每个数据点到线的垂直偏差平方和来计算最佳拟合线。因为在相加时,偏差先平方,所以正值和负值没有抵消。

    我们可以使用R-square指标来评估模型性能。想了解这些指标的详细信息,可以阅读:模型性能指标Part 1,Part 2 .

    要点:

    自变量与因变量之间必须有线性关系
    多元回归存在多重共线性,自相关性和异方差性。
    线性回归对异常值非常敏感。它会严重影响回归线,最终影响预测值。
    多重共线性会增加系数估计值的方差,使得在模型轻微变化下,估计非常敏感。结果就是系数估计值不稳定
    在多个自变量的情况下,我们可以使用向前选择法,向后剔除法和逐步筛选法来选择最重要的自变量。

    2.Logistic Regression逻辑回归

    逻辑回归是用来计算“事件=Success”和“事件=Failure”的概率。当因变量的类型属于二元(1 / 0,真/假,是/否)变量时,我们就应该使用逻辑回归。这里,Y的值从0到1,它可以用下方程表示。

    odds= p/ (1-p) = probability of event occurrence / probability of not event occurrence
    ln(odds) = ln(p/(1-p))
    logit(p) = ln(p/(1-p)) = b0+b1X1+b2X2+b3X3….+bkXk
    上述式子中,p表述具有某个特征的概率。你应该会问这样一个问题:“我们为什么要在公式中使用对数log呢?”。

    因为在这里我们使用的是的二项分布(因变量),我们需要选择一个对于这个分布最佳的连结函数。它就是Logit函数。在上述方程中,通过观测样本的极大似然估计值来选择参数,而不是最小化平方和误差(如在普通回归使用的)。

    要点:

    它广泛的用于分类问题。
    逻辑回归不要求自变量和因变量是线性关系。它可以处理各种类型的关系,因为它对预测的相对风险指数OR使用了一个非线性的log转换。
    为了避免过拟合和欠拟合,我们应该包括所有重要的变量。有一个很好的方法来确保这种情况,就是使用逐步筛选方法来估计逻辑回归。
    它需要大的样本量,因为在样本数量较少的情况下,极大似然估计的效果比普通的最小二乘法差。
    自变量不应该相互关联的,即不具有多重共线性。然而,在分析和建模中,我们可以选择包含分类变量相互作用的影响。
    如果因变量的值是定序变量,则称它为序逻辑回归。
    如果因变量是多类的话,则称它为多元逻辑回归。
    3. Polynomial Regression多项式回归

    对于一个回归方程,如果自变量的指数大于1,那么它就是多项式回归方程。如下方程所示:

    y=a+b*x^2
    在这种回归技术中,最佳拟合线不是直线。而是一个用于拟合数据点的曲线。

    重点:

    虽然会有一个诱导可以拟合一个高次多项式并得到较低的错误,但这可能会导致过拟合。你需要经常画出关系图来查看拟合情况,并且专注于保证拟合合理,既没有过拟合又没有欠拟合。下面是一个图例,可以帮助理解:

    明显地向两端寻找曲线点,看看这些形状和趋势是否有意义。更高次的多项式最后可能产生怪异的推断结果。
    4. Stepwise Regression逐步回归

    在处理多个自变量时,我们可以使用这种形式的回归。在这种技术中,自变量的选择是在一个自动的过程中完成的,其中包括非人为操作。

    这一壮举是通过观察统计的值,如R-square,t-stats和AIC指标,来识别重要的变量。逐步回归通过同时添加/删除基于指定标准的协变量来拟合模型。下面列出了一些最常用的逐步回归方法:

    标准逐步回归法做两件事情。即增加和删除每个步骤所需的预测。
    向前选择法从模型中最显著的预测开始,然后为每一步添加变量。
    向后剔除法与模型的所有预测同时开始,然后在每一步消除最小显着性的变量。

    这种建模技术的目的是使用最少的预测变量数来最大化预测能力。这也是处理高维数据集的方法之一。

    1. Ridge Regression岭回归

    岭回归分析是一种用于存在多重共线性(自变量高度相关)数据的技术。在多重共线性情况下,尽管最小二乘法(OLS)对每个变量很公平,但它们的差异很大,使得观测值偏移并远离真实值。岭回归通过给回归估计上增加一个偏差度,来降低标准误差。

    上面,我们看到了线性回归方程。还记得吗?它可以表示为:

    y=a+ b*x

    这个方程也有一个误差项。完整的方程是:

    y=a+b*x+e (error term), [error term is the value needed to correct for a prediction error between the observed and predicted value]
    => y=a+y= a+ b1x1+ b2x2+….+e, for multiple independent variables.
    在一个线性方程中,预测误差可以分解为2个子分量。一个是偏差,一个是方差。预测错误可能会由这两个分量或者这两个中的任何一个造成。在这里,我们将讨论由方差所造成的有关误差。

    岭回归通过收缩参数λ(lambda)解决多重共线性问题。看下面的公式

    在这个公式中,有两个组成部分。第一个是最小二乘项,另一个是β2(β-平方)的λ倍,其中β是相关系数。为了收缩参数把它添加到最小二乘项中以得到一个非常低的方差。

    要点:

    除常数项以外,这种回归的假设与最小二乘回归类似;
    它收缩了相关系数的值,但没有达到零,这表明它没有特征选择功能
    这是一个正则化方法,并且使用的是L2正则化。

    1. Lasso Regression套索回归

    它类似于岭回归,Lasso (Least Absolute Shrinkage and Selection Operator)也会惩罚回归系数的绝对值大小。此外,它能够减少变化程度并提高线性回归模型的精度。看看下面的公式:

    Lasso 回归与Ridge回归有一点不同,它使用的惩罚函数是绝对值,而不是平方。这导致惩罚(或等于约束估计的绝对值之和)值使一些参数估计结果等于零。使用惩罚值越大,进一步估计会使得缩小值趋近于零。这将导致我们要从给定的n个变量中选择变量。

    要点:

    除常数项以外,这种回归的假设与最小二乘回归类似;
    它收缩系数接近零(等于零),这确实有助于特征选择;
    这是一个正则化方法,使用的是L1正则化;
    · 如果预测的一组变量是高度相关的,Lasso 会选出其中一个变量并且将其它的收缩为零。

    7.ElasticNet回归

    ElasticNet是Lasso和Ridge回归技术的混合体。它使用L1来训练并且L2优先作为正则化矩阵。当有多个相关的特征时,ElasticNet是很有用的。Lasso 会随机挑选他们其中的一个,而ElasticNet则会选择两个。

    Lasso和Ridge之间的实际的优点是,它允许ElasticNet继承循环状态下Ridge的一些稳定性。

    要点:

    在高度相关变量的情况下,它会产生群体效应;
    选择变量的数目没有限制;
    它可以承受双重收缩。

    除了这7个最常用的回归技术,你也可以看看其他模型,如Bayesian、Ecological和Robust回归。

    如何正确选择回归模型?

    当你只知道一个或两个技术时,生活往往很简单。我知道的一个培训机构告诉他们的学生,如果结果是连续的,就使用线性回归。如果是二元的,就使用逻辑回归!然而,在我们的处理中,可选择的越多,选择正确的一个就越难。类似的情况下也发生在回归模型中。

    在多类回归模型中,基于自变量和因变量的类型,数据的维数以及数据的其它基本特征的情况下,选择最合适的技术非常重要。以下是你要选择正确的回归模型的关键因素:

    数据探索是构建预测模型的必然组成部分。在选择合适的模型时,比如识别变量的关系和影响时,它应该首选的一步。
    比较适合于不同模型的优点,我们可以分析不同的指标参数,如统计意义的参数,R-square,Adjusted R-square,AIC,BIC以及误差项,另一个是Mallows’ Cp准则。这个主要是通过将模型与所有可能的子模型进行对比(或谨慎选择他们),检查在你的模型中可能出现的偏差。
    交叉验证是评估预测模型最好额方法。在这里,将你的数据集分成两份(一份做训练和一份做验证)。使用观测值和预测值之间的一个简单均方差来衡量你的预测精度。
    如果你的数据集是多个混合变量,那么你就不应该选择自动模型选择方法,因为你应该不想在同一时间把所有变量放在同一个模型中。
    它也将取决于你的目的。可能会出现这样的情况,一个不太强大的模型与具有高度统计学意义的模型相比,更易于实现。
    回归正则化方法(Lasso,Ridge和ElasticNet)在高维和数据集变量之间多重共线性情况下运行良好。

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    千次阅读 2019-06-08 19:26:54
    摘要 一元线性回归可以说是数据分析中非常简单的一个知识点,有一点点统计、分析、建模经验的人都知道这个分析的含义,也会用各种工具来做这个分析...在回归分析中,只包括一个自变量和一个因变量,且二者的关系可...
  • #写在前面 说来惭愧,跟师姐聊天的时候,我...当被问到为什么要做多因素时,我想了一下说是为了去除共线性的问题,也就是a再做单因素分析时可能为显著,但是是其他变量带来的协同效应,所以再进入多因素cox回归后,如果
  • 回归分析方法

    2018-05-31 22:55:38
    回归分析是一种预测性的建模技术,它研究的是因变量(目标)和自变量(预测器)之间的关系。这种技术通常用于预测分析,时间序列模型以及发现变量之间的因果关系。例如,司机的鲁莽驾驶与道路交通事故数量之间的关系...
  • 结合实际情况,可以将Logistic回归分析分为3类,分别是二元Logistic回归分析、多元有序Logistic回归分析和多元无序Logistic回归分析,如下图。Logistic回归分析用于研究X对Y的影响,并且对X的数据类型没有要求,X...
  • 多元线性回归分析

    2013-07-04 10:37:46
    回归分析中,如果有两个或两个以上的自变量,就称为多元回归。事实上,一种现象常常是与多个因素相联系的,由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量,比只用一个自变量进行预测或估计更有效,更符合实际。...
  • 回归分析-常用统计量含义解析

    千次阅读 2020-02-04 15:31:56
    线性回归模型预测好坏,评判标准主要观察回归直线与各观测点的接近程度(即直线的拟合优度)。但是如何量化它们之间的接近程度呢?可使用以下常用统计量进行衡量。各统计量分解如下: SST总平方和 SSR回归平方和 ...
  • 本实验通过多元线性回归分析,探究究竟哪些因素是地方财政教育支出(y)的影响因素,并做出预测。现有地区生产总值(x1)、年末常住人口(x2)、居民人均教育文化娱乐消费(x3)、居民教育消费价格指数(x4)、教育支出在地方...
  • 统计学:回归分析

    千次阅读 2018-05-21 10:31:57
    统计模型 统计学要学好,其他的才有的搞。 前言 最近在做信号处理,其中遇到各种小问题,深深地发现自己的统计学知识不够用,于是开始了知识补习之路,但光学没有用,要学以致用,因此...最小二乘法与回归分析...
  • 七种常见的回归分析

    万次阅读 多人点赞 2020-09-26 10:09:32
    什么是回归分析回归分析是一种预测性的建模技术,它研究的是因变量(目标)和自变量(预测器)之间的关系。这种技术通常用于预测分析,时间序列模型以及发现变量之间的因果关系。例如,司机的鲁莽驾驶与道路交通...
  • 回归分析是评估结果变量与一个或多个风险因素或混杂变量之间关系的相关技术。结果变量也被称为应答或因变量,风险因素和混杂因素被称为预测因子或解释性或独立变量。在回归分析中,因变量表示为“y”,自变量表示为...
  • 回归分析——简单线性回归实例讲解(SPSS)

    万次阅读 多人点赞 2020-09-06 22:07:58
    什么是回归分析回归分析是研究自变量与因变量之间数量变化关系的一种分析方法,它主要是通过因变量Y与影响它的自变量Xi(i1,2,3…)之间的回归模型,衡量自变量Xi对因变量Y的影响能力的,进而可以用来预测因变量Y...
  • 专栏的前几期文章,临度简单讲解了基础统计的知识,如:两组定量资料的分析思路之t检验多组样本比较之方差分析 列联表之卡方检验之后介绍了logistic回归,如:统计分析之logistic回归单因素logistic回归分析案例多...

空空如也

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单因素回归分析的意义