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  • 文章目录因子方差分析均匀性检验 因子方差分析 为了调查 1.5 V 3 号干电池的寿命是否由于生产工具的不同而不同,将每个厂的产品各取 5 个,测定其寿命,结果如下: 生产工厂 寿命 寿命 寿命 寿命 寿命 ...

    ANOVA 均匀性检验代码展示

    单因子方差分析

    为了调查 1.5 V 3 号干电池的寿命是否由于生产工具的不同而不同,将每个厂的产品各取 5 个,测定其寿命,结果如下:

    生产工厂寿命寿命寿命寿命寿命
    A124.724.321.619.320.3
    A230.819.018.829.725.1
    A317.930.434.934.115.9
    A423.133.023.025.418.1
    A525.237.531.626.827.5

    对于同一个工厂生产的电池来说,他的寿命是一个随机变量。由于同一个工厂生产出来的产品大致相当,误差应服从正态分布,故随机变量也服从正态分布,即 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\sim N(\mu,\sigma^2) XN(μ,σ2)。所以,对于 A 1 ∼ A 5 A1\sim A5 A1A5 来说,他们的产品都服从正态分布 X i ∼ N ( μ i , σ 2 ) X_i\sim N(\mu_i, \sigma^2) XiN(μi,σ2)。但有一个重要前提,是他们的方差要相同,否则无法进行单因素方差分析。

    单因素方差分析的原假设为 H 0 : μ 1 = μ 2 = ⋯ = μ n H_0:\mu_1=\mu_2=\cdots=\mu_n H0:μ1=μ2==μn,其中 n n n 为工厂的数量。一般地,我们将影响因素成为因子或因素(factor),就本例而言,影响因素是工厂“类型”。

    所以,单因素方差分析,就是为了判断类别型的自变量,对某个数量型的因变量有无影响的判断,且原假设是倾向于没有影响。

    为了判断原假设,需要制定检验统计量。若原假设成立,我们有理由认为,每个样品,无论其生产工厂是谁,它们与其样本均值相差都不会太大,即:
    S s = ∑ ( x i j − x ˉ ) 2 S_s=\sum(x_{ij}-\bar{x})^2 Ss=(xijxˉ)2
    其中 x i j x_{ij} xij 是第 i , i ∈ { 1 , 2 , ⋯   , n } i, i\in\{1,2,\cdots,n\} i,i{1,2,,n} 家工厂生产的第 j , j ∈ { 1 , 2 , ⋯   , n i } j, j\in\{1,2,\cdots,n_i\} j,j{1,2,,ni} 个样品。 x ˉ \bar{x} xˉ 是所有样品的均值:
    x ˉ = ∑ i n ∑ j n i x i j / ∑ i n n i \bar{x}=\sum_i^n\sum_j^{n_i} x_{ij} /\sum_i^n n_i xˉ=injnixij/inni

    由于 S s S_s Ss 从统计学的角度,无法找出一个合适的分布,但考虑到:
    S s = ∑ i n ∑ j n i ( x i j − x ˉ ) 2 = ∑ i n ∑ j n i ( x ˉ i − x ˉ ) 2 + ∑ i n ∑ j n i ( x i j − x ˉ i ) 2 \begin{aligned} S_s&=\sum_i^n\sum_j^{n_i}(x_{ij}-\bar{x})^2 \\ &=\sum_i^n\sum_j^{n_i}(\bar{x}_i-\bar{x})^2 + \sum_i^n\sum_j^{n_i}(x_{ij}-\bar{x}_{i})^2 \end{aligned} Ss=injni(xijxˉ)2=injni(xˉixˉ)2+injni(xijxˉi)2
    仔细观察上式,会发现第一项是属于同一个工厂的产品与其均值的差别,是同一个工厂(因素)的方差,我们可以称之为组内方差;第二项是每一个工厂的均值,与总均值之间的差别,是不同工厂的方差,我们称之为组间误差。于是我们可以把上式改写为:
    S s = S S 1 + S S 2 S_s = SS_1 + SS_2 Ss=SS1+SS2

    而我们知道,若不同厂家生产出来的产品如果没有显著差异,那么式:
    S S 1 S S 2 \frac{SS_1}{SS_2} SS2SS1
    应该比较小。也即组间方差,比组内方差会比较小。

    但是 S S 1 S S 2 \frac{SS_1}{SS_2} SS2SS1 似乎没有一个特定的分布。但我们知道 S S 1 SS_1 SS1 X i ∼ N ( μ i , σ 2 ) X_i\sim N(\mu_i, \sigma^2) XiN(μi,σ2) 时,满足 S S 1 ∼ χ 2 ( n − 1 ) SS_1\sim \chi^2(n-1) SS1χ2(n1)。令 ∑ j n j = m \sum_j n_j =m jnj=m,即样品总量记为 m m m,则 S S 2 SS_2 SS2 X i ∼ N ( μ i , σ 2 ) X_i\sim N(\mu_i, \sigma^2) XiN(μi,σ2) 时,满足 S S 2 ∼ χ 2 ( m − n ) SS_2\sim \chi^2(m-n) SS2χ2(mn)。 所以 S S 1 / ( n − 1 ) S S 2 / ( m − n ) \frac{SS_1/(n-1)}{SS_2/(m-n)} SS2/(mn)SS1/(n1) 服从 F 分布:
    F = S S 1 / ( n − 1 ) S S 2 / ( m − n ) ∼ F ( n − 1 , m − n ) F=\frac{SS_1/(n-1)}{SS_2/(m-n)}\sim F(n-1, m-n) F=SS2/(mn)SS1/(n1)F(n1,mn)
    我们也称 F F F 为检验统计量。

    于是,以上述工厂-电池寿命为例,可算出 F = 1.17 F=1.17 F=1.17

    而在检验水平为 0.05 的情况下,F 分布在自由度为(4,20)的临界值为 2.866。于是,接受原假设,即可以认为工厂的规格,生产的电池的寿命没有影响。

    均匀性检验

    均匀性检验在 允差无法获取的情况下,一般会采用 ANOVA 进行。此时,一般会对多个样品(全检)测试至少 2 次以上。这时候,样品就是一个因素,相当于工厂,检测得到的多个值,就相当于工厂生产的电池。

    均匀性是检验不同样品,是否“相同”, 换到 ANOVA,就是样品的种类,会不会导致不用样品的测试值有较大差异。

    为什么可以用 ANOVA 呢?第一是因为正态性可以满足,对一个样品的测试值是一个随机变量,其分布取决于仪器的误差,误差一般可以认为是服从正态分布的,故满足正态性;其二,由同一厂家生产的样品,其方差肯定是相同的,满足方差齐性;均匀性检验的重复性,决定了测试数据的独立性,故可以使用 ANOVA。

    以 CNAS-GL003 给出的例子为了:
    在这里插入图片描述
    算出方差分析表,如下所示:
    在这里插入图片描述
    F 的计算值小于临界值,故可认为是均匀的。

    代码

    # -*- coding: utf-8 -*-
    import pandas as pd
    import numpy as np
    from scipy.stats import f
    import xlsxwriter
    
    file_path = r'../附件/食用油BHA.xlsx'
    X = pd.read_excel(file_path)
    
    def anova(X, alpha=0.05, test_along_row=True, verbose=True):
        '''
        若 test_along_row 意味着对同一个水平的测试是分布在行上的。
        例如,若 test_along_row = True:
        则表格的表头大致如下:
        水平(样品号): 测试1、测试2、测试3、...、测试 n
        '''
        
        X.drop(columns=X.columns[0], axis=1, inplace=True)
        
        rows, columns = X.shape
        # 样本容量
        m = rows*columns
        
        # 组内方差
        SS2 = 0
        # 组间方差
        SS1 = 0
        # 总均值
        bar_bar_x = 0
        bar_x = []
        for i in range(rows):
            # 求组内样品均值
            x_ij = X.iloc[i, :].values
            bar_x_i= x_ij.mean()  
            # 组内方差
            SS2 += np.square((x_ij-bar_x_i)).sum()
            # 总均值
            bar_x.append(bar_x_i)
    
        # 将 list 转换为 np.array
        bar_x = np.array(bar_x)
        bar_bar_x = bar_x.mean()
        # 求组间方差
        SS1 = columns*np.square((bar_x - bar_bar_x)).sum()
        # 组间自由度
        dfn = rows-1
        # 组内自由度
        dfd = m-rows
        # 求组间均方
        MS1 = SS1/dfn
        # 求组内均方
        MS2 = SS2/dfd
        # 检验统计量 F
        F = MS1/MS2
        # F 在 p=0.95 时的值
        F_alpha = f.ppf(1-alpha, dfn, dfd)
        
        if verbose:
        # 如果不愿输出 Excel 表格,可以将 verbose 设置为 False
            workbook = xlsxwriter.Workbook(r'../附件/ANOVA 结果.xlsx')
            worksheet = workbook.add_worksheet()
    
            cell_format = workbook.add_format()
            cell_format.set_border()
            cell_format.set_align('center')
            cell_format.set_align('vcenter')
    
            data_A = ['方差来源', '样品间', '样品内']
            data_B = ['自由度', dfn, dfd]
            data_C = ['平方和', SS1, SS2]
            data_D = ['均方', MS1, MS2]
            data_E = ['F', F]
            # 构造表格
            for i in ['A', 'B', 'C', 'D', 'E']:
                data = vars()[f'data_{i}']
                worksheet.write_column(f'{i}1', data, cell_format)
    
            workbook.close()
        
        text = r'''
            显著水平为{alpha}, 临界值为 F={F_alpha}
        '''.format(alpha=alpha, F_alpha=F_alpha)
        
        
        if F<F_alpha:
            text += '''
            F 的计算值为 {F} < F 临界值,这表明在{alpha}显著水平下,样本是均匀的。
            '''.format(F=F, alpha=alpha)
            print(text)
        else:
            text  += '''
            F 的计算值为 {F} > F 临界值,这表明在{alpha}显著水平下,样本不通过均匀性检验。
            '''.format(F=F, alpha=alpha)
            print(text)
        
        return F, MS1, MS2, dfn, dfd, bar_bar_x, F_alpha
    
    
    F, MS1, MS2, dfn, dfd, bar_bar_x, F_alpha = anova(X, test_along_row=True)
    
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  • spss教程进行单因素方差分析(图文教程) 单因素方差分析原理 因变量:连续变量 自变量:多分类 用来测试某一个控制变量的不同水平是否给观察变量造成显著差异和变动。 方差分析前提:不同水平下,各总体均值...

    spss教程进行单因素方差分析(图文教程)

     

    单因素方差分析原理

    变量:连续变量

    自变量:多分类 

    用来测试某一个控制变量的不同水平是否给观察变量造成显著差异和变动。

    方差分析前提:不同水平下,各总体均值服从方差相同的正态分布。所以方差分析就是研究不同水平下各个总体的均值是否有显著的差异。统计推断方法是计算F统计量,进行F检验,总的变异平方和 SST,控制变量引起的离差SSA(Between Group离差平方和),另一部分随机变量引起的SSE(组内Within Group离差平方和),SST=SSA+SSE。

    简单来说:数据具有独立性(主要看数据背景)、数据要符合正态性(直方图、P-P图、Q-Q图)、不同水平的方差齐性等不等

    计算检验统计量的观察值和概率P值:Spss自动计算F统计值,如果相伴概率P小于显著性水平a(一般取0.05),拒绝零假设,认为控制变量不同水平下各总体均值有显著差异,反之,则相反,即没有差异。

     

    spss实现单因素方差分析

    现希望比较四种胶合板的耐磨性,分别从这四个品牌的胶合板中抽取了5个样品,在相同的转速下磨损相同时间,测量其被磨损的深度(mm),现希望对此进行分析

    首先检验数据源是否适用单因素方差分析

    • 数据符合独立性
    • 由于数据量偏少,不符合正态也可以理解
    • 方差齐性检验:控制变量不同水平下各观察变量总体方差是否相等进行分析。采用方差同质性检验方法(Homogeneity of variance),原假设“各水平下观察变量总体的方差无显著差异,思路同spss两独立样本t检验中的方差分析”。 图中相伴概率0.515大于显著性水平0.05,故认为总体方差相等。

     

    数据集如下

    2.30	A
    2.32	A
    2.40	A
    2.45	A
    2.58	A
    2.35	B
    2.30	B
    2.42	B
    2.60	B
    2.35	B
    2.20	C
    2.00	C
    1.90	C
    2.10	C
    2.03	C
    2.54	D
    2.61	D
    2.60	D
    2.57	D
    2.54	D

     

    由于单因素自变量要求是数值型变量,数据不满足模型要求,先进行自动重新编码

    我们接下来进行方差齐性检验和单因素方差分析,这两个步骤可以并行一行弄得,SPSS有提供相关方法

    (分析--比较均值--单因素ANOVA)

    对比下面的方差同质性检验方法就是检验方差齐性的

    之后点击确定

    结果显著性0.311大于显著性水平0.05,所以各水平满足方差齐性

    单因素方差分析显著性P=0小于显著性水平a=0.05,拒绝零假设,认为控制变量不同水平下各总体均值有显著差异

     

    多重比较检验(拒绝了原假设,这一步才有意义)

    假如不同水平下各总体均值有显著差异可继续进行这一步

    多重比较检验:单因素方差分析只能够判断控制变量是否对观察变量产生了显著影响,多重比较检验可以进一步确定控制变量的不同水平对观察变量的影响程度如何,那个水平显著,哪个不显著。

    (分析--比较均值--单因素ANOVA)

    两两比较方法 

    • LSD法:实际上就是t检验的变形,只是在变异和自由度的计算上利用了整个样本信息,因此仍然存在放大一类错误的问题
    • Scheffe法:当各组人数不相等,或者想进行复杂的比较时,用此法较为稳妥。但它相对比较保守
    • S-N-K法:是运用最广泛的一种两两比较方法。它采用Student Range 分布进行所有各组均值间的配对比较。该方法保证在H0真正成立时总的α水准等于实际设定值,即控制了一类错误
    • Tukey法对一、二类问题控制得很好,首选
    • Bonferroni法:LSD法的改进,有效控制假阳性(第一类错误)

     

    什么是证实性研究呢?

    研究者都有明确的研究目的和具体的研究假设,已经事先定义好谁和谁比较了,而不是探索性研究,也就是所有自变量全部对比一遍

     

    点击确定,得到结果

    方差不齐有什么矫正的方法吗?

    方差分析对各组方差的方差齐性(也就是各组方差是否一致)有要求,如果方差不齐,你不能使用方差分析。不过,SPSS统计软件的one way ANOVA在方差不齐时是可以使用的,此时你应该使用Brown-Forsythe或Welch的修正值。当你想看哪两组有差异时,可以使用one way ANOVA自带的Post Hoc Tests,方差不齐时使用不等方差假设项下的Tamhane's T2或Dunnett's T3等。

     

    方差不齐时的两两比较方法

    一般认为是Games-Howell法稍好一些,但最好直接使用非参数检验方法

     

    相似性子集

    相似性子集:由图可知,划分的子集结果是一样的。通常在相似性子集划分时多采用S-N-K方法的结论。其结论可以与上述多重比较检验结合起来看,验证在LSD项中,A与B没有显著差异的结论。

    当然也会我们也会看到下面方法可以看出使用不同方法得到划分相似性子集不一样,是因为各个数学家使用的方法原理不一样所以得到不一样的结果

     

    我们还可以看单因素方差分析的参数估计和对比系数矩阵(分析----一般线性模型----选项)

     

    参数估计要结合对比系数矩阵来查看,上图框红框证明是第一个和第四个做比较

    参数估计中brandnew4为0,证明以第四个品牌为参考水平均值,其均值就等于截距2.572

    brandnew1为-0.162,所以brandnew1的均值为水平均值-0.162=2.572-0.162

     

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  • 方差齐性检验2.1 Bartlett检验,适用于正态分布数据2.2 Levene检验,非正态分布与正态分布数据均适用3. t 检验3.1 样本t检验3.2 两独立样本t检验3.3 两配对样本t检验4. 方差分析5. 秩和检验5.1 两样本比较5.2 多...

    1. 正态性检验

    单变量正态性检验

    1.1 Shapiro-Wilk正态检验方法

    # 示列:
    shapiro.test(var) 
    # 正态性检验,p-value 大于0.05时为正态分布
    

    说明:对小样本资料才进行正态性检验,大样本可放松此要求。以上检验方法要求样本在3-5000之间。

    1.2 QQ图

    示列
    qqnorm(MS$MMSE) # 绘制QQ图
    qqline(MS$MMSE) # 添加趋势线
    # 若QQ图在一条直线附件,说明比较正态
    

    2. 方差齐性检验

    2.1 Bartlett检验,适用于正态分布数据

    # 示列
    # 两样本比较
    bartlett.test(var1 , var2)
    # 有分组变量
    bartlett.test(var1 ~ groupvar) # group可以是多分组
    # 方差齐性检验p-value大于0.05时为齐性
    

    2.2 Levene检验,非正态分布与正态分布数据均适用

    library(carData)
    library(car)
    leveneTest(var1, groupvar, center=median, ...)
    # 注意,groupvar需要是factor,可以提前转换为factor。
    # 或leveneTest(var1, as.factor(groupvar))
    # 方差齐性检验,p-value大于0.05时为方差齐性
    

    3. t 检验

    注意,t检验,方差分析等需要满足一些前提条件,尤其是小样本。若不适合可选择秩和检验

    官方示列:

    t.test(x, ...)
    t.test(x, y = NULL,
           alternative = c("two.sided", "less", "greater"),
           mu = 0, paired = FALSE, var.equal = FALSE,
           conf.level = 0.95, ...)
    # x: a (non-empty) numeric vector of data values.
    # y: an optional (non-empty) numeric vector of data values.
    # paired = FALSE, var.equal = FALSE为默认选项,默认非配对样本,
    # 默认方差不齐
    # p-value小于0.05差异有统计学意义
    

    3.1 单样本t检验

    检验样本均数与总体均数的差异

    t.test(var, mu = )
    

    3.2 两独立样本t检验

    t.test(var1,var2)
    t.test( var1~ groupvar)
    

    3.3 两配对样本t检验

    t.test(var1,var2,paired = TRUE)
    # 既然是配对样本,需要两样本一一对应
    

    4. 方差分析

    官方示列:

    aov(formula, data = NULL, projections = FALSE, qr = TRUE,
        contrasts = NULL, ...)
        
    oneway.test(formula, data, subset, na.action, var.equal = FALSE)
    
    pairwise.t.test(x, g, p.adjust.method = p.adjust.methods,
                    pool.sd = !paired, paired = FALSE,
                    alternative = c("two.sided", "less", "greater"),
                    ...)
    # p-value小于0.05有统计学意义
    

    本节仅展示单因素方差分析

    my1 <- summary(aov(var1~groupvar, data = mydata))
    #结果存储于my1中,注意:my1为list形式。
    #若不满足方差齐性且每组样本数也不平衡,
    #还可以使用oneway.test()
    oneway.test(var1~groupvar, data = mydata)
    #若方差分析结果显示组间有差异,还可进一步两两比较
    pairwise.t.test(var1, groupvar, p.adjust.method = "holm") 
    #method 默认"holm",还可用"bonferroni", "BH"等p值校正方法
    #注意,此处用,分隔var与group。
    

    5. 秩和检验

    官方示列:

    wilcox.test(x, ...)
    wilcox.test(x, y = NULL,
                alternative = c("two.sided", "less", "greater"),
                mu = 0, paired = FALSE, exact = NULL, correct = TRUE,
                conf.int = FALSE, conf.level = 0.95,
                tol.root = 1e-4, digits.rank = Inf, ...)
    kruskal.test(x, ...)
    kruskal.test(x, g, ...)
    kruskal.test(formula, data, subset, na.action, ...)
    #  p-value小于0.05有统计学意义
    

    5.1 两样本比较

    wilcox.test(var1,var2) # 两独立样本
    wilcox.test(var1,var2,paired = TRUE) #两配对样本
    wilcox.test(var~groupvar) #分组变量为groupvar
    

    5.2 多样本比较

    kruskal.test(var~groupvar,mydata) # 多样本比较
    kruskal.test(var1,var2,var3,……) #多样本比较
    

    参考资料:《R语言实战》、《R官方帮助文件》等

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  • 单因素方差分析(one-way analysis of variance, ANOVA)单因素方差分析常用于判断在多个分组中某个指标是否具有显著差异。 例: 这里有3组数字。 原假设:这3组数无显著差异。 from scipy import stats x = ...

    单因素方差分析(one-way analysis of variance, ANOVA)单因素方差分析常用于判断在多个分组中某个指标是否具有显著差异。

    例:

    这里有3组数字。

    原假设:这3组数无显著差异。

    from scipy import stats
    
    x = [[0.22, 0.17, 0.17, 0.22, 0.17, 0.11, 0.39, 0.17, 0.28, 0.17, 0.44, 0.39, 0.33, 0.39, 0.39],
         [0.78, 0.78, 0.61, 0.67, 0.5, 0.67, 0.67, 0.44, 0.78, 0.72, 0.83, 0.67, 0.72, 0.72, 0.89],
         [0.11, 0.17, 0.11, 0.33, 0.22, 0.06, 0.39, 0.22, 0.11, 0., 0.11, 0.33, 0.22, 0.28, 0.06]]
    
    args = []
    args.append(x[0])
    args.append(x[1])
    args.append(x[2])
    
    f, p = stats.f_oneway(*args)
    print(f, p)  # 
    
    
    if p < 0.005:
        print('p < 0.005')  
    
    #  out:
    #  87.61973236009725 1.0292524133890751e-15
    #  p < 0.005

    由于P值 < 0.05,所以我们拒绝原假设,认为这3组数至少有两组具有显著性的差异。

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空空如也

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单因素方差分析方差齐性检验