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  • 单因素方差分析

    千次阅读 2015-10-05 21:21:22
    单因素方差分析概念: 是用来研究一个控制变量的不同水平是否对观测变量产生了显著影响。这里,由于仅研究单个因素对观测变量的影响,...单因素方差分析步骤: 第一步是明确观测变量和控制变量。例如,上述问题中的

    单因素方差分析概念:

    是用来研究一个控制变量的不同水平是否对观测变量产生了显著影响。这里,由于仅研究单个因素对观测变量的影响,因此称为单因素方差分析。

    例如,分析不同施肥量是否给农作物产量带来显著影响,考察地区差异是否影响妇女的生育率,研究学历对工资收入的影响等。这些问题都可以通过单因素方差分析得到答案。

    单因素方差分析步骤:

    第一步是明确观测变量控制变量。例如,上述问题中的观测变量分别是农作物产量、妇女生育率、工资收入;控制变量分别为施肥量、地区、学历。 
    第二步是剖析观测变量的方差。方差分析认为:观测变量值的变动会受控制变量和随机变量两方面的影响。据此,单因素方差分析将观测变量总的离差平方和分解为组间离差平方和组内离差平方和两部分,用数学形式表述为:SST=SSA+SSE。 
    第三步是通过比较观测变量总离差平方和各部分所占的比例,推断控制变量是否给观测变量带来了显著影响。

    单因素方差分析原理总结:

    在观测变量总离差平方和中,如果组间离差平方和所占比例较大,则说明观测变量的变动主要是由控制变量引起的,可以主要由控制变量来解释,控制变量给观测变量带来了显著影响;反之,如果组间离差平方和所占比例小,则说明观测变量的变动不是主要由控制变量引起的,不可以主要由控制变量来解释,控制变量的不同水平没有给观测变量带来显著影响,观测变量值的变动是由随机变量因素引起的。


    随机在A、B、C三地抽取家蝇,测量翅膀长度,一共五十个样本,数字特征分别为μ1、μ2和μ3。问题:三地家蝇翅膀长度是否有差异?H0假设:μ1=μ2=μ3,即三地家蝇翅膀长度无显著差异;Ha假设:μ1,μ2,μ3不完全相等,即三地家蝇翅膀长度至少有一个与其他样地有显著差异,α=0.05。R代码和结果:

    # 输入数据
    site1 <- c(45, 44, 43, 47, 48, 44, 46, 44, 40, 45, 42, 40, 43, 46, 47, 45, 46, 45, 43, 44)
    site2 <- c(45, 48, 47, 43, 46, 47, 48, 46, 43, 49, 46, 43, 47, 46, 47, 46, 45, 46, 44, 45, 46, 44, 43, 42, 45)
    site3 <- c(47, 48, 45, 46, 46, 44, 45, 48, 49, 50, 49, 48, 47, 44, 45, 46, 45, 43, 44, 45, 46, 43, 42)
    fly.survey <- data.frame(length = c(site1, site2, site3), site = factor(c(rep("1", 20), rep("2", 25), rep("3", 23))))
    # 检查数据
    options(digits = 3) # default value = 7
    tapply(fly.survey$length, fly.survey$site, mean)
    ## 1 2 3
    ## 44.4 45.5 45.9
    tapply(fly.survey$length, fly.survey$site, var)
    ## 1 2 3
    ## 4.56 3.26 4.48
    boxplot(length ~ site, data = fly.survey, xlab = "Sites", ylab = "Length")
     
    # Bartlett Test方差齐性检验(参数)
     
    bartlett.test(length ~ site, data = fly.survey)
    ##
    ## Bartlett test of homogeneity of variances
    ##
    ## data: length by site
    ## Bartlett's K-squared = 0.764, df = 2, p-value = 0.6825
    # 单因子方差分析One Way ANOVA
    fit <- aov(length ~ site, data = fly.survey)
    summary(fit)
    ## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
    ## site 2 26.3 13.15 3.24 0.045 *
    ## Residuals 65 263.4 4.05
    ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
    plot(fit)

    单因子方差分析结果显示F value = 3.24 ,Pr(>F) = 0.045,因此拒绝H0假设,即认为三地家蝇翅膀长度在统计学上有显著差异。

    转自:http://songchunlin.net/anova-with-r/

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  • 单因素方差分析的计算步骤

    千次阅读 2020-03-03 23:41:30
    假定实验或观察中只有一个因素(因子)A(比如说试剂浓度),有m个水平。各在每一种水平下,做n次实验。XijX_{ij}Xij​表示第j个水平下的第i次实验。 实验次数 A1水平 A2水平 … Am水平 1 X11X_{11}X11​ X...

    假定实验或观察中只有一个因素(因子)A(比如说试剂浓度),有m个水平。各在每一种水平下,做n次实验。 X i j X_{ij} Xij表示第j个水平下的第i次实验。

    实验次数A1水平A2水平Am水平
    1 X 11 X_{11} X11 X 12 X_{12} X12 X 1 m X_{1m} X1m
    2 X 21 X_{21} X21 X 22 X_{22} X22 X 2 m X_{2m} X2m
    i X i 1 X_{i1} Xi1 X i 2 X_{i2} Xi2 X i m X_{im} Xim
    n X n 1 X_{n1} Xn1 X n 2 X_{n2} Xn2 X n m X_{nm} Xnm

    为了考察因素A对实验结果是否有显著性影响,即看各个水平之间实验结果均值的差异。把因素A的m个水平看成是m个正态总体, X ∼ N ( a j , σ 2 ) X\sim N(a_{j},\sigma^2) XN(aj,σ2) j = 1... m j=1...m j=1...m, a j a_{j} aj表示第j个总体的总体均值。 a j = μ + ξ j a_{j} =\mu + \xi _{j} aj=μ+ξj, ξ j \xi _{j} ξj是第j个水平相对于nm个全体数据总体均值的偏差。

    • 想要知道各个水平之间是否有差异,相当于检验零假设
      H 0 = a 1 = a 2 = . . . = a j = . . . = a m = μ H_{0}=a_{1}=a_{2}=...=a_{j}=...=a_{m}=\mu H0=a1=a2=...=aj=...=am=μ
      H 0 = ξ 1 = ξ 2 = . . . = ξ j = . . . = ξ m = 0 H{0}=\xi_{1}=\xi_{2}=...=\xi_{j}=...=\xi_{m}=0 H0=ξ1=ξ2=...=ξj=...=ξm=0
    1. 计算各水平均值
      x j ‾ \overline{x_{j}} xj表示第j种水平的样本均值。
    2. 计算离差平方和
      1. 总离差平方和(SST):所有数据观测值与全部数据均值的平方和。自由度n-1
        S S T = ∑ ∑ ( x i j − x ‾ ) 2 SST=\sum\sum(x_{ij} -\overline{x})^2 SST=(xijx)2
      2. 组内平方和(SSE):先计算各水平内数据与组内均值之差的平方和,再将各水平计算结果累计。反映了组内观察值的离散状况,即随机因素的影响。自由度n-m
        S S E = ∑ j [ ∑ i ( x i j − x j ‾ ) 2 ] SSE=\sum_{j}[\sum_{i}(x_{ij}-\overline{x_{j}})^2] SSE=j[i(xijxj)2]
        平均平方 M S E = S S E n − m MSE=\frac{SSE}{n-m} MSE=nmSSE
      3. 组间平方和(SSA):组内均值与总体均值之差的平方,乘以观察值个数。再累加各组计算值。表现得是组间差异,包含随机因素,也包括系统因素。自由度m-1
        S S A = ∑ m [ n j ( x ‾ j − x ‾ ) 2 ] SSA=\sum_{m}[n_{j}(\overline x_{j}-\overline x)^2] SSA=m[nj(xjx)2]
        平均平方: M S A = S S A m − 1 MSA=\frac{SSA}{m-1} MSA=m1SSA
      4. S S T = S S E + S S A SST=SSE+SSA SST=SSE+SSA
    3. 方差分析
      统计量F: F = 组 间 方 差 组 内 方 差 = M S A M S E F=\frac{组间方差}{组内方差}=\frac{MSA}{MSE} F==MSEMSA
      统计量计算结果相当于p值。
      在这里插入图片描述
    4. 做统计判断
      对于给定显著性水平 α \alpha α,由F分布表查出自由度(m-1,n-m)的临界值 F α F_{\alpha} Fα
      如果 F > F α F>F_{\alpha} F>Fα,则拒绝原假设。原假设是各水平之间无差异,所以得出各水平之间的结果由显著的差异。
      反之,接受原假设,不同水平之间结果差异不显著。
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  • Excel单因素方差分析

    2021-01-04 15:06:51
    单因素方差分析 1 声明 本文的数据来自网络,部分代码也有所参照,这里做了注释和延伸,旨在技术交流,如有冒犯之处请联系博主及时处理。 2 单因素方差分析简介 针对多类数据(一个因子多个取值)的情况,对试验...

                                         Excel单因素方差分析

    1 声明

    本文的数据来自网络,部分代码也有所参照,这里做了注释和延伸,旨在技术交流,如有冒犯之处请联系博主及时处理。

    2 单因素方差分析简介

    针对多类数据(一个因子多个取值)的情况,对试验数据进行分析,检验方差相等的多个正态总体均值是否相等,进而判断各因素对试验指标的影响是否显著。

    3 单因素方差分析

    Step1: Excel打开数据分析菜单操作步骤:

    Excel 2010 点击 文件 → 选项 → 加载项 →界面右下角 转到→勾选 数据分析库、数据分析库- VBA后点确定。

    Step2: 打开excel,录入四个分组的数据如下:

       

    Step3: 点击Excel的数据菜单后再点 数据分析菜单,在弹出来的窗口里选择方差分析:单因素方差分析后选择确认。

    Step4:选择变量1的区域、输出区域后点 确定

    Step5:得到单因素方差分析结果,可见P值较小,组间差异较大。

    方法二(借助real Statistics Excel统计分析插件):

    安装参考官网https://www.real-statistics.com/

    Step1:找到方差分析,单因素方差。

    Step2 数据格式勾选excel format,选择输入区、设定输出区域后点确定按钮。

    Step3 输出单因素方差结果

    4 相关统计量

    这里涉及到的统计量:

    总误差,原始数据和均值之差的平方和   

    效应平方和、组间平方和,预测数据与原始数据均值之差的平方和            

    误差平方和、组内平方和,拟合数据和原始数据对应点的误差的平方和   

    预测数据和原始数据对应点误差的平方和的均值,也就是SSE/n  

    这里 SST=SSE+SSR

    5 问题总结

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  • (一)单因素方差分析概念理解步骤 ①是用来研究一个控制变量的不同水平是否对观测变量产生了显著影响。这里,由于仅研究单个因素对观测变量的影响,因此称为单因素方差分析。 ②单因素方差分析的第一步是明确...

    单因素方差分析:
    (一)单因素方差分析概念理解步骤
    ①是用来研究一个控制变量的不同水平是否对观测变量产生了显著影响。这里,由于仅研究单个因素对观测变量的影响,因此称为单因素方差分析。
    ②单因素方差分析的第一步是明确观测变量和控制变量。例如,上述问题中的观测变量分别是农作物产量、妇女生育率、工资收入;控制变量
    分别为施肥量、地区、学历。
    ③单因素方差分析的第二步是剖析观测变量的方差。方差分析认为:观测变量值的变动会受控制变量和随机变量两方面的影响。据此,单因素方差
    分析将观测变量<<总的离差平方和分解为组间离差平方和和组内离差平方和两部分,用数学形式表述为:SST=SSA+SSE>>。
    ④单因素方差分析的第三步是通过比较观测变量总离差平方和各部分所占的比例,推断控制变量是否给观测变量带来了显著影响。

    (二)单因素方差分析原理总结
    容易理解:在观测变量总离差平方和中,如果组间离差平方和所占比例较大,则说明观测变量的变动主要是由控制变量引起的,可以主要由
    控制变量来解释,控制变量给观测变量带来了显著影响;反之,如果组间离差平方和所占比例小,则说明观测变量的变动不是主要由控制变
    量引起的,不可以主要由控制变量来解释,控制变量的不同水平没有给观测变量带来显著影响,观测变量值的变动是由随机变量因素引起的。

    (三)单因素方差分析基本步骤
    1、提出原假设:H0——无差异;H1——有显著差异
    2、选择检验统计量:方差分析采用的检验统计量是F统计量,即F值检验。
    3、计算检验统计量的观测值和概率P值:该步骤的目的就是计算检验统计量的观测值和相应的概率P值。
    4、给定显著性水平,并作出决策。

    总结:
    总差异=组间差异+组内差异

    当组间离差平方和所占比例较大,则说明观测变量的变动主要是由控制变量引起的,可以主要由控制变量来解释,控制变量给观测变量带来了显著影响;反之,如果组间离差平方和所占比例小,则说明观测变量的变动不是主要由控制变量引起的,不可以主要由控制变量来解释,控制变量的不同水平没有给观测变量带来显著影响,观测变量值的变动是由随机变量因素引起的

    讲的主要是机器学习里面的特征选择部分,在单因子分析中,如果某个变量对目标变量影响不大甚至完全独立,那么可以去掉这个变量。
    如果两个变量相关性很高,其中一个变量解释性比较高,另外一个变量解释性比较低时,即使解释性比较低的变量效果更好一些,我们也会将其去掉,保留解释性比较高的那个变量。当然这是在回归模型中(奇异性问题)。其他模型不需要剔除。
    在做模型时,首先是做单因素分析,剔除那些缺失度比较高的,对结果影响不大的变量。

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