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  • 南京大学数学分析

    2017-11-20 16:34:47
    南京大学数学分析 南京大学数学分析 南京大学数学分析
  • 梅加强教授出的 用我们尤老大的话说:很精练...
  • 无厚,不可积也,其大千里。...这是南京大学数学系基础课程《数学分析》第二期讲义,内容包括“Riemann积分”,“定积分的应用和推广”,“数项级数”,“Fourier分析”以及“度量空间和连续映射”。
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    Jiang Guosheng兄给出了南京大学2005年数学分析第六题的证明,我现在给出另一种证明.事实上,这道题的背景是数值积分中的梯形法则.

     


    设$f\in C^1[0,1]$,则
    \begin{equation}
    \lim_{n\to\infty}n\left[\int_{0}^{1}f(x)dx-\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\frac{k}{n}\right)\right]=\frac{f(1)-f(0)}{2}.
    \end{equation}

     

    我们对区间$[0,1]$进行等分,各个等分点按照从小到大排列依次是
    \begin{align*}
    x_0=0,x_1=\frac{1}{n},\cdots,x_{n-1}=\frac{n-1}{n},x_n=1
    \end{align*}
    其中$\forall 0\leq i\leq n$,
    $$x_i=\frac{i}{n}$$
    根据梯形法则,我们知道$\forall 0\leq i\leq n-1$,
    \begin{align*}
    \int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}}f(x)dx\approx \frac{1}{2n}[f(\frac{i}{n})+f(\frac{i+1}{n})]
    \end{align*}
    下面我们证明
    \begin{align*}
    \int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}}f(x)dx-\frac{1}{2n}[f(\frac{i}{n})+f(\frac{i+1}{n})]=o(\frac{1}{n^2})
    \end{align*}
    我们只用证明
    \begin{align*}
    \int_{a\delta}^{a\delta+\delta}f(x)dx-\frac{1}{2}\delta[f(a\delta)+f(a\delta+\delta)]=o(\delta^2)
    \end{align*}
    我们只用证明
    \begin{align*}
    \lim_{\delta\to 0}\frac{\int_{a\delta}^{a\delta+\delta}f(x)dx-\frac{1}{2}\delta [f(a\delta)+f(a\delta+\delta)]}{\delta^2}=0
    \end{align*}
    我们只用证明
    \begin{align*}
    \lim_{\delta\to 0}\frac{\int_0^{a\delta+\delta}f(x)dx-\int_0^{a\delta}f(x)dx-\frac{1}{2}\delta[f(a\delta)+f(a\delta+\delta)]}{\delta^2}=0
    \end{align*}
    根据洛必达法则,只用证明

    \begin{align*}
    \lim_{\delta\to 0}\frac{(a+1)f(a\delta+\delta)-af(a\delta)-\frac{1}{2}[f(a\delta)+f(a\delta+\delta)]-\frac{1}{2}\delta[af'(a\delta)+(a+1)f'(a\delta+\delta)]}{\delta}=0
    \end{align*}
    根据微分中值定理,即
    \begin{align*}
    \lim_{\delta\to
    0}af'(\xi_1)+\frac{1}{2}f'(\xi_1)-\frac{1}{2}[af'(a\delta)+(a+1)f'(a\delta+\delta)]\to 0
    \end{align*}
    根据$f'$在$[0,1]$的连续性,我们只用证明
    \begin{align*}
    af'(0)+\frac{1}{2}f'(0)-\frac{1}{2}[af'(0)+(a+1)f'(0)]=0
    \end{align*}
    这是容易的.因此

    \begin{align*}
    \int_{\frac{i}{n}}^{i+1}\frac{i+1}{n}f(x)dx=\frac{1}{2n}[f(\frac{i}{n})+f(\frac{i+1}{n})]+o_{i}(\frac{1}{n^2})
    \end{align*}
    累加可得
    \begin{align*}
    \int_0^1f(x)dx=\frac{1}{n}[\frac{1}{2}f(0)+f(\frac{1}{n})+\cdots+f(\frac{n-1}{n})+\frac{1}{2}f(1)]+\sum_{i=0}^{n-1}o_i(\frac{1}{n^2})
    \end{align*}
    所以
    \begin{align*}
    n[\int_0^1f(x)dx-\frac{1}{n}[f(0)+f(\frac{1}{n})+\cdots+f(\frac{n-1}{n})]]= [\frac{1}{2}f(1)-\frac{1}{2}f(0)]+n\sum_{i=0}^{n-1}o_i(\frac{1}{n^2})
    \end{align*}
    所以
    \begin{equation}
    \lim_{n\to\infty}n\left[\int_{0}^{1}f(x)dx-\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\frac{k}{n}\right)\right]=\frac{f(1)-f(0)}{2}.
    \end{equation}

     注:在核心步骤里,一位Stackexchange上的老外给出了另一种解决方案.

    转载于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2013/01/13/3827917.html

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  • 南京师范大学2000-2011年《数学分析》历年考研试题
  • 南京师范大学2003-2014研究生考试试卷《数学分析
  • 如何选择数学方向---来自南京大学数学系张高飞老师  “正如大家所知,代数几何是现代数学的主流。当代大多数一流的数学家都工作在这一领域。因此如果你觉得自己天赋异禀,并在代数,几何与分析各方面都有着扎实的...

    如何选择数学方向---来自南京大学数学系张高飞老师偷笑

      “正如大家所知,代数几何是现代数学的主流。当代大多数一流的数学家都工作在这一领域。因此如果你觉得自己天赋异禀,并在代数,几何与分析各方面都有着扎实的基础,我建议你绝不要浪费自己的天赋:应义无反顾的选择代数几何这一专业。当然把代数,几何与分析这三门基础功课同时学好的人很少。比如有些同学有着很好的 分析功底,但代数中的抽象思维能力却相对显得薄弱。如果是这样的话,我建议你选择分析方面的专业,比如:复分析,分形, 调和分析或微分方程。

      如果你代数和分析都不怎么样,可却在几何方面有着良好的感觉,要是这样的话,我建 议你应和梅加强老师好好探讨一下。让他帮你判断一下看自己是不是可以学习几何。

      除以上三部分同学之外,还有这样的一部分同学:他们对代数,分析与几何都不擅长,但却一直坚信自己在数学上仍能有所作为,并幻想有朝一日成为中国数学界的中流砥柱。如果你属于这部分同学中的一位的话,我建议你选择动力系统。动力系统这一学科其实就是专门为这部分同学开设的。

      当然即使是动力系统也不是人人都能学的。因为动力系统需要大量的微积分。可总有那么一部分同学还没来得及把极限的概念搞清楚就大学毕业了。如果你不巧就是这样的一位同学,也就是说你大学四年压根儿就没学数学,但仍希望自己将来能在数学上一展宏图的话,我建议你选择组合数学这一专业。这一专业的特点就是它只用到中学的数学。 如果你在中学时参加过数学竞赛并获过奖项的话,这一学科正是你大展身手的地方。

      我想大多数同学看到这儿之前已经找到了适合自己的专业了。可若仍有人羞怯的说他在中学时早恋,因此连中学的数学也没学好,我想告诉这部分同学不要怕。在我们系有专门为你们开设的一个专业:统计学。这一学科只要求懂得小学数学中的加减乘除四则运算就够了。 更重要的是,选择这一专业的大多都是女同学。在你准确无误的把成千上万个数据加起来并娴熟的计算出他们的均值时,你也赢得了众多师姐师妹的芳心:短短三年的研究生生活或许能让你再次体会一次那如花美眷,似水流年的往事。。。

      最后这一条是专门针对那些悲情人物的。他们连小学的数学也没学好。不要说把上千个数加起来,就是把两个数加起来,对他们来说都是件很吃力的事。然而这一切丝毫没有削弱他们对数学的一片痴情。他们日日夜夜泡在图书馆里。他们翻阅了所有的数学文献,却从未找到一本能读懂的。 但他们仍坚持不懈, 为的就是找到一个适合自己的专业。他们的行为感动了上帝。上世纪的某一天,上帝为他们创造了一台机器帮他们计算。这就是计算机。借助计算机,他们可以很快的进行加减乘除的运算。这就是计算数学。”

    From: http://blog.sina.com.cn/s/blog_649886d60102drfd.html

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  • 设$f$是$\mathbb R$上的周期为$1$的且$C^1$的函数.如果$f$满足条件$$f(x)+f\left(x+\frac{1}{2}\right)=f(2x),x\in\mathbb R$$ 证明$f(x)\equiv0$. 证明 设$$f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos ...

    设$f$是$\mathbb R$上的周期为$1$的且$C^1$的函数.如果$f$满足条件$$f(x)+f\left(x+\frac{1}{2}\right)=f(2x),x\in\mathbb R$$

    证明$f(x)\equiv0$.

    证明    设$$f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos 2n\pi x+b_{n}\sin 2n\pi x)$$

    (因为$f$可导,所以上面的式子确实取等号)这样可以得到\begin{align*}f(x)+f\left(x+\frac{1}{2}\right)&=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}\cos2n\pi x+a_{n}\cos(2n\pi x+n\pi)+b_{n}\sin2n\pi x+b_{n}\sin(2n\pi x+n\pi)\right)\\&=a_{0}+2\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{2n}\cos4n\pi x+b_{2n}\sin 4n\pi x\right)\tag{1}\end{align*}

    而\begin{align*}f(2x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}\cos4n\pi x+b_{n}\sin 4n\pi x\right)\tag{2}\end{align*}

    根据Fourier级数的唯一性(或者用Parseval等式)可以知道(1),(2)的系数一样可以知道$a_{0}=0$且$$a_{n}=2a_{2n},b_{n}=2b_{2n}$$

    所以$$a_{n}=2^2a_{2^2n}=\cdots=2^ka_{2^kn}\to0(k\to+\infty)\tag{3}$$

    上式成立是由于当$f$可导且导函数可积或者绝对可积的时候一定有Fourier系数$$a_{n}=o\left(\frac{1}{n}\right),b_{n}=o\left(\frac{1}{n}\right)$$

    (这个结论只需分部积分一次再利用Riemann-Lebesgue引理即可证明)类似可得$b_{n}=0$.因此$$f(x)\equiv0.$$

     

    证明过程可以看出题目中$C^1$的条件过强了,只需$f'$可积或者绝对可积即可.

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/xiaoxixi/p/4204609.html

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  • 南京航天航空大学数学分析》2002-2013年历年研究生入学考试试卷(含答案)
  • 离 散 数 学Discrete Mathematics第五讲:集合论导引史颖欢南京大学计算机科学与技术系201年9月 8 日前 情 提 要 证明的本质 逻辑推理的形式结构 常用的证明方法与证明策略 直接证明法,间接证明法 归谬法...

    离 散 数 学

    Discrete Mathematics

    第五讲:集合论导引

    史颖欢

    南京大学计算机科学与技术系

    201年9月 8 日

    前 情 提 要

     证明的本质

     逻辑推理的形式结构

     常用的证明方法与证明策略

     直接证明法,间接证明法

     归谬法(反证法),穷举法

     空证明法,平凡证明法

     构造性证明法,反例证明法

    前情提要 2

    本讲主要内容

     引子:数学基础的几次危机

     集合的概念

     子集、空集与幂集

     集合的运算与集合代数

     集合公式的几种基本证明方式

    本讲主要内容 3

    引子:数学基础的几次危机

     19世纪早期,发现数学存在缺陷

     Н.И.Лобаче́вский,G. Riemann :非欧几何

     A. Cauthy等:分析(微积分及其扩展) 的基础

     19世纪后期的公理化运动:去除基于直觉或经验

    的朴素概念的模糊之处,使数学严密化

     G. Peano ,D. Hilbert :算术与几何的公理化

    引子 4

    数学基础的几次危机(续)

     1900年国际数学大会

     H. Poincare: “借助集合论…可以建造数学大厦…今天我

    们可以宣称绝对的严密已经实现了!”

     随后发现了Cantor集合论中的一些悖论:如1901年

    的罗素悖论

     G. Frege评论:当大厦竣工时基础却动摇了

    基础知识 5

    数学基础的几次危机(续)

    危机的解决:

    公 理 化 集 合 论

    引子 6

    集合的概念

     集合没有明确的定义,G. Cantor给出了一种刻划:

    “吾人直观或思维之对象,如为相异而确定之物,其总括

    “Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M

    之全体即谓之集合,其组成此集合之物谓之集合之元素。

    von bestimmten wohlunterschiedenen Objeckten in unserer

    通常用大写字母表示集合,如、、等,用小写字母表

    Anschauung oder unseres Denkens(welche die Elemente von

    示元素,如、、等。若集合系由、、等诸元素所

    M genannt werden) zu einem ganzen”

    组成,则表如 = {,,,⋯},而为之元素,亦常用 ∈

    —— Georg Cantor

    之记号表之者, 非之元素,则记如 ∉。”

    (肖文灿译于1939年, 《集合论初步》,商务印书馆)

    集合的概念 7

    集合的概念(续)

     例: 1,2,3 为集合, “自然数之全体”为集合;

    但诸如 “甚大之数”或 “与点接近之点”则不

    能为集合,因其界限不清

     集合

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